第二章空间点、直线、平面的位置关系(4课时)

2．1空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.1

平面

观察教室里的桌面、黑板面，它们呈现出怎样的形象？实例引入观察

观察活动室里的地面，它呈现出怎样的形象？实例引入观察

观察海面，它又呈现出怎样的形象？实例引入观察

生活中的一些物体通常呈平面形，课桌面、黑板面、海面都给我们以平面的形象．你还能从生活中举出类似平面形的物体吗？引入新课

几何里所说的“平面”（plane）就是从这样的一些物体中抽象出来的，但是，几何里的平面是无限延展的．思考直线是否有长短、粗细之分？平面是否有大小、厚薄之别？A′B′C′D′ABCD点、线、面点无大小线无粗细面无厚薄思考:我们不可能把一条直线或一个平面全部画在纸上，在作图时通常用一条线段表示直线，你认为用一个什么图形表示平面比较合适？

平面的表示平面的画法

一般来说，常用正方形或长方形表示平面，如图一,在画立体图时，为了增强立体感，常常把平面画成平行四边形，如图二是按照斜二测画法得到的平面的水平直观图.图一图二说明:为了表示和区分平面，我们可以用适当的字母作为平面的名称，如平面α

αABCD平面ABCD或平面AC或平面BD思考当两个平面相交时，你认为下列哪个图形的立体感强？你能指出其画法要点吗？(1)画出交线；(2)被遮挡部分画虚线.

图形

符号语言文字语言(读法)点在直线上点不在直线上点在平面内

点不在平面内

直线a、b交于点A

四、点、线、面的基本位置关系（1）符号表示：（2）集合关系：点A、线a、面α

图形

符号语言文字语言(读法)直线a在平面内直线a与平面无公共点直线a与平面交于点平面与相交于直线练习２、如图，用符号表示以下各概念：②直线a在平面内

；点C在平面内

；③点O不在平面内

；直线b不在平面内

．①点A、B在直线a上

；练1.将下列符号语言转化为图形语言：（1）（2）说明：画图的顺序:先画大件(平面),再画小件(点、线),,,,,,,练习1、判断下列各题的说法正确与否，在正确的说法的题号后打，否则打:1、一个平面长4米，宽2米；()2、平面有边界；()3、一个平面的面积是25cm2；()4、菱形的面积是4cm2；()5、一个平面可以把空间分成两部分.()

如果直线l与平面α有一个公共点P，直线l是否在平面α内？思考

实际生活中，我们有这样的经验：把一根直尺边缘上的任意两点放到桌面上，可以看到，直尺的整个边缘就落在了桌面上．思考

如果直线l与平面α有两个公共点，直线l是否在平面α内？

公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．ABl作用：判定直线是否在平面内．平面公理

在生产、生活中，人们经过长期观察与实践，总结出关于平面的一些基本性质，我们把它作为公理．这些公理是进一步推理的基础．思考1:空间中，经过两点有且只有一条直线，即两点确定一条直线，那么两点能否确定一个平面？经过三点、四点可以作多少个平面？思考2:照相机，测量仪等器材的支架为何要做成三脚架？思考3:经过任意三点都能确定一个平面吗？由此可得什么结论？公理2

过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面.．．．ABC思考4:公理2可简述为“不共线的三点确定一个平面”，它有什么理论作用？作用：判断几个点共面知识探究（四）:平面的基本性质3

思考1:如图，把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在的平面与桌面所在的平面是否只相交于一点B？为什么？BB思考2:如果两条不重合的直线有公共点，则其公共点只有一个.如果两个不重合的平面有公共点，其公共点有多少个？这些公共点的位置关系如何？思考3:根据上述分析可得什么结论？P公理3

如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.思考5:你能说一说公理3有哪些理论作用吗？确定两平面相交的依据思考4:若两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交，这条公共直线叫做这两个平面的交线.平面α与平面β相交于直线l，可记作，那么公理3用符号语言可怎样表述?

在正方体中，判断下列命题是否正确，并说明理由：①直线在平面内；错误随堂练习

在正方体中，判断下列命题是否正确，并说明理由：②设正方形ABCD与的中心分别为O，，则平面与平面的交线为；正确随堂练习

在正方体中，判断下列命题是否正确，并说明理由：③由点A，O，C可以确定一个平面；错误随堂练习

在正方体中，判断下列命题是否正确，并说明理由：④由确定的平面是；⑤由确定的平面与由确定的平面是同一个平面．正确正确随堂练习例2如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.ABβαal(1)abPlβα(2)空间图形文字叙述符号表示知识小结实例引入平面平面的画法和表示点和平面的位置关系平面三个公理作业:P43练习：1，2，3（做书上），4.

