湖南省长沙市一中、湖南师大附中2021-2022学年高考压轴卷数学试卷含解析_第1页
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文档简介

2021-2022高考数学模拟试卷考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.函数y=sin2x的图象可能是A. B.C. D.2.已知集合,则集合的非空子集个数是()A.2 B.3 C.7 D.83.中国的国旗和国徽上都有五角星,正五角星与黄金分割有着密切的联系,在如图所示的正五角星中,以、、、、为顶点的多边形为正五边形,且,则()A. B. C. D.4.设为虚数单位,则复数在复平面内对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限5.已知甲盒子中有个红球,个蓝球,乙盒子中有个红球,个蓝球,同时从甲乙两个盒子中取出个球进行交换,(a)交换后,从甲盒子中取1个球是红球的概率记为.(b)交换后,乙盒子中含有红球的个数记为.则()A. B.C. D.6.过圆外一点引圆的两条切线,则经过两切点的直线方程是().A. B. C. D.7.已知正项等比数列的前项和为,且,则公比的值为()A. B.或 C. D.8.已知函数,,若,对任意恒有,在区间上有且只有一个使,则的最大值为()A. B. C. D.9.若实数、满足,则的最小值是()A. B. C. D.10.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为()A. B.4C. D.511.如图,正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图,则该多面体各表面所在平面互相垂直的有()A.2对 B.3对C.4对 D.5对12.若复数满足,则的虚部为()A.5 B. C. D.-5二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.在某批次的某种灯泡中,随机抽取200个样品.并对其寿命进行追踪调查,将结果列成频率分布表如下:寿命(天)频数频率40600.30.4200.1合计2001某人从灯泡样品中随机地购买了个,如果这个灯泡的寿命情况恰好与按四个组分层抽样所得的结果相同,则的最小值为______.14.设f(x)=etx(t>0),过点P(t,0)且平行于y轴的直线与曲线C:y=f(x)的交点为Q,曲线C过点Q的切线交x轴于点R,若S(1,f(1)),则△PRS的面积的最小值是_____.15.函数的定义域是____________.(写成区间的形式)16.已知函数,若,则的取值范围是__三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查,每一位市民仅有一次参加机会,通过随机抽样,得到参加问卷调查的人的得分(满分:分)数据,统计结果如下表所示.组别频数(1)已知此次问卷调查的得分服从正态分布,近似为这人得分的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表),请利用正态分布的知识求;(2)在(1)的条件下,环保部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案.(ⅰ)得分不低于的可以获赠次随机话费,得分低于的可以获赠次随机话费;(ⅱ)每次赠送的随机话费和相应的概率如下表.赠送的随机话费/元概率现市民甲要参加此次问卷调查,记为该市民参加问卷调查获赠的话费,求的分布列及数学期望.附:,若,则,,.18.(12分)已知函数,.(1)当时,求不等式的解集;(2)当时,不等式恒成立,求实数的取值范围.19.(12分)已知数列和满足:.(1)求证:数列为等比数列;(2)求数列的前项和.20.(12分)如图,已知椭圆的右焦点为,,为椭圆上的两个动点,周长的最大值为8.(Ⅰ)求椭圆的标准方程;(Ⅱ)直线经过,交椭圆于点,,直线与直线的倾斜角互补,且交椭圆于点,,,求证:直线与直线的交点在定直线上.21.(12分)如图,三棱柱的所有棱长均相等,在底面上的投影在棱上,且∥平面(Ⅰ)证明:平面平面;(Ⅱ)求直线与平面所成角的余弦值.22.(10分)已知抛物线的焦点为,直线交于两点(异于坐标原点O).(1)若直线过点,,求的方程;(2)当时,判断直线是否过定点,若过定点,求出定点坐标;若不过定点,说明理由.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.D【解析】分析:先研究函数的奇偶性,再研究函数在上的符号,即可判断选择.详解:令,因为,所以为奇函数,排除选项A,B;因为时,,所以排除选项C,选D.点睛:有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路:(1)由函数的定义域,判断图象的左、右位置,由函数的值域,判断图象的上、下位置;(2)由函数的单调性,判断图象的变化趋势;(3)由函数的奇偶性,判断图象的对称性;(4)由函数的周期性,判断图象的循环往复.2.C【解析】

