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2021-2022高考数学模拟试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.对于定义在上的函数,若下列说法中有且仅有一个是错误的,则错误的一个是()A.在上是减函数 B.在上是增函数C.不是函数的最小值 D.对于,都有2.二项式的展开式中,常数项为()A. B.80 C. D.1603.函数在上单调递减,且是偶函数,若,则的取值范围是()A.(2,+∞) B.(﹣∞,1)∪(2,+∞)C.(1,2) D.(﹣∞,1)4.已知函数(其中为自然对数的底数)有两个零点,则实数的取值范围是()A. B.C. D.5.如图,在三棱锥中,平面,,现从该三棱锥的个表面中任选个,则选取的个表面互相垂直的概率为()A. B. C. D.6.设全集,集合,,则()A. B. C. D.7.在正方体中,点、分别为、的中点,过点作平面使平面,平面若直线平面,则的值为()A. B. C. D.8.已知集合A,则集合()A. B. C. D.9.若函数的图象经过点,则函数图象的一条对称轴的方程可以为()A. B. C. D.10.已知数列是公比为的正项等比数列,若、满足,则的最小值为()A. B. C. D.11.函数(其中是自然对数的底数)的大致图像为()A. B. C. D.12.在一个数列中,如果,都有(为常数),那么这个数列叫做等积数列,叫做这个数列的公积.已知数列是等积数列,且,,公积为,则()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.在的二项展开式中,x的系数为________.(用数值作答)14.已知函数,则不等式的解集为____________.15.已知数列的前项和为,,且满足,则数列的前10项的和为______.16.(5分)如图是一个算法的流程图,若输出的值是,则输入的值为____________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数,.(1)证明:函数的极小值点为1;(2)若函数在有两个零点,证明:.18.(12分)某超市在节日期间进行有奖促销,规定凡在该超市购物满400元的顾客,均可获得一次摸奖机会.摸奖规则如下:奖盒中放有除颜色不同外其余完全相同的4个球(红、黄、黑、白).顾客不放回的每次摸出1个球,若摸到黑球则摸奖停止,否则就继续摸球.按规定摸到红球奖励20元,摸到白球或黄球奖励10元,摸到黑球不奖励.(1)求1名顾客摸球2次摸奖停止的概率;(2)记X为1名顾客摸奖获得的奖金数额,求随机变量X的分布列和数学期望.19.(12分)在数列中,,(1)求数列的通项公式;(2)若存在,使得成立,求实数的最小值20.(12分)如图所示的几何体中,,四边形为正方形,四边形为梯形,,,,为中点.(1)证明:;(2)求二面角的余弦值.21.(12分)已知函数.(Ⅰ)若,求曲线在处的切线方程;(Ⅱ)当时,要使恒成立,求实数的取值范围.22.(10分)已知函数,函数().(1)讨论的单调性;(2)证明:当时,.(3)证明:当时,.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.B【解析】
根据函数对称性和单调性的关系,进行判断即可.【详解】由得关于对称,若关于对称,则函数在上不可能是单调的,故错误的可能是或者是,若错误,则在,上是减函数,在在上是增函数,则为函数的最小值,与矛盾,此时也错误,不满足条件.故错误的是,故选:.【点睛】本题主要考查函数性质的综合应用,结合对称性和单调性的关系是解决本题的关键.2.A【解析】
求出二项式的展开式的通式,再令的次数为零,可得结果.【详解】解:二项式展开式的通式为,令,解得,则常数项为.故选:A.【点睛】本题考查二项式定理指定项的求解,关键是熟练应用二项展开式的通式,是基础题.3.B【解析】
