弹性力学简明教程-第三版-徐芝纶-第一章

第一章

绪论弹性力学:也称弹性理论，固体力学学科的一个分支。

弹性力学和塑性力学是固体力学的两个重要分支。 弹性力学是研究固体材料及由其构成的物体结构在弹性变形阶段的力学行为，包括在外部干扰下(受外力、边界约束或温度改变等原因)弹性物体的内力(应力)、变形(应变)和位移的分布，以及与之相关的原理、理论和方法 §1-1弹性力学的研究内容任务分析结构、构件在外部干扰下的应力和位移检验结构、构件的强度、刚度通过这门课程的学习来研究其技术方法，寻求、改进计算方法§1-1弹性力学的研究内容研究弹性体的力学，有材料力学、结构力学、弹性力学。它们的研究对象分别如下：

材料力学——研究杆件（如梁、柱和轴）的拉压、弯曲、剪切、扭转和组合变形等问题。结构力学——在材料力学基础上研究杆系结构（如桁架、刚架等）。弹性力学——研究各种形状的弹性体，如杆件、平面体、空间体、板壳、薄壁结构等问题。（如地基、剪力墙、挡土墙、坝体、隧洞）

§1-1弹性力学的研究内容研究对象材料力学结构力学弹性力学杆状构件杆件系统非杆状结构及杆状构件长度远大于高度和宽度拉压、剪切、弯曲、扭转作用下产生的应力和位移由杆状构件组成的结构荷载作用下杆件的内力（弯矩、剪力）或变形应力、形变和位移§1-1弹性力学的研究内容在研究方法上，弹力和材力也有区别：

弹力研究方法：在区域V内严格考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，建立三套方程;在边界s上考虑受力或约束条件，建立边界条件;并在边界条件下求解上述方程，得出较精确的解答。材力研究方法：也考虑这几方面的条件，但不是十分严格的：常常引用近似的计算假设（如平面截面假设）来简化问题，并在许多方面进行了近似的处理。

因此材料力学建立的是近似理论，得出的是近似的解答。从其精度来看，材料力学解法只能适用于杆件形状的结构。

§1-1弹性力学的研究内容对比弹性力学和材料力学的结果，可以确定出材料力学附加假设所带来的局限性。首先我们考察一下变截面杆的拉伸问题。在研究等截面直杆拉伸时，材料力学引用了平截面假设。垂直于杆件轴线的各平截面（即杆的横截面）在杆件受拉伸、压缩或纯弯曲而变形后仍然为平面，并且同变形后的杆件轴线垂直。§1-1弹性力学的研究内容变截面杆拉伸时，沿用等截面直杆拉伸的结果，认为横截面应力也是均匀分布的。§1-1弹性力学的研究内容按照这个假设，我们从杆的侧面取出一个微元体，如图c，显然，不满足平衡条件，因而是不正确的。要满足平衡条件，微元体的受力图应如图d所示，这只有通过弹性力学方法才能求解。弹性力学的求解结果表明，只有当斜角很小时，即接近于直杆时，材料力学的结果才有被引用的价值。§1-1弹性力学的研究内容其次，考虑均布荷载作用下的简支梁§1-1弹性力学的研究内容对于纯弯曲问题，材料力学引用平面假设，对横力弯曲问题分两步求解，首先按纯弯曲梁的求解方法，计算横截面上的正应力，结果为线性分布，再在纵向纤维挤压应力的假设前提下，根据体元的平衡条件，推出剪应力为二次抛物线分布。§1-1弹性力学的研究内容图b中还绘出了弹性力学求解的结果：横截面上的正应力为y的三次曲线，纵向纤维挤压应力也为y的三次曲线分布，而剪应力解，则二者完全相同。严格的讲，在横力弯曲中，由于剪应力的存在横截面要发生翘曲，平面假设已不成立，而横向力的存在本身就意味着纵向纤维的挤压并不为零。§1-1弹性力学的研究内容与弹性力学精确解相比较，当梁的高跨比时，材料力学的结果可以认为是足够精确的。对于深梁问题，此时只能用弹性力学方法求解。图中表示出了对称面上的正应力分布曲线，A点处，弹性力学的解为,如果用材料力学方法求解则为误差为145%。

§1-1弹性力学的研究内容弹性力学在力学学科和工程学科中，具有重要的地位：弹性力学是工程结构分析的重要手段。尤其对于安全性和经济性要求很高的近代大型工程结构，须用弹力方法进行分析。

弹性力学是学习塑性力学、断裂力学、岩石力学、有限元方法等课程的基础。

§1-1弹性力学的研究内容

土木工程§1-1弹性力学的研究内容水利工程§1-1弹性力学的研究内容航空航天工程§1-1弹性力学的研究内容船舶机械工程§1-1弹性力学的研究内容工科学生学习弹力的目的：

