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长风破浪会有时,直挂云帆济沧海。住在富人区的她2023年长江职业学院高职单招(数学)试题库含答案解析(图片大小可自由调整)全文为Word可编辑,若为PDF皆为盗版,请谨慎购买!第1卷一.综合题(共50题)1.已知在△ABC和点M满足
MA+MB+MC=0,若存在实数m使得AB+AC=mAM成立,则m=______.答案:由点M满足MA+MB+MC=0,知点M为△ABC的重心,设点D为底边BC的中点,则AM=23AD=23×
12×(AB+AC)=13(AB+AC)∴AB+AC=3AM∴m=3故为:32.一个长方体的长、宽、高之比为2:1:3,全面积为88cm2,则它的体积为
______cm3.答案:由长方体的长、宽、高之比为2:1:3,不妨设长、宽、高分别为2x,x,3x;则长方体的全面积为:2(2x?x+2x?3x+x?3x)=2×11x2=88,∴x=±2,这里取x=2;所以,长方体的体积为:V=2x?x?3x=4×2×6=48.故为:483.已知圆的极坐标方程是ρ=2cosθ,那么该圆的直角坐标方程是()
A.(x-1)2+y2=1
B.x2+(y-1)2=1
C.(x+1)2+y2=1
D.x2+y2=2答案:A4.在极坐标系中,直线l经过圆ρ=2cosθ的圆心且与直线ρcosθ=3平行,则直线l与极轴的交点的极坐标为______.答案:由ρ=2cosθ可知此圆的圆心为(1,0),直线ρcosθ=3是与极轴垂直的直线,所以所求直线的极坐标方程为ρcosθ=1,所以直线l与极轴的交点的极坐标为(1,0).故为:(1,0).5.若A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x),当||取最小值时,x的值等于(
)
A.
B.
C.
D.答案:C6.如图,AB是平面a的斜线段,A为斜足,若点P在平面a内运动,使得△ABP的面积为定值,则动点P的轨迹是()A.圆B.椭圆C.一条直线D.两条平行直线答案:本题其实就是一个平面斜截一个圆柱表面的问题,因为三角形面积为定值,以AB为底,则底边长一定,从而可得P到直线AB的距离为定值,分析可得,点P的轨迹为一以AB为轴线的圆柱面,与平面α的交线,且α与圆柱的轴线斜交,由平面与圆柱面的截面的性质判断,可得P的轨迹为椭圆.7.已知(2x+1)3的展开式中,二项式系数和为a,各项系数和为b,则a+b=______.(用数字表示)答案:由题意可得(2x+1)3的展开式中,二项式系数和为a=23=8令x=1可得各项系数和为b=(2+1)3=27∴a+b=35故为:358.已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为33,直线l:y=x+2与以原点为圆心、椭圆C1的短半轴长为半径的圆相切.
(1)求椭圆C1的方程;
(2)设椭圆C1的左焦点为F1,右焦点为F2,直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴,动直线l2垂直于直线l1,垂足为点P,线段PF2的垂直平分线交l2于点M,求点M的轨迹C2的方程;
(3)设C2与x轴交于点Q,不同的两点R,S在C2上,且满足QR•RS=0,求|QS|的取值范围.答案:(1)由e=33得2a2=3b2,又由直线l:y=x+2与圆x2+y2=b2相切,得b=2,a=3,∴椭圆C1的方程为:x23+y22=1.(4分)(2)由MP=MF2得动点M的轨迹是以l1:x=-1为准线,F2为焦点的抛物线,∴点M的轨迹C2的方程为y2=4x.(8分)(3)Q(0,0),设R(y214,y1),S(y224,y2),∴QR=(y214,y1),RS=(y22-y214,y2-y1),由QR•RS=0,得y21(y22-y21)16+y1(y2-y1)=0,∵y1≠y2∴化简得y2=-y1-16y1,(10分)∴y22=y21+256y21+32≥2256+32=64(当且仅当y1=±4时等号成立),∵|QS|=(y224)2+y22=14(y22+8)2-64,又∵y22≥64,∴当y22=64,即y2=±8时|QS|min=85,∴|QS|的取值范围是[85,+∞).(13分)9.若一次函数y=mx+b在(-∞,+∞)上是增函数,则有()A.b>0B.b<0C.m>0D.m<0答案:∵一次函数y=mx+b在(-∞,+∞)上是增函数,∴一次项系数m>0,故选C.10.用数学归纳法证明:1n+1+1n+2+1n+3+…+1n+n>1124
(n∈N,n≥1)答案:证明:(1)当n=1时,左边=12>1124,∴n=1时成立(2分)(2)假设当n=k(k≥1)时成立,即1k+1+1k+2+1k+3+…+1k+k>1124那么当n=k+1时,左边=1k+2+1k+3+…+1k+k
+1K+1+k+1k+1+k+1=1k+1+1k+2+1k+3+…+1k+k+1k+k+1
+1k+1+k+1-1k+1>1124+12k+1-12k+2>1124.∴n=k+1时也成立(7分)根据(1)(2)可得不等式对所有的n≥1都成立(8分)11.若向量两两所成的角相等,且,则等于()
A.2
B.5
C.2或5
D.或答案:C12.甲、乙两人参加一次考试,已知在备选的10道试题中,甲能答对其中6题,乙能答对其中8题.若规定每次考试分别都从这10题中随机抽出3题进行测试,至少答对2题算合格.
(1)分别求甲、乙两人考试合格的概率;
(2)求甲、乙两人至少有一人合格的概率.答案:(1)(2)解析:(1)设甲、乙考试合格分别为事件A、B,甲考试合格的概率为P(A)=,乙考试合格的概率为P(B)=.(2)A与B相互独立,且P(A)=,P(B)=,则甲、乙两人至少有一人合格的概率为P(AB++A)=×+×+×=.13.若矩阵满足下列条件:①每行中的四个数所构成的集合均为{1,2,3,4};②四列中有且只有两列的上下两数是相同的.则这样的不同矩阵的个数为()
A.24
B.48
C.144
D.288答案:C14.如图,四边形ABCD是圆O的内接四边形,延长AB和DC相交于点P,若PBPA=12,PCPD=13,则BCAD的值为______.答案:因为A,B,C,D四点共圆,所以∠DAB=∠PCB,∠CDA=∠PBC,因为∠P为公共角,所以△PBC∽△PAB,所以PBPD=PCPA=BCAD.设OB=x,PC=y,则有x3y=y2x?x=6y2,所以BCAD=x3y=66.故填:66.15.有50件产品编号从1到50,现在从中抽取抽取5件检验,用系统抽样确定所抽取的编号为()
A.5,10,15,20,25
B.5,15,20,35,40
C.5,11,17,23,29
D.10,20,30,40,50答案:D16.给出下列说法:①球的半径是球面上任意一点与球心的连线段;②球的直径是球面上任意两点的连线段;③用一个平面截一个球面,得到的是一个圆;④球常用表示球心的字母表示.其中说法正确的是______.答案:根据球的定义直接判断①正确;②错误;;③用一个平面截一个球面,得到的是一个圆;可以是小圆,也可能是大圆,正确;④球常用表示球心的字母表示.满足球的定义正确;故为:①③④17.已知四边形ABCD,
点E、
F、
G、
H分别是AB、BC、CD、DA的中点,
求证:
EF=HG.答案:证明:∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点,∴HG=12AC,EF=12AC,∴EF=HG.18.从装有5只红球和5只白球的袋中任意取出3只球,有如下几对事件:
①“取出两只红球和一只白球”与“取出一只红球和两只白球”;
②“取出两只红球和一只白球”与“取出3只红球”;
③“取出3只红球”与“取出的3只球中至少有一只白球”;
④“取出3只红球”与“取出3只白球”.
