第二章 工程力学-第二章

第2章平面力系的简化与平衡工程力学1第2章平面力系的简化与平衡2.1平面汇交力系2.2平面力偶系2.3平面一般力系

本章目录2§2-1力线平移定理力的平移定理：可以把作用在刚体上点A的力平行移到任一点B，但必须同时附加一个力偶。这个力偶的矩等于原来的力对新作用点B的矩。[证]力力系3说明：①力线平移定理揭示了力与力偶的关系：力力+力偶（例断丝锥）②力平移的条件是附加一个力偶m，且m与d有关，m=F•d

③力线平移定理是力系简化的理论基础。4第2章平面力系的简化与平衡平面力系——作用在物体上各力的作用线都在同一平面内。工程实例：屋架、吊车：平面结构承受平面力系。P1P2FAxFAyFDDABDCP145AP2(a)B空间对称结构承受对称的外力，可简化为平面问题。如汽车受力。52.1平面汇交力系2.1.1平面汇交力系合成和平衡的几何法PP1P2平面汇交力系：

各力的作用线都在同一平面内且汇交于一点的力系。AP3P2P1A包括自重与液体重力6O力多边形法则：汇交力系中各力首尾相连，构成一个不封闭的折线Oabcd，称为不封闭的力多边形（力链）。合力为力多边形的封闭边Od，方向从第一个力的起点指向最后一个力的终点。力的可传性合力大小与分力的次序无关。OOacdbOO2.1平面汇交力系2.1.1平面汇交力系合成和平衡的几何法1.合成的几何法7O力的可传性OOO合力可以表示为：若力系为n个力，合力可以表示为：汇交力系与其合力等效。2.1平面汇交力系2.1.1平面汇交力系合成和平衡的几何法1.合成的几何法8平面汇交力系平衡的充要条件是合力为零。

力系中各力首尾相连，力多边形自行封闭。OO为平衡力系。则平衡条件的几何形式：平衡的几何法O2.1平面汇交力系2.1.1平面汇交力系合成和平衡的几何法9（4）确定未知力的大小：可量取长度，用比例尺换算。也可利用三角关系求得。b30°60°例2-1

如图，P=10kN。两杆自重不计。求两杆的受力。ABCP30°60°OaP（3）画力多边形：确定未知力方向：力多边形中各力的方向为实际方向，与受力图一致。（5）答案：由作用反作用公理，AB受拉力

5kN；BC受压力

8.66kN。（1）研究对象：销钉

B

（2）画受力图；FBAFBC5kN销钉BBFBCFBAPCBF’BCFCBBAF’BAFAB选取比例尺；解：102.1.2平面汇交力系合成和平衡的解析法合成的解析法合力

平面汇交力系Oyx因为

每个力

合力投影定理：2.1平面汇交力系11已知合力在直角坐标轴的投影Fx、Fy

时，可求力FR

大小和方向。合力的大小合力的作用点为力系的汇交点。Fx

>0Fy

>0Fx

<

0Fy

>0Fx

>0Fy<

0Fx

<

0Fy<

0yxO指向：方位：方向由Fx、Fy

符号定。2.1.2平面汇交力系合成和平衡的解析法合成的解析法2.1平面汇交力系1260°30°70°F1F2F3F4例2-2：作用于吊环螺钉的四个力构成平面汇交力系。已知各力大小为：F1＝360N，F2＝550N，F3＝380N，F4＝300N。试用解析法求合力的大小和方向。解：建立坐标系Oxy＝F1cos60°＋F2＋F3cos30°＋F4cos70°＝1162N＝F1sin60°—F3sin30°—F4sin70°＝－160N＝1173N＝0.1377合力方向：FR合力大小：xyO由于FRx>0，FRy<0，所以合力指向第四象限，指向如图。13平面汇交力系平衡的充要条件是：该力系的合力等于零。

平面汇交力系的平衡方程平衡的解析条件：力系中各力在x、y轴上投影的代数和为零。

有2个平衡方程，只能求解2个未知量。2.1.2平面汇交力系合成和平衡的解析法平衡的解析法2.1平面汇交力系14利用平衡方程，求解平衡问题的步骤为：1、选——选取研究对象。

