![2023年河北化工医药职业技术学院高职单招(数学)试题库含答案解析_第1页](http://file4.renrendoc.com/view/55058b348a4703adba5cf0e73f72a3d8/55058b348a4703adba5cf0e73f72a3d81.gif)
![2023年河北化工医药职业技术学院高职单招(数学)试题库含答案解析_第2页](http://file4.renrendoc.com/view/55058b348a4703adba5cf0e73f72a3d8/55058b348a4703adba5cf0e73f72a3d82.gif)
![2023年河北化工医药职业技术学院高职单招(数学)试题库含答案解析_第3页](http://file4.renrendoc.com/view/55058b348a4703adba5cf0e73f72a3d8/55058b348a4703adba5cf0e73f72a3d83.gif)
![2023年河北化工医药职业技术学院高职单招(数学)试题库含答案解析_第4页](http://file4.renrendoc.com/view/55058b348a4703adba5cf0e73f72a3d8/55058b348a4703adba5cf0e73f72a3d84.gif)
![2023年河北化工医药职业技术学院高职单招(数学)试题库含答案解析_第5页](http://file4.renrendoc.com/view/55058b348a4703adba5cf0e73f72a3d8/55058b348a4703adba5cf0e73f72a3d85.gif)
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长风破浪会有时,直挂云帆济沧海。住在富人区的她2023年河北化工医药职业技术学院高职单招(数学)试题库含答案解析(图片大小可自由调整)全文为Word可编辑,若为PDF皆为盗版,请谨慎购买!第1卷一.综合题(共50题)1.在平面几何里,我们知道,正三角形的外接圆和内切圆的半径之比是2:1。拓展到空间,研究正四面体(四个面均为全等的正三角形的四面体)的外接球和内切球的半径关系,可以得出的正确结论是:正四面体的外接球和内切球的半径之比是(
)。答案:3:12.长方体的长、宽、高之比是1:2:3,对角线长是214,则长方体的体积是
______.答案:长方体的长、宽、高之比是1:2:3,所以长方体的长、宽、高是x:2x:3x,对角线长是214,所以,x2+(2x)2+(3x)2=(214)2,x=2,长方体的长、宽、高是2,4,6;长方体的体积是:2×4×6=48故为:483.设a,b,c是正实数,求证:aabbcc≥(abc)a+b+c3.答案:证明:不妨设a≥b≥c>0,则lga≥lgb≥lgc.据排序不等式有:alga+blgb+clgc≥blga+clgb+algcalga+blgb+clgc≥clga+algb+blgcalga+blgb+clgc=alga+blgb+clgc上述三式相加得:3(alga+blgb+clgc)≥(a+b+c)(lga+lgb+lgc)即lg(aabbcc)≥a+b+c3lg(abc)故aabbcc≥(abc)a+b+c3.4.若集合A={x|x2-4x-5<0,x∈Z},B={x|y=log0.5x>-3,x∈Z},记x0为抛掷一枚骰子出现的点数,则x0∈A∩B的概率等于______.答案:由x2-4x-5<0,x∈Z,解得:-1<x<5,x∈Z,∴x=0,1,2,3,4.即A={0,1,2,3,4},B={x|y=log0.5x>-3,x∈Z}={1,2,3,4,5,6,7},∴A∩B={1,2,3,4},而x0为抛掷一枚骰子出现的点数可能有6种,∴P=46=23,故为:23.5.设集合A={x|},则A∩B等于(
)
A.
B.
C.
D.答案:B6.抛物线y2=4x,O为坐标原点,A,B为抛物线上两个动点,且OA⊥OB,当直线AB的倾斜角为45°时,△AOB的面积为______.答案:设直线AB的方程为y=x-m,代入抛物线联立得x2-(2m+4)x+m2=0,则x1+x2=2m+4,x1x2=m2,∴|x1-x2|=16m+16∵三角形的面积为S△AOB=|12my1-12my2|=12m(|x1-x2|)=12m16m+16;又因为OA⊥OB,设A(x1,2x1),B(x2,-2x2)所以2x1x1•-2x2x2=-1,求的m=4,代入上式可得S△AOB=12m16m+16=12×4×64+16=85故为:857.求证1×2+2×3+3×4+…+n(n+1)=13n(n+1)(n+2).答案:证明:①当n=1时,左边=2,右边=13×1×2×3=2,等式成立;②假设当n=k时,等式成立,即1×2+2×3+3×4+…+k(k+1)=13k(k+1)(k+2)则当n=k+1时,左边=13k(k+1)(k+2)+(k+1)(k+2)=(k+1)(k+2)(13k+1)=13(k+1)(k+2)(k+3)即n=k+1时,等式也成立.所以1×2+2×3+3×4+…+n(n+1)=13n(n+1)(n+2)对任意正整数都成立.8.不等式|3x-2|>4的解集是______.答案:由|3x-2|>4可得
3x-2>4
或3x-2<-4,∴x>2或x<-23.故为:(-∞,-23)∪(2,+∞).9.甲、乙两人约定上午7:20至8:00之间到某站乘公共汽车,在这段时间内有3班公共汽车,它们开车的时刻分别是7:40、7:50和8:00,甲、乙两人约定,见车就乘,则甲、乙同乘一车的概率为(假定甲、乙两人到达车站的时刻是互相不牵连的,且每人在7:20至8:00时的任何时刻到达车站都是等可能的)()A.13B.12C.38D.58答案:甲、乙同乘第一辆车的概率为12×12=14,甲、乙同乘第二辆车的概率为14×14=116,甲、乙同乘第三辆车的概率为14×14=116,甲、乙同乘一车的概率为14+116+116=38,故选C.10.甲袋中装有3个白球和5个黑球,乙袋中装有4个白球和6个黑球,现从甲袋中随机取出一个球放入乙袋中,充分混合后,再从乙袋中随机取出一个球放回甲袋中,则甲袋中白球没有减少的概率为()A.944B.2544C.3544D.3744答案:白球没有减少的情况有:①抓出黑球,抓入任意球,概率是:58.抓出白球,抓入白球,概率是38×511=1588,故所求事件的概率为58+1588=3544,故选C.11.有一批数量很大的产品,其中次品率是20%,对这批产品进行抽查,每次抽出一件,如果抽出次品则抽查终止,否则继续抽查,直到抽出次品,但抽查次数最多不超过9次,那么抽查次数为9次的概率为(
)
A.0.89
B.0.88×0.2
C.0.88
D.0.28×0.8答案:C12.若双曲线与椭圆x216+y225=1有相同的焦点,与双曲线x22-y2=1有相同渐近线,求双曲线方程.答案:依题意可设所求的双曲线的方程为y2-x22=λ(λ>0)…(3分)即y2λ-x22λ=1…(5分)又∵双曲线与椭圆x216+y225=1有相同的焦点∴λ+2λ=25-16=9…(9分)解得λ=3…(11分)∴双曲线的方程为y23-x26=1…(13分)13.与直线2x+y+1=0的距离为的直线的方程是()
A.2x+y=0
B.2x+y-2=0
C.2x+y=0或2x+y-2=0
D.2x+y=0或2x+y+2=0答案:D14.用数学归纳法证明:“1×4+2×7+3×10+…+n(3n+1)=n(n+1)2,n∈N+”,当n=1时,左端为______.答案:在等式:“1×4+2×7+3×10+…+n(3n+1)=n(n+1)2,n∈N+”中,当n=1时,3n+1=4,而等式左边起始为1×4的连续的正整数积的和,故n=1时,等式左端=1×4=4故为:4.15.
