南京工业大学材料力学第二章

材料力学拉伸、压缩与剪切2023年2月5日拉压变形拉伸（压缩）、剪切、扭转、弯曲剪切变形杆件的基本变形：扭转变形弯曲变形

轴向拉伸与压缩的概念和实例

直杆轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力

直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力

材料拉伸时的力学性能

材料压缩时的力学性能主要内容拉伸和压缩是杆件基本受力与变形形式中最简单的一种，所涉及的一些基本原理与方法比较简单，但在材料力学中却有一定的普遍意义。承受轴向载荷的拉（压）杆在工程中的应用非常广泛。一些机器和结构中所用的各种紧固螺栓，在紧固时，要对螺栓施加预紧力，螺栓承受轴向拉力，将发生伸长变形。承受轴向载荷的拉（压）杆在工程中的应用非常广泛。由汽缸、活塞、连杆所组成的机构中，不仅连接汽缸缸体和汽缸盖的螺栓承受轴向拉力，带动活塞运动的连杆由于两端都是铰链约束，因而也是承受轴向载荷的杆件。此外，起吊重物的钢索、桥梁桁架结构中的杆件等，也都是承受拉伸或压缩的杆件。

斜拉桥承受拉力的钢缆轴向拉伸与压缩的概念和实例

作用在杆件上的外力合力的作用线与杆件轴线重合，杆件变形是沿轴线方向的伸长或缩短。拉（压）杆的受力简图FF拉伸FF压缩受力特点与变形特点：直杆轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力截面法包括以下三个步骤：（１）截开：在需要求内力的截面处,假想地将杆截分为两部分；（２）代替：将两部分中的任一部分留下,并把弃去部分对留下部分的作用代之以作用在截开面上的内力(力或力偶)；（３）平衡：对留下的部分建立平衡方程,根据其上的已知外力来计算杆在截开面上的未知内力。

应该注意:截开面上的内力对留下部分而言已属外力了。直杆轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力CAB直杆，A端固定，在B、C两处作用有集中载荷F1和F2，其中F1＝5kN，F2＝10kN。F1F2llCABllF1F2FA试画出：杆件的轴力图。

例解：1.确定A处的约束力

A处虽然是固定端约束，但由于杆件只有轴向载荷作用，所以只有一个轴向的约束力FA。求得FA＝5kN由平衡方程

直杆轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力CABF1F2llCABllF1F2FA

解：2.确定控制面

3.应用截面法求控制面上的轴力用假想截面分别从控制面A、B'、B"、C处将杆截开，假设横截面上的轴力均为正方向（拉力），并考察截开后下面部分的平衡。

在集中载荷F2、约束力FA作用处的A、C截面，以及集中载荷F1作用点B处的上、下两侧横截面都是控制面。

B"B'直杆轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力3.应用截面法求控制面上的轴力

用假想截面分别从控制面A、B'、B"、C处将杆截开，假设横截面上的轴力均为正方向（拉力），并考察截开后下面部分的平衡，求得各截面上的轴力：

CABllF1F2FNACABllF1F2FAB"B'直杆轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力3.应用截面法求控制面上的轴力

用假想截面分别从控制面A、B'、B"、C处将杆截开，假设横截面上的轴力均为正方向（拉力），并考察截开后下面部分的平衡，求得各截面上的轴力：

CBlF1F2B"FNB''

CABllF1F2FAB"B'直杆轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力

3.应用截面法求控制面上的轴力

用假想截面分别从控制面A、B'、B"、C处将杆截开，假设横截面上的轴力均为正方向（拉力），并考察截开后下面部分的平衡，求得各截面上的轴力：

FNB'ClF2B'CABllF1F2FAB"B'直杆轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力3.应用截面法求控制面上的轴力

用假想截面分别从控制面A、B'、B"、C处将杆截开，假设横截面上的轴力均为正方向（拉力），并考察截开后下面部分的平衡，求得各截面上的轴力：

FNCClF2CABllF1F2FAB"B'直杆轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力4.建立FN-x坐标系，画轴力图

FN-x坐标系中x坐标轴沿着杆件的轴线方向，FN坐标轴垂直于x轴。

将所求得的各控制面上的轴力标在FN-x坐标系中，得到a、b"、b´和c四点。因为在A、B"之间以及B´、C之间，没有其他外力作用，故这两段中的轴力分别与A（或B"）截面以及C（或B´）截面相同。这表明a点与b"点之间以及c点与b´点之间的轴力图为平行于x轴的直线。于是，得到杆的轴力图。直杆轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力FN/kNOxCABF1F2llCABllF1F2FNAFNB''

