河北中考与数学思想方法

河北中考与数学思想方法阜平县城南庄中学王成2009年3月14日阜平县教研室李秀峰

数学思想方法是一种重要的基础知识，是数学的灵魂。《数学课程标准》明确指出，要加强数学思想方法的教学。因此，中考也就特别关注数学思想方法的考查。

初中数学常见的数学思想方法数学思想：数形结合思想分类讨论思想方程思想函数思想整体思想转化思想类比思想统计思想数学方法：待定系数法配方法换元法消元降次法数形结合思想数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好。

华罗庚（1910—1985）数轴与直角坐标系的建立，为数与形的沟通提供了工具，使得抽象的数量关系有了形象直观的几何意义，而直观图形的性质也常可用数量关系加以精确的描述。数形结合的思想方法能扬数之长、取形之优，使得“数量关系”与“空间形式”珠联壁合，相映生辉．

例1、（河北07年第9题）

甲、乙二人沿相同的路线由A到B匀速行进，A，B两地间的路程为20km．他们行进的路程s（km）与甲出发后的时间t（h）之间的函数图像如图5所示．根据图像信息，下列说法正确的是（）A．甲的速度是4

km/h B．乙的速度是10km/hC．乙比甲晚出发1h D．甲比乙晚到B地3h

本题通过具体问题情境，既考数学的应用，又考应用的数学．解答这类问题要善于从图象中准确提取有效信息．

数形结合

例2、（河北08年第3题）

把某不等式组中两个不等式的解集表示在数轴上，如图1所示，则这个不等式组可能是（

）40

-1图1ACDB

分析:本题借助数轴直观的给出不等式组的解集。需要注意的是数轴上实心点和空心点的区别。数形结合例3、（河北06年第10题）图6－2图6－1

《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作．在它的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的．《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图6－1、图6－2．图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项．把图6－1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是

类似地，图6－2所示的算筹图我们可以表述为（）ADCB

本题通过算筹形象直观的建立起图形与方程组的对应关系，通过图6-1以及与之对应的方程组，可类比归纳出：一个竖着的算筹表示1，一个横着的算筹表示10，而一个在竖立算筹顶部的横的算筹表示5.数形结合例4、（河北06年第18题）……①②③⑤④4×0＋1＝4×1－3；

4×1＋1＝4×2－3；4×2＋1＝4×3－3；___________________；___________________；……观察下面的点阵图形和与之相对应的等式，探究其中的规律：（1）请你在④和⑤后面的横线上分别写出相对应的等式：

（2）通过猜想，写出与第n个图形相对应的等式．4×3+1=4×4-34×4+1=4×5-34×（n-1)+1=4×n-3数形结合如图,观察n=1,n=2,n=3,n=4，n=5时点阵中点的个数,按此规律,第n个点阵中应有点____个。

……方法一：列表法点阵序号12345…n点的个数1591317…方法二：数形结合法方法三：函数法设图形的序号为n，图形中点的个数为y，则y=kn+b。然后用待定系数法求解。数形结合4×（n-1)+14×n-3分类讨论的思想

在研究对象不宜用同一种方法处理或不能用同一种形式叙述时，常要按一定的标准把研究对象化分为若干不同的类别，再对每种类别逐一求解，从而最终解决整个问题，这种方法就是分类讨论的思想。其实质是化整为零，各个击破的转化策略．

分类时要注意：（1）弄清题意，确定是否需要分类；（2）分类要有明确的标准，每一次分类只能按同一个标准划分；（3）分类后，各类之间要既不重复、也无遗漏；逐类讨论后，要归纳总结，得出整个题目的结论.

例5、（河北07年第16题）

如图9，在10×6的网格图中（每个小正方形的边长均为1个单位长），⊙A的半径为1，⊙B的半径为2，要使⊙A与静止的⊙B内切，那么⊙A由图示位置需向右平移

个单位长．图9BA

观察图形可知，当⊙A向静止的⊙B移动时，可有两种情形：一种是和⊙B的左侧内切，一种是和⊙B的右侧内切，所以本题有两解。若本题改为：“使⊙A与静止的⊙B相切”，那么可分为两大类，外切和内切，而每一类又有两种情况，共有四种情况，题目就会有四个解。分类讨论例6、（河北08年第26题）分类讨论方程思想

方程思想就是从分析问题的数量关系入手，通过设未知数，把问题中的已知量与未知量的数量关系转化为方程或方程组模型，然后通过解方程，使问题得到解决．运用方程思想解题的关键是找到题目中隐含的等量关系．例7、（河北06年第5题）

