2023年立体几何知识点总结解题方法总结

数学必修（二）知识梳理与解题方法分析第一章《空间几何体》一、本章总知识结构二、各节内容分析1.1空间几何体的结构１.本节知识结构１.2空间几何体三视图和直观图１、本节知识结构1.3空间几何体的表面积与体积1、本节知识结构。三、高考考点解析本部分内容在高考中重要考察以下两个方面的内容：1.多面体的体积（表面积)问题；2．点到平面的距离（多面体的一个顶点到多面体一个面的距离）问题—“等体积代换法”。(一）多面体的体积(表面积)问题1．在四棱锥P-ＡBCD中，底面是边长为2的菱形,∠DAB=60,对角线AC与BD相交于点O,ＰＯ⊥平面ABCD，PB与平面AＢCD所成的角为60．（1）求四棱锥P-ＡＢＣD的体积；【解】（1）在四棱锥P-AＢＣＤ中,由PO⊥平面ABCＤ,得∠PBＯ是PB与平面ABCＤ所成的角,∠PBO=60°.在Rt△AOB中BＯ=ABsiｎ30°=1,由ＰO⊥BO,于是,PO＝ＢOtaｎ60°＝，而底面菱形的面积为２.∴四棱锥P－ABCD的体积Ｖ＝×2×＝2.2．如图,长方体ＡBCD-中，E、P分别是BC、的中点,Ｍ、N分别是AE、的中点,（Ⅲ)求三棱锥P－ＤEN的体积。【解】（Ⅲ)作,交于，由面得∴面∴在中，∴。(二)点到平面的距离问题—“等体积代换法”。1如图，四周体AＢCD中，O、E分别是BＤ、BC的中点，（III)求点E到平面ＡCD的距离。【解】（III)设点E到平面ACＤ的距离为，∴在中,而点Ｅ到平面ＡCＤ的距离为2．如图，已知正三棱柱的侧棱长和底面边长为1，是底面边上的中点,是侧棱上的点，且。(Ⅱ)求点到平面的距离。【解】（Ⅱ）过在面内作直线,为垂足。又平面，所以ＡM。于是H平面ＡMN，故即为到平面ＡMN的距离。在中,＝。故点到平面AMＮ的距离为1。3如图，已知三棱锥的侧棱两两垂直，且OA＝1，OＢ=OC＝2，E是OC的中点。(1)求O点到面ABC的距离；【解】（1）取ＢC的中点D，连ＡＤ、OD。，则∴ＢC⊥面ＯAD。过O点作OＨ⊥AD于Ｈ，则OH⊥面AＢＣ,OH的长就是所规定的距离。，。∴面OBC,则。,在直角三角形OAD中,有(另解:由知:）第二章《点、直线、平面之间的位置关系》一、本章的知识结构二、各节内容分析２.１空间中点、直线、平面之间的位置关系１、本节知识结构２.内容归纳总结（1）四个公理公理1:假如一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。符号语言:。公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。三个推论：①②③它给出了拟定一个平面的依据。公理3:假如两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线（两个平面的交线）。符号语言:。公理4：(平行线的传递性)平行与同一直线的两条直线互相平行。符号语言：。(2)空间中直线与直线之间的位置关系1.概念异面直线及夹角:把不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。已知两条异面直线，通过空间任意一点O作直线,我们把与所成的角(或直角）叫异面直线所成的夹角。（易知:夹角范围）定理：空间中假如一个角的两边分别与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补。(注意:会画两个角互补的图形)2．位置关系:（3）空间中直线与平面之间的位置关系直线与平面的位置关系有三种:（４)空间中平面与平面之间的位置关系平面与平面之间的位置关系有两种:2.２直线、平面平行的鉴定及其性质１、本节知识结构2.内容归纳总结（1）四个定理定理定理内容符号表达分析解决问题的常用方法直线与平面平行的鉴定平面外的一条直线与平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。在已知平面内“找出”一条直线与已知直线平行就可以鉴定直线与平面平行。即将“空间问题”转化为“平面问题”平面与平面平行的鉴定一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。鉴定的关键:在一个已知平面内“找出”两条相交直线与另一平面平行。即将“面面平行问题”转化为“线面平行问题”直线与平面平行的性质一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。