2023年大连装备制造职业技术学院高职单招（数学）试题库含答案解析

长风破浪会有时，直挂云帆济沧海。住在富人区的她2023年大连装备制造职业技术学院高职单招（数学）试题库含答案解析（图片大小可自由调整）全文为Word可编辑，若为PDF皆为盗版，请谨慎购买！第1卷一.综合题(共50题)1.求由曲线围成的图形的面积．答案：面积为解析：当，时，方程化成，即．上式表示圆心在，半径为的圆．所以，当，时，方程表示在第一象限的部分以及轴，轴负半轴上的点，．同理，当，时，方程表示在第四象限的部分以及轴负半轴上的点；当，时，方程表示圆在第二象限的部分以及轴负半轴上的点；当，时，方程表示圆在第三象限部分．以上合起来构成如图所示的图形，面积为．2.已知函数f（x）=x2+（a2-1）x+（a-2）的一个零点比1大，一个零点比1小，则实数a的取值范围______．答案：∵函数f（x）=x2+（a2-1）x+（a-2）的一个零点比1大，一个零点比1小∴f（1）＜0∴1+a2-1+a-2＜0∴a2+a-2＜0∴-2＜a＜1∴实数a的取值范围为（-2，1）故为：（-2，1）3.2012年3月2日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》．其中规定：居民区的PM2.5年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米．

某城市环保部门随机抽取了一居民区去年20天PM2.5的24小时平均浓度的监测数据，数据统计如下：

组别PM2.5浓度

（微克/立方米）频数（天）频率

第一组（0，25]50.25第二组（25，50]100.5第三组（50，75]30.15第四组（75，100）20.1（Ⅰ）从样本中PM2.5的24小时平均浓度超过50微克/立方米的5天中，随机抽取2天，求恰好有一天PM2.5的24小时平均浓度超过75微克/立方米的概率；

（Ⅱ）求样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由．答案：（Ⅰ）

设PM2.5的24小时平均浓度在（50，75]内的三天记为A1，A2，A3，PM2.5的24小时平均浓度在（75，100）内的两天记为B1，B2．所以5天任取2天的情况有：A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A2A3，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2共10种．

…（4分）其中符合条件的有：A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2共6种．

…（6分）所以所求的概率P=610=35．

…（8分）（Ⅱ）去年该居民区PM2.5年平均浓度为：12.5×0.25+37.5×0.5+62.5×0.15+87.5×0.1=40（微克/立方米）．…（10分）因为40＞35，所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需要改进．

…（12分）4.在市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂的合格率是80%，则从市场上买到一个甲厂生产的合格灯泡的概率是______．答案：由题意知本题是一个相互独立事件同时发生的概率，∵甲厂产品占70%，甲厂产品的合格率是95%，∴从市场上买到一个甲厂生产的合格灯泡的概率是0.7×0.95=0.665故为：0.6655.给出命题：

①线性回归分析就是由样本点去寻找一条贴近这些点的直线；

②利用样本点的散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关系表示；

③通过回归方程=bx+a及其回归系数b可以估计和预测变量的取值和变化趋势；

④线性相关关系就是两个变量间的函数关系．其中正确的命题是（

）

A．①②

B．①④

C．①②③

D．①②③④答案：D6.已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）

A.

B．3

C.

D.答案：A7.试指出函数y=3x的图象经过怎样的变换，可以得到函数y=（13）x+1+2的图象．答案：把函数y=3x的图象经过3次变换，可得函数y=（13）x+1+2的图象，步骤如下：y=3x沿y轴对称y=（13）x左移一个单位y=（13）x+1上移2个单位y=（13）x+1+2．8.用0.618法确定的试点，则经过（

）次试验后，存优范围缩小为原来的0.6184倍．答案：59.定点F1，F2，且|F1F2|=8，动点P满足|PF1|+|PF2|=8，则点P的轨迹是（）A．椭圆B．圆C．直线D．线段答案：∵|PF1|+|PF2|=8，且|F1F2|=8∴|PF1|+|PF2|=|F1F2|①当点P不在直线F1F2上时，根据三角形两边之和大于第三边，得|PF1|+|PF2|＞|F1F2|，不符合题意；②当点P在直线F1F2上时，若点P在F1、F2两点之外时，可得|PF1|+|PF2|＞8，得到|PF1|+|PF2|＞|F1F2|，不符合题意；若点P在F1、F2两点之间（或与F1、F2重合）时，可得|PF1|+|PF2|=|F1F2|，符合题意．综上所述，得点P在直线F1F2上且在F1、F2两点之间或与F1、F2重合，故点P的轨迹是线段F1F2．故选：D10.已知a=(1-t，1-t，t)，b=(2，t，t)，则|b-a|的最小值是______．答案：∵a=(1-t，1-t，t)，b=(2，t，t)，∴向量b-a=（1+t，2t-1，0）可得向量b-a的模|b-a|=(1+t)2+

(2t-1)2+02=5t2-2t+2∵5t2-2t+2=5（t-15）2+95∴当且仅当t=15时，5t2-2t+2的最小值为95所以当t=15时，|b-a|的最小值是95=355故为：35511.某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有40名，高二年级有50名，现用分层抽样的方法在这90名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了8名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为______．答案：∵高一年级有40名学生，在高一年级的学生中抽取了8名，∴每个个体被抽到的概率是

840=15∵高二年级有50名学生，∴要抽取50×15=10名学生，故为：10．12.一个正方体的展开图如图所示，A、B、C、D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中（）A．AB∥CDB．AB与CD相交C．AB⊥CDD．AB与CD所成的角为60°答案：将正方体的展开图，还原为正方体，AB，CD为相邻表面，且无公共顶点的两条面上的对角线∴AB与CD所成的角为60°故选D．13.（x+2y）4展开式中各项的系数和为______．答案：令x=y=1，可得（1+2）4=81故为：81．14.已知棱长都相等的正三棱锥内接于一个球，某学生画出四个过球心的平面截球与正三棱锥所得的图形，如图所示，则（）A．以上四个图形都是正确的B．只有（2）（4）是正确的C．只有（4）是错误的D．只有（1）（2）是正确的答案：（1）当平行于三棱锥一底面，过球心的截面如（1）图所示；（2）过三棱锥的一条棱和圆心所得截面如（2）图所示；（3）过三棱锥的一个顶点（不过棱）和球心所得截面如（3）图所示；（4）棱长都相等的正三棱锥和球心不可能在同一个面上，所以（4）是错误的．故选C．15.已知向量a=（x，1，0），b=（1，2，3），若a⊥b，则x=______．答案：∵向量a=（x，1，0），b=（1，2，3），a⊥b，∴a•b=x+2+0=0，x=-2．故为：-2．16.若直线l过抛物线y=ax2（a＞0）的焦点，并且与y轴垂直，若l被抛物线截得的线段长为4，则a=______．答案：抛物线方程整理得x2=1ay，焦点（0，14a）l被抛物线截得的线段长即为通径长1a，故1a=4，a=14；故为14．17.由小正方体木块搭成的几何体的三视图如图所示，则搭成该几何体的小正方体木块有（）