已知向量a,b的夹角为,且|a|=2,|b|=1,则向量a与向量2+2b的夹角等于()
A.
B.
C.
D.答案:D16.若抛物线y2=4x上一点P到其焦点的距离为3,则点P的横坐标等于______.答案:∵抛物线y2=4x=2px,∴p=2,由抛物线定义可知,抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的,∴|MF|=3=x+p2=3,∴x=2,故为:2.17.已知矩形ABCD,R、P分别在边CD、BC上,E、F分别为AP、PR的中点,当P在BC上由B向C运动时,点R在CD上固定不变,设BP=x,EF=y,那么下列结论中正确的是()A.y是x的增函数B.y是x的减函数C.y随x先增大后减小D.无论x怎样变化,y是常数答案:连接AR,如图所示:由于点R在CD上固定不变,故AR的长为定值又∵E、F分别为AP、PR的中点,∴EF为△APR的中位线,则EF=12AR为定值故无论x怎样变化,y是常数故选D18.“∵四边形ABCD为矩形,∴四边形ABCD的对角线相等”,补充以上推理的大前提为()
A.正方形都是对角线相等的四边形
B.矩形都是对角线相等的四边形
C.等腰梯形都是对角线相等的四边形
D.矩形都是对边平行且相等的四边形答案:B19.不等式x+x3≥0的解集是(
)。答案:{x|x≥0}20.已知x+2y+3z=1,则x2+y2+z2取最小值时,x+y+z的值为______.答案:由柯西不等式可知:(x+2y+3z)2≤(x2+y2+z2)(12+22+32)故x2+y2+z2≥114,当且仅当x1=y2=z3取等号,此时y=2x,z=3x,x+2y+3z=14x=1,∴x=114,y=214,x=314,x+y+z=614=37.故为:37.21.参数方程x=2cosαy=3sinα(a为参数)化成普通方程为______.答案:∵x=2cosαy=3sinα,∴cosα=x2sinα=y3∴(x2)2+(y3)2=cos2α+sin2α=1.即:参数方程x=2cosαy=3sinα化成普通方程为:x24+y29=1.故为:x24+y29=1.22.(几何证明选讲选选做题)如图,AC是⊙O的直径,B是⊙O上一点,∠ABC的平分线与⊙O相交于.D已知BC=1,AB=3,则AD=______;过B、D分别作⊙O的切线,则这两条切线的夹角θ=______.答案:∵AC是⊙O的直径,B是⊙O上一点∴∠ABC=90°∵∠ABC的平分线与⊙O相交于D,BC=1,AB=3∴∠C=60°,∠BAC=30°,∠ABD=∠CBD=45°由圆周角定理可知∠C=∠ADB=60°△ABD中,由正弦定理可得ABsin60°=ADsin45°即AD=3sin60°×sin45°=2∵∠BAD=30°+45°=75°∴∠BOD=2∠BAD=150°设所作的两切线交于点P,连接OB,OD,则可得OB⊥PB,OD⊥PD即∠OBP=∠ODP=90°∴点ODPB共圆∴∠P+∠BOD=180°∴∠P=30°故为:2,30°23.如图,以1×3方格纸中的格点为起点和终点的所有向量中,有多少种大小不同的模?有多少种不同的方向?
答案:模为1的向量;模为2的向量;模为3的向量;模为2的向量;模为5的向量;模为10的向量共有6个模,进而分析方向,正方形的边对应的向量共有四个方向,边长为1的正方形的对角线对应的向量共四个方向;1×2的矩形的对角线对应的向量共四个方向;1×3的矩形对角线对应的向量共有四个方向共有16个方向24.一个样本a,99,b,101,c中五个数恰成等差数列,则这个样本的极差与标准差分别为(
)。答案:4;25.如图所示直角梯形ABCD中,∠A=90°,PA⊥面ABCD,AD||BC,AB=BC=a,AD=2a,与底面ABCD成300角.若AE⊥PD,E为垂足,PD与底面成30°角.
(1)求证:BE⊥PD;
(2)求异面直线AE与CD所成的角的大小.答案:为了计算方便不妨设a=1.(1)证明:根据题意可得:以A为原点,AB,AD,AP所在直线为坐标轴建立直角坐标系(如图)则A(0,0,0),B(1,0,0)D(0,2,0)P(0,0,233)AB•PD=(1,0,0)•(0,2,-233)=0又AE•PD=0∴AB⊥PD,AE⊥PD所以PD⊥面BEA,BE⊂面BEA,∴PD⊥BE(2)∵PA⊥面ABCD,PD与底面成30°角,∴∠PDA=30°过E作EF⊥AD,垂足为F,则AE=AD•sin30°=1,∠EAF=60°AF=12,EF=32∴E(0,12,32),于是AE=(0,12,32)又C(1,1,0),D(0,2,0),CD=(-1,1,0)则COSθ=AE•CD|AE||CD|=24∴AE与CD所成角的余弦值为24.26.设a=log32,b=log23,c=,则()
A.c<b<a
B.a<c<b
C.c<a<b
D.b<c<a答案:C27.一个正三棱锥的底面边长等于一个球的半径,该正三棱锥的高等于这个球的直径,则球的体积与正三棱锥体积的比值为()
A.