某城市2003年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到2005年底增加到363公顷．设绿化面积平均每年的增长率为x，由题意，所列方程正确的是()A．300(1＋x)=363 B．300(1＋x)2=363C．300(1＋2x)=363 D．363(1－x)2=300方程思想例8、（河北07年第7题）炎炎夏日，甲安装队为A小区安装66台空调，乙安装队为B小区安装60台空调，两队同时开工且恰好同时完工，甲队比乙队每天多安装2台．设乙队每天安装x台，根据题意，下面所列方程中正确的是（）A．

B．

C．

D．方程思想例9、（河北08年第6题）

某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2007年投入3000万元，预计2009年投入5000万元．设教育经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（）A、B、C、D、方程思想例10、（河北08年第16题）

图8所示的两架天平保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则一块巧克力的质量是

g巧克力果冻50g砝码图8

本题的等量关系隐藏在图形中，通过图形中的天平平衡，形象直观的给出：三块巧克力的质量等于两个果冻的质量；一块巧克力和一个果冻的质量和是50克砝码的质量。若设一块巧克力的质量为xg，一个果冻的质量为yg，则可列出方程组得解。方程思想例11、（河北07年第8题）

我国古代的“河图”是由3×3的方格构成，每个方格内均有数目不同的点图，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个点图的点数之和均相等．图4给出了“河图”的部分点图，请你推算出P处所对应的点图是（）A

分析：此题以我国古代的“河图”（三阶幻方）为背景，具有趣味性和挑战性，解决此题学生需仔细观察，合理引进未知数，寻求相等数量，建立方程5+2=1+x（设P处的点图的点数是x）。本题“每一行、每一列以及每一条对角线上的三个点图的点数之和均相等”这句话就是隐藏在题目中的等量关系。A．B．D．C．方程思想例12、（河北06年第14题）如图8，PA是⊙O的切线，切点为A，∠APO=30°,则⊙O的半径长为_______．

APO图8设半径OA的长为X，则PO为2X，由勾股定理可得，所以列出方程30°几何计算题，有两个依据：一是解直角三角形，二是相似三角形；

步骤是：一是图上操作，二是几何表示，三是代数表示。

求值题，方程是首选。方程思想函数思想

函数是中学数学的重要内容，函数思想又渗透到数学的各个领域．用函数思想解题，就是根据问题中的内在联系，或数式的结构特征，运用运动变化的观点来研究实际问题中两个变量之间的关系，并通过建立函数模型，通过函数的性质、图像等知识使问题获得解决.例13、（河北08年第9题）

如图4，正方形ABCD的边长为10，四个全等的小正方形的对称中心分别在正方形ABCD的顶点上，且它们的各边与正方形ABCD各边平行或垂直．若小正方形的边长为x，且0＜x≤10，阴影部分的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的大致图象是（）xADCB图4yx10O100A．yx10O100B．yx10O100C．5yx10O100D．函数思想例14、（河北07年25题）

一手机经销商计划购进某品牌的A型、B型、C型三款手机共60部，每款手机至少要购进8部，且恰好用完购机款61000元．设购进A型手机x部，B型手机y部．三款手机的进价和预售价如下表：手机型号A型B型C型进价（单位：元/部）90012001100预售价（单位：元/部）

120016001300（1）用含x，y的式子表示购进C型手机的部数；（2）求出y与x之间的函数关系式；（3）假设所购进手机全部售出，综合考虑各种因素，该手机经销商在购销这批手机过程中需另外支出各种费用共1500元．①求出预估利润P（元）与x（部）的函数关系式；（注：预估利润P＝预售总额-购机款-各种费用）②求出预估利润的最大值，并写出此时购进三款手机各多少部．函数思想

分析：本题最后一个问题“求出预估利润的最大值，并写出此时购进三款手机各多少部”，预估利润的大小是随着购进三款手机的数量的变化而变化的。这个问题中涉及到两个变量，一个变量是某款手机的数量，另一个变量是预估利润，这就是一个函数问题，可建立函数模型，结合函数的性质最终求解。

这就是典型的问题“当某某为何值时，某某最大（或最小）？”解决的方法步骤为：

1.设前一个某某为x，后一个某某为y；

2.根据题意建立y与x的函数关系式；

3.求出自变量的x的取值范围；

4.利用函数的增减性，求出数学问题的解（最值）；

5.检验解的合理性，得到实际问题的解（最值）。整体思想

所谓整体思想，是在解数学题时，从大处着眼，由整体入手，把一些貌似独立，实质上紧密联系的量作为整体来考虑。这种思想方法在解决问题有着十分重要的作用，常可以使许多按常规方法解不出或比较麻烦的问题得到了简捷的解答。