平面与平面平行的性质假如两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行。(２)定理之间的关系及其转化两平面平行问题常转化为直线与直线平行,而直线与平面平行又可转化为直线与直线平行,所以在解题时应注意“转化思想”的运用。这种转化实质上就是：将“高维问题”转化为“低维问题”，将“空间问题”转化为“平面问题”。2.３直线、平面平垂直的鉴定及其性质1、本节知识结构2.内容归纳总结(一)基本概念1.直线与平面垂直:假如直线与平面内的任意一条直线都垂直,我们就说直线与平面垂直，记作。直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面。直线与平面的公共点叫做垂足。２.直线与平面所成的角：角的取值范围：。3．二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。二面角的记法：二面角的取值范围:两个平面垂直：直二面角。（二）四个定理定理定理内容符号表达分析解决问题的常用方法直线与平面垂直的鉴定一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。在已知平面内“找出”两条相交直线与已知直线垂直就可以鉴定直线与平面垂直。即将“线面垂直”转化为“线线垂直”平面与平面垂直的鉴定一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面垂直。（满足条件与垂直的平面有无数个)鉴定的关键：在一个已知平面内“找出”两条相交直线与另一平面平行。即将“面面平行问题”转化为“线面平行问题”直线与平面垂直的性质同垂直与一个平面的两条直线平行。平面与平面垂直的性质两个平面垂直，则一个平面内垂直与交线的直线与另一个平面垂直。解决问题时,常添加的辅助线是在一个平面内作两平面交线的垂线（三）定理之间的关系及其转化:两平面垂直问题常转化为直线与直线垂直，而直线与平面垂直又可转化为直线与直线垂直，所以在解题时应注意从“高维”到“低维”的转化,即“空间问题”到“平面问题”的转化。三、高考考点解析第一部分、三类角(异面直线所成的夹角、直线与平面所成的角、二面角）的求解问题(一）异面直线所成的夹角与异面直线的公垂线1.异面直线所成的夹角是本部分的重点和难点更是高考的考点。异面直线所成的角的大小是刻划空间两条异面直线的相关位置的一个量,掌握好概念是解题的关键，其思维方法是把两条异面直线所成的角通过“平移法”转化为“平面角”,然后证明这个角就是所求的角,再运用三角形解出所求的角（简言之：①“转化角”、②“证明”、③“求角”）。以上三个环节“转化角”是求解的关键,由于转化的过程往往就是求解的过程——其目的就是将“空间问题”转化为“平面问题（角问题）”。1．如图所示，、分别是、的直径，与两圆所在的平面均垂直,.是的直径,,。(＝２\＊ROＭANIＩ）求直线与所成的角。【解】(＝２\*ROMAＮII)第一步:将“问题”转化为求“平面角”问题根据定义和题设，我们只能从两条异面直线的四个顶点出发作其中一条直线的平行线，此题我们只能从点D作符合条件的直线。连结DO,则∠ODB即为所求的角。第二步:证明∠ODB就是所求的角在平面ＡDEF中，DＥ//AF,且DＥ＝AF,所以四边形ODEＦ为平行四边形所以ＤO//EF所以根据定义,∠ＯDＢ就是所求的角。第三步：求角由题设可知：底面AＢCD为正方形∵DA⊥平面ABＣD平面∴ＤＡ⊥ＢC又∵AF⊥BC∴BＣ⊥平面ADＯ∴DＯ⊥ＢC∴△DOB为直角三角形∴在Rｔ△ODB，∴(或用反三角函数表达为：)２．在四棱锥P-ABＣＤ中,底面是边长为２的菱形,∠ＤAB＝６0,对角线AC与BD相交于点O,PO⊥平面ABCＤ，PB与平面ABCＤ所成的角为６０.(2)若E是PB的中点,求异面直线ＤＥ与PA所成角的大小(结果用反三角函数值表达）．【解】(2）取ＡＢ的中点Ｆ,连接EF、DF.由Ｅ是PB的中点,得EF∥PA,∴∠ＦＥD是异面直线DE与PA所成角(或它的补角）。在Ｒt△AOＢ中AO=AＢcｏs30°==ＯP,于是,在等腰Rt△PＯA中,PA=,则ＥＦ=.在正△AＢＤ和正△PBＤ中,ＤＥ=DF=.cｏs∠FED==∴异面直线ＤＥ与ＰA所成角的大小是arccｏs.3．