混凝土徐变力学10

变温粘弹性的一般理论前言

研究对象

主要研究对象主要内容

:

1.变温松弛曲线的概念(relaxationcurveundernon-constanttemperaturestate)2.确定沿任一变温历史的变温松弛曲线的方法

3.终态温度等效松弛曲线的概念(equivalentrelaxationcurveattheterminaltemperature)

4.采用上述曲线建立三维变温粘弹性本构关系(thegeneralconstitutiveequationsofvisco-elasticmaterialsundernon-constanttemperaturestates)5.证明热流变简单材料理论是本文理论的一个特例,由此说明本文理论是实用的!二.变温松弛曲线

意义:

正如恒温粘弹性理论基于材料在恒温下的松弛曲线,变温粘弹性理论则应基于材料在变温下的松弛曲线.

特点:

恒温下,应力沿时间轴松弛变温下,应力沿变温历史曲线T=T(t)松弛

图1中的曲线C是变温历史T=T(t)曲线,σ0是初始温度T0时的初始应力;曲线S则是沿变温历史T=T(t)的变温松弛曲线,它是T-t-σ坐标内的空间曲线.

图二为一族变温松弛曲线,始发温度不同,但后继温度历史相似.

初始温度:Ti=T(ti)

温度历史:T=T(ti+t)

曲线族Si

i=0,1,2,…,k,…n

结论反映了在温度历史T=T(t)(0<t<tn)中的不同时刻施加单位应变所对应的不同的松弛规律.

温度历史虽然都是由同一函数T=T(t)给出,但是具体温度历史不同,因而彼此松弛曲线不同.

思考如何得到变温松弛曲线?

实验?

对设备要求较高,且温度历史数不胜数,不可穷尽!

由此,我们想:

既然恒温松弛曲线容易得到,能否由一组恒温松弛曲线确定出沿任一变温历史的变温松弛曲线?三.如何确定变温松弛曲线方法:

由一组恒温松弛曲线确定材料沿任一温度历史的变温松弛曲线考虑两种情况:

一温度突变时松弛应力按某一规律突变;

二温度突变时,松弛曲线有一过渡段

步骤如图3,用阶梯折线来近似温度历史曲线T=T(t).

当ΔTk=tk+1-tk→0时,阶梯折线逼近曲线T=T(t).

由此,沿阶梯折线水平段的松弛是在一系列不同温度下的恒温松弛;阶梯竖段突变值随ΔTk→0而逐渐减少.2.记Tk=T(tk),k=0,1,2,….,材料在T0,T1,….下的一组恒温松弛曲线见图4,其对应的松弛函数分别记为

HT0(t),HT1(t),……

如图,用阶梯折线来近似某一变温松弛过程:

初始应力HT0(0)→HT1(t1),温度发生突变T0→T1,则如何确定HT1(t1),即图中C点的松弛应力?松弛应力的计算1.Maxwell模型,见Figure.5

突变前温度为T0,有:

突变后为T1,有:

温度突变时,粘壶不能产生瞬时应变,有:

故有:

得

把Maxwell模型的参数改写成图4中恒温松弛曲线的值,得

(4)

标准线性固化模型突变前温度为T0,突变后温度为T1,

温度突变时Voigt模型不能产生瞬时应变,

故有

得

即有

(5)一般的松弛模型

“任意粘弹性模型”是指弹簧和粘壶的任意组合.

温度突变时,凡与粘弹性并联的部分都不会产生瞬时应变,仍由弹簧部分决定温度突变后的松弛剩余应力,仍有(5)式结果.在式子中,

因为

所以必有故在松弛曲线上一定存在一个与等值的点,记做C,见图4,其值为由于粘性元件需要响应时间，所以在瞬时没有应变！接着应力从C点沿松弛(t2-t1)长时间,到达D点,温度再次发生突变,到达E点.E点是变温松弛曲线S(T,t)上的又一个点S(T2,t2),其值为如此继续下去,便可得到变温松弛曲线S(T,t)上的一系列近似点A、C、E、G、…..、P。可以证明,当Δtk→0时,点A、C、E、G、…..、P

作为变温松弛曲线上的一系列近似点误差→0

结论

目前,恒温松弛曲线的实验已成熟,利用一组材料的恒温松弛曲线,按以上算法,编写小程序,对任一温度历史,计算机可迅速确定出A、C、E、G、…..、P各点,由此可拟合出一条过这些点的近似变温松弛曲线.考虑温度的过度过程四终态温度等效松弛曲线

问题的提出非恒定非均匀温度场物体上的一个质点X,它从0时刻起至tn时刻,经历叻温度历史T(t)和应变历史ε(t)(0<t<tn),现在求该质点在终了时刻tn、终态温度Tn=T(tn)时的松弛剩余应力.解决思路如图:为一族变温松弛曲线,在区间[0,tn]内的某一时刻tk(温度为Tk)施加应变增量Δε(tk),其应力将沿Sk曲线松弛.到了终了时刻tn,它松弛了tn-tk

长时间,松弛剩余应力为:

由线性叠加原理,从0时刻到tn期间所施加的应变,在tn时刻的松弛剩余应力为:(7)

式中的是一族变温松弛函数Sk(t)在终态温度Tn的函数值.

定义一个函数G(t),令

则G(t)是终态温度平面T=Tn内的一条平面曲线,见上图..采用函数G(t),上式可以写成:(9)

上式表明,沿温度历史T=T(t),在应变历史ε(t)的作用下,沿一族变温松弛曲线Si(i=0,1,2,….)松弛到tn时刻,等价于在应变历史ε(t)的作用下,沿恒温Tn下的一条曲线G(t)松弛到tn时刻.由此,我们称G(t)是沿温度历史T=T(t)在终态温度为Tn时的等效松弛曲线.五三维变温粘弹性本构方程

采用终态温度等效松弛曲线G(t),对于三维情况,上式成为:(10)(11)设在时刻,温度为T()时,线膨胀系数为,在微小时间间隔内,温度改变为,引起的线应变为:(12)

由线性叠加原理,从0时刻到tn时刻,经历了温度历史T(t),应变历史ε(t)及线膨胀,在tn时刻的松弛剩余应力为:

对各项同性材料,类似恒温粘弹性力学的推导,用t代替tn表示终态时刻,得其中,六热流变简单材料理论的推导

热简单材料的概念:

是指这样一种材料,它们在温度T时的恒温松弛函数HT(t)和某一基温T0下的恒温松弛函数g(t)=HT0(t)有以下关系:

其中称为移位函数,且由以上定义,对任意温度T有即热简单材料弹性模量不随温度变化,在任意温度下其恒温松弛曲线的初始应力都相同.变温松弛曲线的确定划分时间为n段由于温度突变时热简单材料的松弛剩余应力不变,故图11中,B与C.D与E.F与G各点的应力值相等.

故有:从A点经B.C.D…P点相当于沿g(ξ)从g(0)连续松弛了:

长时间.

当时,

由此便得:

变温松弛函数S(T,t)在t时的精确解:

就是沿温度历史的变温松弛曲线:物理意义终态温度等效松弛曲线的确定由终态温度等效松弛曲线的定义可