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文档简介

2021-2022高考数学模拟试卷考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知集合,,若,则()A.4 B.-4 C.8 D.-82.在区间上随机取一个数,使得成立的概率为等差数列的公差,且,若,则的最小值为()A.8 B.9 C.10 D.113.抛物线的焦点为,则经过点与点且与抛物线的准线相切的圆的个数有()A.1个 B.2个 C.0个 D.无数个4.已知椭圆的短轴长为2,焦距为分别是椭圆的左、右焦点,若点为上的任意一点,则的取值范围为()A. B. C. D.5.在很多地铁的车厢里,顶部的扶手是一根漂亮的弯管,如下图所示.将弯管形状近似地看成是圆弧,已知弯管向外的最大突出(图中)有,跨接了6个坐位的宽度(),每个座位宽度为,估计弯管的长度,下面的结果中最接近真实值的是()A. B. C. D.6.存在点在椭圆上,且点M在第一象限,使得过点M且与椭圆在此点的切线垂直的直线经过点,则椭圆离心率的取值范围是()A. B. C. D.7.已知复数z=(1+2i)(1+ai)(a∈R),若z∈R,则实数a=()A. B. C.2 D.﹣28.如图,矩形ABCD中,,,E是AD的中点,将沿BE折起至,记二面角的平面角为,直线与平面BCDE所成的角为,与BC所成的角为,有如下两个命题:①对满足题意的任意的的位置,;②对满足题意的任意的的位置,,则()A.命题①和命题②都成立 B.命题①和命题②都不成立C.命题①成立,命题②不成立 D.命题①不成立,命题②成立9.已知水平放置的△ABC是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图,其中B′O′=C′O′=1,A′O′=,那么原△ABC的面积是()A. B.2C. D.10.若复数满足(为虚数单位),则其共轭复数的虚部为()A. B. C. D.11.某人用随机模拟的方法估计无理数的值,做法如下:首先在平面直角坐标系中,过点作轴的垂线与曲线相交于点,过作轴的垂线与轴相交于点(如图),然后向矩形内投入粒豆子,并统计出这些豆子在曲线上方的有粒,则无理数的估计值是()A. B. C. D.12.公元263年左右,我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时,多边形面积可无限逼近圆的面积,并创立了“割圆术”,利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值,这就是著名的“徽率”。如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图,则输出的值为()(参考数据:)A.48 B.36 C.24 D.12二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.设等比数列的前项和为,若,则数列的公比是.14.在《九章算术》中,将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.如图,若四棱锥为阳马,侧棱底面,且,,设该阳马的外接球半径为,内切球半径为,则__________.15.如图,在菱形ABCD中,AB=3,,E,F分别为BC,CD上的点,,若线段EF上存在一点M,使得,则____________,____________.(本题第1空2分,第2空3分)16.设点P在函数的图象上,点Q在函数的图象上,则线段PQ长度的最小值为_________三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)的内角,,的对边分别为,,已知,.(1)求;(2)若的面积,求.18.(12分)已知函数.(1)求不等式的解集;(2)若函数的定义域为,求实数的取值范围.19.(12分)数列满足,,其前n项和为,数列的前n项积为.(1)求和数列的通项公式;(2)设,求的前n项和,并证明:对任意的正整数m、k,均有.20.(12分)已知函数,为的导数,函数在处取得最小值.(1)求证:;(2)若时,恒成立,求的取值范围.21.(12分)已知函数.(1)当时,求不等式的解集;(2)若的图象与轴围成的三角形面积大于6,求的取值范围.22.(10分)如图,已知正方形所在平面与梯形所在平面垂直,BM∥AN,,,.(1)证明:平面;(2)求点N到平面CDM的距离.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.B【解析】

根据交集的定义,,可知,代入计算即可求出.【详解】由,可知,又因为,所以时,,解得.故选:B.【点睛】本题考查交集的概念,属于基础题.2.D【解析】

由题意,本题符合几何概型,只要求出区间的长度以及使不等式成立的的范围区间长度,利用几何概型公式可得概率,即等差数列的公差,利用条件,求得,从而求得,解不等式求得结果.【详解】由题意,本题符合几何概型,区间长度为6,使得成立的的范围为,区间长度为2,故使得成立的概率为,又,,,令,则有,故的最小值为11,故选:D.【点睛】该题考查的是有关几何概型与等差数列的综合题,涉及到的知识点有长度型几何概型概率公式,等差数列的通项公式,属于基础题目.3.B【解析】