P51习题2.1A组：1，2.

2.1.2空间中直线与直线之间的 位置关系

第一课时异面直线的有关概念和原理

问题提出1.同一平面内的两条直线有哪几种位置关系?2.空间中的两条不同直线除了平行和相交这两种位置关系外，还有什么位置关系呢?知识探究（一）：异面直线的概念思考1：教室内的日光灯管所在的直线与黑板的左右两侧所在的直线，既不相交，也不平行；天安门广场上，旗杆所在的直线与长安街所在的直线，它们既不相交，也不平行.你还能举出这样的例子吗?

思考2:如图,长方体ABCD-A′B′C′D′中，线段A′B所在直线分别与线段CD′所在直线，线段BC所在直线，线段CD所在直线的位置关系如何?

CB'C'A'D'BAD思考3:我们把上图中直线A′B与直线CD叫做异面直线，一般地，从字面上怎样理解异面直线？

思考4:为了表示异面直线a，b不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托,如图.baab关于异面直线的定义，你认为下列哪个说法最合适？

A.空间中既不平行又不相交的两条直线；

B.平面内的一条直线和这平面外的一条直 线；

C.分别在不同平面内的两条直线；

D.不在同一个平面内的两条直线；

E.不同在任何一个平面内的两条直线.

baab思考5:空间中的直线与直线之间有几种位置关系？它们各有什么特点？

相交直线:平行直线:共面直线异面直线:不同在任何一个平面内，没有公共点

同一平面内，有且只有一个公共点；

同一平面内，没有公共点；

知识探究（二）：三线平行公理思考1:设直线a//b，将直线a在空间中作平行移动，在平移过程中a与b仍保持平行吗

?思考2:如图,在长方体ABCD—A′B′C′D′中,BB′∥AA′，DD′∥AA′，那么BB′与DD′平行吗?CB'C'A'D'BAD思考3：取一块长方形纸板ABCD，E，F分别为AB，CD的中点，将纸板沿EF折起，在空间中直线AD与BC的位置关系如何

?AFEDCBABCDEF思考4:通过上述实验可以得到什么结论？

公理4

平行于同一直线的两条直线互相平行.思考5:公理4叫做三线平行公理，它说明空间平行直线具有传递性，在逻辑推理中公理4有何理论作用？

知识探究（三）：等角定理思考1:在平面上，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角的大小有什么关系？

思考2:

如图,四棱柱ABCD--A′B′C′D′

的底面是平行四边形，∠ADC与∠A′D′C′,∠ADC与∠B′A′D′的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何

?BADCA'B'D'C'BADCA'B'D'C'思考3:如图，在空间中AB//A′B′，AC//A′C′，你能证明∠BAC与∠B′A′C′相等吗？BCAB´C´A´EE´DD´思考4:综上分析我们可以得到什么定理?

定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.思考5:上面的定理称为等角定理，在等角定理中，你能进一步指出两个角相等的条件吗？

角的方向相同或相反理论迁移

例1

如图是一个正方体的表面展开图,如果将它还原为正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有多少对?

AFAHGEDCBCDBAEFGH

例2

如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点.(1)求证：四边形EFGH是平行四边形.(2)若AC=BD，那么四边形EFGH是什么图形?FGDAEBCH

作业:P51习题2.1A组：3，6.第二课时异面直线所成的角2.1.2空间中直线与直线之间的 位置关系

问题提出1.什么叫异面直线？三线平行公理和等角定理分别说明什么问题？

2.不同的异面直线有不同的相对位置关系，用什么几何量反映异面直线之间的相对位置关系，是我们需要探讨的问题

.异面直线所成的角知识探究（一）：异面直线所成的角思考1:两条相交直线、平行直线的相对位置关系，分别是通过什么几何量来反映的？思考2:两条异面直线之间有一个相对倾斜度，若将两异面直线分别平行移动，它们的相对倾斜度是否发生变化？

思考3:设想用一个角反映异面直线的相对倾斜度，但不能直接度量，你有什么办法解决这个矛盾？

思考4：把两条异面直线分别平移，使之在某处相交得到两条相交直线，我们用这两条相交直线所夹的锐角(或直角)来反映异面直线的相对倾斜程度，并称之为异面直线所成的角.你能给“异面直线所成的角”下个定义吗？

abobˊb'a'αbao

对于两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，则a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)