其中是对立事件的有______(只填序号).答案:对于①“取出两只红球和一只白球”与“取出一只红球和两只白球”,由于它们不能同时发生,故是互斥事件.但由于它们的并事件不是必然事件,故它们不是对立事件.对于②“取出两只红球和一只白球”与“取出3只红球”,由于它们不能同时发生,故是互斥事件.但由于它们的并事件不是必然事件,故它们不是对立事件.对于③“取出3只红球”与“取出的3只球中至少有一只白球”,它们不可能同时发生,而且它们的并事件是必然事件,故它们是对立事件.④“取出3只红球”与“取出3只白球”.由于它们不能同时发生,故是互斥事件.但由于它们的并事件不是必然事件,故它们不是对立事件.故为③.19.如图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2米,水面宽4米.水位下降1米后,水面宽为______米.答案:如图建立直角坐标系,设抛物线方程为x2=my,将A(2,-2)代入x2=my,得m=-2∴x2=-2y,代入B(x0,-3)得x0=6,故水面宽为26m.故为:26.20.圆ρ=5cosθ-5sinθ的圆心的极坐标是()
A.(-5,-)
B.(-5,)
C.(5,)
D.(-5,)答案:A21.求圆心在直线y=-4x上,并且与直线l:x+y-1=0相切于点P(3,-2)的圆的方程.答案:设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)由题意有:b=-4a|a+b+1|2=rb+2a-3•(-1)=-1解之得a=1b=-4r=22∴所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=822.袋子里有大小相同的3个红球和4个黑球,今从袋子里随机取球.
(Ⅰ)若有放回地取3次,每次取1个球,求取出1个红球2个黑球的概率;
(Ⅱ)若无放回地取3次,每次取1个球,
①求在前2次都取出红球的条件下,第3次取出黑球的概率;
②求取出的红球数X
的分布列和数学期望.答案:(Ⅰ)记“取出1个红球2个黑球”为事件A,根据题意有P(A)=C13(37)×(47)2=144343;
所以取出1个红球2个黑球的概率是144343.(Ⅱ)①记“在前2次都取出红球”为事件B,“第3次取出黑球”为事件C,则P(B)=3×27×6=17,P(BC)=3×2×47×6×5=435,所以P(C|B)=P(BC)P(B)=43517=45.所以在前2次都取出红球的条件下,第3次取出黑球的概率是45.②随机变量X
的所有取值为0,1,2,3.P(X=0)=C34?A33A37=435,P(X=1)=C24C13?A33A37=1835,P(X=2)=C14C23?A33A37=1235,P(X=3)=C33?A33A37=135.所以X的分布列为:所以EX=0×435+1×1835+2×1235+3×135=4535=97.23.来自中国、英国、瑞典的乒乓球裁判各两名,执行北京奥运会的一号、二号和三号场地的乒乓球裁判工作,每个场地由两名来自不同国家的裁判组成,则不同的安排方案总数有()
A.12种
B.48种
C.90种
D.96种答案:B24.”m>n>0”是”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的()
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件答案:C25.已知A(2,1,1),B(1,1,2),C(2,0,1),则下列说法中正确的是()A.A,B,C三点可以构成直角三角形B.A,B,C三点可以构成锐角三角形C.A,B,C三点可以构成钝角三角形D.A,B,C三点不能构成任何三角形答案:∵|AB|=2,|BC|=3,|AC|=1,∴|BC|2=|AC|2+|AB|2,∴A,B,C三点可以构成直角三角形,故选A.26.=(2,1),=(3,4),则向量在向量方向上的投影为()
A.
B.
C.2
D.10答案:C27.如果e1,e2是平面a内所有向量的一组基底,那么()A.若实数λ1,λ2使λ1e1+λ2e2=0,则λ1=λ2=0B.空间任一向量可以表示为a=λ1e1+λ2e2,这里λ1,λ2∈RC.对实数λ1,λ2,λ1e1+λ2e2不一定在平面a内D.对平面a中的任一向量a,使a=λ1e1+λ2e2的实数λ1,λ2有无数对答案:∵由基底的定义可知,e1和e2是平面上不共线的两个向量,∴实数λ1,λ2使λ1e1+λ2e2=0,则λ1=λ2=0,不是空间任一向量都可以表示为a=λ1e1+λ2e2,而是平面a中的任一向量a,可以表示为a=λ1e1+λ2e2的形式,此时实数λ1,λ2有且只有一对,而对实数λ1,λ2,λ1e1+λ2e2一定在平面a内,故选A.28.已知椭圆的焦点为F1,F2,A在椭圆上,B在F1A的延长线上,且|AB|=|AF2|,则B点的轨迹形状为()
A.椭圆
B.双曲线
C.圆
D.两条平行线答案:C29.某程序图如图所示,该程序运行后输出的结果是______.答案:由图知运算规则是对S=2S,故第一次进入循环体后S=21,第二次进入循环体后S=22=4,第三次进入循环体后S=24=16,第四次进入循环体后S=216>2012,退出循环.故该程序运行后输出的结果是:k=4+1=5.故为:530.直线过原点且倾角的正弦值是45,则直线方程为______.答案:因为倾斜角α的范围是:0≤α<π,又由题意:sinα=45所以:tanα=±43x直线过原点,由直线的点斜式方程得到:y=±43x故为:y=±43x31.选修4-4:坐标系与参数方程
已知直线l:x=m+tcosαy=tsinα(t为参数)经过椭圆C:x=2cosφy=3sinφ(φ为参数)的左焦点F.
