数字信号处理复习

课程内容绪论第1章离散时间信号第2章离散时间系统第3章离散时间信号的傅里叶变换第4章快速傅里叶变换第5章离散时间系统的相位、结构与逆系统第6章无限冲激响应数字滤波器设计第7章有限冲激响应数字滤波器设计1数字信号：所有整数：抽样间隔，：抽样频率(SamplingFrequency)归一化：离散时间信号21.1典型离散信号1.2离散信号的运算1.3信号的分类1.4噪声1.5信号空间的基本概念1.6确定性信号的相关函数第1章离散时间信号31.单位抽样信号（Kronecker函数）1.1典型离散信号单位冲激信号（Drac函数）42.脉冲串序列1.1典型离散信号冲激串序列5将用来替换离散序列连续信号抽样的数学模型（离散信号）6则3.单位阶跃序列74.正弦序列(：Hz;：rad/s;：抽样频率,Hz)圆（周）频率8例:

则令则:则周期正弦序列的周期96.指数序列

欧拉公式5.复正弦序列101.移位：整个序列移动1.2离散信号的运算的基本运算包括：移位、相加、相乘及变换11:n时刻的值:过去时刻的值:将来时刻的值的单位延迟是x（n）中各时间值的含义12:n时刻的值:过去时刻的值:将来时刻的值的单位延迟是序列在某一时刻k的值可以用的延迟表示的抽取性质132.两个信号的相加与相乘：3.信号时间尺度的变化两个序列有相同的长度和相同的时间范围，M为正整数信号的抽取：，L为正整数信号的插值：时间反转：144.信号的分解分解的基向量分解系数信号的离散表示若分解系数两两正交，则该分解为x的正交展开或正交分解。155.信号的变换——信号分解的逆过程分解的基向量分解系数信号的离散表示给定x及分解的基向量的情况下，求解分解系数。或者理解为将信号由一个域映射到另一个域的运算。常用的变换有傅里叶变换、离散余弦变换、希尔伯特变换、小波变换等。161.连续，离散——根据时间变量的取值2.周期，非周期3.确定性信号，随机信号1.3信号的分类4.能量信号，功率信号信号能量的定义式则为能量信号均匀分布的随机变量17信号功率的定义式

则为功率信号周期信号的功率周期信号、准周期信号和随机信号，由于其时间无限，故这些信号都不是能量信号，通常是功率信号。存在于有限时间区间内的确定性信号有可能是能量信号。

18相关是研究两个信号之间，或一个信号与其移位后的相关性，是信号分析、检测与处理的重要工具。1.6确定性信号的相关函数常数这两种相关系数可用来描述两个信号之间的相似程度，又称为归一化的相关系数。19之间的互相关函数之间的互相关函数自相关函数：20自相关函数：实序列复序列性质：21功率信号相关函数的定义：自相关互相关对于能量信号：自相关对于功率信号：22

1.若是周期的，周期是，则2.若是实信号，则3.取最大值，为信号功率若是复信号，则功率信号自相关函数的性质：23同频率余弦例1.6.2:

24例：相关函数的应用——信号周期性的检测，其中u(n)为白噪声，s(n)周期为M0主要集中在m=0处有值功率信号的自相关函数在取最大值，为。252.1离散时间系统的基本概念2.2离散时间系统的输入输出关系2.3Z变换的定义2.4Z变换的收敛域2.5Z变换的性质2.6离散时间系统的转移函数2.7离散时间系统的频率响应2.8离散时间系统的极零分析2.9滤波的基本概念2.10IIR系统的信号流图与结构2.11与本章内容有关的MATLAB文件第2章离散时间系统26连续系统的描述：微分方程、卷积、转移函数（Laplace变换）、频率响应（Fourier变换）2.1离散时间系统离散系统的描述：差分方程、卷积、转移函数（Z变换）、频率响应（DTFT,DFT）272.1离散时间系统当时，输出称为单位抽样响应，记为描述了离散系统的固有特征，是重要的物理参数。28例:当前时刻差分方程前一时刻一阶自回归差分方程的信号流图单位抽样响应为无限长的系统：IIR系统(InfiniteImpulseResponse)即29例:三点加权平均器三点平均器三点加权平均器信号流图n为其它值单位抽样响应为有限长的系统：FIR系统(finiteImpulseResponse)301.线性Linear含意：该系统满足迭加原理离散系统的几个重要定义312.移不变性同时具有线性和移不变性的离散时间系统称为线性移不变（Linear-ShiftInvariantSystem，LSI）离散时间系统，本书中简称LSI系统。含意：移不变性质保证对给定的输入，系统的输出和输入施加的时间无关。等同于32例2.1.5(1)判断系统是否线性、移不变？系统是线性的则所以系统对的输出是对的输出是而由于所以系统不具备移不变性333.因果性Causality因果系统非因果系统含意：一个实际的物理系统，其在任意时刻的输出只决定于当前时刻的输入、过去时刻的输入，而和将来时刻的输入无关。因果性的判别方法：344.稳定性Stability

若：有：含意：输入有界，输出也有界定义不是稳定的351.为常数2.无常数项3.