如图，四周体ABＣD中，O、E分别是BD、BC的中点,（II）求异面直线AB与CD所成角的大小;【解】本小题重要考察直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离基本知识，考察空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。方法一:（ＩI）取AＣ的中点M,连结OM、ME、ＯＥ，由E为BＣ的中点知直线ＯＥ与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角在中，是直角斜边AC上的中线，异面直线AB与CD所成角的大小为4.如图，已知三棱锥的侧棱两两垂直,且OA=1，OＢ＝ＯC=２,E是OC的中点。（2）求异面直线ＢＥ与AＣ所成的角；【解】(2）取ＯＡ的中点M，连EM、BM，则EＭ∥AC,∠ＢEM是异面直线BE与AＣ所成的角。求得:，,∴。2.异面直线的公垂线问题异面直线的公垂线问题也是高考的考点之一。与两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线.任何两条拟定的异面直线都存在唯一的公垂线段．1.如图，在直三棱柱中,、分别为、的中点。(I)证明:ED为异面直线与的公垂线；【解】(Ⅰ）设O为AC中点，连接EO,BＯ，则EＯEQ＼o（\s\up(∥）,\s\do3(=))EＱ＼f(１,2)C1C,又C1CEQ＼ｏ(\s＼up(∥)，\s＼do3（＝))B1B，所以EOEQ\o(＼s\uｐ(∥),＼s＼do３(=))DＢ,EOBＤ为平行四边形，EＤ∥ＯB．ABCDEA1B1C1ABCDEA1B1C1OF又平面ABC⊥平面AＣC1A1,BO面AＢC,故BO⊥平面AＣC1Ａ1，∴EＤ⊥平面AＣＣ1A1,ED⊥ＡC1,ED⊥CC１，∴EＤ⊥BB１,ED为异面直线AC1与BＢ1的公垂线.ABCA1VB1C1ABCA1VB1C1(Ⅰ)求证直线是异面直线与的公垂线；【解】解法１：（Ⅰ）证明:∵平面∥平面,又∵平面⊥平面，平面∩平面,∴⊥平面，，又,.为与的公垂线.（二)直线与平面所成夹角1．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形,,,底面，且，分别为、的中点。(Ⅱ)求与平面所成的角。【解】(＝２＼＊ROMANII）取的中点，连结、，则，所以与平面所成的角和与平面所成的角相等.由于平面，所以是与平面所成的角.在中，。故与平面所成的角是。图1图22．在正三角形ABＣ中，Ｅ、Ｆ、Ｐ分别是AB、AC、BＣ边上的点，满足ＡE:EＢ＝ＣF:FA=CＰ:PB=1：2（如图１）。将△ＡEF沿EF折起到的位置，使二面角Ａ１-EF－B成直二面角，连结A1B、A1Ｐ(如图２)图1图2(Ⅱ)求直线A1E与平面A1BP所成角的大小；【解】不妨设正三角形的边长为３,则（II)在图２中，∵Ａ１E不垂直于A1Ｂ,∴Ａ1E是面A1BP的斜线，又A1Ｅ⊥面BEP,∴A1E⊥BP，∴BP垂直于A1Ｅ在面A1BP内的射影(三垂线定理的逆定理）设A１E在面Ａ1BP内的射影为A１Q,且A1Q交ＢP于Q，则∠EA１Q就是Ａ1E与面A1BP所成的角，且BP⊥A1Q。在△EＢP中，∵BE=BP=２，∠EＢＰ=60o，∴△EBP为正三角形，∴BE＝EP。又A1E⊥面BEＰ,∴A1B=Ａ1P，∴Q为BP的中点,且EQ=,而A1Ｅ=1,∴在Rt△A1EＱ中,，即直线A１Ｅ与面A1BP所成角为６0o。（三)二面角与二面角的平面角问题1.如图所示，、分别是、的直径,与两圆所在的平面均垂直，．是的直径,，。(＝1\*ROMANI)求二面角的大小;【解】(=1\*ＲOＭANＩ）∵AD与两圆所在的平面均垂直,∴AD⊥AB，ＡD⊥AF，故∠ＢAF是二面角B—ＡD—F的平面角,依题意可知，ABFC是正方形，所以∠BＡＦ＝450.即二面角Ｂ—ＡD—Ｆ的大小为4５0;2．如图,Ｐ是边长为1的正六边形ABCDEＦ所在平面外一点,,Ｐ在平面ＡBC内的射影为ＢF的中点O。（Ⅱ）求面与面所成二面角的大小。【解】连结ＡD，则易知AD与ＢF的交点为Ｏ。（=2\*ROMAＮII)设M为PB的中点，连结ＡM，ＭD。斜线ＰＢ在平面ＡBC内的射影为OB，。又因此，为所求二面角的平面角。在正六边形ABCDEF中,在Rt在Rt,则在中,由余弦定理得因此，所求二面角的大小为3.如图,在底面为平行四边形的四棱锥中,,平面，且,点是的中点.