(Ⅰ)求m的值;
(Ⅱ)设直线l与椭圆C交于A、B两点,求|FA|•|FB|的最大值和最小值.答案:(Ⅰ)将椭圆C的参数方程化为普通方程,得x24+y23=1.a=2,b=3,c=1,则点F坐标为(-1,0).l是经过点(m,0)的直线,故m=-1.…(4分)(Ⅱ)将l的参数方程代入椭圆C的普通方程,并整理,得(3cos2α+4sin2α)t2-6tcosα-9=0.设点A,B在直线参数方程中对应的参数分别为t1,t2,则|FA|•|FB|=|t1t2|=93cos2α+4sin2α=93+sin2α.当sinα=0时,|FA|•|FB|取最大值3;当sinα=±1时,|FA|•|FB|取最小值94.…(10分)32.若一点P的极坐标是(r,θ),则它的直角坐标如何?答案:由题意可知x=rcosθ,y=rsinθ.所以点P的极坐标是(r,θ)的直角坐标为:(rcosθ,rsinθ).33.如图,四边形OABC是边长为1的正方形,OD=3,点P为△BCD内(含边界)的动点,设(α,β∈R),则α+β的最大值等于
()
A.
B.
C.
D.1
答案:B34.执行下列程序后,输出的i的值是()
A.5
B.6
C.10
D.11答案:D35.已知直线l:ax+by=1(ab>0)经过点P(1,4),则l在两坐标轴上的截距之和的最小值是______.答案:∵直线l:ax+by=1(ab>0)经过点P(1,4),∴a+4b=1,故a、b都是正数.故直线l:ax+by=1,此直线在x、y轴上的截距分别为1a、1b,则l在两坐标轴上的截距之和为1a+1b=a+4ba+a+4bb=5+4ba+ab≥5+24ba?ab=9,当且仅当4ba=ab时,取等号,故为9.36.一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6,这个长方体的体积是()A.6B.6C.32D.23答案:可设长方体同一个顶点上的三条棱长分别为a,b,c,则有ab=2、bc=3、ca=6,解得:a=2,b=1,c=3故这个长方体的体积是6故为B37.下列函数f(x)与g(x)表示同一函数的是
()A.f(x)=x0与g(x)=1B.f(x)=2lgx与g(x)=lgx2C.f(x)=|x|与g(x)=(x)2D.f(x)=x与g(x)=3x3答案:A、∵f(x)=x0,其定义域为{x|x≠0},而g(x)的定义域为R,故A错误;B、∵f(x)=2lgx,的定义域为{x|x>0},而g(x)=lgx2的定义域为R,故B错误;C、∵f(x)=|x|与g(x)=(x)2=x,其中f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为{x|x≥0},故C错误;D、∵f(x)=x与g(x)=3x3=x,其中f(x)与g(x)的定义域为R,故D正确.故选D.38.已知直线3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行,则它们之间的距离是()
A.
B.
C.
D.答案:B39.若m∈{-2,-1,1,2},n∈{-2,-1,1,2,3},则方程x2m+y2n=1表示的是双曲线的概率为______.答案:由题意,方程x2m+y2n=1表示双曲线时,mn<0,m>0,n<0时,有2×2=4种,m<0,n>0时,有2×3=6种∵m,n的取值共有4×5=20种∴方程x2m+y2n=1表示的是双曲线的概率为4+620=12故为:1240.已知向量a=(1,2),b=(2,-3).若向量c满足(c+a)∥b,c⊥(a+b),则c=______.答案:设c=(x,y),则c+a=(x+1,y+2),又(c+a)∥b,∴2(y+2)+3(x+1)=0.
①又c⊥(a+b),∴(x,y)•(3,-1)=3x-y=0.
②解①②得x=-79,y=-73.故应填:(-79,-73).41.设a=(2,2m-3,n+2),b=(4,2m+1,3n-2),且a∥b,则实数m,n的值分别为______.答案:因为a=(2,2m-3,n+2),b=(4,2m+1,3n-2),且a∥b,根据空间向量平行的坐标表示公式,
所以24=2m-32m+124=n+23n-2,解得:m=12,n=6.故为:m=12,n=6.42.如图,AC、BC分别是直角三角形ABC的两条直角边,且AC=3,BC=4,以AC为直径作圆与斜边AB交于D,则BD=______.答案:连CD,在Rt△ABC中,因为AC、BC的长分别为3cm、4cm,所以AB=5cm,∵AC为直径,∴∠ADC=90°,∵∠B公共角,可得Rt△BDC∽Rt△BCA,∴BD=165,故为:16543.设随机变量X服从B(6,),则P(X=3)的值是()
A.
B.
C.
