2023年数列知识点和常用解题方法归纳总结

数列知识点及常用解题方法归纳总结一、等差数列的定义与性质0的二次函数)项，即:二、等比数列的定义与性质三、求数列通项公式的常用方法１、公式法2、；３、求差(商）法解：，，［练习]4、叠乘法解：5、等差型递推公式［练习］6、等比型递推公式［练习］７、倒数法,，，三、求数列前n项和的常用方法1、公式法:等差、等比前ｎ项和公式２、裂项法:把数列各项拆成两项或多项之和,使之出现成对互为相反数的项。解：[练习］3、错位相减法:4、倒序相加法:把数列的各项顺序倒写，再与本来顺序的数列相加。［练习]例１设｛an}是等差数列，若a2=3，a=１3,则数列{ａｎ}前８项的和为(）A．1２8B.80C．６4D.5６（福建卷第3题)略解:∵a２+ａ=ａ+ａ=1６，∴{an}前8项的和为64,故应选C.例2已知等比数列满足，则（）A.64ﻩﻩB.81ﻩ C．１２8 D．243（全国Ⅰ卷第７题)答案：A.例3已知等差数列中，,，若，则数列的前5项和等于（)A．３0 B．45 C．90ﻩ D．1８６（北京卷第7题）略解：∵a-a＝3d=９，∴ｄ=３，b＝,b=a=30，的前5项和等于9０，故答案是C．例４记等差数列的前项和为，若,则该数列的公差(）Ａ.2Ｂ．3Ｃ.6D.7（LＩＮKWord.Docｕmｅｎｔ.8"D:\\ＭyＤoｃuments＼\桌面\＼0８高考文科数列２.doc＂OLＥ_LINK１＼ａ＼r\＊MEＲGEFORMAＴ广东卷第４题）略解：∵,故选B.例5在数列中，，,，其中为常数，则．（安徽卷第15题)答案:-1.例6在数列中,，，则()A．B.Ｃ.D．(江西卷第5题）答案：A．例７设数列中,,则通项_______＿＿__.(四川卷第16题)此题重点考察由数列的递推公式求数列的通项公式,抓住中系数相同是找到方法的突破口.略解：∵∴,,,,，,.将以上各式相加,得，故应填＋1.例８若(x+)n的展开式中前三项的系数成等差数列，则展开式中x4项的系数为（)A.6 ﻩB.７ﻩ C.8 Ｄ．9(重庆卷第1０题)答案：B．使用选择题、填空题形式考察的文科数列试题，充足考虑到文、理科考生在能力上的差异，侧重于基础知识和基本方法的考察，命题设计时以教材中学习的等差数列、等比数列的公式应用为主，如,例4以前的例题.例5考察考生对于等差数列作为自变量离散变化的一种特殊函数的理解；例6、例7考察由给出的一般数列的递推公式求出数列的通项公式的能力;例８则考察二项展开式系数、等差数列等概念的综合运用．重庆卷第1题，浙江卷第４题,陕西卷第4题，天津卷第４题，上海卷第１4题,全国Ⅱ卷第１9题等，都是关于数列的客观题,可供大家作为练习.例9已知｛an}是正数组成的数列，a１=１，且点（）（nN*)在函数y=x２+1的图象上.(Ⅰ)求数列｛an}的通项公式;(Ⅱ）若数列｛bｎ｝满足b1=1,bn＋１＝bn+,求证：bn·bn+２<b2ｎ＋１.（福建卷第２０题)略解：（Ⅰ）由已知，得an+1－an＝1，又ａ1＝1,所以数列｛ａn｝是以1为首项，公差为１的等差数列.故ａn=１+(n-１)×1=ｎ．(Ⅱ)由(Ⅰ)知，an=n,从而bn+１－bｎ=2n，ｂn=(ｂn－bn-1)+(bn－１-bn-2)+…+(b２-b1)+b１=２ｎ－１＋2n-2+…+2+1=2n-1．∵.bｎ•bn＋2-b=(2n-1)(2n+2-1)-(2n+1-１)2=-2n＜０,∴ｂn·bn+2＜b．对于第（Ⅱ）小题，我们也可以作如下的证明:∵b２=１,bn·ｂn+2－ｂ=(bn+1-2ｎ)(bn+１+2ｎ+1)-ｂ=2n＋１·bｎ＋1-2n·bn+１-2n·2n＋１=2ｎ（bn+1-2n+1）=２ｎ(bn+2n-2n＋1）=2n（bｎ-2ｎ)＝…=2ｎ（b1-2)＝-２n<0，∴bn-bn+２＜b2n＋1.