新高考数学二轮复习专题16 导数中有关x与exlnx的组合函数问题 (教师版)_第1页
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∵a＝－xlnx有解，且x>0，a>0，∴0<a≤eq\f(1,e)，∴实数a的取值范围为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e)))．(2)要证当a≥eq\f(2,e)时，lnx＋eq\f(a,x)－e－x>0，即证lnx＋eq\f(a,x)>e－x，∵x>0，∴即证xlnx＋a>xe－x，即证(xlnx＋a)min>(xe－x)max．令h(x)＝xlnx＋a，则h′(x)＝lnx＋1．当0<x<eq\f(1,e)时，f′(x)<0；当x>eq\f(1,e)时，f′(x)>0．∴函数h(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e)))上单调递减，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，＋∞))上单调递增，∴h(x)min＝heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))＝－eq\f(1,e)＋a，故当a≥eq\f(2,e)时，h(x)≥－eq\f(1,e)＋a≥eq\f(1,e)．①令φ(x)＝xe－x，则φ′(x)＝e－x－xe－x＝e－x(1－x)．当0<x<1时，φ′(x)>0；当x>1时，φ′(x)<0．∴函数φ(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，∴φ(x)max＝φ(1)＝eq\f(1,e)．故当x>0时，φ(x)≤eq\f(1,e)．②显然，不等式①②中的等号不能同时成立，故当a≥

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