椭圆的简单几何性质(3课时)教学用

椭圆的简单几何性质1椭圆的定义图形标准方程焦点坐标a,b,c的关系焦点位置的判断F1(-c,0)，F2(c,0)F1(0,-c)，F2(0,c)

椭圆分母看大小焦点随着大的跑12yoFFMx1oFyx2FMcabM椭圆简单的几何性质范围：-a≤x≤a,-b≤y≤b

椭圆落在x=±a,y=±b组成的矩形中（如图）oyB2B1A1A2F1F2cab1.观察：x,y的范围？2.思考：如何用代数方法解释x,y的范围？

-a≤x≤a,-b≤y≤b

一.范围二、椭圆的顶点令x=0，得y=？，说明椭圆与y轴的交点（），令y=0，得x=？,说明椭圆与x轴的交点（）。*顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。oxyB1(0,b)B2(0,-b)A1A2(a,0)0,±b±a,0*长轴、短轴：线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴。a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。焦点总在长轴上!三.椭圆的对称性YXOP1（-x，y）P2（-x，-y）P3（-x，-y）P（x，y）

把(X)换成(-X),方程不变,说明椭圆关于()轴对称；把(Y)换成(-Y),方程不变,说明椭圆关于()轴对称；把(X)换成(-X),(Y)换成(-Y),方程还是不变,说明椭圆关于(

)对称；YX原点

所以，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。123-1-2-3-44y123-1-2-3-44y12345-1-5-2-3-4x12345-1-5-2-3-4x练习：根据前面所学有关知识画出下列图形（1）（2）A1

B1

A2

B2

B2

A2

B1

A1

四、椭圆的离心率离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：叫做椭圆的离心率。[1]离心率的取值范围：1）e越接近1，c就越接近a，从而b就越小，椭圆就越扁因为a>c>0，所以0<e<1[2]离心率对椭圆形状的影响：2）e越接近0，c就越接近0，从而b就越大，椭圆就越圆3）特例：e=0，则a=b，则c=0，两个焦点重合，椭圆方程变为（？）yOx标准方程范围对称性顶点坐标焦点坐标半轴长离心率a、b、c的关系-a≤x≤a,-b≤y≤b关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)(c,0)、(-c,0)长半轴长为a,短半轴长为b.(a>b)知识归纳a2=b2+c2标准方程范围对称性顶点坐标焦点坐标半轴长离心率a、b、c的关系关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)(c,0)、(-c,0)长半轴长为a,短半轴长为b.(a>b)(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a)(0,c)、(0,-c)关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称长半轴长为a,短半轴长为b.(a>b)-a≤x≤a,-b≤y≤b-a≤y≤a,-b≤x≤ba2=b2+c2a2=b2+c2例题1:

求椭圆9x2+4y2=36的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点坐标。椭圆的长轴长是:离心率:焦点坐标是:四个顶点坐标是:椭圆的短轴长是:2a=62b=4解题步骤：1、将椭圆方程转化为标准方程求a、b：2、确定焦点的位置和长轴的位置.解：把已知方程化成标准方程四、例题讲解：练习:求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点坐标。解：把已知方程化成标准方程椭圆的长轴长是:离心率:焦点坐标是:四个顶点坐标是:椭圆的短轴长是:2a=102b=8例2:

求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）经过点Ｐ（-3，0）、Ｑ（0，-2）；解：⑴方法一：设椭圆方程为mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0，m≠n），将点的坐标代入方程，求出m＝1/9,n＝1/4。所以椭圆的标准方程为方法二：利用椭圆的几何性质，以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，于是焦点在x轴上，且点P、Q分别是椭圆长轴与短轴的一个端点，故a＝3，b＝2，所以椭圆的标准方程为