分析：在进行条件求值时，我们可以在所求代数式中通过一些代数变形，构造出条件中含有的模型，整体代入，可以简化运算过程．另外，本题还可以用常规的解法，解方程，求出a的值（a=0或a=-1），然后再分别带入代数式，也能得到问题的答案，但显然不是命题者的本意，也不是最佳解法。例15、（河北07年14题）若，则的值为

．例16、（河北08年13题）若m、n互为相反数，则5m+5n-5=

．

分析：本题把条件和所求代数式都适当变形，就可以用整体的思想来解答了。m、n互为相反数，则m+n=0；代数式5m+5n-5=5(m+n)-5=5×0-5=-5.当然本题还可以利用从特殊到一般的转化思想来解决，不妨设m=1,n=-1,代入代数式5m+5n-5得解。整体思想转化思想

转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想，在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题，我们也常常在不同的数学问题之间互相转化，可以说在解决数学问题时转化思想几乎是无处不在的。

1、代数与几何相互转化

2、数学问题与实际问题相互转化

3、抽象向具体转化

4、陌生向熟悉转化

5、复杂问题向简单问题转化

6、局部向整体转化例17、（河北07年第20题）

某段笔直的限速公路上，规定汽车的最高行驶速度不能超过60

km/h（即m/s）．交通管理部门在离该公路100

m处设置了一速度监测点A，在如图11所示的坐标系中，点A位于y轴上，测速路段BC在x轴上，点B在点A的北偏西60°方向上，点C在点A的北偏东45°方向上．（1）请在图11中画出表示北偏东45°方向的射线AC，并标出点C的位置；（2）点B坐标为

，点C坐标为

；（3）一辆汽车从点B行驶到点C所用的时间为15

s，请通过计算，判断该汽车在限速公路上是否超速行驶？（本小问中）图11y/mx/mA（0,-100）BO60°东北C

评析：第（3）小题，“汽车从点B行驶到点C，判断汽车在限速公路上是否超速行驶”，这一实际问题可转化为比较汽车从点B行驶到点C的速度与最高行驶速度60

km/h的大小的数学问题，数学化，把实际问题转化为数学问题。转化思想例18、（河北07年第18题）图10-1是三个直立于水平面上的形状完全相同的几何体（下底面为圆面，单位：cm）．将它们拼成如图10-2的新几何体，则该新几何体的体积为

cm3．（计算结果保留）图10-2图10-1644644644

分析：图1中一个这样的几何体是不规则图形，要求体积的新几何体是3个组合在一起也是个不规则的几何体。如果我们有转化的的意识，我们可以化不规则为规则，化未知为已知，可先求出两个或6个组合在一起几何体的体积，就使问题迎刃而解了。本题考查的是学生思辨与智巧，考查的是学生的智慧变通的能力。

转化思想在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G．一等腰直角三角尺按如图15-1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B．（1）在图15-1中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想；（2）当三角尺沿AC方向平移到图15-2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于点E．此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE＋DF与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；（3）当三角尺在（2）的基础上沿AC方向继续平移到图15-3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，（2）中的猜想是否仍然成立？（不用说明理由）例19、（河北07年第18题）

通过观察、测量DE、DF与CG的长度，可得出猜想DE＋DF=CG。但证明两条线段的和等于第三条线段的长是个陌生的问题，我们可以通过添加辅助线过D点作DH⊥CG,垂足为H，截长法，把证明DE＋DF=CG转化为我们熟悉的证明两条线段CH、DF相等的问题来解决。ABCEFG图15-2DABCDEFG图15-3ABCFG图15-1H转化思想归纳、类比的思想

数学解题与数学发现一样，通常都是在通过类比、归纳等探测性方法进行探测的基础上，获得对有关问题的结论或解决方法的猜想，然后再设法证明或否定猜想，进而达到解决问题的目的．类比、归纳是获得猜想的两个重要的方法．所谓类比，就是由两个对象的某些相同或相似的性质，推断它们在其他性质上也有可能相同或相似的一种推理形式。类比是一种主观的不充分的似真推理，因此，要确认其猜想的正确性，还须经过严格的逻辑论证．例20、（河北07年第17题）

用M，N，P，Q各代表四种简单几何图形（线段、正三角形、正方形、圆）中的一种．图6-1—图6-4是由M，N，P，Q中的两种图形组合而成的（组合用“&”表示）．M&PN&PN&Q

