2023年高中数学平面向量习题及答案平面向量题库

第二章平面向量一、选择题(第1题)1．在△ABC中,AB=ＡC,D,E分别是AB,ＡC的中点，则((第1题)A.与共线 ﻩB.与共线C．与相等ﻩ D.与相等２.下列命题对的的是().A.向量与是两平行向量B．若a，b都是单位向量，则a=ｂC．若=，则Ａ，B,C，Ｄ四点构成平行四边形D.两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同3．平面直角坐标系中,Ｏ为坐标原点，已知两点A(3，1),B(-１,3)，若点C满足＝＋,其中,∈R,且+＝1，则点Ｃ的轨迹方程为()．A.3x＋2ｙ-１１=0 ﻩ ﻩ Ｂ．(x-1)2+(y－1)2＝５Ｃ.２x-y=0 ﻩﻩﻩﻩﻩ D．x＋2y-5=04．已知a、ｂ是非零向量且满足（ａ－2b)⊥a，(b-2a)⊥b，则a与b的夹角是()A． ﻩﻩ B． ﻩ Ｃ． D．5.已知四边形ＡBCＤ是菱形,点P在对角线AC上(不涉及端点A，C)，则＝().A．λ（+)，λ∈（0，1）ﻩﻩ ﻩB.λ（+)，λ∈(0，)C.λ(-)，λ∈(0,1) ﻩﻩＤ.λ(-），λ∈(０，)6．△ＡＢC中，D,E,F分别是ＡB,ＢC,AC的中点,则=()．Ａ.＋ ﻩ ﻩ Ｂ.－Ｃ.＋ﻩ ﻩﻩＤ．＋7．若平面向量a与ｂ的夹角为60°,|ｂ｜＝4，(a+2b）·(a－３ｂ)=－72,则向量a的模为().A.2 ﻩﻩ Ｂ.４ﻩﻩﻩﻩC.6 ﻩﻩ D.8.点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足·=·＝·，则点O是△ABＣ的().A.三个内角的角平分线的交点 ﻩﻩB．三条边的垂直平分线的交点C．三条中线的交点ﻩﻩ Ｄ.三条高的交点９.在四边形ABCD中，=ａ+2ｂ，=-４a－b，=－5a－3b，其中ａ，ｂ不共线，则四边形ＡBCD为（）．Ａ．平行四边形 Ｂ．矩形 ﻩ C.梯形 ﻩﻩ D.菱形(第10题)10.如图,梯形AＢCD中，｜｜=｜｜,∥∥则相等向量是(）.(第10题)A．与 B.与C.与 ﻩD．与二、填空题1１.已知向量=（k,１２）,＝(4，５），=（-k，10),且Ａ,Ｂ,C三点共线,则ｋ=．12．已知向量a＝（ｘ＋3，x2-３x－４)与相等,其中M（-1，３），N（１,3)，则x=．13．已知平面上三点A，Ｂ,C满足||＝3，|｜＝4,||=５,则·＋·+·的值等于.１4.给定两个向量a=（３，4),b=(2，－1),且(a+mｂ)⊥(ａ－b)，则实数m等于.15.已知A，B，C三点不共线，O是△ABＣ内的一点，若+＋＝0，则O是△ABC的.ﻬ1６.设平面内有四边形ABCD和点O,＝ａ，＝b，=c,＝ｄ，若a＋c=b+d，则四边形ABＣD的形状是.三、解答题1７．已知点A(2，３),B(５，4),C(7，10),若点P满足=＋λ(λ∈Ｒ)，试求λ为什么值时，点P在第三象限内？(第18题)18．如图,已知△ＡＢC，A(７,8),B(3，5),C(4,3)，M，N，Ｄ分别是AB，AC,BC的中点，且MＮ与ＡD交于(第18题)

1９．如图，在正方形ABCD中,Ｅ,F分别为ＡＢ，BＣ的中点，求证:AF⊥DＥ(运用向量证明）．((第19题)20.已知向量ａ＝(cosθ,sinθ),向量b=(，-１),则｜2a－ｂ|的最大值.

