新高考数学二轮复习专题10 含参函数的极值、最值讨论 (教师版)_第1页
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文档简介

．已知函数f(x)＝lnx＋eq\f(1,2)x2－ax＋a(a∈R)．(1)若函数f(x)在(0，＋∞)上为单调递增函数，求实数a的取值范围；(2)若函数f(x)在x＝x1和x＝x2处取得极值，且x2≥eq\r(e)x1(e为自然对数的底数)，求f(x2)－f(x1)的最大值．6．解析(1)∵f′(x)＝eq\f(1,x)＋x－a(x＞0)，又f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴恒有f′(x)≥0，即eq\f(1,x)＋x－a≥0恒成立，∴a≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))min，而x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(x·\f(1,x))＝2，当且仅当x＝1时取“＝”，∴a≤2．即函数f(x)在(0，＋∞)上为单调递增函数时，a的取值范围是(－∞，2]．(2)∵f(x)在x＝x1和x＝x2处取得极值，且f′(x)＝eq\f(1,x)＋x－a＝eq\f(x2－ax＋1,x)(x＞0)，∴x1，x2是方程x2－ax＋1＝0的两个实根，由根与系数的关系得x1＋x2＝a，x1x2＝1，∴f(x2)－f(x1)＝lneq\f(x2,x1)＋eq\f(1,2)(xeq\o\al(2,2)－xeq\o\al(2,1))－a(x2－x1)＝lneq\f(x2,x1)－eq\f(1,2)(xeq\o\al(2,2)－xeq\o\al(2,1))＝lneq\f(x2,x1)－eq\f(1,2)(xeq\o\al(2,2)－xeq\o\al(2,1))eq\f(1,x1x2)＝lneq\f(x2,x1)－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2,x1)－\f(x1,x2)))，设t＝eq\f(x2,x1)(t≥eq\r(e))，令h(t)＝lnt－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,t)))(t≥eq\r(e))，则h′(t)＝eq\f(1,t)－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,t2)))＝－eq\f((t－1)2,2t2)＜0，∴h(t)在[eq\r(e)，＋∞)上是减函数，∴h(t)≤h(eq\r(e))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\r(e)＋\f(\r(e),e)))，故f(x2)－f(x1)的最大值为eq\f(

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