华南师范大学电磁学习题课-静电场中的电介质

静电场中的电介质习题、例题分析+25.2两个同心的薄金属球壳，内、外球壳的半径分别为R1=0.02m和R2=0.06m.球壳间充满两层均匀电介质，它们的相对介电常数分别为εr1=6和εr2=3.两层电介质的分界面半径为R=0.04m.设内球壳带电量为Q=－6×10-8C，求：(1)D和E的分布，并画D－r，E-r曲线；(2)两球壳之间的电势差；(3)贴近内金属壳的电介质表面上的面束缚电荷密度.R1R2Rε2ε1解:(1)由D的高斯定理及D－E关系：易得3R1R2Rε2ε1

4E,Dr0RR2R1-1-2-3-4-5R1R2Rε2ε1D-r，E-r曲线如下图所示5R1R2Rε2ε1(2)两球壳之间的电势差为代入有关数据求得6(3)由及可得贴近内金属壳的电介质表面上的面束缚电荷密度为75.4一平板电容器板间充满相对介电常数为εr的电介质而带有电量Q.试证明：与金属板相靠的电介质表面所带的面束缚电荷的电量为证明：因为无电介质存在时，电容器极板间的电场强度为

因此极板间充满了相对介电常数为εr的电介质后，电容器极板间的电场强度变为电介质中的极化强度为8

图中与上金属板相靠的电介质表面所带的面束缚电荷密度为

故与上金属板相靠的电介质表面所带的面束缚电荷的电量为

同法可求得与下金属板相靠的电介质表面所带的面束缚电荷的电量为P95.19一平行板电容器面积为S，板间距离为d，板间以两层厚度相同而相对介电常数分别为εr1和εr2的电介质充满.求此电容器的电容.

解：方法一：利用电容器串联公式原电容器可看成是由两个电容器C1与C2串联而成，如右图所示.C1C2因此原电容器的电容为10解：方法二：利用电容的定义公式设电容器带电量为Q，如图所示.

则相对介电常数为εr1的电介质中的电场强度为相对介电常数为εr2的电介质中的电场强度为那么，原电容器两极板间的电势差为11因此，电容器的电容为125.23将一个100pF的电容器充电到100V，然后把它和电源断开，再把它和另一电容器并联，最后电压为30V.第二个电容器的电容多大？并联时损失了多少电能？这电能哪里去了？解:由于第一个电容器充电后与电源断开，所以其上的电量保持不变,设为Q0.

当它与第二个电容器并联时，这电量将在这两个电容器中重新分布，但总量不变.

于是有所以有13并联时损失的电能为代入有关数据，可求得这电能消耗在连接导线的焦耳热上145.3两共轴的导体圆筒的内、外筒半径分别为R1和R2，R2<2R1.其间有两层均匀电介质，分界面半径为r0.内层介质相对介电常量为εr1，外层介质的相对介电常量为εr2，且εr2=εr1/2.两层介质的击穿场强都是Emax.当电压升高时，哪层介质先击穿？两筒间能加的最大电势差多大？R1R2r0εr1εr2解：设内圆筒带电，其面电荷密度为σ.

则利用D的高斯定理易得内、外圆筒间的电位移为场强为：内层介质中外层介质中15场强为：内层介质中外层介质中R1R2r0εr1εr2显然，内层介质中最大场强出现在r=R1处外层介质中最大场强出现在r=r0处因为，故

由于当电压升高时，外层介质场强总大于内层介质场强，故外层介质中的r0处先达到击穿场强而被击穿.场强为：内层介质中外层介质中R1R2r0εr1εr2内外筒间的电压为不致电介质被击穿的最大电压为175.14一个平行板电容器的每个板的面积为0.02m2,两板相距0.5mm，放在一个金属盒子中(如图所示).电容器两板到盒子上下底面的距离各为0.25mm，忽略边缘效应，求此电容器的电容.如果将一个板和盒子用导线连接起来，电容器的电容又是多大？0.50mm0.25mm0.25mm解：分别以A、B、H表示平行板电容器的两个极板和金属盒子.ABH

那么，平行板电容器与金属盒子所组成的电容器系统的电路如图1所示.AAHHBB图1这一系统的等效电容为18ABH0.50mm0.25mm0.25mmAAHHBB图1其中S=0.02m2,d1=0.50mm=5×10-4m其中S=0.02m2,d2=0.25mm=2.5×10-4m由(1)、(2)、(3)式，并代入有关数据可求得19ABH0.50mm0.25mm0.25mm图2

当平行板电容器的一个极板(如B板)与盒子用导线相连接的情况,如图2所示.图3AAHHBBAAHB此系统的电路如图3所示.这一系统的等效电容为代入有关数据可求得20dahεr图15.20一种利用电容器测量油箱中油量的装置示意图如图1所示.附接电子线路能测出等效相对介电常量εr,eff(即电容相当而充满板间的电介质的相对介电常量).设电容器两板的高度都是a，试导出等效相对介电常量和油面高度的关系，以εr表示油的相对介电常量.就汽油(εr=1.95)和甲醇(εr=33)相比，哪种燃料更适宜用此油量计？解：设图1中两板的距离为d，板的宽度为b.

该装置相当于两个电容器并联，其中一个电容器极板间充满油料.等效电容为其中21dahεr图1由此可得等效相对介电常量为

由此式知，当εr较大，则液面高度有同样的变化时，εr，eff较大.因为甲醇的相对介电常量(εr=33)比汽油的相对介电常量(εr=1.95)大，故甲醇更适宜用此油量计.所以等效电容为225.21一球形电容器的两球间下半部充满了相对介电常量为εr的油，它的电容较未充油前变化了多少？R1R2解：设球形电容器的两球的半径分别是R1和R2.

未充油前，球形电容器的电容为

充油后，球形电容器相当两个半球形电容器并联而成，故其电容为由以上两式可求得它的电容较未充油前变化了235.18将一个12μF的电容器和两个2μF的电容器连接起来组成电容为3μF的电容器组.如果每个电容器的击穿电压都是200V，则此电容器组能承受的最大电压是多大？解：将一个12μF的电容器和两个2μF的电容器连接起来组成电容为3μF的电容器组，则只有如图1所示的连接才行.图112μF2μF2μF其等效电路如图2所示.图212μF4μFC1C2其中C1、C2的击穿电压都是200V.设电容器带有电量为Q，则有由此可得24图112μF2μF2μF图212μF4μFC1C2设此电容器组所承受的电压为U，则有由以上两式求得因为故这表明此电容器组能承受的最大电压是Umax=267V255.22将一个电容为4μF的电容器和一个电容为6μF的电容器串联起来接到200V的电源上，充电后将电源断开并将两电容器分离.在下列两种情况下，每个电容器的电压各变为多少？(1)将每一个电容器的正板与另一个电容器的负板相连;(2)将两电容器的正板与正板相连，负板与负板相连.解:充电后，每个电容器所带电量都为Q0：(1)将每一个电容器的正板与另一个电容器的负板“反向”相连,如图1所示.

那么两电容器上的等量正负电荷将中和,每个电容器