D.答案:B44.给出以下变量①吸烟,②性别,③宗教信仰,④国籍,其中属于分类变量的有______.答案:①因为吸烟不是分类变量,是否吸烟才是分类变量,其他②③④属于分类变量.故为:②③④.45.抛物线y=ax2(其中a>0)的焦点坐标是(
)
A.(,0)
B.(0,)
C.(,0)
D.(0,)答案:D46.若向量=(1,λ,2),=(-2,1,1),,夹角的余弦值为,则λ等于()
A.1
B.-1
C.±1
D.2答案:A47.如图,CD是⊙O的直径,AE切⊙O于点B,连接DB,若∠D=20°,则∠DBE的大小为()
A.20°
B.40°
C.60°
D.70°答案:D48.以直线x+3=0为准线的抛物线的标准方程是______.答案:由题意,抛物线的焦点在x轴上,焦点坐标为(3,0),∴抛物线的标准方程是y2=12x故为:y2=12x49.命题“若b≠3,则b2≠9”的逆命题是______.答案:根据“若p则q”的逆命题是“若q则p”,可得命题“若b≠3,则b2≠9”的逆命题是若b2≠9,则b≠3.故为:若b2≠9,则b≠3.50.将6位志愿者分成4组,每组至少1人,分赴世博会的四个不同场馆服务,不同的分配方案有______种(用数字作答).答案:由题意,六个人分为四组,若有三个人一组,则四组人数为3,1,1,1,则不同的分法为C63=20种,若存在两人一组,则分法为2,2,1,1,不同的分法有C26×C24A22=45分赴世博会的四个不同场馆服务,不同的分配方案有(20+45)×A44=1560种故为:1560.第2卷一.综合题(共50题)1.200辆汽车经过某一雷达地区,时速频率分布直方图如图所示,则时速不低于60km/h的汽车数量为
______辆.答案:时速不低于60km/h的汽车的频率为(0.028+0.01)×10=0.38∴时速不低于60km/h的汽车数量为200×0.38=76故为:762.设a,b,c为正数,利用排序不等式证明a3+b3+c3≥3abc.答案:证明:不妨设a≥b≥c>0,∴a2≥b2≥c2,由排序原理:顺序和≥反序和,得:a3+b3≥a2b+b2a,b3+c3≥b2c+c2b,c3+a3≥a2c+c2a三式相加得2(a3+b3+c3)≥a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2).又a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca.所以2(a3+b3+c3)≥6abc,∴a3+b3+c3≥3abc.当且仅当a=b=c时,等号成立.3.某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%,在一次考试中,男,女平均分数分别为75、80,则这次考试该年级学生平均分数为______.答案:设该班男生有x人,女生有y人,这次考试该年级学生平均分数为a.根据题意可知:75x+80y=(x+y)×a,且xx+y=40%.所以a=78,则这次考试该年级学生平均分数为78.故为:78.4.若圆台的上下底面半径分别是1和3,它的侧面积是两底面面积和的2倍,则圆台的母线长是()A.2B.2.5C.5D.10答案:设母线长为l,则S侧=π(1+3)l=4πl.S上底+S下底=π?12+π?32=10π.据题意4πl=20π即l=5,故选C.5.已知集合A={x|x>1},则(CRA)∩N的子集有()A.1个B.2个C.4个D.8个答案:∵集合A={x|x>1},∴CRA={x|x≤1},∴(CRA)∩N={0,1},∴(CRA)∩N的子集有22=4个,故选C.6.已知集合P={(x,y)|y=m},Q={(x,y)|y=ax+1,a>0,a≠1},如果P∩Q有且只有一个元素,那么实数m的取值范围是
______.答案:如果P∩Q有且只有一个元素,即函数y=m与y=ax+1(a>0,且a≠1)图象只有一个公共点.∵y=ax+1>1,∴m>1.∴m的取值范围是(1,+∞).故:(1,+∞)7.一个盒子中装有4张卡片,上面分别写着四个函数:f1(x)=x3,f2(x)=x4,f3(x)=2|x|,f4(x)=x+1x,现从盒子中任取2张卡片,将卡片上的函数相乘得到一个新函数,所得函数为奇函数的概率是______.答案:要使所得函数为奇函数,取出的两个函数必须是一个奇函数、一个偶函数.而所给的4个函数中,有2个奇函数、2个偶函数.所有的取法种数为C24=6,满足条件的取法有2×2=4种,故所得函数为奇函数的概率是46=23,故为23.8.从30个足球中抽取10个进行质量检测,说明利用随机数法抽取这个样本的步骤及公平性.答案:第一步:首先将30个足球编号:00,01,02…29,第二步:在随机数表中随机的选一个数作为开始.第三步:从选定的数字向右读,得到二位数字,将它取出,把大于29的去掉,,按照这种方法继续向右读,取出的二位数若与前面相同,则去掉,依次下去,就得到一个具有10个数据的样本.其公平性在于:第一随机数表中每一个位置上出现的哪一个数都是等可能的,第二从30个个体中抽到那一个个体的号码也是机会均等的,基于以上两点,利用随机数表抽取样本保证了各个个体被抽到的机会是等可能的.9.若图中的直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3,则()A.k1<k2<k3B.k2<k1<k3C.k3<k2<k1D.k1<k3<k2答案:因为直线的斜率是其倾斜角的正切值,当倾斜角大于90°小于180°时,斜率为负值,当倾斜角大于0°小于90°时斜率为正值,且正切函数在(0°,90°)上为增函数,由图象三条直线的倾斜角可知,k2<k1<k3.故选C.10.从甲、乙两人手工制作的圆形产品中,各自随机抽取6件,测得其直径如下(单位:cm):
甲:9.00,9.20,9.00,8.50,9.10,9.20
乙:8.90,9.60,9.50,8.54,8.60,8.90
据以上数据估计两人的技术稳定性,结论是()
A.甲优于乙
B.乙优于甲
C.两人没区别
D.无法判断答案:A11.在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中,若AC′=xAB+2yBC-3zC′C,则x+y+z等于______.答案:根据向量的加法法则可得,AC′=AC+CC′=AB+BC+CC′∵AC′=xAB+2yBC-3zC′C∴x=1,2y=1,-3z=1∴x=1,y=12,z=-13∴x+y+z=1+12-13=76故为:7612.四名志愿者和两名运动员排成一排照相,要求两名运动员必须站在一起,则不同的排列方法为()A.A44A22B.A55A22C.A55D.A66A22答案:根据题意,要求两名运动员站在一起,所以使用捆绑法,两名运动员站在一起,有A22种情况,将其当做一个元素,与其他四名志愿者全排列,有A55种情况,结合分步计数原理,其不同的排列方法为A55A22种,故选B.13.方程y=ax+b和a2x2+y2=b2(a>b>1)在同一坐标系中的图形可能是()A.
B.
C.
D.
答案:∵a>b>1,∴方程y=ax+b的图象与y轴交于y轴的正半轴,且函数是增函数,由此排除选项B和D,∵a>b>1,a2x2+y2=b2?x2(ba)2+y2b2=1,∴椭圆焦点在y轴,由此排除A.故选C.14.函数y=ax+b和y=bax(a≠0,b>0,且b≠1)的图象只可能是()A.
B.
C.
D.
答案:对于A:函数y=ax+b递增可得a>0,0<b<1;函数y=bax(a≠0,b>0,且b≠1)递减可得0<b<1且a>0故A正确对于B:函数y=ax+b递增可得a>0,b>1;函数y=bax(a≠0,b>0,且b≠1)递减可得0<b<1且a>0,矛盾,故B不正确对于C:函数y=ax+b递减可得a<0,0<b<1;函数y=bax(a≠0,b>0,且b≠1)递减可得0<b<1且a>0,矛盾,故C不正确对于D:函数y=ax+b递减可得a<0,b>1;函数y=bax(a≠0,b>0,且b≠1)递增可得b>1且a>0,矛盾,故D不正确故选A15.若曲线C的极坐标方程为
ρcos2θ=2sinθ,则曲线C的普通方程为______.答案:曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=2sinθ,即ρ2?cos2θ=2ρsinθ,化为直角坐标方程为x2=2y,故为x2=2y16.若椭圆长轴长与短轴长之比为2,它的一个焦点是(215,0),则椭圆的标准方程是______.答案:由题设条件知a=2b,c=215,∴4b2=b2+60,∴b2=20,a2=80,∴椭圆的标准方程是x280+y220=1.故为:x280+y220=1.17.复数1+i(i为虚数单位)的模等于()A.2B.1C.22D.12答案:|1+i|=12+12=2.故选A.18.如图,正六边形ABCDEF中,=()
A.