应既受已知力，又受要求的力或与要求力相关的力。2、画——画受力图。(标清几何关系)3、建——建立坐标系。原点可任意，使坐标轴与较多的力平行（或垂直）。4、列——列平衡方程。注意：不要列成左式等于右式的形式。5、解——解平衡方程。6、答——答案，必要时作出讨论或说明。2.1.2平面汇交力系合成和平衡的解析法平衡的解析法2.1平面汇交力系15解：（3）建立坐标系：Axy（4）列平衡方程：（5）解得：FA=－22.4kN例2-3

刚架如图所示，受水平力作用，P=20kN，不计刚架自重，求A、D处的约束反力。4mBPACD8mxyPFD（1）研究对象：刚架（2）受力如图：FAcos+

P=0FAsin＋FD=0FA

为负，表明其方向与图示相反。FD=10kNFD为正，表明其方向与图示相同。8m4mABCDFAα16yxFBC＇FCBCBFBA＇BAFABB30FBCFBAF1F2（3）建立坐标系：Bxy

CABD3060P例2-4

已知如图，不计杆和滑轮重力及滑轮大小。求二杆的受力。（4）列平衡方程：解：分析题意滑轮大小不计，可为点B。（1）研究对象：滑轮和销轴。（2）受力如图：－F1cos30＋FBC－F2sin30=0FBA=－0.366PFBC为正，表明其方向与图相同，FBC＇与图相同，BC受压。FBC=1.366PFBA为负，表明其方向与图相反，FBA＇与图相反，AB受压。（5）解得：BF230FBCFBA30F1F1=F2=PF1sin30－F2cos30°－FBA=0172.2平面力偶系2.2.1平面力偶系的合成BAdF'1F1d1d2F2F'2F＝F3

－F4F2

d2＝F4

d

m=Fd=（F3－F4）d

F3F'3F4F'4F1d1＝F3

d=m1+m2=F1d1－F2d2设同一平面内有两个力偶（F1，F'1）、（F2，F'2），力偶臂分别为d1、d2，力偶矩分别为m1=F1d1

、m2=－F2d2。求它们的合成结果。dFF'BA18平面力偶系的合成结果为一合力偶，合力偶矩等于各个力偶矩的代数和。2.2.2平面力偶系的平衡只有一个平衡方程，只能求解一个未知量。平面力偶系平衡的必要与充分条件：所有各力偶矩的代数和等于零。2.2平面力偶系2.2.1平面力偶系的合成1945ABRAC（2）受力如图。（1）研究对象：AB（3）列平衡方程：（5）由力偶的特点，A点反力RA=RB，方向如图。（4）解方程解ADRCAmlRARBB例题2-5

已知如图：求A点和B点的约束力。m45ADl20例2-6

用多轴钻床在水平工件上钻孔时，每个钻头对工件施加一压力和一力偶，如图所示。已知三个力偶矩分别为：m1＝m2＝10Nm，m3＝20Nm。固定螺钉A、B的间距为l＝200mm。求两个螺钉所受的水平力。m3m1m2

lABm3m1m2

Am3m1m2

ABFBFA解：研究对象：工件由力偶系的平衡条件：结果为正，说明图示方向为力的实际方向。FA、FB必组成力偶与其它三个力偶平衡。

从而解得：212.3平面一般力系2-3-1平面一般力系的简化OOO—简化中心F'n

mn

m3

F'3F'2m2mOF3F2F1FnO平面一般力系平面汇交力系平移为原力系的主矢。作用在O点，大小和方向与简化中心O无关。为原力系的主矩。大小和方向一般与简化中心O有关。平移合成力合成力偶矩合成F'1m1平面力偶系22mO主矩的大小：Oyxα平面一般力系平面汇交力系力平面力偶系力偶矩建立坐标系xy主矢的大小：利用力和投影的关系，可以确定主矢的大小和方向。2.3平面一般力系2-3-1平面一般力系的简化23固定端约束约束反力的确定：按平面一般力系的简化，得到一个力和一个力偶。为便于计算，固定端的约束反力画成正交分力和一个力偶。

