电磁场预备知识

标量场和矢量场标量场的梯度矢量场的通量与散度矢量场的环量与旋度无源场与无旋场第0章矢量分析下页返回VectorAnalysis电磁场的特殊形式微分算子及矢量运算亥姆霍兹定理0.1.1

场的概念如果在空间的某区域中，每一点都存在一个确定的物理量，我们就说，此区域中存在由此物理量构成的场，此物理量称为场量，该区域称为场域。如果这个物理量是标量，称为标量场；若为矢量，称为矢量场。按场中物理量是否随时间变化，又可分为静态场（恒定场）和时变场（动态场）。0.1

标量场和矢量场ScalarFieldandVectorField下页上页返回0.1.2

场的描述表示场量空间和时间分布特性的函数称为场函数。记为或。例如，在直角坐标下：标量场矢量场如温度场、电位场、高度场等；如流速场、电场、涡流场等。下页上页返回其方程为:图0.1.1等高线

标量场--等值线(面)形象描绘场分布的工具—场线（图）思考在某一高度上沿什么方向高度变化最快？下页上页返回三维场二维场图0.1.2矢量线矢量场--矢量线其方程为：在直角坐标下：下页上页返回0.2标量场的梯度

GradientofScalarField研究一个标量场，不仅要掌握物理量在空间的分布情况，更为重要的是要知道它的变化规律以及与其它物理量之间的相互关系。本节将介绍标量场的方向导数和梯度。0.2.1

方向导数标量场的分布情况，可借助于等值面或等值线来了解，但这只能大致地了解标量场的整体分布情况。而要详细地研究标量场，还必须对它作局部性的下页上页返回了解，即要考察物理量在场中各点处的邻域内沿每一方向的变化情况。为此，引入方向导数的概念。数学上，标量函数(P)从点P0沿路径l

变到点

P

的变化率称为方向导数，记作，即

式中,,分别是任一方向与x,y,z轴的夹角,l

方向的单位矢量可以表示为下页上页返回0.2.2

梯度方向导数解决了标量场中(P)在给定点处沿某一方向l

的变化率问题。但是，函数(P)从给定点出发有无穷多个变化方向，其中哪个方向的变化率最大？最大变化率是多少？以下从方向导数的计算公式出发来讨论此问题。设下页上页返回则有：上式表明：l与g

方向一致时,方向导数取最大值,增加得最快；l与g

方向相反时,方向导数取最小值,减小得最快；l

与g

方向垂直时,方向导数为0。定义矢量函数g为标量场的梯度，记作grad。在直角坐标系中，下页上页返回——梯度(gradient)——哈密顿算子式中图0.1.3等温线分布梯度的方向为该点最大方向导数的方向。梯度的大小为该点标量函数的最大变化率，即最大方向导数。标量场的梯度是一个矢量，是空间坐标点的函数。梯度的意义下页上页返回例0.2.1

三维高度场的梯度图0.2.1三维高度场的梯度高度场的梯度与过该点的等高线垂直；数值等于该点位移的最大变化率；指向地势升高的方向。下页上页返回例0.2.2

电位场的梯度图0.2.2电位场的梯度电位场的梯度与过该点的等位线垂直；数值等于该点的最大方向导数；指向电位增加的方向。下页上页返回0.3矢量场的通量与散度0.3.1通量(Flux)1.面元矢量一个曲面有两侧，对于非闭合曲面（开曲面），可以规定其中一侧为正侧；对于闭合曲面，则是规定其外侧为正侧。规定了正侧的曲面为有向曲面。称为面元矢量。FluxandDivergenceofVectorField下页上页返回2.通量

矢量E沿有向曲面S的面积分若S

为闭合曲面根据通量的大小判断闭合面中源的性质：

>0

(有正源)

=0(无源)图0.3.2矢量场通量的性质

下页上页返回图0.3.1矢量场的通量

称为穿过的通量

<0(有负源)0.3.2散度(Divergence)根据穿出闭合面的通量的正负，可判断出该曲面内有正源或负源，但源在S

内的分布情况和强弱却是通量无法说明的。为此，引入矢量场的散度。1.定义

如果包围点P的闭合面S

所围区域V

以任意方式缩小到点P时：下页上页返回

矢量场A的散度是一个标量函数，它表示在场中任一点处，通过包围该点的单位体积的表面的通量，故该散度可称为通量源密度，它是该点处的通量源强度的量度。散度的绝对值表示该点处源的体密度的大小，若divA>0,则该点有发出通量线的正源，若divA<0,则该点有发出通量线的负源，若divA=0,则该点无源。如下图所示。

下页上页返回

2.表达式

根据散度的定义，divA描述的是一点的值，与体积元V形状无关，在取零极限时，所有尺寸都趋于零，在推导散度的表达式时，采用直角坐标系，体积元取平行六面体元，可得：———散度(divergence)下页上页返回3.散度的意义在矢量场中，若•