A．6块

B．7块

C．8块

D．9块答案：B18.方程x2+ky2=2表示焦点在y轴的椭圆，那么实数k的取值范围是

______．答案：椭圆方程化为x22+y22k=1．焦点在y轴上，则2k＞2，即k＜1．又k＞0，∴0＜k＜1．故为：0＜k＜119.如图，△ABC中，CD=2DB，设AD=mAB+nAC（m，n为实数），则m+n=______．答案：∵CD=2DB，∴B、C、D三点共线，由三点共线的向量表示，我们易得AD=23AB+13AC，由平面向量基本定理，我们易得m=23，n=13，∴m+n=1故为：120.下列各组向量中，可以作为基底的是（）A．e1=(0，0)，e2=(-2，1)B．e1=(4，6)，e2=(6，9)C．e1=(2，-5)，e2=(-6，4)D．e1=(2，-3)，e2=(12，-34)答案：A、中的2个向量的坐标对应成比例，0-2=01，所以，这2个向量是共线向量，故不能作为基底．B、中的2个向量的坐标对应成比例，46=69，所以，这2个向量是共线向量，故不能作为基底．C中的2个向量的坐标对应不成比例，2-6≠-54，所以，这2个向量不是共线向量，故可以作为基底．D、中的2个向量的坐标对应成比例，212=-3-34，这2个向量是共线向量，故不能作为基底．故选C．21.平面上动点M到定点F（3，0）的距离比M到直线l：x+1=0的距离大2，则动点M满足的方程（）

A．x2=6y

B．x2=12y

C．y2=6x

D．y2=12x答案：D22.在△ABC所在平面存在一点O使得OA+OB+OC=0，则面积S△OBCS△ABC=______．答案：∵OA+OB+OC=0，∴OB+

OC=AO，设OB+OC=OD∴O是AD的中点，要求面积之比的两个三角形是同底的三角形，∴面积之比等于三角形的高之比，∴比值是13，故为：13．23.以抛物线的焦点弦为直径的圆与其准线的位置关系是（

）

A．相切

B．相交

C．相离

D．以上均有可能答案：A24.命题“若a，b都是奇数，则a+b是偶数”的逆否命题是（）A．若a+b不是偶数，则a，b都不是奇数B．若a+b不是偶数，则a，b不都是奇数C．若a+b是偶数，则a，b都是奇数D．若a+b是偶数，则a，b不都是奇数答案：“a，b都是奇数”的否定是“a，b不都是奇数”，“a+b是偶数”的否定是“a+b不是偶数”，故命题“若a，b都是奇数，则a+b是偶数”的逆否命题是“若a+b不是偶数，则a，b不都是奇数”．故选B．25.某射手射击所得环数X的分布列为：

ξ

4

5

6

7

8

9

10

P

0.02

0.04

0.06

0.09

0.28

0.29

0.22

则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为（）

A．0.28

B．0.88

C．0.79

D．0.51答案：C26.用反证法证明命题：“若a，b∈N，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设应为（）

A．b都能被3整除

B．b都不能被3整除

C．b不都能被3整除

D．a不能被3整除答案：B27.方程x2+（m-2）x+5-m=0的两根都大于2，则m的取值范围是（）

A．（-5，-4]

B．（-∞，-4]

C．（-∞，-2]

D．（-∞，-5）∪（-5，-4]答案：A28.把平面上一切单位向量归结到共同的起点，那么这些向量的终点所构成的图形是

______．答案：把平面上一切单位向量归结到共同的起点，那么这些向量的终点到起点的距离都等于1，所以，由圆的定义得，这些向量的终点所构成的图形是半径为1的圆．29.设f（x）=ex(x≤0)ln

x(x＞0)，则f[f（13）]=______．答案：因为f（x）=ex(x≤0)ln

x(x＞0)，所以f（13）=ln13＜0，所以f[f（13）]=f（ln13）=eln13=13，故为13．30.已知a=（3，3，2），b=（4，-3，7），c=（0，5，1），则（a+b）•c=______．答案：由于a=（3，3，2），b=（4，-3，7），则a+b=（7，0，9）又由c=（0，5，1），则（a+b）•c=（7，0，9）•（0，5，1）=9故为931.解不等式|2x-1|＜|x|+1．答案：根据题意，对x分3种情况讨论：①当x＜0时，原不等式可化为-2x+1＜-x+1，解得x＞0，又x＜0，则x不存在，此时，不等式的解集为∅．②当0≤x＜12时，原不等式可化为-2x+1＜x+1，解得x＞0，又0≤x＜12，此时其解集为{x|0＜x＜12}．③当x≥12

时，原不等式可化为2x-1＜x+1，解得12≤x＜2，又由x≥12，此时其解集为{x|12≤x＜2}，∅∪{x|0＜x＜12

}∪{x|12≤x＜2

}={x|0＜x＜2}；综上，原不等式的解集为{x|0＜x＜2}．32.给出一个程序框图，输出的结果为s=132，则判断框中应填（）

A．i≥11

B．i≥10

C．i≤11

D．i≤12

答案：A33.过椭圆4x2+y2=1的一个焦点F1的直线与椭圆交于A，B两点，则A与B和椭圆的另一个焦点F1构成的△ABF2的周长为（）

A．2

B．2

C．4

D．8答案：C34.曲线(θ为参数)上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是（）

A．

B．

C．1

D．答案：D35.如图，在⊙O中，AB是弦，AC是⊙O的切线，A是切点，过

B作BD⊥AC于D，BD交⊙O于E点，若AE平分∠BAD，则∠BAD=（）

A．30°

B．45°

C．50°

D．60°

答案：D36.在空间直角坐标系中，已知点P（a，0，0），Q（4，1，2），且|PQ|=，则a=（）

A．1

B．-1

C．-1或9

D．1或9答案：C37.已知A（4，1，9），B（10，-1，6），则A，B两点间距离为______．答案：∵A（4，1，9），B（10，-1，6），∴A，B两点间距离为|AB|=(10-4)2+(-1-1)2+(6-9)2=7故为：738.甲、乙两人对一批圆形零件毛坯进行成品加工．根据需求，成品的直径标准为100mm．现从他们两人的产品中各随机抽取5件，测得直径（单位：mm）如下：