结构图ad简图bcFAxFAymAmAFA2.3平面一般力系2-3-1平面一般力系的简化24此时，简化结果与简化中心位置无关。2.3.2平面一般力系简化结果的分析合力矩定理此时，简化结果与简化中心位置有关。简化结果（2）（1）合力偶原力系力偶系其合力偶矩②③①④原力系汇交力系合力2.3平面一般力系25mOOdOO’即：合力矢等于主矢；合力作用线在简化中心O那一侧取决于主矢、主矩方向；合力作用线到O点的距离由d

确定。(3)原力系合力OO'd2.3.2平面一般力系简化结果的分析合力矩定理力偶等效表示减去平衡力系2.3平面一般力系26合力矩定理

平面一般力系的合力对于作用面内任一点的矩等于力系中各力对同一点的矩的代数和。原力系为平衡力系。（4）2.3.2平面一般力系简化结果的分析合力矩定理2.3平面一般力系27求合力的大小：建立坐标系Axy。xydxxqx解：合力的方向向下。取微段dx，其上合力dFR

=qxdx，方向向下。在任意截面x处分布力合力求合力的作用线(利用合力矩定理)xC即：即dFR例2-7：水平梁AB长为l，受三角形分布载荷的作用，分布载荷的最大值为q(N/m），试求合力的大小及作用线的位置。q（N/m）ABlFR28总结：分布力的合力（2）大小：等于载荷集度q乘以分布长度，即ql。（1）方向：与分布力q相同。（3）作用线：通过分布长度的中点。FRABlxCCDq（1）方向：与分布力相同。（2）大小：等于由分布载荷组成的几何图形的面积。（3）作用线：通过由分布载荷组成的几何图形的形心。qlBAlq均布载荷的合力。载荷集度为q。292.3.3平面一般力系的平衡条件平面一般力系平衡的充要条件：主矢，主矩即：平衡的解析条件是：所有各力在两个任选的坐标轴上的投影的代数和分别等于零，以及各力对于任意一点的矩的代数和也等于零。上式称为平面一般力系的平衡方程。有独立三个方程，只能求解三个未知数为方便计算：2、矩心应取在两未知力的交点上。1、坐标轴应当与尽可能多的未知力作用线相垂直。30例2-8

水平梁长为4m，重P=10kN，作用在梁的中点C。承受均布载荷q=6kN/m，力偶矩M＝8kNm。试求A、B处的约束力。P4m2mqmCBA45°解：B－8解方程得：研究对象：水平梁ABFAxFAyFByx注意应用合力投影定理与合力矩定理得出：（1）均布载荷的投影与对点之矩。（2）力偶的投影与力矩。31ABDPFB45yx解得：FB＝28.28kN例：已知如图AB＝BD＝l，载荷P＝10kN。设梁和杆的自重不计，求铰链A的约束反力和杆BC所受的力。CBF'CF'BPADC45解：研究对象：ABD梁。AFAx＋FBcos45＝0

FAy＋FBsin45－P＝0

FBsin45l－P2l＝0llFAx

＝－20kN

FAy＝－10kN(负号表明反力方向与图示相反)BFAxFAy由作用反作用公理，BC杆受压力28.28kN32PADBC45yxllAFAxFAyFCB45PDCl如果写出对A、B两点的力矩方程和对x轴的投影方程：如果写出对A、D、C三点的力矩方程：说明三个方程相互独立说明三个方程相互独立讨论33二、平衡方程的其它形式二矩式：三矩式：x轴不得垂直于A、B连线。A、B、C三点不共线。这二组平衡方程也能满足力系平衡的必要和充分条件（证明略，见P49）对于受平面任意力系作用的单个研究对象的平衡问题，只可以写出三个独立的平衡方程，求解三个未知量。任何第四个方程只是前三个方程的线性组合，因而不是独立的。34PlbBAWQ2a≥0≥

(2)当空载时，受力如图。FB≥0≥0≤解：(1)当满载时，受力如图。例2-10：

塔式起重机如图。机架重力W，吊起的最大重物重力P，欲使起重机在满载和空载时都不致翻倒，求平衡配重的重量Q。≤≤因此，起重机不翻倒的条件：≥0为使起重机不绕点A翻倒，必须FB≥0。FBFA为使起重机不绕点B翻倒，必须FA≥0。352.4考虑摩擦时的平衡问题摩擦按物体间相对运动状态滑动摩擦滚动摩擦静滑动摩擦动滑动摩擦工程实际中，物体的接触面不会完全光滑，摩擦总会存在。摩擦有利：刹车制动，皮带传动等。有弊：零件的磨损，能量消耗等。本教材只讲工程中常用的简单近似的摩擦理论。摩擦干摩擦湿摩擦按物体间接触面状况静滚动摩擦动滚动摩擦362.4.1基本概念