先确定集合中元素,可得非空子集个数.【详解】由题意,共3个元素,其子集个数为,非空子集有7个.故选:C.【点睛】本题考查集合的概念,考查子集的概念,含有个元素的集合其子集个数为,非空子集有个.3.A【解析】

利用平面向量的概念、平面向量的加法、减法、数乘运算的几何意义,便可解决问题.【详解】解:.故选:A【点睛】本题以正五角星为载体,考查平面向量的概念及运算法则等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想,属于基础题.4.A【解析】

利用复数的除法运算化简,求得对应的坐标,由此判断对应点所在象限.【详解】,对应的点的坐标为,位于第一象限.故选:A.【点睛】本小题主要考查复数除法运算,考查复数对应点所在象限,属于基础题.5.A【解析】分析:首先需要去分析交换后甲盒中的红球的个数,对应的事件有哪些结果,从而得到对应的概率的大小,再者就是对随机变量的值要分清,对应的概率要算对,利用公式求得其期望.详解:根据题意有,如果交换一个球,有交换的都是红球、交换的都是蓝球、甲盒的红球换的乙盒的蓝球、甲盒的蓝球交换的乙盒的红球,红球的个数就会出现三种情况;如果交换的是两个球,有红球换红球、蓝球换蓝球、一蓝一红换一蓝一红、红换蓝、蓝换红、一蓝一红换两红、一蓝一红换亮蓝,对应的红球的个数就是五种情况,所以分析可以求得,故选A.点睛:该题考查的是有关随机事件的概率以及对应的期望的问题,在解题的过程中,需要对其对应的事件弄明白,对应的概率会算,以及变量的可取值会分析是多少,利用期望公式求得结果.6.A【解析】过圆外一点,引圆的两条切线,则经过两切点的直线方程为,故选.7.C【解析】

由可得,故可求的值.【详解】因为,所以,故,因为正项等比数列,故,所以,故选C.【点睛】一般地,如果为等比数列,为其前项和,则有性质:(1)若,则;(2)公比时,则有,其中为常数且;(3)为等比数列()且公比为.8.C【解析】

根据的零点和最值点列方程组,求得的表达式(用表示),根据在上有且只有一个最大值,求得的取值范围,求得对应的取值范围,由为整数对的取值进行验证,由此求得的最大值.【详解】由题意知,则其中,.又在上有且只有一个最大值,所以,得,即,所以,又,因此.①当时,,此时取可使成立,当时,,所以当或时,都成立,舍去;②当时,,此时取可使成立,当时,,所以当或时,都成立,舍去;③当时,,此时取可使成立,当时,,所以当时,成立;综上所得的最大值为.故选:C【点睛】本小题主要考查三角函数的零点和最值,考查三角函数的性质,考查化归与转化的数学思想方法,考查分类讨论的数学思想方法,属于中档题.9.D【解析】

根据约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,求出最优解的坐标,代入目标函数得答案【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示:联立,得,可得点,由得,平移直线,当该直线经过可行域的顶点时,该直线在轴上的截距最小,此时取最小值,即.故选:D.【点睛】本题考查简单的线性规划,考查数形结合的解题思想方法,是基础题.10.B【解析】

还原几何体的直观图,可将此三棱锥放入长方体中,利用体积分割求解即可.【详解】如图,三棱锥的直观图为,体积.故选:B.【点睛】本题主要考查了锥体的体积的求解,利用的体积分割的方法,考查了空间想象力及计算能力,属于中档题.11.C【解析】

画出该几何体的直观图,易证平面平面,平面平面,平面平面,平面平面,从而可选出答案.【详解】该几何体是一个四棱锥,直观图如下图所示,易知平面平面,作PO⊥AD于O,则有PO⊥平面ABCD,PO⊥CD,又AD⊥CD,所以,CD⊥平面PAD,所以平面平面,同理可证:平面平面,由三视图可知:PO=AO=OD,所以,AP⊥PD,又AP⊥CD,所以,AP⊥平面PCD,所以,平面平面,所以该多面体各表面所在平面互相垂直的有4对.【点睛】本题考查了空间几何体的三视图,考查了四棱锥的结构特征,考查了面面垂直的证明,属于中档题.12.C【解析】