B.
C.
D.
答案:D19.用数学归纳法证明不等式:1n+1n+1+1n+2+…+1n2>1(n∈N*且n.1).答案:证明:(1)当n=2时,左边=12+13+14=1312>1,∴n=2时成立(2分)(2)假设当n=k(k≥2)时成立,即1k+1k+1+1k+2+…+1k2>1那么当n=k+1时,左边=1k+1+1k+2+1k+3+…+1(k+1)2=1k+1k+1+1k+2+1k+3+…+1k2+2k+1(k+1)2-1k>1+1k2+1+1k2+2+…+1(k+1)2-1k>1+(2k+1)•1(k+1)2-1k>1+k2-k-1k2+2k+1>1∴n=k+1时也成立(7分)根据(1)(2)可得不等式对所有的n>1都成立(8分)20.若与垂直,则k的值是()
A.2
B.1
C.0
D.答案:D21.下列各图中,可表示函数y=f(x)的图象的只可能是()A.
B.
C.
D.
答案:根据函数的定义知:自变量取唯一值时,因变量(函数)有且只有唯一值与其相对应.∴从图象上看,任意一条与x轴垂直的直线与函数图象的交点最多只能有一个交点.从而排除A,B,C,故选D.22.设抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离是4,则点P到该抛物线焦点的距离是()A.4B.6C.8D.12答案:抛物线y2=8x的准线为x=-2,∵点P到y轴的距离是4,∴到准线的距离是4+2=6,根据抛物线的定义可知点P到该抛物线焦点的距离是6故选B23.已知某车间加工零件的个数x与所花费时间y(h)之间的线性回归方程为=0.01x+0.5,则加工600个零件大约需要的时间为()
A.6.5h
B.5.5h
C.3.5h
D.0.3h答案:A24.直线4x-3y+5=0与直线8x-6y+5=0的距离为______.答案:直线4x-3y+5=0即8x-6y+10=0,由两平行线间的距离公式得:直线4x-3y+5=0(8x-6y+10=0)与直线8x-6y+5=0的距离是
|10-5|62+82=12,故为:12.25.已知(2x+1)3的展开式中,二项式系数和为a,各项系数和为b,则a+b=______.(用数字表示)答案:由题意可得(2x+1)3的展开式中,二项式系数和为a=23=8令x=1可得各项系数和为b=(2+1)3=27∴a+b=35故为:3526.甲、乙两人参加一次考试,已知在备选的10道试题中,甲能答对其中6题,乙能答对其中8题.若规定每次考试分别都从这10题中随机抽出3题进行测试,至少答对2题算合格.
(1)分别求甲、乙两人考试合格的概率;
(2)求甲、乙两人至少有一人合格的概率.答案:(1)(2)解析:(1)设甲、乙考试合格分别为事件A、B,甲考试合格的概率为P(A)=,乙考试合格的概率为P(B)=.(2)A与B相互独立,且P(A)=,P(B)=,则甲、乙两人至少有一人合格的概率为P(AB++A)=×+×+×=.27.如图,AB是半圆O的直径,C是AB延长线上一点,CD切半圆于D,CD=4,AB=3BC,则AC的长是______.答案:∵CD是圆O的切线,∴由切割线定理得:CD2=CB×CA,∵AB=3BC,设BC=x,由CA=4x,又CD=4∴16=x×4x,x=2∴则AC的长是8.故填:8.28.在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标均为有理数的点称为有理点.试根据这一定义,证明下列命题:若直线y=kx+b(k≠0)经过点M(2,1),则此直线不能经过两个有理点.答案:证明:假设此直线上有两个有理点A(x1,y1),B(x2,y2),其中x1、y1、x2、y2均为有理数,则有y1=kx1+b,y2=kx2+b,两式相减,得y1-y2=k(x1-x2).∵斜率k存在,∴x1≠x2,得k=y1-y2x1-x2.而有理数经过四则运算后还是有理数,故k为有理数.又由y1=kx1+b知,b也是有理数.又∵点M(2,1)在此直线上,∴1=2k+b,于是有2=1-bk(k≠0).此式左端为无理数,右端为有理数,显然矛盾,故此直线不能经过两个有理点.29.给出函数f(x)的一条性质:“存在常数M,使得|f(x)|≤M|x|对于定义域中的一切实数x均成立.”则下列函数中具有这条性质的函数是()A.y=1xB.y=x2C.y=x+1D.y=xsinx答案:根据|sinx|≤1可知|y|=|xsinx|=|x||sinx|≤|x|永远成立故选D.30.某人射击一次击中的概率为0.6,经过3次射击,此人至少有两次击中目标的概率为()
A.
B.
C.
D.答案:A31.有一个正四棱台形状的油槽,可以装油190L,假如它的两底面边长分别等于60cm和40cm,求它的深度.答案:由于台体的体积V=13(S+SS′+S′)h,则h=3VS+SS′+S′=3×1900003600+2400+1600=75cm.故它的深度为75cm.32.A、B是直线l上的两点,AB=4,AC⊥l于A,BD⊥l于B,AC=BD=3,又AC与BD成60°的角,则C、D两点间的距离是______答案:CD=CA+AB+BD,|CD|=|
CA+AB+BD|,CD=32+32+42+2×
3×3cosθ,θ=120°或60°,CD=32+32+42±32.CD=5或43故为:5或4333.5本不同的书全部分给3个学生,每人至少一本,共有()种分法.
A.60
B.150
C.300
D.210答案:B34.如果关于x的不等式|x-4|-|x+5|≥b的解集为空集,则实数b的取值范围为______.答案:|x-4|-|x+5|的几何意义就是数轴上的点到4的距离与到-5的距离的差,差的最大值为9,如果关于x的不等式|x-4|-|x+5|≥b的解集为空集,则实数b的取值范围为b>9;故为:b>9.35.中心在原点,一个焦点坐标为(0,5),短轴长为4的椭圆方程为______.答案:依题意,此椭圆方程为标准方程,且焦点在y轴上,设为y2a2+x2b2=1∵椭圆的焦点坐标为(0,5),短轴长为4,∴c=5,b=2∵a2=b2+c2,∴椭圆的长半轴长为a=4+25=29∴此椭圆的标准方程为y229+x24=1故为y229+x24=136.将4封不同的信随机地投入到3个信箱里,记有信的信箱个数为ξ,试求ξ的分布列.答案:由题意知变量ξ的可能取值是1,2,3,P(ξ=1)=C1334=127,P(ξ=2)=C23(2C14+C24)34=1427,P(ξ=3)=C24A3334=1227,∴ξ的分布列是37.由小正方体木块搭成的几何体的三视图如图所示,则搭成该几何体的小正方体木块有()
A.6块
B.7块
C.8块
D.9块答案:B38.已知指数函数f(x)=ax(a>0且a≠1)过点(3,8),求f(4)=______.答案:设指数函数为y=ax(a>0且a≠1)将(3,8)代入得8=a3解得a=2,所以y=2x,则f(4)=42=16故为16.39.用三段论的形式写出下列演绎推理.