甲：105

102

97

96

100

乙：100

101

102

97

100

（I）分别求甲、乙的样本平均数与方差，并由此估计谁加工的零件较好？

（Ⅱ）若从乙样本的5件产品中再次随机抽取2件，试求这2件产品中至少有一件产品直径为100mm的概率．答案：（Ⅰ）.x甲=15(105+102+97+96+100)=100，.x乙=15(100+101+102+97+100)=100S甲=15(25+4+3+16+0)=545=10.8，S乙=15(0+1+4+9+0)=145=2.8．∵S甲＞S乙，据此估计乙加工的零件好；（Ⅱ）从乙样本的5件产品中再次随机抽取2件的全部结果有如下10种：（100，101），（100，102），（100，97），（100，100），（101，102），（101，97），（101，100），（102，97），（102，100），（97，100）．设事件A为“其中至少有一件产品直径为100”，则时间A有7种．故P（A）=710．39.设抛物线y2=2px（p＞0）上一点A（1，2）到点B（x0，0）的距离等于到直线x=-1的距离，则实数x0的值是______．答案：∵点A（1，2）在抛物线y2=2px（p＞0）上，∴4=2p，p=2，故抛物线方程为y2=4x，准线方程为x=1．由点A（1，2）到点B（x0，0）的距离等于到直线x=-1的距离，故点B（x0，0）为抛物线y2=4x的焦点，故x0=1．故为1．40.用反证法证明“3是无理数”时，第一步应假设“______．”答案：反证法肯定题设而否定结论，从而得出矛盾，题设“3是无理数”，那么假设为：3是有理数．故为3是有理数．41.直线y=k（x-2）+3必过定点，该定点的坐标为（）

A．（3，2）

B．（2，3）

C．（2，-3）

D．（-2，3）答案：B42.如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则（）

A．k1＞k2＞k3

B．k3＞k2＞k1

C．k2＞k1＞k3

D．k3＞k1＞k2

答案：C43.下列点在x轴上的是（）

A．（0.1，0.2，0.3）

B．（0，0，0.001）

C．（5，0，0）

D．（0，0.01，0）答案：C44.某市为研究市区居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据绘制了样本的频率分布直方图（如图）．

（Ⅰ）求月收入在[3000，3500）内的被调查人数；

（Ⅱ）估计被调查者月收入的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．

答案：（I）10000×0.0003×500=1500（人）∴月收入在[3000，3500）内的被调查人数1500人（II）.x=1250×0.1+1750×0.2+2250×0.25+2750×0.25+3250×0.15+3750×0.05=2400∴估计被调查者月收入的平均数为240045.（理）下列以t为参数的参数方程中表示焦点在y轴上的椭圆的是（）

A．

B．（a＞b＞0）

C．

D．

答案：C46.已知不等式（a2+a+2）2x＞（a2+a+2）x+8，其中x∈N+，使此不等式成立的x的最小整数值是______．答案：∵a2+a+2=（a+12）2+74＞1，且x∈N+，∴由正整数指数函数在底数大于1时单调递增的性质，得2x＞x+8，即x＞8，∴使此不等式成立的x的最小整数值为9．故为：9．47.x+y+z=1，则2x2+3y2+z2的最小值为（）

A．1

B．

C．

D．答案：C48.直线l过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，且与抛物线交于A、B两点，若线段AB的长是8，AB的中点到y轴的距离是2，则此抛物线方程是（）A．y2=12xB．y2=8xC．y2=6xD．y2=4x答案：设A（x1，y1），B（x2，y2），根据抛物线定义，x1+x2+p=8，∵AB的中点到y轴的距离是2，∴x1+x22=2，∴p=4；∴抛物线方程为y2=8x故选B49.设i为虚数单位，若（x+i）（1-i）=y，则实数x，y满足（）

A．x=-1，y=1

B．x=-1，y=2

C．x=1，y=2

D．x=1，y=1答案：C50.设函数f（x）的定义域为D，如果对于任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D，使得

f(x1)+f(x2)2=C成立（其中C为常数），则称函数y=f（x）在D上的均值为C，现在给出下列4个函数：①y=x3②y=4sinx③y=lgx④y=2x，则在其定义域上的均值为

2的所有函数是下面的（）A．①②B．③④C．①③④D．①③答案：由题意可得，均值为2，则f(x1)+f(x2)2=2即f（x1）+f（x2）=4①：y=x3在定义域R上单调递增，对应任意的x1，则存在唯一x2满足x13+x23=4①正确②：y=4sinx，满足4sinx1+4sinx2=4，令x1=π2，则根据三角函数的周期性可得，满足sinx2=0的x2无穷多个，②错误③y=lgx在（0，+∞）单调递增，对应任意的x1＞0，则满足lgx1+lgx2=4的x2唯一存在③正确④y=2x满足2x1+2x2=4，令x1=3时x2不存在④错误故选D．第2卷一.综合题(共50题)1.（1）把参数方程（t为参数）x=secty=2tgt化为直角坐标方程；

（2）当0≤t＜π2及π≤t＜3π2时，各得到曲线的哪一部分？答案：（1）利用公式sec2t=1+tg2t，得x2=1+y24．∴曲线的直角坐标普通方程为x2-y24=1．（2）当0≤t≤π2时，x≥1，y≥0，得到的是曲线在第一象限的部分（包括（1，0）点）；当0≤t≤3π2时，x≤-1，y≥0，得到的是曲线在第二象限的部分，（包括（-1，0）点）．2.方程组的解集是[

]A.{5，1}

B.{1，5}

C.{（5，1）}

D.{（1，5）}答案：C3.命题“若A∪B=A，则A∩B=B”的否命题是（）A．若A∪B≠A，则A∩B≠BB．若A∩B=B，则A∪B=AC．若A∩B≠A，则A∪B≠BD．若A∪B=B，则A∩B=A答案：“若A∪B=A，则A∩B=B”的否命题：“若A∪B≠A则A∩B≠B”故选A．4.设a＞0，f（x）=ax2+bx+c，曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0））处切线的倾斜角的取值范围为[0，]，则P到曲线y=f（x）对称轴距离的取值范围为（）