根据题意分析的图像关于直线对称,即可得到的单调区间,利用对称性以及单调性即可得到的取值范围。【详解】根据题意,函数满足是偶函数,则函数的图像关于直线对称,若函数在上单调递减,则在上递增,所以要使,则有,变形可得,解可得:或,即的取值范围为;故选:B.【点睛】本题考查偶函数的性质,以及函数单调性的应用,有一定综合性,属于中档题。4.B【解析】
求出导函数,确定函数的单调性,确定函数的最值,根据零点存在定理可确定参数范围.【详解】,当时,,单调递增,当时,,单调递减,∴在上只有一个极大值也是最大值,显然时,,时,,因此要使函数有两个零点,则,∴.故选:B.【点睛】本题考查函数的零点,考查用导数研究函数的最值,根据零点存在定理确定参数范围.5.A【解析】
根据线面垂直得面面垂直,已知平面,由,可得平面,这样可确定垂直平面的对数,再求出四个面中任选2个的方法数,从而可计算概率.【详解】由已知平面,,可得,从该三棱锥的个面中任选个面共有种不同的选法,而选取的个表面互相垂直的有种情况,故所求事件的概率为.故选:A.【点睛】本题考查古典概型概率,解题关键是求出基本事件的个数.6.B【解析】
可解出集合,然后进行补集、交集的运算即可.【详解】,,则,因此,.故选:B.【点睛】本题考查补集和交集的运算,涉及一元二次不等式的求解,考查运算求解能力,属于基础题.7.B【解析】
作出图形,设平面分别交、于点、,连接、、,取的中点,连接、,连接交于点,推导出,由线面平行的性质定理可得出,可得出点为的中点,同理可得出点为的中点,结合中位线的性质可求得的值.【详解】如下图所示:设平面分别交、于点、,连接、、,取的中点,连接、,连接交于点,四边形为正方形,、分别为、的中点,则且,四边形为平行四边形,且,且,且,则四边形为平行四边形,,平面,则存在直线平面,使得,若平面,则平面,又平面,则平面,此时,平面为平面,直线不可能与平面平行,所以,平面,,平面,平面,平面平面,,,所以,四边形为平行四边形,可得,为的中点,同理可证为的中点,,,因此,.故选:B.【点睛】本题考查线段长度比值的计算,涉及线面平行性质的应用,解答的关键就是找出平面与正方体各棱的交点位置,考查推理能力与计算能力,属于中等题.8.A【解析】
化简集合,,按交集定义,即可求解.【详解】集合,,则.故选:A.【点睛】本题考查集合间的运算,属于基础题.9.B【解析】
由点求得的值,化简解析式,根据三角函数对称轴的求法,求得的对称轴,由此确定正确选项.【详解】由题可知.所以令,得令,得故选:B【点睛】本小题主要考查根据三角函数图象上点的坐标求参数,考查三角恒等变换,考查三角函数对称轴的求法,属于中档题.10.B【解析】
利用等比数列的通项公式和指数幂的运算法则、指数函数的单调性求得再根据此范围求的最小值.【详解】数列是公比为的正项等比数列,、满足,由等比数列的通项公式得,即,,可得,且、都是正整数,求的最小值即求在,且、都是正整数范围下求最小值和的最小值,讨论、取值.当且时,的最小值为.故选:B.【点睛】本题考查等比数列的通项公式和指数幂的运算法则、指数函数性质等基础知识,考查数学运算求解能力和分类讨论思想,是中等题.11.D【解析】由题意得,函数点定义域为且,所以定义域关于原点对称,且,所以函数为奇函数,图象关于原点对称,故选D.12.B【解析】
计算出的值,推导出,再由,结合数列的周期性可求得数列的前项和.【详解】由题意可知,则对任意的,,则,,由,得,,,,因此,.故选:B.【点睛】本题考查数列求和,考查了数列的新定义,推导出数列的周期性是解答的关键,考查推理能力与计算能力,属于中等题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.-40【解析】
由题意,可先由公式得出二项展开式的通项,再令10-3r=1,得r=3即可得出x项的系数【详解】的二项展开式的通项公式为,r=0,1,2,3,4,5,令,所以的二项展开式中x项的系数为.故答案为:-40.【点睛】本题考查二项式定理的应用,解题关键是灵活掌握二项式展开式通项的公式,属于基础题.14.【解析】
,,分类讨论即可.【详解】由已知,,,若,则或解得或,所以不等式的解集为.故答案为:【点睛】本题考查分段函数的应用,涉及到解一元二次不等式,考查学生的计算能力,是一道中档题.15.1【解析】