(1)若两角是对顶角,则该两角相等,所以若两角不相等,则该两角不是对顶角;
(2)矩形的对角线相等,正方形是矩形,所以,正方形的对角线相等.答案:(1)两个角是对顶角则两角相等,大前提∠1和∠2不相等,小前提∠1和∠2不是对顶角.结论(2)每一个矩形的对角线相等,大前提正方形是矩形,小前提正方形的对角线相等.结论40.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,以底面正方形ABCD的中心为坐标原点O,分别以射线OB,OC,AA1的指向为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系.试写出正方体八个顶点的坐标.答案:解设i,j,k分别是与x轴、y轴、z轴的正方向方向相同的单位坐标向量.因为底面正方形的中心为O,边长为2,所以OB=2.由于点B在x轴的正半轴上,所以OB=2i,即点B的坐标为(2,0,0).同理可得C(0,2,0),D(-2,0,0),A(0,-2,0).又OB1=OB+BB1=2i+2k,所以OB1=(2,0,2).即点B1的坐标为(2,0,2).同理可得C1(0,2,2),D1(-2,0,2),A1(0,-2,2).41.某细胞在培养过程中,每15分钟分裂一次(由1个细胞分裂成2个),则经过两个小时后,1个这样的细胞可以分裂成______个.答案:由于每15分钟分裂一次,则两个小时共分裂8次.一个这样的细胞经过一次分裂后,由1个分裂成2个;经过2次分裂后,由1个分裂成22个;…经过8次分裂后,由1个分裂成28个.∴1个这样的细胞经过两个小时后,共分裂成28个,即256个.故为:25642.已知参数方程x=1+cosθy=sinθ,(参数θ∈[0,2π]),则该曲线上的点与定点A(-1,-1)的距离的最小值是
______.答案:∵参数方程x=1+cosθy=sinθ∴圆的方程为(x-1)2+y2=1∴定点A(-1,-1)到圆心的距离为5∴与定点A(-1,-1)的距离的最小值是d-r=5-1故为5-143.在(1+x)3+(1+x)4…+(1+x)7的展开式中,含x项的系数是______.(用数字作答)答案:(1+x)3+(1+x)4…+(1+x)7的展开式中,含x项的系数是C31+C41+C51+…+C71=25故为:2544.不等式3≤|5-2x|<9的解集为()
A.[-2,1)∪[4,7)
B.(-2,1]∪(4,7]
C.(-2,-1]∪[4,7)
D.(-2,1]∪[4,7)答案:D45.以椭圆的焦点为顶点、顶点为焦点的双曲线方程是()
A.
B.
C.
D.答案:C46.如图,圆O的直径AB=6,C为圆周上一点,BC=3,过C作圆的切线l,过A作l的垂线AD,AD分别与直线l、圆交于点D、E.求∠DAC的度数与线段AE的长.答案:如图,连接OC,因BC=OB=OC=3,因此∠CBO=60°,由于∠DCA=∠CBO,所以∠DCA=60°,又AD⊥DC得∠DAC=30°;(5分)又因为∠ACB=90°,得∠CAB=30°,那么∠EAB=60°,从而∠ABE=30°,于是AE=12AB=3.(10分)47.若非零向量满足,则()
A.
B.
C.
D.答案:C48.设平面α内两个向量的坐标分别为(1,2,1)、(-1,1,2),则下列向量中是平面的法向量的是()
A.(-1,-2,5)
B.(-1,1,-1)
C.(1,1,1)
D.(1,-1,-1)答案:B49.已知两条直线l1:y=x,l2:ax-y=0,其中a为实数,当这两条直线的夹角在(0,)内变动时,a的取值范围是(
)
A.(0,1)
B.
C.
D.答案:C50.一动圆与两圆x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都外切,则动圆圆心轨迹为()A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线答案:设动圆的圆心为P,半径为r,而圆x2+y2=1的圆心为O(0,0),半径为1;圆x2+y2-8x+12=0的圆心为F(4,0),半径为2.依题意得|PF|=2+r|,|PO|=1+r,则|PF|-|PO|=(2+r)-(1+r)=1<|FO|,所以点P的轨迹是双曲线的一支.故选C.第3卷一.综合题(共50题)1.从单词“equation”选取5个不同的字母排成一排,含有“qu”(其中“qu”相连且顺序不变)的不同排列共有()A.120个B.480个C.720个D.840个答案:要选取5个字母时首先从其它6个字母中选3个有C63种结果,再与“qu“组成的一个元素进行全排列共有C63A44=480,故选B.2.设O是坐标原点,F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,A是抛物线上的一点,FA与x轴正向的夹角为60°,则|OA|为______.答案:过A作AD⊥x轴于D,令FD=m,则FA=2m,p+m=2m,m=p.∴OA=(p2+p)2+(3p)2=212p.故为:212p3.设定义域为[x1,x2]的函数y=f(x)的图象为C,图象的两个端点分别为A、B,点O为坐标原点,点M是C上任意一点,向量OA=(x1,y1),OB=(x2,y2),OM=(x,y),满足x=λx1+(1-λ)x2(0<λ<1),又有向量ON=λOA+(1-λ)OB,现定义“函数y=f(x)在[x1,x2]上可在标准k下线性近似”是指|MN|≤k恒成立,其中k>0,k为常数.根据上面的表述,给出下列结论:
①A、B、N三点共线;
②直线MN的方向向量可以为a=(0,1);
③“函数y=5x2在[0,1]上可在标准1下线性近似”;
④“函数y=5x2在[0,1]上可在标准54下线性近似”.