B.
C.
D.答案:A28.已知点A(1,-2,0)和向量a=(-3,4,12),若AB=2a,则点B的坐标为______.答案:∵向量a=(-3,4,12),AB=2a,∴AB=(-6,8,24)∵点A(1,-2,0)∴B(-6+1,8-2,24-0)=(-5,6,24)故为:(-5,6,24)29.满足条件|2z+1|=|z+i|的复数z在复平面上对应点的轨迹是______.答案:设复数z在复平面上对应点的坐标为(x,y),由|2z+1|=|z+i|可得(2x+1)2+(2y)2=(x)2+(y+1)2,化简可得x2+
y2+43x
=
0,表示一个圆,故为圆.30.如图所示,圆的内接三角形ABC的角平分线BD与AC交于点D,与圆交于点E,连接AE,已知ED=3,BD=6,则线段AE的长=______.答案:∵BD平分角∠CBA,∴∠CBE=∠EBA又∵∠CBE=∠EAD在△EDA和△EAB中,∠E=∠E,∠EAD=∠EBA∴△EDA∽△EAB∴AE:BE=ED:AE∴AE2=ED?BE又∵ED=3,BD=6,∴BE=9∴AE2=27∴AE=33故为:3331.请输入一个奇数n的BASIC语句为______.答案:INPUT表示输入语句,输入一个奇数n的BASIC语句为:INPUT“输入一个奇数n”;n.故为:INPUT“输入一个奇数n”;n.32.不等式>1–log2x的解是(
)
A.x≥2
B.x>1
C.1xx>2答案:B33.平面ABCD中,点A坐标为(0,1,1),点B坐标为(1,2,1),点C坐标为(-1,0,-1).若向量a=(-2,y,z),且a为平面ABC的法向量,则yz=()A.2B.0C.1D.-1答案:AB=(1,1,0),AC=(-1,-1,-2),与平面ABC垂直的向量应与上面的向量的数量积为零,向量a=(-2,y,z),且a为平面ABC的法向量,则a⊥AB且a⊥AC,即a•AB=0,且a•AC=0,即-2+y+0=0且2-y-2z=0,即y=2z=0,∴则yz=20=1,故选C.34.圆心为(-2,3),且与y轴相切的圆的方程是()A.x2+y2+4x-6y+9=0B.x2+y2+4x-6y+4=0C.x2+y2-4x+6y+9=0D.x2+y2-4x+6y+4=0答案:根据圆心坐标(-2,3)到y轴的距离d=|-2|=2,则所求圆的半径r=d=2,所以圆的方程为:(x+2)2+(y-3)2=4,化为一般式方程得:x2+y2+4x-6y+9=0.故选A35.已知矩阵M=2a21,其中a∈R,若点P(1,-2)在矩阵M的变换下得到点P'(-4,0)
(1)求实数a的值;
(2)求矩阵M的特征值及其对应的特征向量.答案:(1)由2a211-2=-40,∴2-2a=-4⇒a=3.(2)由(1)知M=2321,则矩阵M的特征多项式为f(λ)=.λ-2-3-2λ-1.=(λ-2)(λ-1)-6=λ2-3λ-4令f(λ)=0,得矩阵M的特征值为-1与4.当λ=-1时,(λ-2)x-3y=0-2x+(λ-1)y=0⇒x+y=0∴矩阵M的属于特征值-1的一个特征向量为1-1;当λ=4时,(λ-2)x-3y=0-2x+(λ-1)y=0⇒2x-3y=0∴矩阵M的属于特征值4的一个特征向量为32.36.如图,四面体ABCD中,点E是CD的中点,记=(
)
A.
B.
C.
D.
答案:B37.已知大于1的正数x,y,z满足x+y+z=33.
(1)求证:x2x+2y+3z+y2y+2z+3x+z2z+2x+3y≥32.
(2)求1log3x+log3y+1log3y+log3z+1log3z+log3x的最小值.答案:(1)由柯西不等式得,(x2x+2y+3z+y2y+2z+3z+z2z+2x+3y)[(x+2y+3z)+(y+2z+3x)+(z+2x+3y)]≥(x+y+z)2=27得:x2x+2y+3z+y2y+2z+3x+z2z+2x+3y≥32;(2)∵1log3x+log3y+1log3y+log3z+1log3z+log3x=1log3(xy)+1log3(yz)+1log3(zx),由柯西不等式得:(1log3(xy)+1log3(yz)+1log3(zx))(log3(xy)+log3(yz)+log3(zx)),由柯西不等式得:(1log3(xy)+1log3(yz)+1log3(zx))(log3(xy)+log3(yz)+log3(zx))≥9所以,(1log3(xy)+1log3(yz)+1log3(zx))≥9(log3(xy)+log3(yz)+log3(zx))=92log3(xyz),又∵33=x+y+z≥33xyz.∴xyz≤33.∴log3xyz≤32.得92log3xyz≥92×23=3所以,1log3x+log3y+1log3y+log3z+1log3z+log3x≥3当且仅当x=y=z=3时,等号成立.故所求的最小值是3.38.曲线(θ为参数)上的点到原点的最大距离为()
A.1
B.
C.2
D.答案:C39.参数方程(θ为参数)化为普通方程是()
A.2x-y+4=0
B.2x+y-4=0
C.2x-y+4=0,x∈[2,3]
D.2x+y-4=0,x∈[2,3]答案:D40.把一枚硬币连续抛掷两次,事件A=“第一次出现正面”,事件B=“第二次出现正面”,则P(B|A)等于(
)
A.
B.
C.