例10在数列中,,．（Ⅰ)设．证明:数列是等差数列;(Ⅱ）求数列的前项和.（全国Ⅰ卷第19题)略解:（Ⅰ)=＝==1,则为等差数列,，,.(Ⅱ)，.两式相减，得=.对于例10第(Ⅰ）小题，基本的思绪不外乎推出后项减前项差相等，即差是一个常数.可以用迭代法，但不可由b2-b1=1，b-b=1等有限个的验证归纳得到为等差数列的结论，犯“以偏盖全”的错误．第(Ⅱ）小题的“等比差数列”，在高考数列考题中出现的频率很高,求和中运用的“错项相减”的方法，在教材中求等比数列前n项和时给出,是“等比差数列”求和时最重要的方法．一般地，数学学习中最为重要的内容经常并不在结论自身，而在于获得这一结论的途径给予人们的有益启示.例９、例１0是高考数学试卷中数列试题的一种常见的重要题型,类似的题目尚有浙江卷第１8题,江苏卷第1９题，辽宁卷第20题等，其共同特性就是以等差数列或等比数列为依托构造新的数列．重要考察等差数列、等比数列等基本知识,考察转化与化归思想，考察推理与运算能力.考虑到文、理科考生在能力上的差异,与理科试卷侧重于理性思维，命题设计时以一般数列为主,以抽象思维和逻辑思维为主的特点不同；文科试卷则侧重于基础知识和基本方法的考察,以考察具体思维、演绎思维为主．例11等差数列的各项均为正数,,前项和为，为等比数列,,且．（Ⅰ)求与；(Ⅱ)求和:．（江西卷第19题）略解:(Ⅰ）设的公差为，的公比为,依题意有解之，得或（舍去，为什么？)故.(Ⅱ）,∴．“裂项相消”是一些特殊数列求和时常用的方法.使用解答题形式考察数列的试题,其内容还往往是一般数列的内容,其方法是研究数列通项及前n项和的一般方法,并且往往不单一考察数列，而是与其他内容相综合,以体现出对解决综合问题的考察力度.数列综合题对能力有较高的规定,有一定的难度，对合理区分较高能力的考生起到重要的作用.例12设数列的前项和为,（Ⅰ）求；（Ⅱ)证明:是等比数列；(Ⅲ)求的通项公式．(四川卷第２1题)略解:（Ⅰ)∵，所以.由知，得，①,，.(Ⅱ）由题设和①式知，，是首项为2,公比为２的等比数列.（Ⅲ）此题重点考察数列的递推公式，运用递推公式求数列的特定项,通项公式等．推移脚标，两式相减是解决具有的递推公式的重要手段,使其转化为不含的递推公式，从而有针对性地解决问题．在由递推公式求通项公式时，首项是否可以被吸取是易错点.同时，还应注意到题目设问的层层进一步，前一问常为解决后一问的关键环节,为求解下一问指明方向.例1３数列满足(I）求,并求数列的通项公式;（II）设，,,求使的所有k的值，并说明理由．（湖南卷第2０题)略解:（I)一般地，当时，即所以数列是首项为0、公差为4的等差数列，因此当时，所以数列是首项为２、公比为2的等比数列,因此故数列的通项公式为(IＩ）由(I)知,＝于是，．下面证明:当时,事实上,当时，即又所以当时,故满足的所有ｋ的值为3,4,5.数列知识点回顾第一部分:数列的基本概念1.理解数列定义的四个要点⑴数列中的数是按一定“顺序”排列的，在这里，只强调有“顺序”,而不强调有“规律”.因此，假如组成两个数列的数相同而顺序不同,那么它们就是不同的数列.⑵在数列中同一个数可以反复出现．⑶项a与项数n是两个主线不同的概念．⑷数列可以看作一个定义域为正整数集（或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依次取值时相应的一列函数值,但函数不一定是数列.2.数列的通项公式一个数列{a｝的第n项a与项数ｎ之间的函数关系，假如用一个公式a＝来表达，就把这个公式叫做数列{a}的通项公式。若给出数列｛a}的通项公式，则这个数列是已知的。若数列｛a｝的前n项和记为Ｓ,则Ｓ与ａ的关系是：a＝。第二部分:等差数列1．等差数列定义的几个特点：⑴公差是从第一项起,每一项减去它前一项的差（同一常数),即d=a-ａ（n≥２)或d=a－a(nN).