（1） 理解和掌握弹力的基本理论；

（2）能阅读和应用弹力文献；

（3）能用弹力近似解法(变分法、差分法和有限单元法)

解决工程实际问题；（4）为进一步学习其他固体力学分支学科打下基础。§1-1弹性力学的研究内容弹性力学的发展

弹性力学是一门有悠久历史的学科，早期研究可以追溯到1678年，胡克（R.Hooke）发现胡克定律。这一时期的研究工作主要是通过实验方法探索物体的受力与变形之间的关系。

§1-1弹性力学的研究内容近代弹性力学的研究是从19世纪开始的。柯西1828年提出应力、应变概念，建立了平衡微分方程，几何方程和广义胡克定律。柯西的工作是近代弹性力学的一个起点，使得弹性力学成为一门独立的固体力学分支学科。柯西（A.L.Cauchy）§1-1弹性力学的研究内容而后，世界各国的一批学者相继进入弹性力学研究领域，使弹性力学进入发展阶段。1856年，圣维南（A.J.Saint-Venant）建立了柱体扭转和弯曲的基本理论圣维南（A.J.Saint-Venant）§1-1弹性力学的研究内容1862年，艾里（G.B.Airy）发表了关于弹性力学的平面理论1881年，赫兹建立了接触应力理论；赫兹（H.Hertz）§1-1弹性力学的研究内容1898年，基尔霍夫建立了平板理论;基尔霍夫(G.R.Kirchoff)1824年生於德国，1887年逝世。曾在海登堡大学和柏林大学任物理学教授，他发现了电学中的“基尔霍夫定理”，同时也对弹性力学，特别是薄板理论的研究作出重要贡献。§1-1弹性力学的研究内容许多科学家.像拉格朗日(J.L.Lagrange)，乐甫(A.E.H.Love)，铁木辛柯(S.P.Timoshenko)做出了贡献。中国科学家钱伟长，钱学森，徐芝纶，胡海昌,等在弹性力学的发展，特别是在中国的推广应用做出了重要贡献。§1-1弹性力学的研究内容钱伟长钱学森胡海昌§1-1弹性力学的研究内容徐芝纶杨桂通§1-1弹性力学的研究内容基本概念：外力、应力、形变、位移。一、作用与物体上的外力体积力（体力）：作用于物体体内表面力（面力）：作用于物体表面1、体力所谓体力是指分布在物体体积内的力，一般用单位体积的力表示，如重力、磁力、惯性力。§1-2弹性力学中的几个基本概念

为了表明该物体在某一点P所受体力的大小和方向，在这一点取物体的一小部分，它包含着P点而它的体积为xyzO设上所受的力为，令无限减小，则将趋于一定的极限，即则极限矢量即为P点体力的集度，其方向即的极限方向，用、、表示体力分量是在x、y、z轴上的投影，单位：N/m3，量纲：§1-2弹性力学中的几个基本概念说明：(1)f是坐标的连续分布函数；(2)f的加载方式是任意的(如：重力，磁场力、惯性力等)(3)fx、fy、fz

的正负号由坐标方向确定。2、面力所谓面力是指分布在物体表面上的力，一般用单位表面积上的力表示，如风力、液压和接触力等。§1-2弹性力学中的几个基本概念为了表明该物体在表面上某一点P所受面力的大小和方向，在这一点取物体表面的一小部分，它包含着P点而它的面积为xyzO设上所受的力为，令无限减小，则将趋于一定的极限，即

则极限矢量即为P点面力的集度，其方向即的极限方向，用、、表示面力分量，是在x、y、z轴上的投影，单位是，量纲：§1-2弹性力学中的几个基本概念说明：(1)f是坐标的连续分布函数；(2)f的加载方式是任意的(3)