A=0，称之为有源场，称为(通量)源密度；若矢量场中处处•A=0

，称之为无源场。矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数；散度代表矢量场的通量源的分布特性。

(无源）

(正源)

(负源)图0.3.3通量的物理意义

下页上页返回0.3.3散度定理(DivergenceTheorem)图0.3.4散度定理通量元密度——高斯公式矢量函数的面积分与体积分的相互转换。下页上页返回0.4

矢量场的环量与旋度0.4.1环量(Circulation)矢量A

沿空间有向闭合曲线L的线积分——环量环量的大小与闭合路径L及沿L的积分正方向（通常为逆时针）有关，它表示绕环线旋转趋势的大小。CirculationandRotationofVectorField下页上页返回图0.4.1环量的计算矢量场的环量与通量一样，是描述矢量场特性的重要积分量。我们已知，若矢量场通过闭合曲面的通量不为零，表示该闭合面内存在通量源。而如果矢量场沿某闭合曲线的环量不为零，则此矢量场中必有产生场的旋涡源。下页上页返回水流沿平行于水管轴线方向流动，=0，无涡旋运动。例：流速场图0.4.2

流速场流体做涡旋运动，0，有产生涡旋的源。下页上页返回0.4.2旋度(Rotation)1.环量密度过点P作一微小曲面S，它的边界曲线记为L，面的法线方向与曲线绕向符合右手定则。当S

点P

时，存在极限——环量密度环量密度是单位面积上的环量。下页上页返回矢量场的环量是一个积分量，它不能说明矢量场中的旋涡源在每点上的大小和方向。为此，我们先引入矢量场在任一点处的某方向上的环量面密度的概念，再讨论矢量场的旋度。2.旋度旋度是一个矢量，其大小等于环量密度的最大值；其方向为最大环量密度的方向——旋度(curl)－S

的法线方向它与环量密度的关系为在直角坐标下:下页上页返回3.旋度的物理意义矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。某点旋度的大小是该点环量密度的最大值，其方向是最大环量密度的方向。在矢量场中，若A=J0

称之为旋度场（或涡旋场），J

称为旋度源（或涡旋源）。若矢量场处处A=0，称之为无旋场。下页上页返回4.斯托克斯定理(Stockes’Theorem)矢量函数的线积分与面积分的相互转化。图0.4.3斯托克斯定理——斯托克斯定理下页上页在电磁场理论中，高斯定理和斯托克斯定理是两个非常重要的公式。返回

0.5

无散场与无旋场SolenoidalFieldandIrrotational(Conservative)Field下页上页返回

任何一个场必然有源来激发它，场和源是同时存在的。矢量场的散度对应着一种源，称为通量源；矢量场的旋度对应着另一种源，称为旋涡源。0.5.1无散场（必有旋）

设有矢量场A,如果在场域中每一点处恒有：，A称为无散场。无散场具有两个重要性质。性质1

下页上页返回性质2数学上有恒等式可令,称为的矢势。0.5.2无旋场（必有散）

设有矢量场A,如果在场域中每一点处恒有：

A称为无旋场。无旋场具有两个重要性质。性质1性质2数学上有恒等式可令,称为的标势。

下页上页返回0.5.3调和场

设有矢量场A,如果在场域中每一点处恒有：

A称为调和场。

0.6

亥姆霍兹定理0.6.1

亥姆霍兹定理内容在有限区域内，矢量场由它的散度、旋度及边界条件惟一地确定。已知：矢量A的通量源密度矢量A的旋度源密度场域边界条件（矢量A惟一地确定）电荷密度电流密度J场域边界条件在电磁场中HymherzeTheorem下页上页返回

0.6.2

场方程

矢量场A的场方程决定了场的性质，为：

亥姆霍兹定理是研究电磁场理论的一条主线。无论是静态场还是时变场，都是围绕着它们的旋度、散度和边界条件展开理论分析的。

下页上页返回例0.6.1

试判断下列各图中矢量场的性质。000000下页上页返回0.7

特殊形式的电磁场如果在经过某一轴线(设为z

轴）的一族平行平面上，场F

的分布都相同，即F=f（x,y），则称这个场为平行平面场。1.平行平面场SpecialFormsofElectromagneticField如无限长直导线产生的电场。下页上页返回0如果在经过某一轴线(设为z

轴)的一族子午面上，场F

的分布都相同，即F=f（r,），则称这个场为轴对称场。2.轴对称场如螺线管线圈产生的磁场；有限长直带电导线产生的电场。下页上页返回3.球面对称场如果在一族同心球面上（设球心在原点），场F

的分布都相同，即F=f（r），则称这个场为球面对称场。如点电荷产生的电场；带电球体产生的电场。上页0返回

0.8

微分算子及矢量运算DifferentialOperatorandVectorOperation

0.8.1

微分算子在直角坐标系中，哈密顿算子梯度散度下页上页返回

下页上页返回旋度拉普拉斯算子