D.答案:A41.设求证:答案:证明见解析解析:证明:∵
∴∴,∴本题利用,对中每项都进行了放缩,从而得到可以求和的数列,达到化简的目的。42.若两直线l1,l2的倾斜角分别为α1,α2,则下列四个命题中正确的是()
A.若α1<α2,则两直线斜率k1<k2
B.若α1=α2,则两直线斜率k1=k2
C.若两直线斜率k1<k2,则α1<α2
D.若两直线斜率k1=k2,则α1=α2答案:D43.4个人各写一张贺年卡,集中后每人取一张别人的贺年卡,共有______种取法.答案:根据分类计数问题,可以列举出所有的结果,1甲乙互换,丙丁互换2甲丙互换,乙丁互换3甲丁互换,乙丙互换4甲要乙的乙要丙的丙要丁的丁要甲的5甲要乙的乙要丁的丙要甲的丁要丙的6甲要丙的丙要乙的乙要丁的丁要甲的7甲要丙的丙要丁的乙要丁的丁要甲的8甲要丁的丁要乙的乙要丙的丙要甲的9甲要丁的丁要丙的乙要甲的丙要乙的通过列举可以得到共有9种结果,故为:944.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3,点M在AB上,且AM=13AB,点P在平面ABCD上,且动点P到直线A1D1的距离与P到点M的距离相等,在平面直角坐标系xAy中,动点P的轨迹方程是______.答案:作PN⊥AD,则PN⊥面A1D1DA,作NH⊥A1D1,N,H为垂足,由三垂线定理可得PH⊥A1D1.以AD,AB,AA1为x轴,y轴,z轴,建立空间坐标系,设P(x,y,0),由题意可得M(0,1,0),H(x,0,3),|PM|=|pH|,∴x2+(y-1)2=y2+9,整理,得x2=2y+8.故为:x2=2y+8.45.如图所示,CD为Rt△ABC斜边AB边上的中线,CE⊥CD,CE=103,连接DE交BC于点F,AC=4,BC=3.
求证:(1)△ABC∽△EDC;
(2)DF=EF.答案:证明:(1)∵CD为Rt△ABC斜边AB边上的中线∴CD=12AB=12AC2+BC2=52.∴CECD=10352=43=ACBC,∠ACB=∠DCE=90°.∴△ABC∽△EDC.(2)因为△ABC∽△EDC∴∠B=∠CDE,∠E=∠A.由CD为Rt△ABC斜边AB边上的中线得:CD=AD=DB?∠B=∠DCB,∠A=∠DCA∴∠DCB=∠CDE?DF=CF;又因为:∠DCA+∠DCB=∠DCB+∠BCE=90°;∴∠DCA=∠BCE=∠A=∠E∴CF=EF.∴DF=EF.46.利用“直接插入排序法”给按从大到小的顺序排序,
当插入第四个数时,实际是插入哪两个数之间(
)A.与B.与C.与D.与答案:B解析:先比较与,得;把插入到,得;把插入到,得;47.点M(4,)化成直角坐标为()
A.(2,)
B.(-2,-)
C.(,2)
D.(-,-2)答案:B48.如图,四边形ABCD内接于⊙O,AD:BC=1:2,AB=35,PD=40,则过点P的⊙O的切线长是()A.60B.402C.352D.50答案:作切线PE,由切割线定理知,PE2=PD•PC=PA•PB,所以PAPC=PAPB,又△PAD与△PBC有公共角P,∠PDA=∠PBC,所以△PAD∽△PBC.故PDPB=ADBC=12,即40PB=12所以PB=80,又AB=35,PE2=PA•PB=(PB-AB)•PB=(80-35)×80=602,PE=60.故选A.49.若函数y=ax(a>1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为3,则a=______.答案:①当0<a<1时函数y=ax在[0,1]上为单调减函数∴函数y=ax在[0,1]上的最大值与最小值分别为1,a∵函数y=ax在[0,1]上的最大值与最小值和为3∴1+a=3∴a=2(舍)②当a>1时函数y=ax在[0,1]上为单调增函数∴函数y=ax在[0,1]上的最大值与最小值分别为a,1∵函数y=ax在[0,1]上的最大值与最小值和为3∴1+a=3∴a=2故为:2.50.设圆M的方程为(x-3)2+(y-2)2=2,直线L的方程为x+y-3=0,点P的坐标为(2,1),那么()
A.点P在直线L上,但不在圆M上
B.点P在圆M上,但不在直线L上
C.点P既在圆M上,又在直线L上
D.点P既不在直线L上,也不在圆M上答案:C第2卷一.综合题(共50题)1.解下列关于x的不等式
(1)
(2)答案:(1)(2)原不等式的解集为解析:(1)
解:(2)
解:分析该题要设法去掉绝对值符号,可由去分类讨论当时原不等式等价于
故得不等式的解集为所以原不等式的解集为2.根据给出的空间几何体的三视图,用斜二侧画法画出它的直观图.答案:画法:(1)画轴如下图,画x轴、y轴、z轴,三轴相交于点O,使∠xOy=45°,∠xOz=90°.(2)画圆台的两底面画出底面⊙O假设交x轴于A、B两点,在z轴上截取O′,使OO′等于三视图中相应高度,过O′作Ox的平行线O′x′,Oy的平行线O′y′利用O′x′与O′y′画出底面⊙O′,设⊙O′交x′轴于A′、B′两点.(3)成图连接A′A、B′B,去掉辅助线,将被遮挡的部分要改为虚线,即得到给出三视图所表示的直观图.3.用0,1,2,3组成没有重复数字的四位数,其中奇数有()
A.8个
B.10个
C.18个
D.24个答案:A4.已知P(4,-9),Q(-2,3)且Y轴与线段PQ交于M,则Q分的比为()
A.-2
B.-
C.
D.3答案:B5.点P(1,3,5)关于平面xoz对称的点是Q,则向量=()
A.(2,0,10)
B.(0,-6,0)
C.(0,6,0)
D.(-2,0,-10)答案:B6.用反证法证明“如果a<b,那么“”,假设的内容应是()
A.
B.