(Ⅲ)求二面角的大小.【解】(Ⅲ）如图,取AＤ的中点Ｆ,连ＥF,FO,则ＥF是△PAD的中位线，EFPＡ又平面,EF平面同理FO是△AＤC的中位线，ＦOABＦOAC由三垂线定理可知EOＦ是二面角Ｅ-AC－D的平面角.又FO=AB=PA＝EF。EOF＝４5而二面角与二面角E-AC-D互补，故所求二面角的大小为135．４．如图,已知四棱锥P-ＡBＣD的底面ＡBCD为等腰梯形,与相交于点，且顶点在底面上的射影恰为点,又.(Ⅱ)求二面角的大小；【解】平面,又，由平面几何知识得：(Ⅱ)连结,由（Ⅰ)及三垂线定理知，为二面角的平面角,二面角的大小为5.如图,α⊥β,α∩β＝ｌ,A∈α,B∈β,点Ａ在直线l上的射影为Ａ1,点Ｂ在l的射影为B１,已知ＡB=2,ＡA1=1,BB1=eq\r(2),求:（=2＼＊ROＭANII)二面角A1-AB-B1的大小。ＳHAPE\*MERGＥFORMAT【解】（Ⅱ）∵BＢ1⊥α，∴平面ABB1⊥α。在平面α内过Ａ1作Ａ１E⊥AＢ1交AB1于E,则A1E⊥平面AB1Ｂ。过E作EF⊥AＢ交AB于F,连接A1F，则由三垂线定理得A1Ｆ∴∠A1ＦE就是所求二面角的平面角.在Rt△ABＢ1中,∠ＢAB1＝45°,∴ＡB1=B1B=ｅq＼r(2).∴Rt△AA１Ｂ中,Ａ１Ｂ＝eｑ\ｒ（ＡB2-AA12)＝eｑ＼r(４-1）=eq\ｒ(3)。由ＡＡ１·A1B＝A1Ｆ·A１F=eq\f(AＡ1·A1B,AB)=ｅq\f(１×\r（3)，2）＝eｑ\f（\r(3),2),∴在Ｒt△A1EF中,siｎ∠A1FE=eｑ\f（Ａ１E，A1F)=eq\f(\r(６）,3),∴二面角A１－AB－B1的大小为ａrcｓｉnｅq\f(\r（6）,３).第二部分《空间直线、平面的平行问题》将“空间问题”转化为“平面问题”的“转化思想”(一)“线线平行”与“线面平行”的转化问题1如图,在底面为平行四边形的四棱锥中,，平面,且，点是的中点.(Ⅱ）求证：平面;【解】证明本题的关键:在平面EＡＣ中“找”一条与PB平行的直线,由于点E在平面PBD中，所以可以在平面PBＤ中过点E“找”(显然,要“找”的直线就是平面PＢＤ与平面ＥAC的交线）。最终将“线面平行”问题转化为“线线平行”问题。（Ⅱ）连接BＤ，与AC相交与O，连接ＥO,ＡBＣD是平行四边形Ｏ是BD的中点又E是ＰD的中点，EＯ//PB．又PB平面AEC，EO平面AＥＣ,PB平面AEＣ。2．如图，在五面体中，点是矩形的对角线的交点,面是等边三角形,棱.(1)证明／/平面；(2)设，证明平面．【解】分析通上题。（Ⅰ)证明：取ＣD中点Ｍ,连结OM．在矩形ABCD中。，又，则，连结EM,于是四边形EFOM为平行四边形．又平面CDE，且EM平面CＤE,∵FO∥平面CDE(二)“线面平行”与“面面平行”的转化问题2.如图,长方体ABCD-中,E、P分别是ＢＣ、的中点,M、N分别是AＥ、的中点，(Ⅰ)求证：;【证明】本题假如运用“线线平行”找“线”比较复杂（不是不可以),所以我们可以考虑运用“面面平行”来将问题转化。关键是：考虑到点M、N都是中点,于是我们就轻松的可以找到另一个比较特殊的中点K(OＣ的中点),将“线面平行”问题转化为“面面平行”问题。(Ⅰ）取的中点,连结∵分别为的中点∵∴面,面∴面面∴面第三部分《空间直线、平面的垂直问题》将“空间问题”转化为“平面问题”转化思想。(一)“线线垂直”到“线面垂直”1．如图，是正四棱柱。（＝1\*ＲOMANI）求证：ＢD⊥平面；【解】根据直线与平面平行的鉴定定理很容易找到两条相交的直线AC、A１A与BD垂直。(Ⅰ）∵是正四棱柱,∴ＣC1⊥平面ABCＤ,∴BD⊥CC１,∵ＡBCD是正方形,∴BＤ⊥AC又∵AC，CC1平面,且AC∩ＣC1=C，∴BＤ⊥平面。2.如图，四周体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点,（I）求证:平面BＣＤ；【解】(I)证明:连结OC在中，由已知可得而即平面3．如图4,已知两个正四棱锥的高分别为1和2，。（=１\*ＲOMANI）证明：；【解】(Ⅰ)取AD的中点M，连接PＭ、QM。由于Ｐ-AＢＣD与Ｑ－ABＣD都是正四棱锥，所以ＡＤPＭ，ADQＭ。从而AD平面ＰＱＭ。又ＰQ平面ＰＱM，所以ＰQ⊥ＡD。同理ＰQ⊥ＡB，所以ＰQ⊥平面ＡBCD。ﻫ9．图1图2在正三角形AＢC中，E、Ｆ、P分别是AＢ、AC、BＣ边上的点，满足AE:EＢ＝CF:FA＝ＣP:PB=１:２(