由得时,,两式作差,可求得数列的通项公式,进一步求出数列的和.【详解】解:数列的前项和为,,且满足,①当时,,②①-②得:,整理得:(常数),故数列是以为首项,2为公比的等比数列,所以(首项不符合通项),故,所以:,故答案为:1.【点睛】本题主要考查数列的通项公式的求法及应用,数列的前项和的公式,属于基础题.16.或【解析】
依题意,当时,由,即,解得;当时,由,解得或(舍去).综上,得或.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)见解析(2)见解析【解析】
(1)利用导函数的正负确定函数的增减.(2)函数在有两个零点,即方程在区间有两解,令通过二次求导确定函数单调性证明参数范围.【详解】解:(1)证明:因为,当时,,,所以在区间递减;当时,,所以,所以在区间递增;且,所以函数的极小值点为1(2)函数在有两个零点,即方程在区间有两解,令,则令,则,所以在单调递增,又,故存在唯一的,使得,即,所以在单调递减,在区间单调递增,且,又因为,所以,方程关于的方程在有两个零点,由的图象可知,,即.【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性,确定函数的极值,利用二次求导,零点存在性定理确定参数范围,属于难题.18.(1);(2)20.【解析】
(1)1名顾客摸球2次摸奖停止,说明第一次是从红球、黄球、白球中摸一球,第二次摸的是黑球,即求概率;(2)的可能取值为:0,10,20,30,1.分别求出取各个值时的概率,即可求出分布列和数学期望.【详解】(1)1名顾客摸球2次摸奖停止,说明第一次是从红球、黄球、白球中摸一球,第二次摸的是黑球,所以1名顾客摸球2次摸奖停止的概率.(2)的可能取值为:0,10,20,30,1.,∴随机变量X的分布列为:X01020301P数学期望.【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列和数学期望,属于中档题.19.(1);(2)【解析】
(1)由得,两式相减可得是从第二项开始的等比数列,由此即可求出答案;(2),分类讨论,当时,,作商法可得数列为递增数列,由此可得答案,【详解】解:(1)因为,,两式相减得:,即,是从第二项开始的等比数列,∵∴,则,;(2),当时,;当时,设递增,,所以实数的最小值.【点睛】本题主要考查地推数列的应用,属于中档题.20.(1)见解析;(2)【解析】
(1)取的中点,结合三角形中位线和长度关系,为平行四边形,进而得到,根据线面平行判定定理可证得结论;(2)以,,为,,轴建立空间直角坐标系,分别求得两面的法向量,求得法向量夹角的余弦值;根据二面角为锐角确定最终二面角的余弦值;【详解】(1)取的中点,连结,因为为中点,,,所以,,∴为平行四边形,所以,又因为,所以;(2)由题及(1)易知,,两两垂直,所以以,,为,,轴建立空间直角坐标系,则,,,,,,易知面的法向量为设面的法向量为则可得所以,如图可知二面角为锐角,所以余弦值为【点睛】本题考查立体几何中直线与平面平行关系的证明、空间向量法求解二面角,正确求解法向量是解题的关键,属于中档题.21.(Ⅰ)(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)求函数的导函数,即可求得切线的斜率,则切线方程得解;(Ⅱ)构造函数,对参数分类讨论,求得函数的单调性,以及最值,即可容易求得参数范围.【详解】(Ⅰ)当时,,则.所以.又,故所求切线方程为,即.(Ⅱ)依题意,得,即恒成立.令,则.①当时,因为,不合题意.②当时,令,得,,显然.令,得或;令,得.所以函数的单调递增区间是,,单调递减区间是.当时,,,所以,只需,所以,所以实数的取值范围为.【点睛】本题考查利用导数的几何意义求切线方程,以及利用导数研究恒成立问题,属综合中档题.22.(1)答案不唯一,具体见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【解析】
(1)求出的定义
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