第二章 212 求曲线的方程

2.1.2

求曲线的方程学习目标课标要求：1.了解求曲线方程的步骤．2．会求简单曲线的方程．重点难点：重点：求曲线的方程的一般步骤与方法．难点：根据题目条件选择合适的方法求曲线的方程．一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看做点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线C上点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解；(2)以方程f(x，y)＝0的解(x，y)为坐标的点都在

．那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做

．温故夯基基础知识梳理曲线C上方程的曲线1．解析几何研究的主要问题(1)根据已知条件，求出

；(2)通过曲线的方程，

．2．求曲线的方程的步骤(1)建立适当的坐标系，用

表示曲线上任意一点M的坐标；(2)写出适合条件p的点M的集合

；(3)用坐标表示条件p(M)，列出方程

；(4)化方程f(x，y)＝0为

；(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．知新益能表示曲线的方程研究曲线的性质有序实数对(x，y)P＝{M|p(M)}f(x，y)＝0最简形式求曲线方程的步骤是否可以省略？提示：是．如果化简前后方程的解集是相同的，可以省略步骤“结论”，如有特殊情况，可以适当说明，也可以根据情况省略步骤“写集合”，直接列出曲线方程．问题探究动点满足的几何条件本身就是几何量的等量关系，只需把这种关系“翻译”成含x，y的等式就可得到曲线的轨迹方程．课堂互动讲练考点一直接法求曲线方程例1【思路点拨】设出P点坐标，代入等式关系，可求得轨迹方程．【题后点评】

(1)直接法求曲线方程，关键是建立适当的直角坐标系，可使方程简化．(2)在求方程的过程中要注意化简的准确性．互动探究如果所给几何条件正好符合所学过的已知曲线的定义，则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程．考点二定义法求曲线方程长为4的线段的两个端点分别在x轴、y轴上滑动，求此线段的中点的轨迹方程．【思路点拨】利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，求出中线长，再利用圆的定义求中点的轨迹方程．【解】设线段的中点P(x，y)．因为线段的两个端点分别在x轴、y轴上，所以|OP|＝2，由圆的定义知，点P的轨迹是以原点O为圆心，半径为2的圆，所以线段中点P的轨迹方程为x2＋y2＝4.例2【题后点评】本题在求解后，易挖去圆与坐标轴的交点，这是错误的．利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点转换为已知曲线上动点．具体地说，就是用所求动点的坐标(x，y)来表示已知曲线上动点的坐标，并代入已知的曲线方程，即可求得所求动点的轨迹方程．考点三代入法求曲线方程已知△ABC的两顶点A、B的坐标分别为A(0,0)、B(6,0)，顶点C在曲线y＝x2＋3上运动，求△ABC重心的轨迹方程．【思路点拨】由重心坐标公式，可知△ABC的重心坐标可以由A、B、C三点的坐标表示出来．而A、B是定点，且C在曲线y＝x2＋3上运动，故重心与C相关联．因此，设出重心与C点坐标，找出它们之间的关系，代入曲线方程y＝x2＋3即可．例3【解】设G(x，y)为所求轨迹上任一点，顶点C的坐标为(x′，y′)，则由重心坐标公式，∵顶点C(x′，y′)在曲线y＝x2＋3上，∴3y＝(3x－6)2＋3，整理，得y＝3(x－2)2＋1.①故所求轨迹方程为y＝3(x－2)2＋1.【题后点评】

(1)本例是求轨迹方程中的常见题型，难度适中．本题解法称为代入法(或相关点法)，此法适用于已知一动点的轨迹方程，求另一动点的轨迹方程的问题．(2)应注意的是，本例中曲线y＝x2＋3上没有与A、B共线的点，因此，整理方程①就得到轨迹方程；若曲线方程为y＝x2－3，则应去掉与A、B共线时所对应的重心坐标．1．如何理解求曲线方程的步骤(1)在第一步中，如果原题中没有确定坐标系，首先选取适当的坐标系，通常选取特殊位置为原点，相互垂直的直线为坐标轴．建立适当的坐标系，会给运算带来方便．(2)第二步是求方程的重要的一个环节，要仔细分析曲线的特征，注意揭示隐含条件，抓住与曲线上任意一点M有关的等量关系，列出几何等式，此步骤也可以省略，直接将几何条件用动点的坐标表示.规律方法总结(3)在化简的过程中，注意运算的合理性与准确性，尽量避免“丢解”或“增解”．(4)第五步的说明可以省略不写，如有特殊情况，可以适当说明，如某些点虽然其坐标满足方程，但不在曲线上，可以通过限定方程中x(或y)