CBlF1F2B"FNB'ClF2B'FNCClF2b"5b'10c105a直杆轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力根据以上分析，绘制轴力图的方法

确定约束力；

根据杆件上作用的载荷以及约束力，确定控制面，也就是轴力图的分段点；

应用截面法，用假想截面从控制面处将杆件截开，在截开的截面上，画出未知轴力，并假设为正方向；对截开的部分杆件建立平衡方程，确定控制面上的轴力

建立FN－x坐标系，将所求得的轴力值标在坐标系中，画出轴力图。

直杆轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力

必须指出，静力学中的力(或力偶)的可移性原理,在用截面法求内力的过程中是有限制的。

一般地说,在采用截面法之前不要使用力的可移性原理，以免引起错误。而在采用截面法之后，研究留下部分的外力平衡，则纯粹属于静力学的范畴，可随意使用力的可移性原理。

同理,将杆上的荷载用一个静力等效的相当力系来代替,在求内力的过程中也有所限制。直杆轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力已知F1=10kN；F2=20kN；F3=35kN；F4=25kN;试画出图示杆件的轴力图。11例：FN1F1解：1、计算各段的轴力。F1F3F2F4ABCD2233FN3F4FN2F1F2AB段BC段CD段2、绘制轴力图。直杆轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力杆件的强度不仅与轴力有关，还与横截面面积有关。必须用应力来比较和判断杆件的强度。

在拉（压）杆的横截面上，与轴力FN对应的应力是正应力。根据连续性假设，横截面上到处都存在着内力。于是得静力关系：直杆轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力

平面假设—变形前原为平面的横截面，变形后仍保持为平面且仍垂直于轴线。横向线ab、cd仍为直线，且仍垂直于杆轴线，只是分别平行移至a’b’、c’d’。观察变形：

直杆轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力从平面假设可以判断：（1）所有纵向纤维伸长相等（2）因材料均匀，故各纤维受力相等（3）内力均匀分布，各点正应力相等，为常量

直杆轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力该式为横截面上的正应力σ计算公式。正应力σ和轴力FN同号。即拉应力为正，压应力为负。圣维南原理直杆轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力图示结构，试求杆件AB、CB的应力。已知F=20kN；斜杆AB为直径20mm的圆截面杆，水平杆CB为15×15的方截面杆。FABC解：1、计算各杆件的轴力。（设斜杆为1杆，水平杆为2杆）用截面法取节点B为研究对象45°12FBF45°直杆轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力2、计算各杆件的应力。FABC45°12FBF45°直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力实验表明：拉（压）杆的破坏并不总是沿横截面发生，有时却是沿斜截面发生的。

材料拉伸时的力学性能力学性能：在外力作用下材料在变形和破坏方面所表现出的力学特性。一试件和实验条件常温、静载材料拉伸时的力学性能材料拉伸时的力学性能二低碳钢的拉伸材料拉伸时的力学性能明显的四个阶段1、弹性阶段ob比例极限弹性极限2、屈服阶段bc（失去抵抗变形的能力）屈服极限3、强化阶段ce（恢复抵抗变形的能力）强度极限4、局部径缩阶段ef胡克定律E—弹性模量（GN/m2）材料拉伸时的力学性能两个塑性指标:断后伸长率断面收缩率为塑性材料为脆性材料低碳钢的为塑性材料材料拉伸时的力学性能三卸载定律及冷作硬化1、弹性范围内卸载、再加载2、过弹性范围卸载、再加载材料在卸载过程中应力和应变是线性关系，这就是卸载定律。材料的比例极限增高，延伸率降低，称之为冷作硬化或加工硬化。材料拉伸时的力学性能四其它材料拉伸时的力学性质对于没有明显屈服阶段的塑性材料，用名义屈服极限σp0.2来表示。材料拉伸时的力学性能对于脆性材料（铸铁），拉伸时的应力应变曲线为微弯的曲线，没有屈服和径缩现象，试件突然拉断。断后伸长率约为0.5%。为典型的脆性材料。