为一次幂4.时间也为一次幂线性移不变离散时间系统的一般形式：2.2离散时间系统的输入输出关系36将作如下形式的分解：输入输出37称LSI系统的线性卷积离散时间系统的输入输出关系计算步骤：1.将换成，得；2.将翻转，得；3.将移动，得；4.将和对应相乘、相加。系统稳定的充要条件：

即：38系统稳定的充要条件：

系统稳定即：充分性：必要性：因系统稳定，则y(0)有界39Laplace变换：

2.3Z变换的定义

离散信号x(n)的z变换定义为如何由时域：信号x(t)的拉氏变换得到离散信号的z变换？复频域频域(Fourier变换)双边z变换指n从-∞到∞，单边z变换(X+(z))

指n从0到∞40令：得到：41离散时间序列的傅里叶变换，DTFT当平面422.4Z变换的收敛域收敛域ROC除外，还取决于的取值是的模，所以ROC具有“圆”，或“环”的形状。43例2.4.1：使Z变换的分母为0的点，称为Z变换的极点。44例2.4.2：{其他451.ROC：3.ROC:有限长离散时间信号Z变换的收敛域即即2.ROC：即46ROC:右边无限长序列ROC：左边无限长序列ROC:双边无限长序列ROC:ROC：47例2.4.5：思考：什么信号的z变换的收敛域是整个z平面？单位抽样信号的z变换的收敛域是整个z平面481.线性:2.3Z变换的性质例49表示单位延迟2.时移性质:

（1）双边Z变换（2）单边Z变换50（3）为因果序列，则3.指数加权性质:4.线性加权性质:515.时域卷积性质:=×52一些典型信号的Z变换531.2.3.2.6离散系统的转移函数544.系统为FIR系统则h(n)为无限长，系统为IIR系统555.以上关系是离散时间系统中的基本关系，它们从不同的角度描述了系统的性质，它们彼此之间可以互相转换。1.2.3.4.56令则2.7离散时间系统的频率响应系统的频率响应系统的输出包含和输入同频率的正弦，但受到一复函数的调制。该复函数即系统的频率响应。频率响应是系统单位抽样响应的傅里叶变换，在系统的分析和综合中起到了重要的作用。频率响应进一步可分成幅频响应和相频响应。系统的特征函数57周期性实部与虚部模与角度，幅频响应与相频响应离散时间系统频率响应性质偶函数奇函数58使分子多项式=0的的Zeros(零点)

使分母多项式=0的的Poles(极点)2.8离散时间系统的极零分析591.稳定性:判别条件1：稳定性:判别条件2：所有极点都在单位圆内。极零分析的应用证明：602.由极零图估计系统的频率响应：61例2.8.1由极零分析大致画出系统的频率响应：622.9滤波的基本概念目的：去除噪声，或不需要的成分；原理：信号通过线性系统输入－输出的关系。滤波器的截至频率线性滤波63实现本系统需要一个加法器，个乘法器，个延迟单元。

2.10IIR系统的结构及信号流图IIR系统的信号流图能否改造，从而节约延迟单元？可以！64则：及65IIR系统的直接实现形式假设N>M实现本系统需要两个加法器，个乘法器，个延迟单元。66级联实现假设N>M，N为偶数当N为奇数时，有（N+1）/2个子系统。67并联实现683.1连续时间信号的傅立叶变换3.2离散时间信号的傅立叶变换3.3连续时间信号的抽样3.4离散时间周期信号的傅立叶级数3.5离散时间傅立叶变换DFT3.6用DFT计算线性卷积3.7与DFT有关的几个问题第3章离散时间信号的傅立叶变换691.傅立叶级数3.1连续信号的傅立叶变换FS70FSFT对应连续周期信号对应连续非周期信号离散连续谐波幅度频谱密度2.连续非周期信号的傅立叶变换：信号能量有限FT称信号的频谱密度函数（简称频谱）3.傅立叶级数与傅立叶变换的区别与联系71由得谐波幅度除以频率—频谱密度的概念72周期信号：可以实现傅里叶级数分解，属功率信号；非周期信号：可以实现傅里叶变换，属于能量信号。周期信号能否实现傅里叶变换？在经典数学的意义上是不可实现的，但在引入了奇异函数后可以实现。周期信号FS73因此，时域连续的周期信号的傅里叶变换在频率域是离散的、非周期的。因此，时域连续的非周期信号的傅里叶变换在频率域是连续的、非周期的。当为周期信号时，有：当为非周期信号时，有：742.DTFT：可以看作是将在频域展开为傅立叶级数，傅立叶系数即是。