大小根据主动力的情况，用不同的计算方法计算。

两个表面粗糙的物体，当其接触表面之间有相对滑动或相对滑动趋势时，彼此作用有阻碍相对滑动的阻力，即滑动摩擦力。摩擦力：作用于相互接触处；方向与相对滑动的相对滑动趋势的方向相反；2.4考虑摩擦时的平衡问题371、静摩擦力PFNGFs（1）P为零时，物体没有运动趋势，摩擦力Fs为零。（2）P

较小时，物体有运动趋势，但仍静止(平衡)，摩擦力Fs

不为零。由平衡方程确定静摩擦力大小。静滑动摩擦力：当两物体有相对滑动趋势时，在接触面上有阻碍物体相对滑动趋势的力。静摩擦力实验:（3）当主动力P

增加到某个数值，物体处于将动未动的临界平衡状态。这时的摩擦力称为最大静滑动摩擦力Fmax。38FN：正压力。fs：静摩擦因数，为常数，由材料和接触面状况决定。实验测定。静摩擦定律一般平衡状态临界平衡状态综上所述：0≤Fs≤FmaxFmax＝fsFNFmax＝fsFN静摩擦力大小和方向由平衡方程确定。方向恒与物体相对滑动的趋势方向相反。

3.动滑动摩擦力F'=fFNFN：法向反力（正压力）f：动摩擦因数，为常数，由材料决定。一般f<fs。2.最大静摩擦力最大静摩擦力的大小与两物体间的正压力(即法向反力)成正比。392.4.2摩擦角与自锁现象由图可知:摩擦角

与摩擦因数fs

一样也是表示材料表面性质的一个常量。1、摩擦角FNFmax全反力：摩擦角的正切等于摩擦因数。摩擦角：临界状态时，全反力与法线的夹角。用

表示。FRmax讨论物体间静摩擦性质的几何特点。一般平衡临界状态FNFRFs40接触点的全约束反力作用线只能在摩擦角以内。一般平衡Fs≤

Fmax所以有：

≤

FNFmaxFRAFRA摩擦角：临界状态时，全反力与法线的夹角。用

表示。FmaxFRAFNFRA412、自锁现象

如果作用于物体的全部主动力的合力作用线在摩擦角之内，无论该力多大，物体总能保持平衡，这种现象称为自锁。设接触面的摩擦角为

，主动力FR与法向夹角为

。水平主动力：FRsin，若平衡：FRsin

≤Fmax＝fsFN=fsFRcos

即：物体平衡

≥法向主动力：FR

cos

＝法向反力≥得：而：若

≥

物体平衡，接触面可提供与法线成θ

角的全反力。≥FRFRA证明：

≥是物体平衡的充要条件。与主动力无关而与摩擦角有关的平衡条件称为自锁条件。42当≥

时，由于接触面只能提供摩擦角范围内的全反力，不能保证与主动力共线。物体滑动。FR如果作用于物体的全部主动力的合力作用线在摩擦角之外，无论该力多小，物体一定会滑动。43例：在一个可以调整倾角的斜面上放一重为P的物体，物体与斜间的摩擦因数为fs，试求物体开始下滑时斜面的倾角α。解：（1）研究对象：物体。受力如图。（2）列平衡方程：解得：xyαOPFNFmaxα＝讨论斜面上物体的自锁条件（即不下滑的条件）：≤44工程实际中常应用自锁原理设计一些机构或夹具，如千斤顶、压榨机、圆锥销等，使它们始终保持在平衡状态下工作。也可应用这个原理，可以设法避免发生自锁现象。45因为螺纹可以看成为绕在一圆柱体上的斜面，螺纹升角就是斜面的倾角。斜面的自锁条件就是螺纹的自锁条件。对于千斤顶，螺母相当于斜面上的滑块，加于螺母的轴向载荷，相当物块的重力。要使螺纹自锁，必须使螺纹的升角小于或等于摩擦角