C.且
D.或
答案:D7.参数方程x=sin2θy=cosθ+sinθ(θ为参数)的普通方程为______.答案:把参数方程x=sin2θy=cosθ+sinθ(θ为参数)利用同角三角函数的基本关系消去参数化为普通方程为y2=1+x,故为y2=1+x.8.因为样本是总体的一部分,是由某些个体所组成的,尽管对总体具有一定的代表性,但并不等于总体,为什么不把所有个体考查一遍,使样本就是总体?答案:如果样本就是总体,抽样调查就变成普查了,尽管这样确实反映了实际情况,但不是统计的基本思想,其操作性、可行性、人力、物力等方面,都会有制约因素存在,何况有些调查是破坏性的,如考查一批玻璃的抗碎能力,灯泡的使用寿命等,普查就全破坏了.9.某工程队有6项工程需要单独完成,其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行,工程丙必须在工程乙完成后才能进行,有工程丁必须在工程丙完成后立即进行.那么安排这6项工程的不同排法种数是______.(用数字作答)答案:依题意,乙必须在甲后,丙必须在乙后,丙丁必相邻,且丁在丙后,只需将剩余两个工程依次插在由甲、乙、丙丁四个工程之间即可,第一个插入时有4种,第二个插入时共5个空,有5种方法;可得有5×4=20种不同排法.故为:2010.设a=0.7,b=0.8,c=log30.7,则()
A.c<b<a
B.c<a<b
C.a<b<c
D.b<a<c答案:B11.不等式的解集是(
)
A.(-3,2)
B.(2,+∞)
C.(-∞,-3)∪(2,+∞)
D.(-∞,-3)∪(3,+∞)答案:C12.已知|a=2,|b|=1,a与b的夹角为60°,求向量.a+2b与2a+b的夹角.答案:由题意得,a?b=2×1×12=1,∴(a+2b)?(2a+b)=2a2+5a?b+2b2=15,|a+2b|=a2+4a?b+4b2=23,|2a+b|=4a2+4a?b+b2=21,设a+2b与2a+b夹角为θ,则cosθ=(a+2b)?(2a+b)|a+2b||2a+b|=1523×21=5714,则θ=arccos571413.已知参数方程x=1+cosθy=sinθ,(参数θ∈[0,2π]),则该曲线上的点与定点A(-1,-1)的距离的最小值是
______.答案:∵参数方程x=1+cosθy=sinθ∴圆的方程为(x-1)2+y2=1∴定点A(-1,-1)到圆心的距离为5∴与定点A(-1,-1)的距离的最小值是d-r=5-1故为5-114.已知直线l1,l2的夹角平分线所在直线方程为y=x,如果l1的方程是ax+by+c=0(ab>0),那么l2的方程是()
A.bx+ay+c=0
B.ax-by+c=0
C.bx+ay-c=0
D.bx-ay+c=0答案:A15.点P(x,y)是椭圆2x2+3y2=12上的一个动点,则x+2y的最大值为______.答案:把椭圆2x2+3y2=12化为标准方程,得x26+y24=1,∴这个椭圆的参数方程为:x=6cosθy=2sinθ,(θ为参数)∴x+2y=6cosθ+4sinθ,∴(x+2y)max=6+16=22.故为:22.16.如图,从圆O外一点P作圆O的割线PAB、PCD,AB是圆O的直径,若PA=4,PC=5,CD=3,则∠CBD=______.答案:由割线长定理得:PA?PB=PC?PD即4×PB=5×(5+3)∴PB=10∴AB=6∴R=3,所以△OCD为正三角形,∠CBD=12∠COD=30°.17.已知:如图,CD是⊙O的直径,AE切⊙O于点B,DC的延长线交AB于点A,∠A=20°,则
∠DBE=______.答案:连接BC,∵CD是⊙O的直径,∴∠CBD=90°,∵AE是⊙O的切线,∴∠DBE=∠1,∠2=∠D;又∵∠1+∠D=90°,即∠1+∠2=90°---(1),∠A+∠2=∠1----(2),(1)-(2)得∠1=55°即∠DBE=55°.故为:∠DBE=55°.18.正方体AC1中,S,T分别是棱AA1,A1B1上的点,如果∠TSC=90°,那么∠TSB=______.答案:由题意,BC⊥平面A1B,∵S,T分别是棱AA1,A1B1上的点,∴BC⊥ST∵∠TSC=90°,∴ST⊥SC∵BC∩SC=C∴ST⊥平面SBC∴ST⊥SB∴∠TSB=90°,故为:90°19.设点O(0,0,0),A(1,-2,3),B(-1,2,3),C(1,2,-3),则OA•BC=______.答案:因为点O(0,0,0),A(1,-2,3),B(-1,2,3),C(1,2,-3),所以OA=(1,-2,3),BC=(2,0,-6),OA•BC=(1,-2,3)•(2,0,-6)=2-18=-16.故为:-16.20.若a,b∈{2,3,4,5,7},则可以构成不同的椭圆的个数为()
A.10
B.20
C.5
D.15答案:B21.不等式ax2+bx+2>0的解集是(-,),则a+b的值是()
A.10
B.-10
C.14
D.-14答案:D22.如图,在Rt△ABC中,已知∠ABC=90°,BC=6,以AB为直径作⊙O,连接OC,过点C作⊙O的切线CD,D为切点,若sin∠OCD=45,则直径AB=______.答案:连接OD,则OD⊥CD.∵∠ABC=90°,∴CD、CB为⊙O的两条切线.∴根据切线长定理得:CD=BC=6.在Rt△OCD中,sin∠OCD=45,∴tan∠OCD=43,OD=tan∠OCD×CD=8.∴AB=2OD=16.故为16.23.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,母线长为3,圆台的侧面积为84π,则圆台较小底面的半径为()A.7B.6C.5D.3答案:设上底面半径为r,因为圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,母线长为3,圆台的侧面积为84π,所以S侧面积=π(r+3r)l=84π,r=7故选A24.设复数z满足条件|z|=1,那么|z+22+i|的最大值是______.答案:∵|z|=1,∴可设z=cosα+sinα,于是|z+22+i|=|cosα+22+(sinα+1)i|=(cosα+22)2+(sinα+1)2=10+6sin(α+θ)≤10+6=4.∴|z+22+i|的最大值是4.故为425.