参考答案一、选择题(第1题(第1题)解析:如图,与,与不平行,与共线反向.２.A解析：两个单位向量也许方向不同,故B不对.若=,也许A,B，C，D四点共线，故C不对.两向量相等的充要条件是大小相等，方向相同,故Ｄ也不对．3．D解析:提醒:设=(x，y),=(3，1)，=(－1，3),＝(3,),＝(-,3),又+＝(3-，＋3)，∴(x，y)=(３-，+3),∴,又+＝1,由此得到答案为D.４．Ｂ解析：∵(a－2ｂ）⊥a,（b-2a)⊥b∴（a－2ｂ)·a＝a2－２a·b＝0，(b-２a)·ｂ＝b2-2a·∴a2＝b２，即｜ａ|=|b|.∴｜a｜2=2|a||ｂ|cosθ=2|a|２cosθ.解得cosθ=．∴a与b的夹角是．5.A解析:由平行四边形法则,+=,又+=，由λ的范围和向量数乘的长度，λ∈(０,１).6．Ｄ解析:如图，∵=,∴=+=+．(第6题)7.C解析:由(ａ＋2b）·(a－3b)＝－７2，得ａ2-ａ·b-6b2=－７2.而|b|＝4，a·ｂ=｜a||b｜coｓ60°＝2｜a｜,∴|a|2－2|a|-9６＝-7２，解得｜ａ|=6．8．D解析:由·=·=·,得·＝·,即·(－)=0,故·＝0，⊥,同理可证⊥,∴O是△ABC的三条高的交点.９.C解析：∵=＋+=-８a-2b=2，∴∥且||≠|｜．∴四边形ABCD为梯形.10.Ｄ解析:与，与,与方向都不相同，不是相等向量.二、填空题１1.－.解析:A,B，C三点共线等价于,共线,=-=(4，5)-(k，１2)＝（4－k,－7），＝－=(-k,１0)－(4，５)=(－k－４,5),又A,B，Ｃ三点共线,∴5(4-ｋ)=-7(-ｋ-4)，∴k=－．１2.-1.解析：∵M（－1，3)，N(１,3）,∴＝(2,0),又ａ＝，∴解得∴ｘ＝－1.1３.-25.解析:思绪1：∵=３,＝4,＝５,∴△AＢC为直角三角形且∠ABC＝90°，即⊥，∴·＝0,∴·＋·+·＝·+·=·(+)=－(）2=-＝-25.思绪２:∵=３，=4，=5,∴∠ABC＝90°，∴cｏs∠CAB＝=,cos∠BCＡ==．D(第13题)根据数积定义，结合图(右图）D(第13题)·=·coｓ∠AＣE=４×5×(－)=-1６,·＝·ｃoｓ∠BAD=3×5×(－）=－9.∴·＋·+·=0―16―９＝-25．１4．.解析:a+mｂ＝（3＋2m,４-m),a－ｂ＝(1,5)∵(a+mb）⊥(ａ－ｂ)，∴(ａ＋mｂ)·(ａ－b)＝(3＋2m)×1＋(4-m)×5＝０ｍ＝(第15题)(第15题)解析：如图，以，为邻边作□AOCF交AＣ于点E，则=＋，又＋=-,∴=2＝-.O是△ＡBC的重心．1６．答案：平行四边形.解析：∵a＋c=b+ｄ,∴ａ－ｂ=ｄ－ｃ,∴＝．∴四边形ABＣD为平行四边形．三、解答题１７．λ＜－1.解析：设点P的坐标为（ｘ,y),则＝(x，ｙ）－（2,3)=（x－２,y－３）.+λ＝(5,４)-(2，3)＋λ[(7，10)－(２,3）]=（３，１)+λ(５，7)＝(3+5λ，１＋７λ).∵＝+λ，∴(x－2，ｙ-3)＝(３＋5λ,1＋7λ).∴即(第18题)要使点P在第三象限内,只需解得λ(第18题)1８．=(,2）.解析：∵A(7,8）,Ｂ（３,５)，C（4,３),=(-４，－3),＝(-3,-5).又Ｄ是ＢC的中点,∴＝(+)＝(－４－3,－３-５）=(－7，－8)=（－,－4）.又M，N分别是ＡB，AC的中点，∴F是ＡＤ的中点，∴＝-=－=－(－,－４)=(,２).１9.证明：设=ａ,＝ｂ，则=a＋b，=b-a.(第19题)∴·=(a+b)·(b-a)=b2-ａ2+a·ｂ.(第19题)又⊥，且＝,∴a２＝ｂ2,ａ·b＝0．∴·=0，∴⊥.本题也可以建平面直角坐标系后进行证明．20．分析：思绪1：2a－b=（2ｃｏsθ－,2siｎθ+１)，∴|2ａ-b｜2＝(2cosθ-)2＋(2sinθ+1)2＝8＋４sinθ－4