3.2离散时间信号的傅里叶变换(DTFT)定义1.是的连续周期函数，周期为。3.是在单位圆上取值时的变换：75DTFT的反变换2πδ(m-n)由可知的幅度谱、相位谱及能量谱，从而实现离散信号的频域分析。76线性则移位则3.奇偶、虚实性质DTFT的性质77如果是实信号，即如果是实偶信号，即，则是的实函数，频谱为实数，相频响应恒为0。784.时域卷积定理则：5.频域卷积定理则：796.时域相关定理互相关：自相关：807.Parseval’s定理：信号时域的总能量等于频域的总能量：能量谱818.Wiener—Khinchin定理对功率信号x(n)，其自相关函数定义为：定义：为功率信号的功率谱。功率信号的自相关函数和其功率谱是一对傅立叶变换。信号的总功率则为：82例3.2.3:3.2.4：一些典型信号的DTFT线性相位低通833.2.4：一些典型信号的DTFT不绝对可和不平方可和843.3抽样定理信号抽样的数学模型：853.3抽样定理信号抽样的数学模型：FTDTFT的性质863.3抽样定理信号抽样的数学模型：频谱的周期延拓87周期延拓，无穷迭加迭加后可能产生的影响88或要求：若保证相等则可保留全部信息即：抽样频率至少要等于信号最高频率的两倍。此即抽样定理。奈奎斯特抽样定理，或香农抽样定理抽样定理89如何保证?1.做频谱分析，了解的行为；2.使用抗混叠滤波器，限制的范围。：奈奎斯特频率：折叠频率如果抽样频率不满足要求，将出现频谱的混叠，将无法恢复原信号。90工程上：使用D/A转换器；在满足抽样定理的情况下，的一个周期即等于，因此，可截取之。理论上：导出如下：信号的重建91其余为零插值公式插值函数权重92如何对作频谱分析？因为是离散的，故频谱是周期的；因为是周期的，故频谱是离散的；

即：

的频谱应是离散的、且是周期的。但：是功率信号，不能直接作DTFT；3.4离散时间周期信号的傅立叶级数（DFS）周期序列93记离散、周期DFS94即：是周期的，周期是，间隔是。是周期的，周期是，间隔是。各取一个周期，记：DFT95DFT与DTFT及Z变换之关系96DFT的性质1.线性:

2.正交性正交阵973.循环移位98为实序列：4.奇、偶、虚、实对称性质为复序列：995.Parseval’s定理6.循环卷积线性卷积：都是点序列当和DFT联系起来时，注意到都是以为周期的周期序列。移位时有移出也有移入。循环卷积定义为：1003.6用DFT计算线性卷积非周期信号能否用DFT来实现线性卷积呢？101补零补零DFTDFT相乘IDFT102一、分辨率分辨率问题是信号处理中的基本问题，包括频率分辨率和时间分辨率。3.7与DFT有关的几个问题频率分辨率定义为：将信号中两个靠的很近的谱峰区分开的能力。频率分辨率：一是取决于信号的长度，二是取决于频谱分析的算法。时间和频率是描述信号的两个主要物理量，它们通过傅里叶变换相联系。103设长度为，则的分辨率主瓣宽度反比于时间长度104对DTFT:

设抽样间隔为，则主瓣宽度反比于时间长度105用计算机分析和处理信号时，信号总是有限长，其长度即是矩形窗的宽度，要想分辨出处的两个频谱，数据长度必须满足：“物理分辨率”：取决于信号的有效长度。106对DFT:此为相邻两点的频率间隔，也是最大分辨“细胞”。若要分辨出处的两个谱峰，必须大于。107例：试确定将三个谱峰分开所需要的数据的长度。在本例中，最小的由

有即要想分辨出这三个谱峰，数据的长度至少要大于1000，从DFT的角度看若令则108作业P1493.19109第4章快速傅立叶变换4.1概述4.2时间抽取（DIT）基2FFT算法4.3频率抽取（DIF）基2FFT算法1104.1概述111