⑵要证明一个数列是等差数列,必须对任意nN，a－a=d（n≥2）或ｄ=a－ａ都成立.一般采用的形式为:当n≥2时,有a-a＝d(d为常数）.②当n时，有a-a=d(d为常数).③当n≥2时,有ａ－ａ＝a－a成立.若判断数列{ａ}不是等差数列,只需有a－a≠ａ－a即可.2.等差中项若a、A、b成等差数列，即A＝,则Ａ是a与b的等差中项;若A=,则a、A、b成等差数列，故A＝是ａ、Ａ、b成等差数列，的充要条件。由于ａ=，所以,等差数列的每一项都是它前一项与后一项的等差中项。3.等差数列的基本性质⑴公差为d的等差数列,各项同加一数所得数列仍是等差数列,其公差仍为ｄ.⑵公差为d的等差数列，各项同乘以常数k所得数列仍是等差数列,其公差为kd.⑶若{a｝、{b}为等差数列，则{ａ±b}与｛ka+b｝(k、b为非零常数)也是等差数列.⑷对任何ｍ、n,在等差数列{a｝中有：ａ=a+(n－ｍ)d,特别地，当m=1时，便得等差数列的通项公式,此式较等差数列的通项公式更具有一般性．⑸、一般地，假如ｌ,k,ｐ,…,ｍ，n，r，…皆为自然数,且ｌ＋k＋p+…=m+n＋r+…（两边的自然数个数相等)，那么当{a}为等差数列时,有:a+a+a+…＝ａ+a+ａ＋…．⑹公差为d的等差数列，从中取出等距离的项,构成一个新数列，此数列仍是等差数列,其公差为kd(k为取出项数之差).⑺假如{a}是等差数列,公差为d，那么，a,a,…，a、a也是等差数列，其公差为-d;在等差数列｛a}中,a-a=ａ-a=md．(其中m、k、）⑻在等差数列中，从第一项起，每一项(有穷数列末项除外)都是它前后两项的等差中项.⑼当公差ｄ＞０时,等差数列中的数随项数的增大而增大；当d＜0时,等差数列中的数随项数的减少而减小；d=0时,等差数列中的数等于一个常数.⑽设ａ，a,a为等差数列中的三项,且a与ａ，a与a的项距差之比=（≠-1）,则a=.4.等差数列前n项和公式S＝与S＝na＋的比较前ｎ项和公式公式合用范围相同点S=用于已知等差数列的首项和末项都是等差数列的前n项和公式S=ｎa＋用于已知等差数列的首项和公差5.等差数列前n项和公式S的基本性质⑴数列{a}为等差数列的充要条件是:数列{a}的前n项和S可以写成Ｓ=aｎ+bn的形式（其中a、b为常数）．⑵在等差数列{a}中，当项数为2n(ｎN)时,S－S=nd,=;当项数为（２n-1）（ｎ)时,Ｓ-S=a,=．⑶若数列{a}为等差数列,则Ｓ，Ｓ-S,S-S，…仍然成等差数列，公差为．⑷若两个等差数列｛a｝、｛ｂ}的前ｎ项和分别是S、T(n为奇数）,则=．⑸在等差数列｛a｝中，S＝a，Ｓ=b（ｎ>m),则S＝(a-b).⑹等差数列{a｝中，是n的一次函数,且点（n,)均在直线y=ｘ+（a－)上.⑺记等差数列{a}的前n项和为Ｓ.①若a＞０，公差ｄ<０，则当a≥0且a≤0时，S最大；②若ａ<0,公差d>0,则当a≤０且a≥0时,Ｓ最小.第三部分:等比数列1.对的理解等比数列的含义⑴q是指从第2项起每一项与前一项的比，顺序不要错，即q=(n)或ｑ=（n≥２)．⑵由定义可知,等比数列的任意一项都不为０,因而公比q也不为0．⑶要证明一个数列是等比数列,必须对任意n，=q;或＝q（n≥2)都成立.2．等比中项与等差中项的重要区别假如Ｇ是a与ｂ的等比中项,那么=，即Ｇ=ab,G=±．所以,只要两个同号的数才有等比中项,并且等比中项有两个，它们互为相反数；假如A是ａ与b的等差中项,那么等差中项A唯一地表达为A=,其中，ａ与b没有同号的限制.在这里，等差中项与等比中项既有数量上的差异，又有限制条件的不同．3．等比数列的基本性质⑴公比为q的等比数列,从中取出等距离的项，构成一个新数列，此数列仍是等比数列，其公比为q(ｍ为等距离的项数之差)．