已知α1,α2,…αn∈(0,π),n是大于1的正整数,求证:|sin(α1+α2+…+αn)|<sinα1+sinα2+…+sinαn.答案:证明:下面用数学归纳法证明(1)n=2时,|sin(α1+α2)|-|sinα1cosα2+cosα1sinα2|≤sinα1|cosα2|+|cosα1|•|sinα2|<sinα1+sinα2,所以n=2时成立.(2)假设n=k(k≥2)时成立,即|sin(α1+α2+Λ+αk)|<sinα1+sinα2+Λ+sinαk当n=k+1时,|sin(α1+α2+Λ+αk+1)|==|sinαk+1cos(α1+Λαk)+cosαk+1sin(α1+Λαk)|≤sinαk+1|cos(α1+Λ+αk)|+|cosαk+1|•|sin(α1+Λαk)|<sinαk+1+|sin(α1+Λαk)|<sinα1+sinα2+Λ+sinαk+1∴n=k+1时也成立.由(1)(2)得,原式成立.26.已知△ABC,D为AB边上一点,若AD=2DB,CD=13CA+λCB,则λ=
.答案:∵AD=2DB,CD=13CA+λCB,CD=CA+AD=CA+23AB=CA+23(
CB-CA)=13CA+23CB,∴λ=23,故为:23.27.已知AB和CD是曲线(t为参数)的两条相交于点P(2,2)的弦,若AB⊥CD,且|PA|·|PB|=|PC|·
|PD|,
(Ⅰ)将曲线(t为参数)化为普通方程,并说明它表示什么曲线;
(Ⅱ)试求直线AB的方程。答案:解:(Ⅰ)由y=4t得y2=16t2,而x=4t2,∴y2=4x,它表示抛物线;(Ⅱ)设直线AB和CD的倾斜角分别为α,β,则直线AB和CD的参数方程分别为,把①代入y2=4x中,得t2sin2α+(4sinα-4cosα)t-4=0,③依题意知sinα≠0且方程③的判别式Δ=16(sinα-cosα)2+16sin2α>0,∴方程③有两个不相等的实数解t1,t2,则由t的几何意义知|PA|=|t1|,|PB|=|t2|,∴|PA|·|PB|=|t1t2|=,同理|PC|·|PD|=,由|PA|·|PB|=|PC|·|PD|知,即sin2α=sin2β,∵0≤α,β<π,∴α=π-β,∵AB⊥CD,∴β=α+90°或α=β+90°,∴直线AB的倾斜角∴kAB=1或kAB=-1,故直线AB的方程为y=x或x+y-4=0。28.抛物线y=x2的焦点坐标是()
A.(,0)
B.(0,)
C.(0,1)
D.(1,0)答案:C29.在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中,若AC′=xAB+2yBC-3zC′C,则x+y+z等于______.答案:根据向量的加法法则可得,AC′=AC+CC′=AB+BC+CC′∵AC′=xAB+2yBC-3zC′C∴x=1,2y=1,-3z=1∴x=1,y=12,z=-13∴x+y+z=1+12-13=76故为:7630.已知大于1的正数x,y,z满足x+y+z=33.
(1)求证:x2x+2y+3z+y2y+2z+3x+z2z+2x+3y≥32.
(2)求1log3x+log3y+1log3y+log3z+1log3z+log3x的最小值.答案:(1)由柯西不等式得,(x2x+2y+3z+y2y+2z+3z+z2z+2x+3y)[(x+2y+3z)+(y+2z+3x)+(z+2x+3y)]≥(x+y+z)2=27得:x2x+2y+3z+y2y+2z+3x+z2z+2x+3y≥32;(2)∵1log3x+log3y+1log3y+log3z+1log3z+log3x=1log3(xy)+1log3(yz)+1log3(zx),由柯西不等式得:(1log3(xy)+1log3(yz)+1log3(zx))(log3(xy)+log3(yz)+log3(zx)),由柯西不等式得:(1log3(xy)+1log3(yz)+1log3(zx))(log3(xy)+log3(yz)+log3(zx))≥9所以,(1log3(xy)+1log3(yz)+1log3(zx))≥9(log3(xy)+log3(yz)+log3(zx))=92log3(xyz),又∵33=x+y+z≥33xyz.∴xyz≤33.∴log3xyz≤32.得92log3xyz≥92×23=3所以,1log3x+log3y+1log3y+log3z+1log3z+log3x≥3当且仅当x=y=z=3时,等号成立.故所求的最小值是3.31.在画两个变量的散点图时,下面哪个叙述是正确的()
A.预报变量x轴上,解释变量y轴上
B.解释变量x轴上,预报变量y轴上
C.可以选择两个变量中任意一个变量x轴上
D.可以选择两个变量中任意一个变量y轴上答案:B32.在画两个变量的散点图时,下面哪个叙述是正确的(
)
A.预报变量x轴上,解释变量y轴上
B.解释变量x轴上,预报变量y轴上
C.可以选择两个变量中任意一个变量x轴上
D.可以选择两个变量中任意一个变量y轴上答案:B33.若向量=(1,λ,2),=(-2,1,1),,夹角的余弦值为,则λ等于()
A.1
B.-1
C.±1
D.2答案:A34.已知集合A={1,2,3},集合B={4,5},映射f:A→B,且满足1对应的元素是4,则这样的映射有()A.2个B.4个C.8个D.9个答案:∵满足1对应的元素是4,集合A中还有两个元素2和3,2可以和4对应,也可以和5对应,3可以和4对应,也可以和5对应,每个元素有两种不同的对应,∴共有2×2=4种结果,故选B.35.函数f(x)=log2(3x+1)的值域为()
A.(0,+∞)B.[0,+∞)C.(1,+∞)D.[1,+∞)答案:根据对数函数的定义可知,真数3x+1>0恒成立,解得x∈R.因此,该函数的定义域为R,原函数f(x)=log2(3x+1)是由对数函数y=log2t和t=3x+1复合的复合函数.由复合函数的单调性定义(同増异减)知道,原函数在定义域R上是单调递增的.根据指数函数的性质可知,3x>0,所以,3x+1>1,所以f(x)=log2(3x+1)>log21=0,故选A.解析:试题分析36.为了调查甲、乙两个网站受欢迎的程度,随机选取了14天,统计上午8:00-10:00间各自的点击量,得如下所示的统计图,根据统计图:
(1)甲、乙两个网站点击量的极差,中位数分别是多少?