σbt—拉伸强度极限（约为140MPa）。它是衡量脆性材料（铸铁）拉伸的唯一强度指标。材料压缩时的力学性能一试件和实验条件常温、静载材料压缩时的力学性能二塑性材料（低碳钢）的压缩拉伸与压缩在屈服阶段以前完全相同。屈服极限比例极限弹性极限E---弹性摸量材料压缩时的力学性能三脆性材料（铸铁）的压缩脆性材料的抗拉与抗压性质不完全相同压缩时的强度极限远大于拉伸时的强度极限失效、安全系数和强度计算一、安全因数和许用应力工作应力极限应力塑性材料脆性材料塑性材料的许用应力脆性材料的许用应力

n—安全因数—许用应力失效、安全系数和强度计算二、强度条件根据强度条件，可以解决三类强度计算问题1、强度校核：2、设计截面：3、确定许可载荷：失效、安全系数和强度计算例:油缸盖与缸体采用6个螺栓连接。已知油缸内径D=350mm，油压p=1MPa。螺栓许用应力[σ]=40MPa，求螺栓的内径。每个螺栓承受轴力为总压力的1/6解：油缸盖受到的力根据强度条件即螺栓的轴力为得即螺栓的直径为失效、安全系数和强度计算例:

AC为50×50×5的等边角钢，AB为10号槽钢，〔σ〕=120MPa。确定许可载荷F。解：1、计算轴力（设斜杆为1杆，水平杆为2杆）用截面法取节点A为研究对象2、根据斜杆的强度，求许可载荷AFα查表得斜杆AC的面积为A1=2×4.8cm2失效、安全系数和强度计算3、根据水平杆的强度，求许可载荷AFα查表得水平杆AB的面积为A2=2×12.74cm24、许可载荷杆件轴向拉伸或压缩时的变形一纵向变形二横向变形钢材的E约为200GPa，μ约为0.25—0.33EA为抗拉刚度泊松比横向应变

{杆件轴向拉伸或压缩时的变形对于变截面杆件（如阶梯杆），或轴力变化。则杆件轴向拉伸或压缩时的变形

例：AB长2m,面积为200mm2。AC面积为250mm2。E=200GPa。F=10kN。试求节点A的位移。解：1、计算轴力。（设斜杆为1杆，水平杆为2杆）取节点A为研究对象2、根据胡克定律计算杆的变形。AF300斜杆伸长水平杆缩短杆件轴向拉伸或压缩时的变形3、节点A的位移（以切代弧）AF300轴向拉伸或压缩的应变能在范围内,有应变能（）：固体在外力作用下，因变形而储存的能量称为应变能。1lD拉伸、压缩的超静定问题约束反力（轴力）可由静力平衡方程求得静定结构：拉伸、压缩的超静定问题约束反力不能由平衡方程求得超静定结构：结构的强度和刚度均得到提高超静定度（次）数：约束反力多于独立平衡方程的数独立平衡方程数：平面任意力系：

3个平衡方程平面汇交力系：

2个平衡方程拉伸、压缩的超静定问题1、列出独立的平衡方程超静定结构的求解方法：2、变形几何关系3、物理关系4、补充方程5、求解方程组，得图示结构，1、2杆抗拉刚度为E1A1

，3杆抗拉刚度为E3A3，在外力F作用下，求三杆轴力？拉伸、压缩的超静定问题在图示结构中，设横梁AB的变形可以省略，1，2两杆的横截面面积相等，材料相同。试求1，2两杆的内力。1、列出独立的平衡方程解：2、变形几何关系3、物理关系4、补充方程5、求解方程组得温度应力和装配应力一、温度应力已知：材料的线胀系数温度变化（升高）1、杆件的温度变形（伸长）2、杆端作用产生的缩短3、变形条件4、求解未知力即温度应力为温度应力和装配应力二、装配应力已知：加工误差为求：各杆内力。1、列平衡方程2、变形协调条件3、将物理关系代入解得因应力集中的概念常见的油孔、沟槽等均有构件尺寸突变，突变处将产生应力集中现象。即理论应力集中因数1、形状尺寸的影响：2、材料的影响：应力集中对塑性材料的影响不大；应力集中对脆性材料的影响严重，应特别注意。尺寸变化越急剧、角越尖、孔越小，应力集中的程度越严重。剪切和挤压的应用计算一.剪切的实用计算铆钉连接剪床剪钢板FF剪切和挤压的应用计算销轴连接剪切受力特点：作用在构件两侧面上的外力合力大小相等、方向相反且作用线很近。变形特点：位于两力之间的截面发生相对错动。剪切和挤压的应用计算FFFnnFFsnFnFsnnF｛｛｝｝FsFsnnFmm剪切和挤压的应用计算假设切应力在剪切面（m-m截面）上是均匀分布的,得实用切应力计算公式：切应力强度条件：许用切应力，常由实验方法确定塑性材料：脆性材料：剪切和挤压