A．[0，]

B．[0，]

C．[0，||]

D．[0，||]答案：B5.某学校为了解该校1200名男生的百米成绩（单位：秒），随机选择了50名学生进行调查．如图是这50名学生百米成绩的频率分布直方图．根据样本的频率分布，估计这1200名学生中成绩在[13，15]（单位：秒）内的人数大约是______．答案：∵由图知，前面两个小矩形的面积=0.02×1+0.18×1=0.2，即频率，∴1200名学生中成绩在[13，15]（单位：s）内的人数大约是0.2×1200=240．故为240．6.若关于x的不等式xa2-2xa-3＜0在[-1，1]上恒成立，则实数a的取值范围是

A.[-1，1]

B.[-1，3]

C.（-1，1）

D.（-1，3）答案：D7.已知点P是以F1、F2为左、右焦点的双曲线(a＞0，b＞0)左支上一点，且满足PF1⊥PF2，且|PF1|：|PF2|=2：3，则此双曲线的离心率为（）

A.

B.

C.

D.答案：D8.已知函数f（x）对其定义域内任意两个实数a，b，当a＜b时，都有f（a）＜f（b）．试用反证法证明：函数f（x）的图象与x轴至多有一个交点．答案：证明：假设函数f（x）的图象与x轴至少有两个交点，…（2分）（1）若f（x）的图象与x轴有两个交点，不妨设两个交点的横坐标分别为x1，x2，且x1＜x2，…（5分）由已知，函数f（x）对其定义域内任意实数x1，x2，当x1＜x2时，有f（x1）＜f（x2）．…（7分）又根据假设，x1，x2是函数f（x）的两个零点，所以，f（x1）=f（x2）=0，…（9分）这与f（x1）＜f（x2）矛盾，…（10分）所以，函数f（x）的图象不可能与x轴有两个交点．…（11分）（2）若f（x）的图象与x轴交点多于两个，可同理推出矛盾，…（12分）所以，函数f（x）的图象不可能与x轴有两个以上交点．综上，函数f（x）的图象与x轴至多有一个交点…（14分）9.参数方程x=sin2θy=cosθ+sinθ(θ为参数)的普通方程为______．答案：把参数方程x=sin2θy=cosθ+sinθ(θ为参数)利用同角三角函数的基本关系消去参数化为普通方程为y2=1+x，故为y2=1+x．10.用WHILE语句求1+2+22+23+…+263的值．答案：程序如下：i=0S=0While

i＜=63s=s+2^ii=i+1WendPrint

send11.引入复数后，数系的结构图为（）

A．

B．

C．

D．

答案：A12.（文）函数f(x)=x+2x(x∈(0

，

2

]

)的值域是______．答案：f(x)=x+2x≥

22当且仅当x=2时取等号该函数在（0，2）上单调递减，在（2，2]上单调递增∴当x=2时函数取最小值22，x趋近0时，函数值趋近无穷大故函数f(x)=x+2x(x∈(0

，

2

]

)的值域是[22，+∞)故为：[22，+∞)13.在空间坐标中，点B是A（1，2，3）在yOz坐标平面内的射影，O为坐标原点，则|OB|等于（）

A．

B．

C．2

D.答案：B14.如图所示，已知A、B、C三点不共线，O为平面ABC外的一点，若点M满足

(1)判断三个向量是否共面；

(2)判断点M是否在平面ABC内．答案：解：(1)由已知，得，∴向量共面．(2)由(1)知向量共面，三个向量的基线又有公共点M,∴M、A、B、C共面，即点M在平面ABC内，15.△ABC中，∠A外角的平分线与此三角形外接圆相交于P，求证：BP=CP．

答案：证明：∠CBP=∠CAP=∠PAD又∠1=∠2由∠CAD=∠ACB+∠CBA=∠ACB+∠CBP+∠2=∠ACB+∠1+∠CBP=∠BCP+∠CBP∴∠BCP=∠CBP，∴BP=CP．16.数据：1，1，3，3的众数和中位数分别是（）

A．1或3，2

B．3，2

C．1或3，1或3

D．3，3答案：A17.为了调查高中生的性别与是否喜欢足球之间有无关系，一般需要收集以下数据______．答案：为了调查高中生的性别与是否喜欢足球之间有无关系，一般需要收集男女生中喜欢或不喜欢足球的人数，再得出2×2列联表，最后代入随机变量的观测值公式，得出结果．故为：男女生中喜欢或不喜欢足球的人数．18.一个长方体的长、宽、高之比为2：1：3，全面积为88cm2，则它的体积为

______cm3．答案：由长方体的长、宽、高之比为2：1：3，不妨设长、宽、高分别为2x，x，3x；则长方体的全面积为：2（2x?x+2x?3x+x?3x）=2×11x2=88，∴x=±2，这里取x=2；所以，长方体的体积为：V=2x?x?3x=4×2×6=48．故为：4819.以下关于排序的说法中，正确的是（

）A．排序就是将数按从小到大的顺序排序B．排序只有两种方法，即直接插入排序和冒泡排序C．用冒泡排序把一列数从小到大排序时，最小的数逐趟向上漂浮D．用冒泡排序把一列数从小到大排序时，最大的数逐趟向上漂浮答案：C解析：由冒泡排序的特点知C正确.20.某篮球运动员在一个赛季的40场比赛中的得分的茎叶图如图所示，则这组数据的中位数是______；众数是______．

答案：将比赛中的得分按照从小到大的顺序排，中间两个数为23，23，所以这组数据的中位数是23，所有的数据中出现次数最多的数是23故为23；2321.如图，△ABC中，CD=2DB，设AD=mAB+nAC（m，n为实数），则m+n=______．答案：∵CD=2DB，∴B、C、D三点共线，由三点共线的向量表示，我们易得AD=23AB+13AC，由平面向量基本定理，我们易得m=23，n=13，∴m+n=1故为：122.下列关于算法的说法不正确的是（）A．算法必须在有限步操作之后停止．B．求解某一类问题的算法是唯一的．C．算法的每一步必须是明确的．D．算法执行后一定产生确定的结果．答案：因为算法具有有穷性、确定性和可输出性．由算法的特性可知，A是指的有穷性；C是确定性；D是可输出性．而解决某一类问题的算法不一定唯一，例如求排序问题算法就不唯一，所以，给出的说法不正确的是B．故选B．23.设a∈（0，1）∪（1，+∞），对任意的x∈(0，12]，总有4x≤logax恒成立，则实数a的取值范围是______．答案：∵a∈（0，1）∪（1，+∞），当0＜x≤12时，函数y=4x的图象如下图所示：∵对任意的x∈(0，12]，总有4x≤logax恒成立，若不等式4x＜logax恒成立，则y=logax的图象恒在y=4x的图象的上方（如图中虚线所示）∵y=logax的图象与y=4x的图象交于（12，2）点时，a=22，故虚线所示的y=logax的图象对应的底数a应满足22＜a＜1．故为：（22，1）．24.设与都是直线Ax+By+C=0（AB≠0）的方向向量，则下列关于与的叙述正确的是（）