（2）离心率为，经过点（2,0）练习：椭圆的一个顶点为,其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置椭圆的标准方程为：；椭圆的标准方程为：；解：（1）当为长轴端点时，，，（2）当为短轴端点时，,，综上所述，椭圆的标准方程是或椭圆的简单几何性质2标准方程范围对称性顶点坐标焦点坐标半轴长离心率a、b、c的关系关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)(c,0)、(-c,0)长半轴长为a,短半轴长为b.(a>b)(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a)(0,c)、(0,-c)关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称长半轴长为a,短半轴长为b.(a>b)-a≤x≤a,-b≤y≤b-a≤y≤a,-b≤x≤ba2=b2+c2a2=b2+c2例1例2[分析]

关键是找到a，c所满足的方程，根据点M在椭圆上解决．1.椭圆以坐标轴为对称轴，离心率，长轴长为6，则椭圆的方程为（）(A)(B)(C)(D)或或C2.若某个椭圆的长轴、短轴、焦距依次成等差数列，则其离心率e=__________3.已知椭圆的焦距是长轴长与短轴长的等比中项，则其离心率e=__________已知椭圆的离心率，求的值由，得：解：当椭圆的焦点在轴上时，，，得．

当椭圆的焦点在轴上时，，，得．由，得，即．∴满足条件的或．练习4：已知椭圆的离心率，求的值5、设椭圆的焦点分别F1，F2，过F2作垂直于椭圆长轴的垂线交椭圆于P，

△F1

PF2是等腰三角形，则椭圆的离心率是________1.基本量:a、b、c、e、几何意义：a-长半轴、b-短半轴、c-半焦距，e-离心率；

相互关系：椭圆中的基本元素2.基本点：顶点、焦点、中心3.基本线:对称轴（共两条线），准线焦点总在长轴上!课堂小结-—准线椭圆的简单几何性质3直线与椭圆的位置关系种类:相离(没有交点)相切(一个交点)相交(二个交点)点和椭圆的位置关系：类比点和圆的位置关系

直线与椭圆的位置关系的判定代数方法1.位置关系：相交、相切、相离2.判别方法(代数法)

联立直线与椭圆的方程消元得到二元一次方程组

(1)△>0直线与椭圆相交有两个公共点；

(2)△=0直线与椭圆相切有且只有一个公共点；

(3)△<0直线与椭圆相离无公共点．通法知识点1.直线与椭圆的位置关系例1：直线y=x+1与椭圆恒有公共点,求m的取值范围。题型一：直线与椭圆的位置关系变式练习：y=kx+1与椭圆恰有公共点，则m的范围（）

A、（0，1）B、（0，5）

C、[1，5）∪（5，+∞

）D、（1，+∞

）练习1.K为何值时,直线y=kx+2和曲线2x2+3y2=6有两个公共点?有一个公共点?没有公共点?练习2.无论k为何值,直线y=kx+2和曲线交点情况满足()A.没有公共点B.一个公共点C.两个公共点D.有公共点Dlmmoxyoxy思考：最大的距离是多少？设直线与椭圆交于P1(x1,y1)，P2(x2,y2)两点，直线P1P2的斜率为k．弦长公式：知识点2：弦长公式可推广到任意二次曲线例3：已知斜率为1的直线L过椭圆的右焦点，交椭圆于A，B两点，求弦AB之长．例5：已知椭圆过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被

平分，求此弦所在直线的方程.解：韦达定理→斜率韦达定理法：利用韦达定理及中点坐标公式来构造知识点3：中点弦问题例5已知椭圆过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线的方程.点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造出中点坐标和斜率．点作差知识点3：中点弦问题点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造出中点坐标和斜率．直线和椭圆相交有关弦的中点问题，常用设而不求的思想方法．例5已知椭圆过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线的方程.所以x2+4y2=(4-x)2+4(2-y)2，整理得x+2y-4=0从而A,B在直线x+2y-4=0上而过A,B两点的直线有且只有一条解后反思：中点弦问题求解关键在于充分利用“中点”这一条件，灵活运用中点坐标公式及韦达定理，练习：P49：A8例6、如图，已知椭圆与直线x+y-1=0交于A、B两点，AB的中点M