(2)甲网站点击量在[10,40]间的频率是多少?(结果用分数表示)
(3)甲、乙两个网站哪个更受欢迎?并说明理由。答案:解:(1)甲网站的极差为73-8=65,乙网站的极差为71-5=66;甲网站的中位数是56.5,乙网站的中位数是36.5。(2)甲网站点击量在[10,40]间的频率是;(3)甲网站的点击量集中在茎叶图的下方,而乙网站的点击量集中在茎叶图的上方,从数据的分布情况来看,甲网站更受欢迎。37.已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点,则点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为______.答案:依题设P在抛物线准线的投影为P',抛物线的焦点为F,则F(12,0),依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PP'|=|PF|,则点P到点A(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和d=|PF|+|PA|≥|AF|=(12)2+22=172.故为:172.38.已知Sn=1+12+13+14+…+12n(n>1,n∈N*).求证:S2n>1+n2(n≥2,n∈N*).答案:证明:(1)当n=2时,左边=1+12+13+14=2512,右边=1+22=2,∴左边>右边(2)假设n=k(k≥2)时不等式成立,即S
2k=1+12+13+14+…+12k≥1+k2,当n=k+1时,不等式左边S2(k+1)=1+12+13+14+…+12k+1+…+12k+1>1+k2+12k+1+…+12k+1>1+k2+2k2k+2k=1+k2+12=1+k+12,综上(1)(2)可知S2n>1+n2对于任意的n≥2正整数成立.39.已知P为抛物线y2=4x上一点,设P到准线的距离为d1,P到点A(1,4)的距离为d2,则d1+d2的最小值为______.答案:∵y2=4x,焦点坐标为F(1,0)根据抛物线定义可知P到准线的距离为d1=|PF|d1+d2=|PF|+|PA|进而可知当A,P,F三点共线时,d1+d2的最小值=|AF|=4故为440.“因为指数函数y=ax是增函数(大前提),而y=(12)x是指数函数(小前提),所以函数y=(12)x是增函数(结论)”,上面推理的错误在于______(大前提、小前提、结论).答案:∵当a>1时,函数是一个增函数,当0<a<1时,指数函数是一个减函数∴y=ax是增函数这个大前提是错误的,从而导致结论错.故为:大前提.41.4位学生与2位教师并坐合影留念,针对下列各种坐法,试问:各有多少种不同的坐法?(用数字作答)
(1)教师必须坐在中间;
(2)教师不能坐在两端,但要坐在一起;
(3)教师不能坐在两端,且不能相邻.答案:(1)先排4位学生,有A44种坐法,2位教师坐在中间,可以交换位置,有A22种坐法,则共有A22A44=48种坐法;(2)先排4位学生,有A44种坐法,2位教师坐在一起,将其看成一个整体,可以交换位置,有2种坐法,将这个“整体”插在4个学生的空位中,又由教师不能坐在两端,则有3个空位可选,则共有2A44A31=144种坐法;(3)先排4位学生,有A44种坐法,教师不能相邻,将其依次插在4个学生的空位中,又由教师不能坐在两端,则有3个空位可选,有A32种坐法,则共有A44A32=144种坐法..42.袋中有5个小球(3白2黑),现从袋中每次取一个球,不放回地抽取两次,则在第一次取到白球的条件下,第二次取到白球的概率是()
A.
B.
C.
D.答案:C43.已知点G是△ABC的重心,O是空间任一点,若OA+OB+OC=λOG,则实数λ=______.答案:由于G是三角形ABC的重心,则有GA+GB+GC=0,OA-OG+OB-OG+OC-OG=0故OA+OB+OC=3OG又由已知OA+OB+OC=λOG故可得λ=3故为:344.如图,点O是平行六面体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1与A1C的交点,=,=,=,则=()
A.++
B.++
C.--+
D.+-
答案:C45.若a,b∈R,求证:≤+.答案:证明略解析:证明
当|a+b|=0时,不等式显然成立.当|a+b|≠0时,由0<|a+b|≤|a|+|b|≥,所以=≤=≤+.46.若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示,则这个棱柱的体积为()A.123B.363C.273D.6答案:此几何体为一个三棱柱,棱柱的高是4,底面正三角形的高是33,设底面边长为a,则32a=33,∴a=6,故三棱柱体积V=12?62?32?4=363.故选B47.已知a、b、c是△ABC的三边,且关于x的二次方程x2-2x+lg(c2-b2)-2lga+1=0有等根,判断△ABC的形状.答案:解:∵方程有等根,∴Δ=4-4[lg(c2-b2)-2lga+1]=4-4lg=0,∴lg=1,∴=10,∴c2-b2=a2,即a2+b2=c2,∴△ABC为直角三角形.48.如果x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆,则实数k的取值范围是
______.答案:根据题意,x2+ky2=2化为标准形式为x22+y22k=1;根据题意,其表示焦点在y轴上的椭圆,则有2k>2;解可得0<k<1;故为0<k<1.49.行驶中的汽车,在刹车时由于惯性作用,要继续往前滑行一段距离才能停下,这段距离叫做刹车距离.在某种路面上,某种型号汽车的刹车距离s(m)与汽车的车速v(km/h)满足下列关系:s=(n为常数,且n∈N),做了两次刹车试验,有关试验数据如图所示,其中,
(1)求n的值;
(2)要使刹车距离不超过12.6m,则行驶的最大速度是多少?答案:解:(1)依题意得,解得,又n∈N,所以n=6;(2)s=,因为v≥0,所以0≤v≤60,即行驶的最大速度为60km/h。50.已知:如图,⊙O1与⊙O2外切于C点,AB一条外公切线,A、B分别为切点,连接AC、BC.设⊙O1的半径为R,⊙O2的半径为r,若tan∠ABC=,则的值为()
A.
B.