A．=

B．与同向

C．∥

D．与有相同的位置向量答案：C25.经过点P（4，-2）的抛物线的标准方程为（）

A．y2=-8x

B．x2=-8y

C．y2=x或x2=-8y

D．y2=x或y2=8x答案：C26.在数列{an}中，a1=1，an+1=2an2+an（n∈N+），

（1）求a1，a2，a3并猜想数列{an}的通项公式；

（2）证明上述猜想．答案：（1）a1=1．a2=2a12+a1=22+1=23．a3=2a22+a2=2×232+23=12（2）猜想an=2n+1．证明：当n=1时显然成立．假设当n=k（k≥1）时成立，即ak=2k+1则当n=k+1时，ak+1=2ak2+ak=2×2k+12+2k+1=42k+4=2(k+1)+1所以an=2n+1．27.若方程mx2+（m+1）x+m=0有两个不相等的实根，则实数m的取值范围是（）

A．m＞0

B．-＜m＜1

C．-＜m＜0或0＜m＜1

D．不确定答案：C28.已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴有两个不同的交点，若f（c）=0，且0＜x＜c时，f（x）＞0

（1）证明：1a是f（x）的一个根；（2）试比较1a与c的大小．答案：证明：（1）∵f（x）=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴有两个不同的交点，f（x）=0的两个根x1，x2满足x1x2=ca，又f（c）=0，不妨设x1=c∴x2=1a，即1a是f(x)=0的一个根．（2）假设1a＜c，又1a＞0由0＜x＜c时，f（x）＞0，得f(1a)＞0，与f(1a)=0矛盾∴1a≥c又：f（x）=0的两个根不相等∴1a≠c，只有1a＞c29.

以下四组向量中，互相平行的有（）组．

A．一

B．二

C．三

D．四答案：D30.已知a，b，c为正数，且两两不等，求证：2（a3+b3+c3）＞a2（b+c）+b2（a+c）+c2（a+b）．答案：证明：不妨设a＞b＞c＞0，则（a-b）2＞0，（b-c）2＞0，（c-a）2＞0．由于2（a3+b3+c3）-a2（b+c）+b2（a+c）+c2（a+b）=a2（a-b）+a2（a-c）+b2（b-c）+b2（b-a）+c2（c-a）+c2（c-b）

=（a-b）2（a+b）+（b-c）2（b+c）+（c-a）2（c+a）＞0，故有2（a3+b3+c3）＞a2（b+c）+b2（a+c）+c2（a+b）成立．31.某商人将彩电先按原价提高40%，然后在广告中写上“大酬宾，八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚了270元，则每台彩电原价是______元．答案：设每台彩电的原价是x元，则有：（1+40%）x×0.8-x=270，解得：x=2250，故为：2250．32.一只蚂蚁在三边边长分别为3，4，5的三角形的边上爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率为______．答案：如下图所示，当蚂蚁位于图中红色线段上时，距离三角形的三个顶点的距离均超过1，由已知易得：红色线段的长度和为：6三角形的周长为：12故P=612=12故为：1233.甲袋中装有3个白球和5个黑球，乙袋中装有4个白球和6个黑球，现从甲袋中随机取出一个球放入乙袋中，充分混合后，再从乙袋中随机取出一个球放回甲袋中，则甲袋中白球没有减少的概率为（）A．944B．2544C．3544D．3744答案：白球没有减少的情况有：①抓出黑球，抓入任意球，概率是：58．抓出白球，抓入白球，概率是38×511=1588，故所求事件的概率为58+1588=3544，故选C．34.点P（1，2，2）到原点的距离是（）

A．9

B．3

C．1

D．5答案：B35.圆（x+2）2+y2=4与圆（x-2）2+（y-1）2=9的位置关系为（）

A．内切

B．相交

C．外切

D．相离答案：B36.用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设______．答案：根据用反证法证明数学命题的方法和步骤，先把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，而命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60°”的否定为“三个内角都大于60°”，故为三个内角都大于60°．37.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1．

（1）求A1C与DB所成角的大小；

（2）求二面角D-A1B-C的余弦值；

（3）若点E在A1B上，且EB=1，求EC与平面ABCD所成角的大小．答案：（1）如图建立空间直角坐标系C-xyz，则C（0，0，0），D（1，0，0），B（0，1，0），A1（1，1，1）．∴DB=(-1，1，0)，CA1=(1，1，1)．∴cos＜DB，CA1＞=DB•CA1|DB|•|CA1|=02•3=0．∴A1C与DB所成角的大小为90°．（2）设平面A1BD的法向量n1=（x，y，z），则n1⊥DB，n1⊥A1B，可得-x+y=0x+z=0，∴n1=（1，1，-1）．同理可求得平面A1BC的一个法向量n2=（1，0，-1），∴cos＜n1，n2＞=n1•n2|n1|•|n2|=26=63，∴二面角D-A1B-C的余弦值为63．（3）设n=（0，0，1）是平面ABCD的一个法向量，且CE=(22，1，22)，∴cos＜n，CE＞=n•CE|n|•|CE|=12，∴＜n，CE＞=60°，∴EC与平面ABCD所成的角是30°．38.设向量与的夹角为θ，，，则cosθ等于（）

A．

B．

C．

D．答案：D39.已知椭圆C的左右焦点坐标分别是（-2，0），（2，0），离心率22，直线y=x-1与椭圆C交于不同的两点A，B．

（1）求椭圆C的方程；

（2）求弦AB的长度．答案：（本小题满分13分）（1）依题意可设椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)…（1分）则c=2e=ca=22，解得a=22c=2…（3分）∴b2=a2-c2=8-4=4…（5分）∴椭圆C的方程为x28+y24=1…（6分）（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）…（7分）联立方程x28+y24=1y=x-1，消去y，并整理得：3x2-4x-6=0…（9分）∴x1+x2=43x1•x2=-2…（10分）∴|AB|=1+12|x2-x1|=2[(x1+x2)2-4x1x2]