fx、fy、fz

的正负号由坐标方向确定。二、应力与应力分量1、一点应力的概念内力(1)物体内部分子或原子间的相互作用力;(不考虑)(2)由于外力作用引起的相互作用力。物体任何部位的内力特征用应力来描述，为了说明应力的概念，现考察受平衡力系的任意形状的物体。§1-2弹性力学中的几个基本概念物体受外力作用时，其内部相邻两部分之间就产生了相互作用力即内力，假想过P点用截面mn将物体分为两部分，撇开一部分，该部分对剩下的部分的作用可用分布在截面上的内力来代替。PΔF§1-2弹性力学中的几个基本概念在截面上任一点P处取一微小面积△A，其上内力为△F，则内力平均集度为△F/△A，当△A无限趋近于P点时，物体在该截面上P点应力矢量即△F/△A的极限值：ΔAPΔFn(法线)§1-2弹性力学中的几个基本概念由上分析可知：①应力大小反映了截面上某点内力的强度即内力分布集度。②过同一点所取的截面方位不同，应力也不相同，即应力与所取截面的方位有关。③应力是矢量。为了便于描述物体变形和材料强度，一般由正应力（沿截面法向）和剪应力（沿截面切向）两个分量来表示。ΔAPΔFn(法线)§1-2弹性力学中的几个基本概念由于mn截面是任取的，实际上过P点可取无数个方位不同的截面，各截面上P点的应力是不同的，为此将物体同一点各截面上的应力状况称为一点的应力状态。分析一点的应力状态，对研究物体的强度是十分重要的。2、一点的应力状态通过一点P的各个面上应力状况的集合称为一点的应力状态x面的应力：§1-2弹性力学中的几个基本概念y面的应力：z面的应力：!下标前一个字母表明作用面垂直于哪个坐标轴，后一个字母表面作用方向沿着哪一个坐标轴。xyzO§1-2弹性力学中的几个基本概念截面的正负号：!!截面的外法线方向与坐标轴方向一致时为正面；!!截面的外法线方向与坐标轴方向相反时为负面。应力的正负号：!!正面上正方向的力为正；负面上负方向的力为正。与材料力学中剪应力τ正负号规定的区别：规定使得单元体顺时转动的剪应力τ为正，反之为负。6个剪应力并不是互不相关的。由材料力学的剪应力互等定律，可以看出它们是两两相等的，即§1-2弹性力学中的几个基本概念可以证明，在物体的任意一点，如果已知

这六个应力分量，就可以求得经过该点的任意截面上的正应力和剪应力。因此，弹性力学里把称为该点的应力分量。§1-2弹性力学中的几个基本概念三、形变形变——物体形状的改变。(1)线段长度的改变(2)两线段间夹角的改变为了表述物体内任一点P的变形情况，过P点沿三轴正向取三条微小线段PA、PB、PC，物体变形后，该三条线段长度及它们之间直角必将发生改变。（1）线段单位长度的伸缩（2）两线段间夹角的改变。——用线（正）应变ε度量——用剪应变γ度量（剪应变——两垂直线段夹角（直角）的改变量）§1-2弹性力学中的几个基本概念§1-2弹性力学中的几个基本概念pABC沿x方向沿y方向沿z方向线应变——单位长度的伸缩伸长时为正，缩短时为负；§1-2弹性力学中的几个基本概念切应变符号规定：沿两个坐标轴正向之间的直角变小为正,变大为负切应变切应变——线段间直角的改变（弧度）p可以证明，在物体内任一点如果已知这6个应变，经该点的任一线段的正应变和任两线段之间直角的剪应变都可求得，即该点的应变状态可以确定，所以这6个应变称为该点的应变分量。四、位移位移指的是一点位置的移动。物体内任一点的位移，用其在x、y、z三轴上的投影u、v、w来表示，以沿坐标轴正向为正，沿坐标轴负向为负。u、v、w

即该点的位移分量。SwuvPxyzO§1-2弹性力学中的几个基本概念弹性力学问题：已知外力、物体的形状和大小（边界）、材料特性（E、μ）、约束条件等，求解应力、应变、位移分量。需建立三个方面的关系：（1）静力学关系：应力与体力、面力间的关系；（2）几何学关系：形变与位移间的关系；（3）物理学关系：形变与应力间的关系。§1-2弹性力学中的几个基本概念§1-2弹性力学中的几个基本概念平衡微分方程几何方程物理方程应力边界条件位移边界条件微分体的平衡条件微分线段上形变与位移关系应力与形变的物理关系给定的面力边界微分体平衡给定的约束边界上约束条件基本方程边界条件解方程组求解§1-3弹性力学中的基本假定为什么要提出基本假定？任何学科的研究，都要略去影响很小的次要因素，抓住主要因素建立计算模型归纳为学科的基本假定。1.连续性假定整个物体的体积都被组成物体的介质充满，不留下任何空隙。

该假定在研究物体的宏观力学特性时，与工程实际吻合较好；研究物体的微观力学性质时不适用。作用：使得σ、ε、u

等量表示成坐标的连续函数。保证中极限的存在。§1-3弹性力学中的基本假定2、线弹性假定假定物体在引起变形的外力去除后，能完全恢复原状。即假定物体完全服从胡克（Hooke）定律，应力与应变间成线性比例关系。脆性材料——一直到破坏前，都可近似为线弹性的；塑性材料——比例阶段，可视为线弹性的。作用：可使求解方程线性化§1-3弹性力学中的基本假定3、均匀性假定假定整个物体是由同一种材料组成的，各部分材料性质相同。作用：弹性常数（E、μ）——不随位置坐标而变化；取微元体分析的结果