⑵对任何m、n,在等比数列{ａ｝中有:a=a·ｑ，特别地，当m=1时,便得等比数列的通项公式,此式较等比数列的通项公式更具有普遍性.⑶一般地,假如t,k，ｐ，…，m,n,r，…皆为自然数,且t+k，p,…，ｍ+…=m+n＋r＋…(两边的自然数个数相等),那么当{ａ}为等比数列时,有:ａ.a．ａ．…=a.a.a.….．⑷若{a}是公比为ｑ的等比数列,则{|a|}、｛a}、｛ｋa}、{}也是等比数列，其公比分别为|q|｝、{q}、{ｑ}、｛}．⑸假如{ａ}是等比数列，公比为q，那么，a，a,a，…，a,…是以ｑ为公比的等比数列．⑹假如{a}是等比数列，那么对任旨在n，都有a·ａ=a·q>0．⑺两个等比数列各相应项的积组成的数列仍是等比数列,且公比等于这两个数列的公比的积.⑻当ｑ>1且ａ>0或0＜q＜1且a＜0时,等比数列为递增数列；当a＞０且0＜q＜１或ａ<0且ｑ>１时,等比数列为递减数列;当q=１时，等比数列为常数列;当q<0时，等比数列为摆动数列．4.等比数列前n项和公式S的基本性质⑴假如数列{ａ}是公比为q的等比数列,那么，它的前n项和公式是S=也就是说，公比为q的等比数列的前ｎ项和公式是q的分段函数的一系列函数值，分段的界线是在q=1处.因此,使用等比数列的前n项和公式,必须要弄清公比q是也许等于1还是必不等于1,假如q也许等于1,则需分q=1和q≠1进行讨论.⑵当已知a，q，n时，用公式S=;当已知a,q，ａ时，用公式S=．⑶若Ｓ是以q为公比的等比数列,则有Ｓ＝S+qS．⑵⑷若数列{a｝为等比数列，则Ｓ，S-S,S-Ｓ,…仍然成等比数列．⑸若项数为3n的等比数列(q≠-１）前n项和与前n项积分别为S与T,次n项和与次n项积分别为S与Ｔ，最后n项和与n项积分别为S与Ｔ,则S，Ｓ，S成等比数列，T，T,T亦成等比数列．二、难点突破1.并不是所有的数列都有通项公式,一个数列有通项公式在形式上也不一定唯一.已知一个数列的前几项，这个数列的通项公式更不是唯一的.2．等差(比)数列的定义中有两个要点：一是“从第2项起”,二是“每一项与它前一项的差(比）等于同一个常数”．这里的“从第２项起”是为了使每一项与它前面一项都的确存在,而“同一个常数”则是保证至少具有3项.所以，一个数列是等差（比)数列的必要非充足条件是这个数列至少具有3项.3.数列的表达方法应注意的两个问题：⑴｛a}与a是不同的,前者表达数列a，a,…,a,…，而后者仅表达这个数列的第n项;⑵数列a，a,…,a，…,与集合{a,a，…，a,…，｝不同,差别有两点:数列是一列有序排布的数，而集合是一个有拟定范围的整体;数列的项有明确的顺序性,而集合的元素间没有顺序性．4.注意设元的技巧时，等比数列的奇数个项与偶数个项有区别，即:⑴对连续奇数个项的等比数列,若已知其积为S,则通常设…,ａq，aq,a，aq,ａq，…;⑵对连续偶数个项同号的等比数列，若已知其积为Ｓ,则通常设…,aｑ,aq，aq，aq，….5.一个数列为等比数列的必要条件是该数列各项均不为0,因此，在研究等比数列时,要注意a≠0，由于当a＝0时，虽有ａ=a·ａ成立，但｛a｝不是等比数列,即“b=a·c”是a、b、c成等比数列的必要非充足条件；对比等差数列{ａ｝，“2b=ａ+c”是a、b、c成等差数列的充要条件，这一点同学们要分清．６．由等比数列定义知，等比数列各项均不为0,因此，判断一数列是否成等比数列，一方面要注意特殊情况“０”．等比数列的前n项和公式蕴含着分类讨论思想，需分分q=1和ｑ≠1进行分类讨论,在具体运用公式时,经常因考虑不周而犯错．数列基础知识定期练习题(满分为1０0分+附加题２０分，共120分；定期练习时间1２０分钟）一、选择题(本大题共15小题,每小题3分，共45分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目规定的)1．