其中所有正确结论的番号为______.答案:由ON=λOA+(1-λ)OB,得ON-OB=λ(OA-OB),即BN=λBA故①成立;∵向量OA=(x1,y1),OB=(x2,y2),向量ON=λOA+(1-λ)OB,∴向量ON的横坐标为λx1+(1-λ)x2(0<λ<1),∵OM=(x,y),满足x=λx1+(1-λ)x2(0<λ<1),∴MN∥y轴∴直线MN的方向向量可以为a=(0,1),故②成立对于函数y=5x2在[0,1]上,易得A(0,0),B(1,5),所以M(1-λ,5(1-λ)2),N(1-λ,5(1-λ)),从而|MN|=52(1-λ)2-(1-λ))2=25[(λ-12)2+14]2≤54,故函数y=5x2在[0,1]上可在标准54下线性近似”,故④成立,③不成立,故为:①②④4.一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱.这个四棱锥的底面为正方形,且底面边长与各侧棱长相等,这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等.设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为h1,h2,h,则h1:h2:h3=()
A.:1:1
B.:2:2
C.:2:
D.:2:答案:B5.设A={x|2x2+ax+2=0},B={x|x2+3x+2a=0},A∩B={2}.
(1)求a的值及集合A、B;
(2)设全集U=A∪B,求(CUA)∪(CUB)的所有子集.答案:解:(1)∵A∩B={2},∴2∈A,∴8+2a+2=0,∴a=﹣5;B={2,﹣5}(2)U=A∪B=,∴CUA={﹣5},CUB=∴(CUA)∪(CUB)=∴(CUA)∪(CUB)的所有子集为:,{﹣5},{},{﹣5,}.6.沿着正四面体OABC的三条棱OA、OB、OC的方向有大小等于1、2、3的三个力f1、f2、f3.试求此三个力的合力f的大小以及此合力与三条棱所夹角的余弦.答案:用a、b、c分别代表棱OA、OB、OC上的三个单位向量,则f1=a,f2=2b,f3=3c,则f=f1+f2+f3=a+2b+3c,∴|f|2=(a+2b+3c)?(a+2b+3c)=|a|2+4|b|2+9|c|2+4a?b+6a?c+12b?c=1+4+9+4|a||b|cos<a,b>+6|a||c|cos<a,c>+12|b||c|cos<b,c>=14+4cos60°+6cos60°+12cos60°=14+2+3+6=25.∴|f|=5,即所求合力的大小为5,且cos<f,a>=f?a|f||a|=|a|2+2a?b+3a?c5=1+1+325=710.同理,可得cos<f,b>=45,cos<f,c>=910.7.参数方程(θ为参数)表示的曲线为()
A.圆的一部分
B.椭圆的一部分
C.双曲线的一部分
D.抛物线的一部分答案:D8.如图,圆O上一点C在直径AB上的射影为D.AD=2,AC=25,则AB=______.答案:∵AB是直径,∴△ABC是直角三角形,∵C在直径AB上的射影为D,∴CD⊥AB,∴AC2=AD?AB,∴AB=AC2AD=202=10,故为:109.已知a,b是非零向量,且a,b夹角为π3,则向量p=a丨a丨+b丨b丨的模为______.答案:∵|a|a||=|a||a|=1=|b|b||,a?b=|a|
|b|cosπ3=12|a|
|b|∴p2=|(a|a|+b|b|)2=1+1+2?a|a|?b|b|=2+2×12=3,∴|p|=3.故为3.10.用反证法证明“a+b=1”时的反设为()
A.a+b>1且a+b<1
B.a+b>1
C.a+b>1或a+b<1
D.a+b<1答案:C11.设全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合S={1,3,5},T={3,6},则CU(S∪T)等于()A.φB.{2,4,7,8}C.{1,3,5,6}D.{2,4,6,8}答案:∵S∪T={1,3,5,6},∴CU(S∪T)={2,4,7,8}.故选B.12.设a,b,c为正数,利用排序不等式证明a3+b3+c3≥3abc.答案:证明:不妨设a≥b≥c>0,∴a2≥b2≥c2,由排序原理:顺序和≥反序和,得:a3+b3≥a2b+b2a,b3+c3≥b2c+c2b,c3+a3≥a2c+c2a三式相加得2(a3+b3+c3)≥a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2).又a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca.所以2(a3+b3+c3)≥6abc,∴a3+b3+c3≥3abc.当且仅当a=b=c时,等号成立.13.设与都是直线Ax+By+C=0(AB≠0)的方向向量,则下列关于与的叙述正确的是()
A.=
B.与同向
C.∥
D.与有相同的位置向量答案:C14.若k∈R,则“k>3”是“方程表示双曲线”的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件答案:A15.直线(x+1)a+(y+1)b=0与圆x2+y2=2的位置关系是______.答案:直线(x+1)a+(y+1)b=0化为ax+by+(a+b)=0,所以圆心点到直线的距离d=|a+b|a2+b2=a2+b2+2aba2+b2≤2(a2+b2)a2+b2=2.所以直线(x+1)a+(y+1)b=0与圆x2+y2=2的位置关系是:相交或相切.故为:相交或相切.16.如图,⊙O与⊙O′交于
A,B,⊙O的弦AC与⊙O′相切于点A,⊙O′的弦AD与⊙O相切于A点,则下列结论中正确的是()
A.∠1>∠2
B.∠1=∠2
C.∠1<∠2
D.无法确定
答案:B17.若向量、、满足++=,=3,=1,=4,则等于(
)
A.-11
B.-12
C.-13
D.-14答案:C18.(1)求过两直线l1:7x-8y-1=0和l2:2x+17y+9=0的交点,且平行于直线2x-y+7=0的直线方程.
(2)求点A(--2,3)关于直线l:3x-y-1=0对称的点B的坐标.答案:(1)联立两条直线的方程可得:7x-8y-1=02x+17y+9=0,解得x=-1127,y=-1327所以l1与l2交点坐标是(-1127,-1327).(2)设与直线2x-y+7=0平行的直线l方程为2x-y+c=0因为直线l过l1与l2交点(-1127,-1327).所以c=13所以直线l的方程为6x-3y+1=0.点P(-2,3)关于直线3x-y-1=0的对称点Q的坐标(a,b),则b-3a+2×3=-1,且3×a-22-b+32-1=0,解得a=10且b=-1,对称点的坐标(10,-1)19.Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,该图中只有x个三角形与△ABC相似,则x的值为()A.1B.2C.3D.4答案:∵∠ACB=90°,CD⊥AB∴△ABC∽△ACD△ACD∽CBD△ABC∽CBD所以有三对相似三角形,该图中只有2个三角形与△ABC相似.故选B.20.已知圆C:x2+y2-4x-5=0.