M&Q

图6-1

图6-2

图6-3

图6-4那么，下列组合图形中，表示P&Q的是（）A．B．C．D．

分析：本题关键是通过观察所给的四个图形，类比归纳出M，N，P，Q分别代表线段、正三角形、正方形、圆四种几何图形的哪一种。不能孤立的去看其中一种图形，

图6-1与

图6-2结合，可知P代表圆；图6-1与图6-4结合，可知道M代表正方形；图6-2与图6-3结合，可知道N代表三角形；图6-3与图6-4结合，可知道Q代表线段

。所以P&Q应该是圆和线段的组合，答案为B。类比思想

分析：通过n取几个具体数值，我们类比得到一般的规律：当n为奇数时，的值为0；当n为偶数时的值为2；所以很快就求的

=3×2=6.例21、（河北07年第17题）已知，，当n=1时，；当n=2时，；当n=3时，；…则的值为

．类比思想例22、（河北08年第24题）

如图14-1，的BC边在直线l上，，且AB=AC；的边FP也在直线l上，EF边与AC边重合，且EF=FP．（1）在图14-1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；（2）将沿直线l向左平移到图14-2的位置时，EP交AC于点Q，连结AP，BQ．猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；（3）将沿直线l向左平移到图14-3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连结AP，BQ．你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．A（E）BC（F）PlllAABBQPEFFCQ图14-1图14-2图14-3EPC类比思想

分析：在（2）中，学生容易发现通过证明△BCQ和△ACP全等，从而得出BQ=AP。然后延长BQ交AP于M点，通过证明∠QMA=900,得出BQ⊥AP。但在（3）中，△EFP进一步平移后，图形发生了很大变化，（2）中的结论还成立吗？学生通过观察或测量BQ和AP的长度，也不难得出猜想BQ=AP。但如何证明呢，学生一时难以找到全等的三角形，甚至陷入证明△APB和△QBP全等的误区。如果想到既然原结论仍然成立，那么类比（2）中解决问题的方法是否也适用呢，于是同样可以以证明△BCQ和△ACP全等，得出BQ=AP。同样BQ⊥AP可以仿照（2）中证明BQ与AP垂直的思路完成。结论的不变性，证明方法的一致性。统计思想

纵观近几年中考试卷中的统计初步题,“提供新材料,创设新情景,提出新问题”已成为趋势.在千变万化的题海中,怎样探索出规律性的问题,需要对统计初步中的数学思想做出归纳.

统计的思想主要是根据部分估计整体的思想。统计的基本思想是研究如何从样本的统计性质去推测相应总体的统计性质,即如何根据样本去探求有关总体的规律性。例23、（河北07年第21题）统计思想待定系数法

待定系数法是求函数解析式常用的方法．解题思路是：由题意设出函数的解析式，再根据已知条件列出关于待定系数的方程或方程组，然后求出待定系数，从而确定解析式．例24、（河北07年第4题）如图2，某反比例函数的图像过点M（-2，1），则此反比例函数表达式为（）A． B．C． D．x-2M1yO

图2待定系数法例25、（河北07年第22题）如图13，已知二次函数的图像经过点A和点B．（1）求该二次函数的表达式；（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；（3）点P（m，m）与点Q均在该函数图像上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q到x轴的距离．xyO3

－9－1－1AB图13待定系数法例26、（河北06年第21题）甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度y（m）与挖掘时间x（h）之间的关系如图11所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）乙队开挖到30m时，用了_____h．开挖6h时甲队比乙队多挖了_____m；（2）请你求出：

①甲队在0≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式；②乙队在2≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式；（3）当x为何值时，甲、乙两队在施工过程中所挖河渠的长度相等？62Ox(h)y(m)3060乙甲50图象与信息图11待定系数法

要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。例如上面前两例都明确指出函数的类型，而第三例虽然没有明确函数类型，但给出函数的图像，我们通过观察函数图像的形状就可以确定是什么函数，因此可以用待定系数法求解。配方法、换元法

配方法与换元法是初中数学中的重要方法。河北省近几年的中考题中常常在求二次函数的顶点坐标和实际问题中求最值时运用配方法。对于任何一个二次函数都可以通过配方法把原来的二次函数配方成的形式，则得到顶点坐标（h，k）；若a>0，函数值y有最小值k；若a<0时，函数值y有最大值为k。例27、（河北06年24题）配方法利达经销店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．当每吨售价为260元时，月销售量为45吨．该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.

5吨．综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元．设每吨材料售价为x（元），该经销店的月利润为y（元）．（1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；（2）求出y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；（3）该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？（4）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大．”你认为对吗？请说明理由．例28、（河北07年第22题）如图13，已知二次函数的图像经过点A和点B．（1）求该二次函数的表达式；（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；（3）点P（m，m）与点Q均在该函数图