解决耗时的乘法问题是将数字信号处理理论用于实际的关键问题。特别是30年前，计算机的速度相当慢。因此，很多学者对解决DFT的快速计算问题产生了极大的兴趣。DSP的正式开端！CooleyJW,TukeyJW.AnalgorithmforthemachinecomputationofcomplexFourierseries.MathematicsofComputation,1965,pp297~301FFT的思路：如何充分利用这些关系？1124.2时间抽取基2算法

N点DFTN/2点DFTN/4点DFT

2点DFT

1个2个4个N/2个问题是如何分最有效？可以对时间变量分（DIT)，也可对频率变量分(DIF）FFT的核心思想是：令：113所需运算量：复数乘法次数复数加法次数注意：因子的位置；输入序列的顺序－－码位倒置。4114因子的位置012…….M-1000000004100001120100102611001131001100451011015301111067111

1117码位倒置1154.3频率抽取基2算法令：1161174各是N/2点的DFT，继续分解，直到两点DFT输入正序，输出倒序。注意因子的位置118第5章离散时间系统的相位、结构与逆系统5.1离散时间系统的相频响应5.2FIR系统的线性相位特性5.3具有线性相位系统的FIR系统的零点分布5.4全通系统与最小相位系统5.5谱分解5.6FIR系统的结构1195.1离散时间系统的相频响应相频响应如果：，称其为线性相位。对输入，有假定：所以：输出是输入的简单移位，移位的大小正比于，因此不会发生失真。幅频响应1205.2FIR系统的线性相位对FIR系统，如果保证：则该系统具有线性相位。上述对称有四种情况：第一类FIR系统：偶对称奇对称第二类FIR系统：121令：相位增益只要保证滤波器的系数偶对称，该滤波器必然具有线性相位。1222.为偶数令：则：第二类FIR系统3.为奇数1234.为偶数124所以，的零点也是的零点，反之亦然5.3具有线性相位系统的零点分布令：则：线性相位系统二者相等1255.4全通系统和最小相位系统如果一个因果系统的幅频响应对所有的频率都等于1(或一个常数)，即则称系统为全通系统。最简单的全通系统举例全通系统一阶全通系统：镜像对称126一个因果、稳定的离散系统，其极点必须在单位圆内，但对零点没有限制，如果：1.所有的零点都在单位圆内：最小相位系统2.所有的零点都在单位圆外：最大相位系统；3.单位圆内、外都有零点：混合相位系统。最小相位系统在具有相同幅频响应的因果的稳定的滤波器集合中，最小相位滤波器具有最小的相位偏移；最小相位系统的性质：1272.在所有具有相同幅频响应的离散系统中,最小相位系统的具有最小的延迟；所以，最小相位系统的单位抽样响应又称最小延迟序列。最小相位系统的性质：例：以下系统具有相同的幅频响应，试判断，哪一个是最小相位系统？最大相位系统？混合相位系统？最小相位系统最大相位系统混合相位系统128第6章无限冲激响应数字滤波器设计6.1滤波器的基本概念6.2模拟低通滤波器的设计6.3模拟高通、带通及带阻滤波器的设计6.4用冲激响应不变法设计IIR数字低通滤波器6.5双线性Z变换法设计IIR数字低通滤波器6.6数字高通、带通及带阻滤波器的设计129滤波原理6.1滤波器的基本概念130滤波器的技术要求低通：单位(dB)若幅度在下降到0.707，则若幅度在下降到0.01：归一化为1131高通：：通带允许的最大衰减：阻带内应达到的最小衰减带通：带阻：1321.给定所设计的滤波器的技术指标：LP,HPBP,BS

2.设计出一个，使其逼近给定的技术要求。数字滤波器设计的一般步骤:133给定数字滤波器的技术指标得到数字低通、高通、带通、带阻滤波器得到模拟低通、高通、带通、带阻滤波器转换成模拟低通滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器G(S)转换成模拟滤波器的技术指标数字IIR滤波器设计的具体步骤：1346.2模拟低通滤波器的设计一、概述将要求的衰减和模拟滤波器的幅平方特性联系起来。135将按不同的原则简化，可得到不同形式的滤波器，即不同的表达式：

1.巴特沃思(Butterworth)滤波器2.切比雪夫I型(Chebyshev-I)滤波器1361.将实际频率归一化，得归一化幅平方特性2.求和

由：有：二、Butterworth滤波器的设计137对Butterworth滤波器，通常，所以3.确定1386则：1394.巴特沃思滤波器幅频响应的特点140例：给定技术指标，设计模拟低通Butterworth滤波器1416.4用冲激响应不变法设计IIRDF给定数字滤波器的技术指标转换成模拟滤波器的技术指标转换成模拟低通滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器得到模拟高通、带通、带阻滤波器得到数字高通、带通、带阻滤波