圆心在的中垂线上,经过点,且与相切的圆的圆心到准线的距离与到焦点的距离相等,圆心在抛物线上,直线与抛物线交于2个点,得到2个圆.【详解】因为点在抛物线上,又焦点,,由抛物线的定义知,过点、且与相切的圆的圆心即为线段的垂直平分线与抛物线的交点,这样的交点共有2个,故过点、且与相切的圆的不同情况种数是2种.故选:.【点睛】本题主要考查抛物线的简单性质,本题解题的关键是求出圆心的位置,看出圆心必须在抛物线上,且在垂直平分线上.4.D【解析】

先求出椭圆方程,再利用椭圆的定义得到,利用二次函数的性质可求,从而可得的取值范围.【详解】由题设有,故,故椭圆,因为点为上的任意一点,故.又,因为,故,所以.故选:D.【点睛】本题考查椭圆的几何性质,一般地,如果椭圆的左、右焦点分别是,点为上的任意一点,则有,我们常用这个性质来考虑与焦点三角形有关的问题,本题属于基础题.5.B【解析】

为弯管,为6个座位的宽度,利用勾股定理求出弧所在圆的半径为,从而可得弧所对的圆心角,再利用弧长公式即可求解.【详解】如图所示,为弯管,为6个座位的宽度,则设弧所在圆的半径为,则解得可以近似地认为,即于是,长所以是最接近的,其中选项A的长度比还小,不可能,因此只能选B,260或者由,所以弧长.故选:B【点睛】本题考查了弧长公式,需熟记公式,考查了学生的分析问题的能力,属于基础题.6.D【解析】

根据题意利用垂直直线斜率间的关系建立不等式再求解即可.【详解】因为过点M椭圆的切线方程为,所以切线的斜率为,由,解得,即,所以,所以.故选:D【点睛】本题主要考查了建立不等式求解椭圆离心率的问题,属于基础题.7.D【解析】

化简z=(1+2i)(1+ai)=,再根据z∈R求解.【详解】因为z=(1+2i)(1+ai)=,又因为z∈R,所以,解得a=-2.故选:D【点睛】本题主要考查复数的运算及概念,还考查了运算求解的能力,属于基础题.8.A【解析】

作出二面角的补角、线面角、线线角的补角,由此判断出两个命题的正确性.【详解】①如图所示,过作平面,垂足为,连接,作,连接.由图可知,,所以,所以①正确.②由于,所以与所成角,所以,所以②正确.综上所述,①②都正确.故选:A【点睛】本题考查了折叠问题、空间角、数形结合方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.9.A【解析】

先根据已知求出原△ABC的高为AO=,再求原△ABC的面积.【详解】由题图可知原△ABC的高为AO=,∴S△ABC=×BC×OA=×2×=,故答案为A【点睛】本题主要考查斜二测画法的定义和三角形面积的计算,意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.10.D【解析】

由已知等式求出z,再由共轭复数的概念求得,即可得虚部.【详解】由zi=1﹣i,∴z=,所以共轭复数=-1+,虚部为1故选D.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算和共轭复数的基本概念,属于基础题.11.D【解析】

利用定积分计算出矩形中位于曲线上方区域的面积,进而利用几何概型的概率公式得出关于的等式,解出的表达式即可.【详解】在函数的解析式中,令,可得,则点,直线的方程为,矩形中位于曲线上方区域的面积为,矩形的面积为,由几何概型的概率公式得,所以,.故选:D.【点睛】本题考查利用随机模拟的思想估算的值,考查了几何概型概率公式的应用,同时也考查了利用定积分计算平面区域的面积,考查计算能力,属于中等题.12.C【解析】

由开始,按照框图,依次求出s,进行判断。【详解】,故选C.【点睛】框图问题,依据框图结构,依次准确求出数值,进行判断,是解题关键。二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13..【解析】