。因此螺纹的自锁条件是：≤

若螺旋千斤顶的螺杆与螺母之间的摩擦因数为fS＝0.1，

＝542’。为保证螺旋千斤顶自锁，一般取螺纹升角＝4～430’。462.4.3考虑摩擦时物体的平衡问题求解考虑摩擦时的平衡问题的几个特点：（2）已知主动力，讨论物体状态。可设物体处于一般平衡，此时摩擦力的大小和方向可由平衡方程确定。但一定符合FS≤Fmax

。Fmax

＝fSFN，否则物体运动。（1）受力分析时，必须考虑摩擦力，其方向与假设无摩擦时物体在其他力的作用下的滑动方向相反。（4）工程中有不少问题只需要分析平衡的临界状态，这时可列补充方程Fmax＝fSFN

。有时为了计算方便，也先在临界状态下计算，求得结果后再分析、讨论其解的平衡范围。（3）已知有摩擦求主动力。由于物体平衡时摩擦力有一定的范围(即0≤FS≤Fmax＝fSFN)，所以主动力的值也有一定的范围。47力F1太大，物块将上滑；力F1太小，物块将下滑。因此，F1的数值必在一范围内。

例2-11

物体重为P，放在倾角为（足够大）的斜面上，它与斜面间的摩擦因数为fS。当物体处于平衡时，试求水平力F1的大小。解：F1P(1)求力的最大值F1max

。x有向上滑动趋势F1maxFmaxFNyPO

列平衡方程：补充方程48(2)求力的最小值F1

min。补充方程：列平衡方程有向下滑动趋势F1minF’

maxF’NxyPO例2-11

物体重为P，放在倾角为（足够大）的斜面上，它与斜面间的摩擦因数为fS。当物体处于平衡时，试求水平力F1的大小。F1P综上可知：≤F1≤解：49物体系:由若干个物体所组成的物体系统。2.5静定与静不定的概念物体系统的平衡PACBQQBqEDCA2.5.1静定与静不定的概念静定问题：所有未知量都能由平衡方程求出，这样的问题称为静定问题。实例：XAmAYA显然前面列举的各例都是静定问题。特点：结构中的未知量数目等于独立平衡方程的数目。Ｐ1Ｐ250静定问题：特点：结构中的未知量数目等于独立平衡方程的数目。实例静不定问题（超静定问题）：未知量不能全部由平衡方程求出，这样的问题称为静不定问题或超静定问题。XAYAmAY特点：结构中未知量数目多于独立平衡方程的数目。Ｐ1Ｐ22.5静定与静不定的概念物体系统的平衡2.5.1静定与静不定的概念51物体系平衡时,构成物体系的每部分都处于平衡。设一物体系由n个物体构成,则每个物体一般可列出3个独立的平衡方程,整个物体系则可列出3n个平衡方程。若物体系的未知量个数为3n个，问题可解，物体系为静定系统。讨论物体系统平衡时，不仅要考虑系统的外力，还要考虑系统内部各物体之间的相互作用力（内力）。若物体系的未知量多于3n个,问题不可解，则为静不定系统。本部分不讨论静不定系统。2.5静定与静不定的概念物体系统的平衡2.5.2物体系统的平衡52F例2-12

曲轴冲床由轮I、连杆AB和冲头B组成。OA＝R，AB＝l。当OA水平、冲压力为F时系统处于平衡。求：(1)m；(2)O点约束力；(3)AB受的力；(4)冲头给导轨的侧压力。mFθABF’BF’AFNmFOxFOyFA解：θFNFOyFOxFBθ（方案2）冲头B和整体（方案1）冲头B和轮全面进行受力分析，确定解题方案。

二力杆相连的物体受力等值、反向，性质与杆的受力一致。为简便起见，二力杆的受力图可以不画。53Fxy例2-12

曲轴冲床由轮I、连杆AB和冲头B组成。OA＝R，AB＝l。当OA水平、冲压力为F时系统处于平衡。求：(1)m；(2)O点约束力；(3)AB受的力；(4)冲头给导轨的侧压力。mFθFNyxmFOxFOyFA解：（1）研究对象：冲头θFBθ方案1:冲头B和轮（2）研究对象：轮FOyFOxm5430mFDCBqllll60A例2-13组合梁由AC、CD铰接而成。已知F＝20kN，q＝10k