(1)过点(5,1)作圆C的切线,求切线的方程;
(2)若圆C的弦AB的中点P(3,1),求AB所在直线方程.答案:由C:x2+y2-4x-5=0得圆的标准方程为(x-2)2+y2=9-----------(2分)(1)显然x=5为圆的切线.------------------------(4分)另一方面,设过(5,1)的圆的切线方程为y-1=k(x-5),即kx-y+1-5k=0;所以d=|2k-5k+1|k2+1=3,解得k=-43于是切线方程为4x+3y-23=0和x=5.------------------------(7分)(2)设所求直线与圆交于A,B两点,其坐标分别为(x1,y1)B(x2,y2)则有(x1-2)2+y21=9(x2-2)2+y22=9两式作差得(x1+x2-4)(x2-x1)+(y2+y1)(y2-y1)=0--------------(10分)因为圆C的弦AB的中点P(3,1),所以(x2+x1)=6,(y2+y1)=2
所以y2-y1x2-x1=-1,故所求直线方程为
x+y-4=0-----------------(14分)21.设z是复数,a(z)表示zn=1的最小正整数n,则对虚数单位i,a(i)=()A.8B.6C.4D.2答案:a(i)=in=1,则最小正整数n为4.故选C.22.A、B、C、D、E五种不同的商品要在货架上排成一排,其中A、B两种商品必须排在一起,而C、D两种商品不能排在一起,则不同的排法共有______种.答案:先把A、B进行排列,有A22种排法,再把A、B看成一个元素,和E进行排列,有A22种排法,最后再把C、D插入进去,有A23种排法,根据分步计数原理可得A22A22A23=24种排法.故为:2423.从甲、乙两人手工制作的圆形产品中,各自随机抽取6件,测得其直径如下(单位:cm):
甲:9.00,9.20,9.00,8.50,9.10,9.20
乙:8.90,9.60,9.50,8.54,8.60,8.90
据以上数据估计两人的技术稳定性,结论是()
A.甲优于乙
B.乙优于甲
C.两人没区别
D.无法判断答案:A24.设函数f(x)的定义域为D,如果对于任意的x1∈D,存在唯一的x2∈D,使得
f(x1)+f(x2)2=C成立(其中C为常数),则称函数y=f(x)在D上的均值为C,现在给出下列4个函数:①y=x3②y=4sinx③y=lgx④y=2x,则在其定义域上的均值为
2的所有函数是下面的()A.①②B.③④C.①③④D.①③答案:由题意可得,均值为2,则f(x1)+f(x2)2=2即f(x1)+f(x2)=4①:y=x3在定义域R上单调递增,对应任意的x1,则存在唯一x2满足x13+x23=4①正确②:y=4sinx,满足4sinx1+4sinx2=4,令x1=π2,则根据三角函数的周期性可得,满足sinx2=0的x2无穷多个,②错误③y=lgx在(0,+∞)单调递增,对应任意的x1>0,则满足lgx1+lgx2=4的x2唯一存在③正确④y=2x满足2x1+2x2=4,令x1=3时x2不存在④错误故选D.25.
008年北京成功举办了第29届奥运会,中国取得了51金、21银、28铜的骄人成绩.下表为北京奥运会官方票务网站公布的几种球类比赛的门票价格,某球迷赛前准备用12000元预定15张下表中球类比赛的门票:
比赛项目
票价(元/场)
篮球
1000
足球
800
乒乓球
500
若在准备资金允许的范围内和总票数不变的前提下,这个球迷想预定上表中三种球类门票,其中足球门票数与乒乓球门票数相同,且足球门票的费用不超过男篮门票的费用,则可以预订男篮门票数为
A.2
B.3
C.4
D.5
答案:D26.若长方体的三个面的对角线长分别是a,b,c,则长方体体对角线长为()A.a2+b2+c2B.12a2+b2+c2C.22a2+b2+c2D.32a2+b2+c2答案:解析:设同一顶点的三条棱分别为x,y,z,则x2+y2=a2,y2+z2=b2,x2+z2=c2得x2+y2+z2=12(a2+b2+c2),则对角线长为12(a2+b2+c2)=22a2+b2+c2.故选C.27.在极坐标系中,已知点P(2,),则过点P且平行于极轴的直线的方程是()
A.ρsinθ=1
B.ρsinθ=
C.ρcosθ=1
D.ρcosθ=答案:A28.设随机变量X服从B(6,),则P(X=3)的值是()
A.
B.
C.
D.答案:B29.由直角△ABC勾上一点D作弦AB的垂线交弦于E,交股的延长线于F,交外接圆于G,求证:EG为EA和EB的比例中项,又为ED和EF的比例中项.
答案:证明:连接GA、GB,则△AGB也是一个直角三角形,因为EG为直角△AGB的斜边AB上的高,所以,EG为EA和EB的比例中项,即EG2=EA?EB∵∠AFE=∠ABC,∴直角△AEF∽直角△DEB,EAEF=EDEB即EA?EB=ED?EF.又∵EG2=EA?EB,∴EG2=ED?EF(等量代换),故EG也是ED和EF的比例中项.30.设函数g(x)=ex
x≤0lnx,x>0,则g(g(12))=______.答案:g(g(12))
=g(ln12)
=eln12=12故为:12.31.一次函数y=3x+2的斜率和截距分别是()A.2、3B.2、2C.3、2D.3、3答案:根据一次函数的定义和直线的斜截式方程知,此一次函数的斜率为3、截距为2故选C32.如图所示,已知PA切圆O于A,割线PBC交圆O于B、C,PD⊥AB于D,PD与AO的延长线相交于点E,连接CE并延长交圆O于点F,连接AF.
(1)求证:B,C,E,D四点共圆;
(2)当AB=12,tan∠EAF=23时,求圆O的半径.答案:(1)由切割线定理PA2=PB?PC由已知易得Rt△PAD∽Rt△PEA,∴PA2=PD?PE,∴PA2=PB?PC=PA2=PD?PE,又∠BPD为公共角,∴△PBD∽△PEC,∴∠BDP=∠C∴B,C,E,D四点共圆
(2)作OG⊥AB于G,由(1)知∠PBD=∠PEC,∵∠PBD=∠F,∴∠F=∠PEC,∴PE∥AF.∵AB=12,∴AG=6.∵PD⊥AB,∴PD∥OG.∴PE∥OG∥AF,∴∠AOG=∠EAF.在Rt△AOG中,tan∠AOG=tan∠EAF=23=6OG,∴OG=9∴R=AO=AG2+OG2=313∴圆O的半径313.33.为了检查某超市货架上的奶粉是否含有三聚氰胺,要从编号依次为1到50的袋装奶粉中抽取5袋进行检验,用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的5袋奶粉的编号可能是()
A.5,10,15,20,25
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