江苏省张家港市常青藤实验中学2017高中数学研讨会：数学哲学 (共50张PPT)

数学哲学

PilosophyofMathematics江苏省张家港市常青藤实验中学什么是数学哲学？

数学哲学的历史发展概况本门课程的主要内容主要内容什么是数学哲学？

数学哲学，就其最为直接的意义而言，即是关于数学的哲学分析，也即是以数学作为直接研究对象的哲学理论。从更为深入的层次看，我们应特别强调这样一点：数学哲学有一个逐步成长、发展和演变的过程。特别是，数学哲学曾在很长时间内完全属于一般哲学，而只是在19世纪后期才逐步获得了相对的独立性，从而形成一门相对独立的哲学分支，而所说的独立性的标志在于，这时的数学哲学已有了自己研究的特殊问题，而不再局限于一般哲学的研究问题。数学哲学的历史发展概况数学哲学的发展在不同时期有不同的重点，呈现出阶段性。数学哲学的早期发展（1890年以前）数学基础研究（1890-1940年）数学哲学的现代发展（1940年以后）一、数学哲学的早期发展（1890年以前）一、数学哲学的早期发展（1890年以前）一、数学哲学的早期发展（1890年以前）一、数学哲学的早期发展（1890年以前）一、数学哲学的早期发展（1890年以前）一、数学哲学的早期发展（1890年以前）一、数学哲学的早期发展（1890年以前）一、数学哲学的早期发展（1890年以前）一、数学哲学的早期发展（1890年以前）二、数学哲学的形成时期（1890年-1960年）二、数学哲学的形成时期（1890年-1960年）三、数学哲学的现代发展（1960年-至今）为什么要学习数学哲学？为什么要学习数学哲学？什么是数学：本体论和认识论相关问题探讨数学解题：一种哲学观点哲学分析方法的应用：案例研究本学期内容安排（三课时）

第一讲：数学是什么？互动研讨1：你认为符号“1”是真实存在的吗？——柏拉图VS亚里士多德

——实在论VS反实在论对数学本体论认识的争论，并未停止。不同的数学家从不同的角度阐述了自己的各种观点。思考下列数学家所持的是实在论还是反实在论？

第一讲：数学是什么？

我认为，数学的实在存在于我们之外。我们的职责是发现它或是遵循它，那些被我们所证明并被我们夸大为是我们“发明”的定理，其实仅仅是我们观察的记录而已。(G.Hardy)我们凝神沉思纯数学内的绝对真理，这些绝对真理在晨星们齐声欢唱之前已存在于神的头脑之中，当最后一颗晨星的耀眼光辉从天幕中消失的时候，它们继续存在于神的头脑之中。(E.Everett)数学是人类的发明，这一点是最纯粹的自明之理，是稍微观察一下就能发现的事实。(P.Bridgman)数学是所有人类活动中最完全自主的。它是最纯的艺术。(J.Sullivan)弗雷格：“如果我们相信数学的客观性，那就没有任何理由反对我们借助于数学对象来进行思维，也没有任何理由反对关于数学对象的这样一幅图景：它们是早已存在着的，并等待着人们去发现。”

第一讲：数学是什么？互动研讨2：你认为是什么推动了数学的发展？（你认为数学发展的动力是什么？）•

古希腊的三大几何作图难题推动了古希腊几何学的发展；希尔伯特的23个问题（1900，世界数学家大会）推动了现当代数学学科的发展；•

危机也能推动数学的发展。

第一讲：数学是什么？案例1：哥尼斯堡七桥问题

第一讲：数学是什么？案例2：数学史上的三次数学危机简介

•

第一次数学危机（无理数的产生）；•

第二次数学危机（无穷小量）；•

第三次数学危机（罗素悖论）。

第一讲：数学是什么？互动研讨3：既然说是问题推动了数学的发展，那么你认为问题从何而来？•

生产、生活实践中产生的问题（应用数学）；•

其他学科的发展需要利用数学工具；•

数学内部产生的问题（纯粹数学）。

案例3：数系的扩充

自然数——整数——有理数——实数——复数——四元数（哈密顿数）——？

第一讲：数学是什么？互动研讨4：你认为数学具有哪些特征？•严谨性•抽象性•应用广泛性

第一讲：数学是什么？•严谨性案例6：证明：锐角三角形的内角和为180°.

