数字信号处理第二章第3、4节

§2-3Z反变换一、定义：已知X(z)及其收敛域求序列x(n)z变换公式：C为环形解析域内环绕原点的一条逆时针闭合单围线.c0即罗伦级数展开系数部分分式法（必须掌握）留数法（围线积分法）长除法二、求Z反变换的方法1、部分分式法（必须掌握）1）适合型的有理分式2）反变换的步骤：先将化为真分式，在对部分分式展开对各部分分式求z反变换：（可查P54表2-1）的z反变换。利用部分分式法求解：[例1（补充）][例2（补充）]X(z)与其收敛域共同唯一确定原序列，反变换的基本变化式是例3（书P56例2—7）必须注意：X(z)有多重极点情况：z1为m阶极点，z2为单极点则将部分分式展开为：...由留数定理可知：

为c内的第k个极点， 为c外的第m个极点，Res[]表示极点处的留数。2、留数法2、当Zr为l阶(多重)极点时的留数：留数的求法：1、当Zr为一阶极点时的留数：[书例2-5]解:1）当n≥-1时, 不会构成极点，所以这时C内只有一个一阶极点 因此，求z反变换。已知2）当n≤-2时，X(z)zn-1中的zn+1构成n+1阶极点。因此C内有极点：z=1/4(一阶),z=0为(n+1)阶极点；而在C外仅有z=4(一阶)这个极点:因为x(n)的Z变换为Z-1

的幂级数，即

所以在给定的收敛域内，把X(z)展为幂级数，其系数就是序列x(n)。如收敛域为|z|>Rx+，x(n)为因果序列，则X(z)展成Z的负幂级数。若收敛域|Z|<Rx-,x(n)必为左边序列，主要展成

Z的正幂级数。3、幂级数展开法(长除法)[例]试用长除法求

的z反变换。解:收敛域为环状，极点z=1/4对应因果序列，极点z=4对应左边序列(双边序列)*双边序列可分解为因果序列和左边序列。*应先展成部分分式再做除法。

4-Z)

4Z+Z+—Z+—Z+—Z+241311645164...16Z16Z-4Z24

Z4Z-ZZZ-—Z—Z—Z-—Z—Z

2233314141444411655116...

Z-—)Z141+—Z+—Z+—Z14-1116-2164-3...Z-—14—14—14-—Z116-1—Z116-1—Z116-1-—Z164-2—Z164-2—Z164-2-——Z1256-3——Z1256-3... §2-4Z变换的基本性质和定理线性和位移性序列指数加权（Z域尺度变换）序列线性加权（Z域微分）共轭序列和翻褶序列初值定理和终值定理有限项累加特性时域卷积和Z域卷积定理帕斯瓦尔定理参见P69表2-2（59-69页）（双边Z变换）如果 则有：*即满足均匀性与叠加性；*收敛域为两者重叠部分。1.线性解：[书p60例2-10]已知2.序列的移位如果 则有：[书例2-11]求序列x(n)=u(n)-u(n-3)的z变换。3.Z域尺度变换(乘以指数序列)如果，则证明：4.序列的线性加权(Z域求导数)如果，则证明：同理：5.共轭序列如果，则证明：6.翻褶序列如果，则证明：7.初值定理证明：8.终值定理证明：又由于只允许X(z)在z=1处可能有一阶极点，故因子（z-1)将抵消这一极点，因此(z-1)X(z)在上收敛。所以可取z1的极限。9.有限项累加特性证明：10.序列的卷积和(时域卷积定理)

（重要）证明：解：[书P-65例2-12]11.序列相乘(Z域卷积定理)其中,C是在变量V平面上，X(z/v),H(v)公共收敛域内环原点的一条逆时