导体周围电场的模拟

不对称中的对称

——导体周围电场的模拟以及多极矩叠加应用

化学物理系邹思睿PB03206041指导老师：郝志东想必大家对《电场线之美》中那些点电荷系统优美的电场线图还记忆犹新吧，那导体周围的电场又是什么样的呢？其中又有什么内在的规律呢？本文将对其进行一番探索······引言一、导体周围电场的模拟（精确法）

（一）介绍精确法画电场线的方法

电势

电场强度将电场强度所在的直角坐标系（x，y）变换到相空间（

，

）列出微分方程利用MATHEMATICA®5.1软件画出相图（即电场线图）

SHOW

（二）导体周围电场线的图

1．带电导体椭球面周围的电场线图图12．接地导体球和点电荷相互作用时的电场线图其中k=d/r，k=2d表示点电荷到球心的距离r

表示球的半径

（后同）图2

3、带电导体球和点电荷相互作用时的电场线图（s=Q/q;k=d/r取s=1;k=2）

Q表示导体所带电荷q表示点电荷的电量

（后同）图34、带电直导线和带电导体球作用的电场线图（s=Q/q;k=d/r，取s=1;k=2）图45、形如“A”字的均匀线带电体周围的电场线和等势线图（在“A”所在平面上的投影）图5

6、圆环周围的电场线和等势线图（在经过轴线的平面上的投影）图6二、多极矩叠加应用（一）理论背景

电势的展开：

其中各项物理意义：

第一项是一个点电荷的电势，相当于V内电荷都集中在O点时在P点所产生的势；

第二项是偶极子的电势，相当于V内电荷都集中在O点处偶极子时在P点所产生的势；

第三项是体系的四极距的电势，相当于V内电荷都集中在O点处四极距时在P点所产生的势；

…………

第n项是体系的2n

极距的电势，相当于V内电荷都集中在O点处2n

极距时在P点所产生的势；

（表示前后张量完全缩并）（二）具体方法

点电荷电场线图C×电偶极子电场线图+D×四极距电场线图+C，D表示不同电势展开时的系数（常数）=

导体周围电场线图

...（三）应用举例

1、模拟椭球面导体周围的电场线图

（叠加图）

（精确图）

从两图对比可以发现它们之间存在惊人的相似之处。叠加图在等势面上的正交性如此之好，令人惊叹！2、模拟带电导体球和点电荷作用时的电场线图

类似椭球面中的叠加法，只是偶极子中p与x轴的交角取=（椭球面中取）

（叠加图）（精确图）此图也有很好的相似性，但可看出叠加法在模拟（2，0）处点电荷时，没有收敛到（2，0）点，原因在于此处只叠加到了四极距；但是很明显它已经有了收敛回正x

轴上某个点的趋势。我们可以乐观的估计叠加上八极距后模拟的精确度会大大提高。三、精确法和叠加法求导体周围的电场的比较优势精确法1、较精确地计算出每一点的电势、电场2、模拟出来的电场线较光滑一般情况下无法通过计算积分得到电势的解析表达式，从而限制了它的使用叠加法1、当导体电荷分布的对称性不理想（无法得到电势解析表达式——精确法的局限性）时，它可以发挥巨大作用2、能大致表示出电场变化的趋势，把一些原本较复杂的导体周围电场问题简化表示电场线较粗略，存在一定误差局限性四、深刻意义—— 不对称之中常蕴含着对称之美

1、镜像法

接地导体球A和点电荷Q相互作用时，导体球上的感应电荷是不均匀分布的，但它的电荷可以通过一个与Q关于A对称的点电荷来等效AQ

2、傅立叶分析变换

一般情况下，很多信号都是非周期、没有明显规则的，但是可以通过Fourier分析用一些周期函数叠加得到。作Fourier展开（取前300项近似）完美再现！五、构想和展望

1.如能加上八极距、十六极距等近似效果会更好2.平面图在很大程度上限制了电场线的完整表达，如能用三维立体图来展现电场线会更好3.还可以绘制电介质在电场中极化时的电场线图，或磁场的磁力线图等

4.EquationTrekker是Wolfram公司2004年11月推出的新版本

MATHEMATICA®

5.1

中新功能，故对其使用和功能不是很熟悉，做出的图不是很美观、很对称1．《经典电动力学》蔡圣善科大天文与应用物理系2．《电动力学》虞福春北京大学出版社3．《符号计算系统mathematica教程》张韵华科学出版社4．《电磁学》张玉民中国科技大学出版社科学出版社5．《电磁学千题解》张之翔科学出版社六、参考资料七、感谢

谢谢沈激，陈子瑜老师热情地为我提供场所，是你们使我有了写下去的动力！谢谢郝轶聃，沈明民师兄为我出谋划策，耐心地给我讲解一些高深的理论，是你们让我对物理和数学有了更浓厚的兴趣！

谢谢郝志东，叶邦角，程福臻老师指点论文，是你们使我的论文更上一层楼！谢谢廖瞻迪，虞堂清，周磊，刘妍的帮助和鼓励，是你们让我感到科大的温暖和人情味！

八、结语

潮随暗浪雪山倾，远浦渔舟钓月明。

桥对寺门松径小，

巷当泉眼石波清。

迢迢远树江天晓，

蔼蔼红霞晚日晴。