证明：29是质数.类似的案例还有很多：初中几何全等、相似的证明；高中必修1中函数单调性、函数奇偶性的证明等等。

第一讲：数学是什么？•抽象性案例1：哥尼斯堡七桥问题——图论学科的发展

第一讲：数学是什么？•抽象性案例7：“三角形的内角和为180°”这个命题不好。

你如何认识这个观点？互动研讨5：数学的抽象方式有哪些？（1）源自现实原型（平行线）；（2）源自逻辑建构（质数）。

第一讲：数学是什么？•应用的广泛性案例9：公司经理准备招聘一名秘书，n个人报名应聘。经理将一个个进行单独面试。应聘者要求经理当场表态是否录用，以便到另一岗位应聘。经理应该采取什么策略，才能从n个人中挑选到最好的或者较好的人选。

第一讲：数学是什么？•应用的广泛性

案例9类似的问题：一个男子的一生会遇到很多个女子，那么，他应该选择哪一位女子作为自己的人生伴侣呢？

第一讲：数学是什么？

第一讲：数学是什么？

第一讲：数学是什么？

第一讲：数学是什么？

第一讲：数学是什么？

第一讲：数学是什么？

第一讲：数学是什么？

第一讲：数学是什么？互动研讨6：你们认为数学是相对真理还是绝对真理？案例11：函数概念的发展；（何睦，2013）

第一讲：数学是什么？每个数学概念和公式的背后都有着它的故事：或许源于一个灵感；或许是几代人甚至是几个世纪人的共同努力使之完善的过程；更或许是中外数学家的一些共同思考。应该指出的是，数学概念发展的整个历史进程中，经历了无数数学家“一次次的提出概念、一次次的推翻概念”的探究过程，不断的引发更多的数学家关于数学概念和数学本质问题上进行更深层次的思考.这是必然现象，因为人类在探索自然规律的过程中必然有各种假设，虽然后来发现某些假设是错误的，但正是前人的失败才使后人的思考走上了正确的道路。（何睦，2014）第一讲：数学是什么？案例12：欧氏几何与非欧几何。

欧几里得几何把一切科学公有的真理叫公理为某一门科学所接受的第一性原理称作公设公理1：等于同量的量彼此相等公理2：等量加等量，和相等公理3：等量减等量差相等公理4：彼此重合的图形是全等的公理5：整体大于部分第一讲：数学是什么？

欧氏几何公设1：通过两点只能作一条直线；公设2：一条直线可不断延长；公设3：以任意中心和直径可以画圆；公设4：凡直角都彼此相等；公设5：通过一给定点只能引一条直线与已知直线平行（欧几里得公设）。第一讲：数学是什么？

对第五公设的质疑长期以来，人们也希望能从其他公理出发推出公设5，因为它的陈述和内容不象其他公设那样简洁明了，人们不能凭经验而一目了然，因此人们怀疑它不像一个公设而更像是一个定理。两千多年来无数数学家试图证明第五公设的努力都失败了。第一讲：数学是什么？第一个系统地阐明了非欧几何理论，并且始终坚定地捍卫自己新思想的，是被誉为“几何学上的哥白尼”的俄国青年数学家罗巴契夫斯基。他在保留了前4个公设的前题下，引进一个与第5公设相悖的假设：“通过一给定点能引两条直线与已知直线平行。”由此推出许多新命题定理，例如：三角形内角之和小于两直角的和；如果两个三角形的三个内角相等，它们就全等.

（罗巴契夫斯基几何（罗氏几何））

——直白的说，凹面三角形（双曲线型面）的内角和小于180。第一讲：数学是什么？罗巴契夫斯基几何的一系列命题同人们传统概念和朴素直觉是不相容的，新几何的诞生遭到了许多人的群起而攻之。最先理解非欧几何全部意义的是黎曼，他发展论了罗巴契夫斯基等人的思想，建立了另外一个非欧几何--黎曼几何。黎曼在承认前4个公设的前提下，把第5个公设修改为：“通过直线外一定点不能作任何直线与已知直线平行。”（即通过直线外一定点只能作零条直线与已知直线平行。）由此出发，黎曼也推出了一套新的几何学命题。例如：三角形内角之和大于两个直角之和。(黎曼几何也就是球面几何）第一讲：数学是什么？黎曼几何的创立，不仅是对已经出现的罗巴契夫斯基几何的承认，而且显示了创造其他非欧几何的可能性。两点启示：罗巴契夫斯基为什么能毫不动摇的捍卫自己的不合常理的数学结果-----罗氏几何，他