数学-第一部分-专题一-第三讲-不等式、线性规划、计数原理

第三讲不等式、线性规划、计数原理与二项式定理1．不等式的同向可加性

2．不等式的同向可乘性

3．不等式的解法一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或<0)．若Δ>0，其解集可简记为：同号两根之外，异号两根之间．[例1]

(1)(2012年高考湖南卷)设a>b>1，c<0，给出下列三个结论：①>；②ac<bc；③logb(a－c)>loga(b－c)．其中所有的正确结论的序号是(

)A．①B．①②C．②③ D．①②③(2)(2012年高考江苏卷)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)<c的解集为(m，m＋6)，则实数c的值为________．[解析]

(1)根据不等式的性质构造函数求解．∵a>b>1，∴<.又c<0，∴>，故①正确．构造函数y＝xc.∵c<0，∴y＝xc在(0，＋∞)上是减函数．又a>b>1，∴ac<bc，故②正确．∵a>b>1，－c>0，∴a－c>b－c>1.∵a>b>1，∴logb(a－c)>loga(a－c)>loga(b－c)，即logb(a－c)>loga(b－c)，故③正确．[答案]

(1)D

(2)9(2012年高考福建卷)已知关于x的不等式x2－ax＋2a>0在R上恒成立，则实数a的取值范围是________．解析：利用“三个二次”之间的关系．∵x2－ax＋2a>0在R上恒成立，∴Δ＝a2－4×2a<0，∴0<a<8.答案：(0，8)

求目标函数最值的一般步骤(1)作出可行域；(2)借助图形确定函数最值的取值位置，并求最值．[例2]

(2012年高考课标全国卷)已知正三角形ABC的顶点A(1，1)，B(1，3)，顶点C在第一象限，若点(x，y)在△ABC内部，则z＝－x＋y的取值范围是(

)A．(1－，2)B．(0，2)C．(－1，2)D．(0，1＋)[解析]

利用线性规划知识，求解目标函数的取值范围．如图，根据题意得C(1＋，2)．作直线－x＋y＝0，并向左上或右下平移，过点B(1，3)和C(1＋，2)时，z＝－x＋y取范围的边界值，即－(1＋)＋2<z<－1＋3，∴1－<z<2.∴z＝－x＋y的取值范围是(1－，2)．[答案]

A

(2012年泰安高三模考)设变量x，y满足约束条件，则z＝的取值范围是(

)A．[0，4]B．[，5]C．[，6]D．[2，10]解析：表示过点(x，y)与点(－1，－1)的直线的斜率．根据题意，作出可行域，如图所示，由图知的最小值是，最大值是＝5，故选B.答案：B

[例3]

(2012年高考浙江卷)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是(

)

A.B.C．5D．6

[解析]

将已知条件进行转化，利用基本不等式求解．[答案]

C已知x>0，y>0，若>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是(

)A．m≥4或m≤－2B．m≥2或m≤－4C．－2<m<4D．－4<m<2解析：因为x>0，y>0，所以≥2＝8.要使原不等式恒成立，只需m2＋2m<8，解得－4<m<2.答案：D

1．加法计数原理与乘法计数原理针对的分别是“分类”与“分步”问题．[例4]

(2012年高考北京卷)从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为(

)A．24B．18C．12D．6[解析]

根据所选偶数为0和2分类讨论求解．当选0时，先从1，3，5中选2个数字有C种方法，然后从选中的2个数字中选1个排在末位有C种方法，剩余1个数字排在首位，共有CC＝6(种)方法；当选2时，先从1，3，5中选2个数字有C种方法，然后从选中的2个数字中选1个排在末位有C种方法，其余2个数字全排列，共有CCA＝12(种)方法．依分类加法计数原理知共有6＋12＝18(个)奇数．[答案]

B

(2012年高考山东卷)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张．不同取法的种数为(

)A．232B．252C．472D．484解析：利用分类加法计数原理和组合的概念求解．分两类：第一类，含有1张红色卡片，共有不同的取法CC＝264(种)；第二类，不含有红色卡片，共有不同的取法C－3C＝220－12＝208(种)．由分类加法计数原理知不同的取法有264＋208＝472(种)．答案：C

3．用赋值法研究展开式中各项系数之和．

[例5]

(2012年高考安徽卷)(x2＋2)(－1)5的展开式的常数项是(

)A．－3B．－2C．2D．3

[解析]

利用二项展开式的通项求解．∴展开式中的常数项为5－2＝3，故选D.[答案]

D

(2012年郑州模拟)在二项式(x2－)n的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为(

)A．32B．－32C．0D．1解析：依题意得所有二项式系数的和为2n＝32，解得n＝5.因此，该二项展开式中的各项系数的和等于(12－)5＝0，选C.答案：C

【真题】

(2012年高考江苏卷)已知正数a，b，c满足：5c－3a≤b≤4c－a，clnb≥a＋clnc，则的取值范围是________．【解析】

由题意知

作出可行域(如图所示)．【答案】

[e，7]

【名师点睛】本题主要考查了不等式的性质、线性规划的应用等知识，命题角度创新，难度较大，解决此题的关键是将问题转化为线性规划问题，通过数形结合思想来解决．高考对线性规划的考查比较灵活，多以选择、填空形式出现，主要考查利用线性规划求目标函数最值及应用．常涉及距离型、斜率型、截距型．有时与函数、圆、平面向量等知识相综合．【押题】如果点P在不等式组所确定的平面区域内，点Q在曲线(x＋2)2＋(y＋2)2＝1上，那么|PQ|的最小值为(

)A．1

B．2C．3