思考5:若点O的位置不同，则直线a′与b′的夹角大小发生变化吗？为什么？为了作图方便，点O宜选在何处？

aba'

b'oa'b'o'O思考1:我们规定两条平行直线的夹角为0°，那么两条异面直线所成的角的取值范围是什么？

知识探究（二）：两条直线垂直思考2:如果两条异面直线所成的角是90°，则称这两条直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线a，b，记作a⊥b.在长方体ABCD-A′B′C′D′中,有没有两条棱所在的直线是互相垂直的异面直线?BADCA'B'D'C'思考3：在平面几何中，垂直于同一条直线的两直线互相平行，在空间中这个结论还成立吗

?思考4：如果两条平行直线中有一条与某一条直线垂直,那么另一条是否也与这条直线垂直？为什么？

理论迁移

例1

如图,在正方体ABCD-A′B′C′D′中.

（1）直线A′B和CC′的夹角是多少？（2）哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？哪些棱所在的直线与直线A′B垂直？A′B′C′D′ABCDAFEDCB

例2如图，在四面体ABCD中，E，F分别是棱AD，BC上的点,且已知AB=CD=3，,求异面直线AB和CD所成的角.M作业:P48练习：2.P52习题2.1B组：1.思考题：已知异面直线a，b所成的角为60°，直线l与a，b所成的角都为θ，那么θ的取值范围是什么？2.1.3空间中直线与平面之间的位置 关系2.1.4平面与平面之间的位置关系问题提出

1.空间点与直线，点与平面分别有哪几种位置关系？空间两直线有哪几种位置关系？

2.就空间点、线、面位置关系而言，还有哪几种类型有待分析？

直线与平面之间的位置关系平面与平面之间的位置关系探究（一）直线与平面之间的位置关系

思考1:一支笔所在的直线与一个作业本所在的平面，可能有哪几种位置关系？思考2:对于一条直线和一个平面，就其公共点个数来分类有哪几种可能？

思考3:如图，线段A′B所在直线与长方体ABCD-A′B′C′D′的六个面所在的平面有几种位置关系？BADCA'B'D'C'思考4:通过上面的观察和分析，直线与平面有三种位置关系，即直线在平面内，直线与平面相交，直线与平面平行.这些位置关系的基本特征是什么

?（1）直线在平面内---有无数个公共 点；

（2）直线与平面相交---有且只有一个 公共点；

（3）直线与平面平行---没有公共点.

思考5:下图表示直线与平面的三种位置，如何用符号语言描述这三种位置关系？αaαa.Pαa思考6:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外.用符号语言怎样表述？思考7:过平面外一点可作多少条直线与这个平面平行？若直线l平行于平面α，则直线l与平面α内的直线的位置关系如何？思考8:若两条平行直线中有一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面吗？探究（一）平面与平面之间的位置关系思考1:拿出两本书，看作两个平面，上下、左右移动和翻转，它们之间的位置关系有几种变化？思考2:如图，围成长方体ABCD-A′B′C′D′的六个面，两两之间的位置关系有几种？C′A′B′D′ABCD思考3：由上面的观察和分析可知，两个平面的位置关系只有两种，即两个平面平行，两个平面相交.这两种位置关系的基本特征是什么？（1）两个平面平行---没有公共点；（2）两个平面相交---有一条公共直线.思考4:下图表示两平面之间的两种位置，如何用符号语言描述这两种位置关系？αβ思考5:已知平面α，β和直线a，b，且α∥β,,则直线a与平面β的位置关系如何？直线a与直线b的位置关系如何？αβab理论迁移例1

给出下列四个命题：(1)若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α.(2)若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行.(3)若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点.(4)若直线l在平面α内，且l与平面β平行，则平面α与平面β平行.其中正确命题的个数共有

__个.1④若直线L与平面α平行，则L与平面α内的任意一条直线都没有公共点；()②若直线L与平面α平行，则L与平面α内的任意一条直线都平行；()4、判断正误①若直线L上有无数个点不在平面α内，则L∥α；()③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；()lααlbcαlb⊙如果平面外的两条平行直线中的一条直线与平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行；（）××√√×三、随堂练习1、若直线a不平行于平面α

，且aα，则下列结论成立的是（）：(A)α内的所有直线与a异面(B)α内不存在与a平行的直线；(C)α内存在唯一的直线与a平行；(D)α内的直线与a都相交；2、判断题：（1）a∥α，bα，则a∥b；（）（2）aα，则a∥α或a和α相交；（）（3