=2[(43)2-4×(-2)]=4113…（12分）∴|AB|=4113…（13分）40.在（1+2x）5的展开式中，x2的系数等于______．（用数字作答）答案：由于（1+2x）5的展开式的通项公式为Tr+1=Cr5?（2x）r，令r=2求得x2的系数等于C25×22=40，故为40．41.设直线的参数方程是x=2+12ty=3+32t，那么它的斜截式方程是______．答案：∵直线的参数方程为x=2+12ty=3+32t（t为参数），消去参数化为普通方程可得y-3=3（x-2），那么它的斜截式方程是y=3x+3-23．故为：y=3x+3-23．42.试比较nn+1与（n+1）n（n∈N*）的大小．

当n=1时，有nn+1______（n+1）n（填＞、=或＜）；

当n=2时，有nn+1______（n+1）n（填＞、=或＜）；

当n=3时，有nn+1______（n+1）n（填＞、=或＜）；

当n=4时，有nn+1______（n+1）n（填＞、=或＜）；

猜想一个一般性的结论，并加以证明．答案：当n=1时，nn+1=1，（n+1）n=2，此时，nn+1＜（n+1）n，当n=2时，nn+1=8，（n+1）n=9，此时，nn+1＜（n+1）n，当n=3时，nn+1=81，（n+1）n=64，此时，nn+1＞（n+1）n，当n=4时，nn+1=1024，（n+1）n=625，此时，nn+1＞（n+1）n，根据上述结论，我们猜想：当n≥3时，nn+1＞（n+1）n（n∈N*）恒成立．①当n=3时，nn+1=34=81＞（n+1）n=43=64即nn+1＞（n+1）n成立．②假设当n=k时，kk+1＞（k+1）k成立，即：kk+1(k+1)k＞1则当n=k+1时，(k+1)k+2(k+2)k+1=(k+1)?(k+1k+2)k+1＞(k+1)?(kk+1)k+1=kk+1(k+1)k＞1即（k+1）k+2＞（k+2）k+1成立，即当n=k+1时也成立，∴当n≥3时，nn+1＞（n+1）n（n∈N*）恒成立．43.如图是一个几何体的三视图（单位：cm），则这个几何体的表面积是（）A．（7+2）

cm2B．（4+22）cm2C．（6+2）cm2D．（6+22）cm2答案：图中的几何体可看成是一个底面为直角梯形的直棱柱．直角梯形的上底为1，下底为2，高为1；棱柱的高为1．可求得直角梯形的四条边的长度为1，1，2，2．所以此几何体的表面积S表面=2S底+S侧面=12（1+2）×1×2+（1+1+2+2）×1=7+2（cm2）．故选A．44.过点M（0，1）作直线，使它被两直线l1：x-3y+10=0，l2：2x+y-8=0所截得的线段恰好被M所平分，求此直线方程．答案：设所求直线与已知直线l1，l2分别交于A、B两点．∵点B在直线l2：2x+y-8=0上，故可设B（t，8-2t）．又M（0，1）是AB的中点，由中点坐标公式得A（-t，2t-6）．∵A点在直线l1：x-3y+10=0上，∴（-t）-3（2t-6）+10=0，解得t=4．∴B（4，0），A（-4，2），故所求直线方程为：x+4y-4=0．45.设ABC是坐标平面上的一个三角形，P为平面上一点且AP=15AB+25AC，则△ABP的面积△ABC的面积=（）A．12B．15C．25D．23答案：连接CP并延长交AB于D，∵P、C、D三点共线，∴AP=λAD+μAC且λ+μ=1设AB=kAD，结合AP=15AB+25AC得AP=k5AD+25AC由平面向量基本定理解之，得λ=35，k=3且μ=25∴AP=35AD+25AC，可得PD=25CD，∵△ABP的面积与△ABC有相同的底边AB高的比等于|PD|与|CD|之比∴△ABP的面积与△ABC面积之比为25故选：C46.已知向量，,,则(

)A．B．C．5D．25答案：C解析：将平方即可求得C.47.在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，若AC′=xAB+2yBC-3zC′C，则x+y+z等于______．答案：根据向量的加法法则可得，AC′=AC+CC′=AB+BC+CC′∵AC′=xAB+2yBC-3zC′C∴x=1，2y=1，-3z=1∴x=1，y=12，z=-13∴x+y+z=1+12-13=76故为：7648.

若平面向量，，两两所成的角相等，||=||=1，||=3，则|++|=（）

A．2

B．4

C．2或5

D．4或5答案：C49.已知矩形ABCD，R、P分别在边CD、BC上，E、F分别为AP、PR的中点，当P在BC上由B向C运动时，点R在CD上固定不变，设BP=x，EF=y，那么下列结论中正确的是（）A．y是x的增函数B．y是x的减函数C．y随x先增大后减小D．无论x怎样变化，y是常数答案：连接AR，如图所示：由于点R在CD上固定不变，故AR的长为定值又∵E、F分别为AP、PR的中点，∴EF为△APR的中位线，则EF=12AR为定值故无论x怎样变化，y是常数故选D50.已知x1,x2,…,xn都是正数，且x1+x2+…+xn=1,求证：

++…+≥n2.答案：证明略解析：证明

++…+=(x1+x2+…+xn)（

++…+）≥=n2.第3卷一.综合题(共50题)1.阅读下面的程序框图，则输出的S=（）A．14B．20C．30D．55答案：∵S1=0，i1=1；S2=1，i2=2；S3=5，i3=3；S4=14，i4=4；S5=30，i=5＞4退出循环，故为C．2.（1+3x）n（其中n∈N且n≥6）的展开式中x5与x6的系数相等，则n=（）A．6B．7C．8D．9答案：二项式展开式的通项为Tr+1=3rCnrxr∴展开式中x5与x6的系数分别是35Cn5，36Cn6∴35Cn5=36Cn6解得n=7故选B3.以下命题：

①两个共线向量是指在同一直线上的两个向量；

②共线的两个向量互相平行；

③共面的三个向量是指在同一平面内的三个向量；

④共面的三个向量是指平行于同一平面的三个向量．

其中正确命题的序号是______．答案：解①根据共面与共线向量的定义可知①错误．②根据共线向量的定义可知②正确．③根据共面向量的定义可知③错误．④根据共面向量的定义可知④正确．故为：②④．4.若90°＜θ＜180°，曲线x2+y2sinθ=1表示（）