把已知等式变形,再由复数代数形式的乘除运算化简得答案.【详解】由(1+i)z=|3+4i|,得z,∴z的虚部为.故选C.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,是基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.10【解析】

先求出a,b,根据分层抽样的比例引入正整数k表示n,从而得出的最小值.【详解】由题意得,a=0.2,b=80,由表可知,灯泡样品第一组有40个,第二组有60个,第三组有80个,第四组有20个,所以四个组的比例为2:3:4:1,所以按分层抽样法,购买的灯泡数为n=2k+3k+4k+k=10k(),所以的最小值为10.【点睛】本题考查分层抽样基本原理的应用,涉及抽样比、总体数量、每层样本数量的计算,属于基础题.14.【解析】

计算R(t,0),PR=t﹣(t),△PRS的面积为S,导数S′,由S′=0得t=1,根据函数的单调性得到最值.【详解】∵PQ∥y轴,P(t,0),∴Q(t,f(t))即Q(t,),又f(x)=etx(t>0)的导数f′(x)=tetx,∴过Q的切线斜率k=t,设R(r,0),则k,∴r=t,即R(t,0),PR=t﹣(t),又S(1,f(1))即S(1,et),∴△PRS的面积为S,导数S′,由S′=0得t=1,当t>1时,S′>0,当0<t<1时,S′<0,∴t=1为极小值点,也为最小值点,∴△PRS的面积的最小值为.故答案为:.【点睛】本题考查了利用导数求面积的最值问题,意在考查学生的计算能力和应用能力.15.【解析】

要使函数有意义,需满足,即,解得,故函数的定义域是.16.【解析】

根据分段函数的性质,即可求出的取值范围.【详解】当时,,,当时,,所以,故的取值范围是.故答案为:.【点睛】本题考查分段函数的性质,已知分段函数解析式求参数范围,还涉及对数和指数的运算,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1);(2)见解析.【解析】

(1)根据题中所给的统计表,利用公式计算出平均数的值,再利用数据之间的关系将、表示为,,利用题中所给数据,以及正态分布的概率密度曲线的对称性,求出对应的概率;(2)根据题意,高于平均数和低于平均数的概率各为,再结合得元、元的概率,分析得出话费的可能数据都有哪些,再利用公式求得对应的概率,进而得出分布列,之后利用离散型随机变量的分布列求出其数学期望.【详解】(1)由题意可得,易知,,,;(2)根据题意,可得出随机变量的可能取值有、、、元,,,,.所以,随机变量的分布列如下表所示:所以,随机变量的数学期望为.【点睛】本题考查概率的计算,涉及到平均数的求法、正态分布概率的计算以及离散型随机变量分布列及其数学期望,在解题时要弄清楚随机变量所满足的分布列类型,结合相应公式计算对应事件的概率,考查计算能力,属于中等题.18.(1)(2)【解析】

(1)当时,,当或时,,所以可转化为,解得,所以不等式的解集为.(2)因为,所以,所以,即,即.当时,因为,所以,不符合题意.当时,解可得,因为当时,不等式恒成立,所以,所以,解得,所以实数的取值范围为.19.(1)见解析(2)【解析】

(1)根据题目所给递推关系式得到,由此证得数列为等比数列.(2)由(1)求得数列的通项公式,判断出,由此利用裂项求和法求得数列的前项和.【详解】(1)所以数列是以3为首项,以3为公比的等比数列.(2)由(1)知,∴为常数列,且,∴,∴∴【点睛】本小题主要考查根据递推关系式证明等比数列,考查裂项求和法,属于中档题.20.(Ⅰ);(Ⅱ)详见解析.【解析】

(Ⅰ)由椭圆的定义可得,周长取最大值时,线段过点,可求出,从而求出椭圆的标准方程;(Ⅱ)设直线,直线,,,,.把直线与直线的方程分别代入椭圆的方程,利用韦达定理和弦长公式求出和,根据求出的值.最后直线与直线的方程联立,求两直线的交点即得结论.【详解】(Ⅰ)设的周长为,则,当且仅当线段过点时“”成立.,,又,,椭

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