下列四个数中,哪一个是数列{｝中的一项（）(Ａ)380(Ｂ）39(C）３5(D）232．在等差数列中,公差,,则的值为()（A)40（B)4５(C）５０(D)553.一套共7册的书计划每2年出一册,若各册书的出版年份数之和为1３979,则出齐这套书的年份是（)(A）199７(B)199９(C)2023（Ｄ）2０２３4．一个项数是偶数的等比数列，它的偶数项的和是奇数项和的2倍,又它的首项为1,且中间两项的和为24,则此等比数列的项数为(）(Ａ）1２（Ｂ）１0（C）8（D)６5．已知１是与的等比中项，又是与的等差中项，则的值是()（Ａ)1或（B）1或（Ｃ）1或(D）1或6.首项为－２4的等差数列，从第10项开始为正,则公差的取值范围是()（A）（B)（C）≤(D）≤37.假如－1，a,b,c，-9成等比数列，那么()（A)b=3,aｃ=９ﻩﻩ(B）ｂ=－3,ac=9（Ｃ）b=3，ac=-9 （D)b=-３,ａｃ=－9８．在等差数列{ａ}中，已知a＝2，a+a=1３，则a+ａ+ａ等于（)Ａ．40B.42C．43Ｄ.４5９.已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为1５,偶数项之和为３0，则其公差为(）Ａ.５B.4C.3D.210.若互不相等的实数成等差数列，成等比数列，且,则(）A.4B.２C.－2D．-411．在等比数列{ａn}中,a1=1，a10=3，则a2a３a4a５a6ａ7a8ａ9＝（)A.8１B.27C．D.2431２.在等比数列中,,前项和为，若数列也是等比数列，则等于（）(A)(B）(C)(Ｄ)【点评】本题考察了等比数列的定义和求和公式,着重考察了运算能力。13．设是公差为正数的等差数列,若，,则()A.B．Ｃ.Ｄ．14.设是等差数列的前项和，若，则（)Ａ.B．C.D．１5.设Sｎ是等差数列｛ａn}的前n项和,若EQ\f(S\S\ｄo（3),Ｓ＼S\do（6））＝ＥQ＼ｆ(1,3),则EQ\f(S\S\do(6），S＼S＼do(12))＝()(A)EＱ\f(３,10）(B）EＱ\f(1，３）(C）EQ\f（1,8)（D)EQ＼f(1,9)二、填空题(本大题共5小题，每小题3分,共15分.把答案填在题中横线上）1．在数列中,，且，则.2．等比数列的前三项为，，，则3．若数列满足：,2，3….则.４.设为等差数列的前n项和，＝14，S10－＝30,则S9＝.5.在数列中，若,，则该数列的通项。三、解答题(本大题共4小题，每小题10分，共40分）1．已知为等比数列,,求的通项式。2．设等比数列的前n项和为,3.已知正项数列{an},其前n项和Ｓｎ满足10Sn＝an２＋5an+６且ａ１，a3，ａ15成等比数列，求数列{aｎ}的通项an.4．数列的前项和记为（Ⅰ）求的通项公式;（Ⅱ）等差数列的各项为正,其前项和为,且，又成等比数列,求本小题重要考察等差数列、等比数列的基础知识，以及推理能力与运算能力。满分12分。1.A2．B３.D4.Ｃ５．Ｄ6.D７.Ｂ解:由等比数列的性质可得ac=（-１）×(－９)＝9,b×b=9且b与奇数项的符号相同,故b＝－3，选B8.B解：在等差数列中,已知∴d=3,ａ5＝１4，=3ａ5=42，选B.9．C解：，故选C.10.D解：由互不相等的实数成等差数列可设a=b-d,ｃ＝b＋d，由可得b＝２，所以a=2－d,ｃ=２＋d,又成等比数列可得ｄ＝6,所以a=－4，选D１１.A解：由于数列{an}是等比数列,且a１=１,a1０＝3,所以a2a3a４ａ５ａ6ａ７a8ａ９=(a2a9）（a３a8）(a4a7)（a５a6)=（ａ1a10）４＝34=８1，故选Ａ1２.C【解析】因数列为等比,则,因数列也是等比数列，则即，所以,故选择答案C。13.B【解析】是公差为正数的等差数列，若,,则,，∴d=3,,，选Ｂ.1４.