A．焦点在x轴上的双曲线

B．焦点在y轴上的双曲线

C．焦点在x轴上的椭圆

D．焦点在y轴上的椭圆答案：D5.从数字1，2，3，4，5中任取两个不同的数字构成一个两位数，这个两位数大于40的概率（）A．15B．25C．35D．45答案：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从数字1，2，3，4，5中任取两个不同的数字构成一个两位数，共有A52=20种结果，满足条件的事件可以列举出有，41，41，43，45，54，53，52，51共有8个，根据古典概型概率公式得到P=820=25，故选B．6.根据下面的要求，求满足1+2+3+…+n＞500的最小的自然数n．

（1）画出执行该问题的程序框图；

（2）以下是解决该问题的一个程序，但有2处错误，请找出错误并予以更正．答案：（12分）（1）程序框图如图：（两者选其一即可，不唯一）（2）①直到型循环结构是直到满足条件退出循环，While错误，应改成LOOP

UNTIL；②根据循环次数可知输出n+1

应改为输出n；7.口袋中装有三个编号分别为1，2，3的小球，现从袋中随机取球，每次取一个球，确定编号后放回，连续取球两次．则“两次取球中有3号球”的概率为（）A．59B．49C．25D．12答案：每次取球时，出现3号球的概率为13，则两次取得球都是3号求得概率为C22?(13)2=19，两次取得球只有一次取得3号求得概率为C12?13?23=49，故“两次取球中有3号球”的概率为19+49=59，故选A．8.抛物线y=14x2的焦点坐标是______．答案：抛物线y=14x2

即x2=4y，∴p=2，p2=1，故焦点坐标是（0，1），故为（0，1）．9.若有以下说法：

①相等向量的模相等；

②若a和b都是单位向量，则a=b；

③对于任意的a和b，|a+b|≤|a|+|b|恒成立；

④若a∥b，c∥b，则a∥c．

其中正确的说法序号是（）A．①③B．①④C．②③D．③④答案：根据定义，大小相等且方向相同的两个向量相等．因此相等向量的模相等，故①正确；因为单位向量的模等于1，而方向不确定．所以若a和b都是单位向量，则不一定有a=b成立，故②不正确；根据向量加法的三角形法则，可得对于任意的a和b，都有|a+b|≤|a|+|b|成立，当且仅当a和b方向相同时等号成立，故③正确；若b=0，则有a∥b且c∥b，但是a∥c不成立，故④不正确．综上所述，正确的命题是①③故选：A10.如图：已知圆上的弧

AC=

BD，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：

（Ⅰ）∠ACE=∠BCD．

（Ⅱ）BC2=BE×CD．答案：（Ⅰ）因为AC=BD，所以∠BCD=∠ABC．又因为EC与圆相切于点C，故∠ACE=∠ABC所以∠ACE=∠BCD．（5分）（Ⅱ）因为∠ECB=∠CDB，∠EBC=∠BCD，所以△BDC～△ECB，故BCBE=CDBC．即BC2=BE×CD．（10分）11.H：x-y+z=2为坐标空间中一平面，L为平面H上的一直线．已知点P（2，1，1）为L上距离原点O最近的点，则______为L的方向向量．答案：∵x-y+z=2为坐标空间中一平面∴平面的一个法向量是n=(1，-1，1)设直线L的方向向量为d=(2，b，c)∵L在H上，∴d与平面H的法向量n=(1，-1，1)垂直故d•n=0⇒2-b+c=0∵P（2，1，1）为直线L上距离原点O最近的点，∴.OP⊥L故OP•d=0⇒(2，1，1)•(2，b，c)=0⇒4+b+c=0解得b=-1，c=-3故为：（2，-1，-3）12.已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴有两个不同的交点，若f（c）=0，且0＜x＜c时，f（x）＞0

（1）证明：1a是f（x）的一个根；（2）试比较1a与c的大小．答案：证明：（1）∵f（x）=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴有两个不同的交点，f（x）=0的两个根x1，x2满足x1x2=ca，又f（c）=0，不妨设x1=c∴x2=1a，即1a是f(x)=0的一个根．（2）假设1a＜c，又1a＞0由0＜x＜c时，f（x）＞0，得f(1a)＞0，与f(1a)=0矛盾∴1a≥c又：f（x）=0的两个根不相等∴1a≠c，只有1a＞c13.设集合M={（x，y）|x+y＜0，xy＞0}和P={（x，y）|x＜0，y＜0}，那么M与P的关系为______．答案：由x+y＜0，xy＞0，?x＜0，y＜0．∴M=P．故为M=P．14.在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若AC=λAE+μAF，其中λ、μ∈R，则λ+μ=______．答案：解析：设AB=a，AD=b，那么AE=12a+b，AF=a+12b，又∵AC=a+b，∴AC=23（AE+AF），即λ=μ=23，∴λ+μ=43．故为：43．15.（坐标系与参数方程）

从极点O作直线与另一直线ρcosθ=4相交于点M，在OM上取一点P，使OM•OP=12．

（1）求点P的轨迹方程；

（2）设R为直线ρcosθ=4上任意一点，试求RP的最小值．答案：（1）设动点P的坐标为（ρ，θ），M的坐标为（ρ0，θ），则ρρ0=12．∵ρ0cosθ=4，∴ρ=3cosθ即为所求的轨迹方程．（2）由（1）知P的轨迹是以（32，0）为圆心，半径为32的圆，而直线l的解析式为x=4，所以圆与x轴的交点坐标为（3，0），易得RP的最小值为116.如果随机变量ξ～N（0，σ2），且P（-2＜ξ≤0）=0.4，则P（ξ＞2）等于（）

A．0.1

B．0.2

C．0.3

D．0.4答案：A17.阅读程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（）A．3B．4C．5D．6答案：该程序框图是循环结构经第一次循环得到i=1，a=2；经第二次循环得到i=2，a=5；经第三次循环得到i=3，a=16；经第四次循环得到i=4，a=65满足判断框的条件，执行是，输出4故选B18.已知方程x2-6x+a=0的两个不等实根均大于2，则实数a的取值范围为（）

A．[4，9）

B．（4，9]

C．（4，9）

D．（8，9）答案：D19.已知向量i=（1，0），j=（0，1）．若向量i+λj与λi+j垂直，则实数λ=______．答案：由题意可得，i+λj=（1，λ），λi+j=（λ，1）∵i+λj与λi+j垂直(i+λj)?(λi+j)=2λ=0∴λ=0故为：020.已知平行四边形ABCD，下列正确的是（）

