大学物理第 09 章 第 1 次课 - 简谐运动 振幅 周期 频率 相位

第九章机械振动/181特别地,物体围绕一固定位置周期性往复运动---称为机械振动.

作机械振动的物体,其运动形式有直线、平面和空间振动.

振动可以是周期性的振动,但也可以是非周期性的振动例如:(1)一切发声体的运动----琴弦的振动,鼓面的振动等.直线运动,曲线运动;物体运动的形式:匀速运动,变速运动;(2)心脏的跳动.(3)江河海面上的水浪起伏.(4)晶体中原子的振动等./18§9.1简谐运动振幅周期和频率相位2机械振动的特点是什么?

物体的位移在某一平衡位置附近作周期性变化.本章讨论机械振动.一般说来,作机械振动的物体的运动规律是比较复杂的;先讨论一种简化的模型---简谐运动(振动).物理上还有其它许多物理量具有周期性变化的特点,如交流电,电磁波等.因此,物理上将物理量在某一数值附近作周期性的变化都称为振动.通过这一模型可以理解振动的一些普遍规律.它是研究复杂振动的基础.简谐运动是最简单、最基本的振动形式.是一种理想化的模型./18§9.1简谐运动振幅周期和频率相位简谐运动复杂振动合成分解3一、基本概念弹簧振子:

如图所示,由弹簧和物体构成的振动系统.平衡位置:物体所受外力为零的位置.图示中的“O”点.如果将物体拉离平衡位置,或给物体一定的初速度,如下图所示.那么物体将作什么样的运动?满足什么样的方程?/18§9.1简谐运动振幅周期和频率相位4设初始时刻,物体处在平衡位置“O”点.此时,弹簧的形变为零.二、运动方程根据胡克定律,物体在水平方向上受到的弹性力大小为:设t时刻,物体的位移为x,如下图所示.此时弹簧的形变长度为x.(1)F的方向与位移相反,用负号表示.如图建立坐标系k为弹性系数,由弹簧本身的性质决定./18§9.1简谐运动振幅周期和频率相位5(1)不考虑摩擦力,则由牛顿第二定律可得式中m为物体的质量,a是物体的瞬时加速度.(2)由(1)(2)两式可知,由于物体所受的力是变力,因此物体将作变加速运动.将(1)式代入(2)式得,(3)为书写方便起见,令(4)则(3)式为(5)(5)式表明,弹簧振子的加速度大小与位移的大小成正比,加速度的方向与位移方向相反.具有这种特征的振动称为简谐运动./18§9.1简谐运动振幅周期和频率相位6(5)根据加速度的定义,有即加速度等于位移对时间的二阶导数.(5)式可写成(6)即(6)式即是弹簧振子在作简谐运动过程中所满足的微分方程.微分方程(6)的解为(7)(7)式即为弹簧振子在振动过程中位移随时间的变化关系.即简谐运动方程.三、位移、速度和加速度1.位移式中A和是解方程的过程中出现的积分常数,由物体的初始状态决定./18§9.1简谐运动振幅周期和频率相位7(7)位移随时间的变化关系2.速度(8)速度等于位移对时间的一阶导数,即3.加速度(9)加速度等于速度对时间的一阶导数,即由(7)(8)(9)式可以看出,简谐运动中的位移、速度和加速度随时间的变化都是周期性的.周期为这种周期性可以用图形更直观地进行反映./18§9.1简谐运动振幅周期和频率相位8图图图取1.位移2.速度3.加速度四、简谐运动图解/18§9.1简谐运动振幅周期和频率相位9五、振幅六、周期、频率图(7)简谐运动位移随时间的变化关系式中各量的物理意义是什么?A表示简谐运动的物体离开平衡位置最大位移的绝对值.称为振幅.由(7)式可知,位移随时间作周期性变化,变化的快慢由什么因素决定?由三角函数的性质,可以得到1.周期是指作一次完全振动所需要的时间，用T表示.如上图所示./18§9.1简谐运动振幅周期和频率相位10图(7)即(10)(10)式适用于所有周期性振动的周期计算(包括声波,电磁波等).特别地,对于弹簧振子,因为所以,弹簧振子的振动周期为(11)2.频率物体在单位时间内所作的完全振动的次数,用表示.显然,周期的大小反映了振动的快慢.但振动的快慢也可以用物体在单位时间内所作的完全振动的次数来反映.(12)/18§9.1简谐运动振幅周期和频率相位11由上述讨论可知,弹簧振子的周期和频率仅与振子的质量m和弹簧的弹性系数k有关.而质量m和弹簧系数k是振动系统本身的固有性质.频率(12)频率的单位为1/秒,称为赫兹,用Hz

表示.(12)式还可以表示为(13)称为角频率(或圆频率),单位为弧度每秒(即rad·s-1).特别地,对于弹簧振子,有,(14)只由振动系统本身的固有属性所决定的周期和频率称为振动的固有周期和固有频率./18§9.1简谐运动振幅周期和频率相位121）对于简谐振动,速度与位移无一一对应关系;七、相位2）初相位:t=0时的相位;

描述振动物体在初始时刻的运动状态(位移和速度).

(取或)由上两式可知,对于简谐振动,A反映振动的幅度,反映振动的快慢.物理上把(t+)称为t时刻的相位.它是决定简谐运动物体运动状态的物理量.位移(7)速度(8)当振幅A和角频率一定时,振动物体的位移和速度都取决于(t+).相位不同,物体的运动状态也不同./18§9.1简谐运动振幅周期和频率相位13八、常数和的确定初始条件:

初始时刻物体的位移x0

和速度v0.对给定振动系统，周期由系统本身性质决定，振幅和初相位由初始条件决定.由振动体系本身的物理性质决定,那么振幅A和初相位由什么因素决定呢?(7)(8)将上述初始条件代入(7)(8)式得,由此得,/18§9.1简谐运动振幅周期和频率相位14例1解:

设物体的位移随时间的变化为由初始条件t=0时x0=0得取物体的位移与时间的关系为/18§9.1简谐运动振幅周期和频率相位15解:(1)求运动方程

设质点振动的运动方程为例2已知某振动质点的x-t曲线如图所示,试求:(1)运动方程;(2)点P对应的相位;(3)到达点P相应位置所需时间.图P初始时刻(t=0)质点的位移为x=0.05m;代入运动方程得,由图可知,质点的振幅为A=0.1m;/18§9.1简谐运动振幅周期和频率相位16代入运动方程得图P另一方面,由图可知,当t=4.0时,质点的位移x=0由此求得,因此,质点振动的运动方程为(2)求P