当q=1时,.当时,,所以.14.【解析】

该阳马补形所得到的长方体的对角线为外接球的直径,由此能求出,内切球在侧面内的正视图是的内切圆,从而内切球半径为,由此能求出.【详解】四棱锥为阳马,侧棱底面,且,,设该阳马的外接球半径为,该阳马补形所得到的长方体的对角线为外接球的直径,,,侧棱底面,且底面为正方形,内切球在侧面内的正视图是的内切圆,内切球半径为,故.故答案为.【点睛】本题考查了几何体外接球和内切球的相关问题,补形法的运用,以及数学文化,考查了空间想象能力,是中档题.解决球与其他几何体的切、接问题,关键是能够确定球心位置,以及选择恰当的角度做出截面.球心位置的确定的方法有很多,主要有两种:(1)补形法(构造法),通过补形为长方体(正方体),球心位置即为体对角线的中点;(2)外心垂线法,先找出几何体中不共线三点构成的三角形的外心,再找出过外心且与不共线三点确定的平面垂直的垂线,则球心一定在垂线上.15.【解析】

根据题意,设,则,所以,解得,所以,从而有.16.【解析】

由解析式可分析两函数互为反函数,则图象关于对称,则点到的距离的最小值的二倍即为所求,利用导函数即可求得最值.【详解】由题,因为与互为反函数,则图象关于对称,设点为,则到直线的距离为,设,则,令,即,所以当时,,即单调递减;当时,,即单调递增,所以,则,所以的最小值为,故答案为:【点睛】本题考查反函数的性质的应用,考查利用导函数研究函数的最值问题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1);(2)【解析】

试题分析:(1)根据余弦定理求出B,带入条件求出,利用同角三角函数关系求其余弦,再利用两角差的余弦定理即可求出;(2)根据(1)及面积公式可得,利用正弦定理即可求出.试题解析:(1)由,得,∴.∵,∴.由,得,∴.∴.(2)由(1),得.由及题设条件,得,∴.由,得,∴,∴.点睛:解决三角形中的角边问题时,要根据条件选择正余弦定理,将问题转化统一为边的问题或角的问题,利用三角中两角和差等公式处理,特别注意内角和定理的运用,涉及三角形面积最值问题时,注意均值不等式的利用,特别求角的时候,要注意分析角的范围,才能写出角的大小.18.(1)(2)【解析】

(1)分类讨论,去掉绝对值,化为与之等价的三个不等式组,求得每个不等式组的解集,再取并集即可.(2)要使函数的定义域为R,只要的最小值大于0即可,根据绝对值不等式的性质求得最小值即可得到答案.【详解】(1)不等式或或,解得或,即x>0,所以原不等式的解集为.(2)要使函数的定义域为R,只要的最小值大于0即可,又,当且仅当时取等,只需最小值,即.所以实数a的取值范围是.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法,考查利用绝对值三角不等式求最值,属基础题.19.(1),;(2),证明见解析【解析】

(1)利用已知条件建立等量关系求出数列的通项公式.(2)利用裂项相消法求出数列的和,进一步利用放缩法求出结论.【详解】(1),,得是公比为的等比数列,,,当时,数列的前项积为,则,两式相除得,得,又得,;(2),故.【点睛】本题考查的知识要点:数列的通项公式的求法及应用,数列的前项和的应用,裂项相消法在数列求和中的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力,属于中档题.20.(1)见解析;(2).【解析】

(1)对求导,令,求导研究单调性,分析可得存在使得,即,即得证;(2)分,两种情况讨论,当时,转化利用均值不等式即得证;当,有两个不同的零点,,分析可得的最小值为,分,讨论即得解.【详解】(1)由题意,令,则,知为的增函数,因为,,所以,存在使得,即.所以,当时,为减函数,当时,为增函数,故当时,取得最小值,也就是取得最小值.故,于是有,即,所以有,证毕.(2)由(1)知,的最小值为,①当,即时,为的增函数,所以,,由(1)中,得,即.故满足题意.②当,即时,有两个不同的零点,,且,即,若时,为减函数,(*)若时,为增函数,所以的最小值为.注意到时,,且此时,(ⅰ)当时,,所以,即,又,而,所以,即.由于在下,恒有,所以.(ⅱ)当时,,所以,所以由(*)知时,为减函数,所以,不满足时,恒成立,故舍去.故满足条件.综上所述:的取值范围是.【点睛】本题考查了函数与导数综合,考查了利用导

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