A．

B．

C．

D．答案：B21.如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是BD的中点，AE交BC于F，则的值等于（）

A．

B．

C．

D．

答案：A22.某商场举行购物抽奖促销活动，规定每位顾客从装有编号为0，1，2，3四个相同小球的抽奖箱中，每次取出一球记下编号后放回，连续取两次，若取出的两个小球号码相加之和等于6则中一等奖，等于5中二等奖，等于4或3中三等奖．

（1）求中三等奖的概率；

（2）求中奖的概率．答案：（1）设“中三等奖”为事件A，“中奖”为事件B，从四个小球中有放回的取两个共有（0，0），（0，1），（0，2），（0，3），（1，0），（1，1）（1，2），（1，3），（2，0），（2，1），（2，2），（2，3），（3，0），（3，1），（3，2），（3，3）16种不同的结果两个小球号码相加之和等于4的取法有3种：（1，3），（2，2），（3，1）两个小球号相加之和等于3的取法有4种：（0，3），（1，2），（2，1），（3，0）由互斥事件的加法公式得：P(A)=316+416=716，即中三等奖的概率为716；（2）两个小球号码相加之和等于3的取法有4种；（0，3），（1，2），（2，1），（3，0）两个小球相加之和等于4的取法有3种；（1，3），（2，2），（3，1）两个小球号码相加之和等于5的取法有2种：（2，3），（3，2）两个小球号码相加之和等于6的取法有1种：（3，3）由互斥事件的加法公式得：P(B)=116+216+316+416=58.即中奖的概率为：58．23.将函数="2x"+1的图像按向量平移得函数=的图像则

A=（1）B=（1，1）C=()

D(1，1）答案：C解析：分析：本小题主要考查函数图象的平移与向量的关系问题．依题由函数y=2x+1的图象得到函数y=2x+1的图象，需将函数y=2x+1的图象向左平移1个单位，向下平移1个单位；故=(-1，-1)．解：设=（h，k）则函数y=2x+1的图象平移向量后所得图象的解析式为y=2x-h+1+k∴∴∴=（-1，-1）故答案为：C．24.老师在班级50名学生中，依次抽取学号为5，10，15，20，25，30，35，40，45，50的学和进行作业检查，这种抽样方法是（）

A．随机抽样

B．分层抽样

C．系统抽样

D．以上都是答案：C25.某总体容量为M，其中带有标记的有N个，现用简单随机抽样方法从中抽出一个容量为m的样本，则抽取的m个个体中带有标记的个数估计为（）A．mNMB．mMNC．MNmD．N答案：由题意知，总体中带有标记的鱼所占比例是NM，故样本中带有标记的个数估计为mNM，故选A．26.某公司招聘员工，经过笔试确定面试对象人数，面试对象人数按拟录用人数分段计算，计算公式为：y=4x，1≤x≤102x+10，10＜x≤1001.5x

，x＞100其中x代表拟录用人数，y代表面试对象人数．若应聘的面试对象人数为60人，则该公司拟录用人数为（）A．15B．40C．130D．25答案：∵y=4x，1≤x≤102x+10，10＜x≤1001.5x

，x＞100=60，∴当1≤x≤10时，由4x=60得x=15?[1，10]，不满足题意；当10＜x≤100时，由2x+10=60得x=25∈（10，100]，满足题意；当x＞100时，由1.5x=60得x=40?（100，+∞），不满足题意．∴该公司拟录用人数为25．故选D．27.如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上一点，AE⊥DC交DC的延长线于点E，且AC平分∠EAB．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若AB=6，AE=245，求BD和BC的长．答案：（1）证明：连接OC∵AC平分∠EAB∴∠EAC=∠BAC又在圆中OA=OC∴∠AC0=∠BAC∴∠EAC=∠ACO∴OC∥AE（内错角相等，两直线平行）则由AE⊥DC知OC⊥DC即DE是⊙O的切线．（2）∵∠D=∠D，∠E=∠OCD=90°∴△DCO∽△DEA∴BD=2∵Rt△EAC∽Rt△CAB．∴AC2=1445由勾股定理得BC=655．28.空间向量a=（2，-1，0），.b=（1，0，-1），n=（1，y，z），若n⊥a，n⊥b，则y+z=______．答案：∵n⊥a，n⊥b，∴n•a=0n•b=0，即2-y=01-z=0，解得y=2z=1，∴y+z=3．故为3．29.如图所示，以直角三角形ABC的直角边AC为直径作⊙O，交斜边AB于点D，过点D作⊙O的切线，交BC边于点E．则BEBC=______．答案：连接CD，∵AC是⊙O的直径，∴CD⊥AB．∵BC经过半径OC的端点C且BC⊥AC，∴BC是⊙O的切线，而DE是⊙O的切线，∴EC=ED．∴∠ECD=∠CDE，∴∠B=∠BDE，∴DE=BE．∴BE=CE=12BC．∴BEBC=12．故为12．30.若复数z=（m2-1）+（m+1）i为纯虚数，则实数m的值等于______．答案：复数z=（m2-1）+（m+1）i当z是纯虚数时，必有：m2-1=0且m+1≠0解得，m=1．故为1．31.若直线l与直线2x+5y-1=0垂直，则直线l的方向向量为______．答案：直线l与直线2x+5y-1=0垂直，所以直线l：5x-2y+k=0，所以直线l的方向向量为：（2，5）．故为：（2，5）32.（本题满分12分）已知对任意的平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角，得到向量，叫做把点B绕点A逆时针方向旋转角得到点P

①已知平面内的点A（1，2），B，把点B绕点A沿逆时针方向旋转后得到点P，求点P的坐标

②设平面内曲线C上的每一点绕逆时针方向旋转后得到的点的轨迹是曲线，求原来曲线C的方程.答案：解:

……2分

……6分

解得x="0,y="-1

……7分②

…………10分

即…………11分又x’2-y’2="1

"……12分

……13分

化简得:

……14分解析：略33.设a，b，c是正实数，求证：aabbcc≥（abc）a+b+c3．答案：证明：不妨设a≥b≥c＞0，则lga≥lgb≥lgc．据排序不等式有：alga+blgb+clgc≥blga+clgb+algcalga+blgb+clgc≥clga+algb+blgcalga+blgb+clgc=alga+blgb+clgc上述三式相加得：3（alga+blgb+clgc）≥（a+b+c）（lga+lgb+lgc）即lg（aabbcc）≥a+b+c3lg（abc）故aabbcc≥（abc）a+b