C.2
D.3
答案:C第3卷一.综合题(共50题)1.设直角三角形的三边长分别为a,b,c(a<b<c),则“a:b:c=3:4:5”是“a,b,c成等差数列”的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件答案:∵直角三角形的三边长分别为a,b,c(a<b<c),a:b:c=3:4:5,∴a=3k,b=4k,c=5k(k>0),∴a,b,c成等差数列.即“a:b:c=3:4:5”?“a,b,c成等差数列”.∵直角三角形的三边长分别为a,b,c(a<b<c),a,b,c成等差数列,∴a2+b2=c22b=a+c,∴a2+a2+
c2+2ac4=c2,∴4a=3b,5a=3c,∴a:b:c=3:4:5,即“a,b,c成等差数列”?“a:b:c=3:4:5”.故选C.2.用数学归纳法证明:
对于一切n∈N*,都有(12+1)+(22+2)+…+(n2+n)=n(n+1)(n+2)3.答案:证明:(1)当n=1时,左边=12+1=2,右边=1×2×33=2,所以当n=1时,命题成立;
…(2分)(2)设n=k时,命题成立,即有(12+1)+(22+2)+…+(k2+k)=k(k+1)(k+2)3…(4分)则当n=k+1时,左边=(12+1)+(22+2)+…+(k2+k)+[(k+1)2+(k+1)]…(5分)=k(k+1)(k+2)3+[(k+1)2+(k+1)]=(k+1)[k(k+2)+3(k+1)+3]3…(8分)=(k+1)(k2+5k+6)3=(k+1)(k+2)(k+3)3=(k+1)[(k+1)+1][(k+1)+2]3…(10分)所以当n=k+1时,命题成立.综合(1)(2)得:对于一切n∈N*,都有(12+1)+(22+2)+…+(n2+n)=n(n+1)(n+2)3…(12分)3.如果命题P:∅∈{∅},命题Q:∅⊂{∅},那么下列结论不正确的是()A.“P或Q”为真B.“P且Q”为假C.“非P”为假D.“非Q”为假答案:命题P:∅∈{∅},命题Q:∅⊂{∅},可直接看出命题Q,命题P都是正确的.故“P或Q”为真.“P且Q”为真.“非P”为假.“非Q”为假.故选B.4.(坐标系与参数方程)
从极点O作直线与另一直线ρcosθ=4相交于点M,在OM上取一点P,使OM•OP=12.
(1)求点P的轨迹方程;
(2)设R为直线ρcosθ=4上任意一点,试求RP的最小值.答案:(1)设动点P的坐标为(ρ,θ),M的坐标为(ρ0,θ),则ρρ0=12.∵ρ0cosθ=4,∴ρ=3cosθ即为所求的轨迹方程.(2)由(1)知P的轨迹是以(32,0)为圆心,半径为32的圆,而直线l的解析式为x=4,所以圆与x轴的交点坐标为(3,0),易得RP的最小值为15.已知复数z0=1-mi(m>0),z=x+yi和w=x'+y'i,其中x,y,x',y'均为实数,i为虚数单位,且对于任意复数z,有w=.z0•.z,|w|=2|z|.
(Ⅰ)试求m的值,并分别写出x'和y'用x、y表示的关系式;
(Ⅱ)将(x、y)作为点P的坐标,(x'、y')作为点Q的坐标,上述关系可以看作是坐标平面上点的一个变换:它将平面上的点P变到这一平面上的点Q,当点P在直线y=x+1上移动时,试求点P经该变换后得到的点Q的轨迹方程;
(Ⅲ)是否存在这样的直线:它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上?若存在,试求出所有这些直线;若不存在,则说明理由.答案:(Ⅰ)由题设,|w|=|.z0•.z|=|z0||z|=2|z|,∴|z0|=2,于是由1+m2=4,且m>0,得m=3,…(3分)因此由x′+y′i=.(1-3i)•.(x+yi)=x+3y+(3x-y)i,得关系式x′=x+3yy′=3x-y…(5分)(Ⅱ)设点P(x,y)在直线y=x+1上,则其经变换后的点Q(x',y')满足x′=(1+3)x+3y′=(3x-1)x-1,…(7分)消去x,得y′=(2-3)x′-23+2,故点Q的轨迹方程为y=(2-3)x-23+2…(10分)(3)假设存在这样的直线,∵平行坐标轴的直线显然不满足条件,∴所求直线可设为y=kx+b(k≠0),…(12分)[解法一]∵该直线上的任一点P(x,y),其经变换后得到的点Q(x+3y,3x-y)仍在该直线上,∴3x-y=k(x+3y)+b,即-(3k+1)y=(k-3)x+b,当b≠0时,方程组-(3k+1)=1k-3=k无解,故这样的直线不存在.
…(16分)当b=0时,由-(3k+1)1=k-3k,得3k2+2k-3=0,解得k=33或k=-3,故这样的直线存在,其方程为y=33x或y=-3x,…(18分)[解法二]取直线上一点P(-bk,0),其经变换后的点Q(-bk,-3bk)仍在该直线上,∴-3bk=k(-bk)+b,得b=0,…(14分)故所求直线为y=kx,取直线上一点P(0,k),其经变换后得到的点Q(1+3k,3-k)仍在该直线上.∴3-k=k(1+3k),…(16分)即3k2+2k-3=0,得k=33或k=-3,故这样的直线存在,其方程为y=33x或y=-3x,…(18分)6.若函数y=f(x)的定义域是[2,4],则y=f(log12x)的定义域是()A.[12,1]B.[4,16]C.[116,14]D.[2,4]答案:∵y=f(log12x),令log12x=t,∴y=f(log12x)=f(t),∵函数y=f(x)的定义域是[2,4],∴y=f(t)的定义域也为[2,4],即2≤t≤4,∴有2≤log12x≤4,解得:116≤x≤14,∵函数的定义域即解析式中自变量的取值范围,∴y=f(log12x)的定义域为116≤x≤14,即:[116,14].故选C.7.求证:菱形各边中点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上.答案:已知:如图,菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O.求证:菱形ABCD各边中点M、N、P、Q在以O为圆心的同一个圆上.证明:∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,垂足为O,且AB=BC=CD=DA,而M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA的中点,∴OM=ON=OP=OQ=12AB,∴M、N、P、Q四点在以O为圆心OM为半径的圆上.所以菱形各边中点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上.8.
已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,过F的直线交y轴正半轴于点P,交抛物线于A,B两点,其中点A在第一象限,若,,,则μ的取值范围是()
A.[1,]
B.[,2]
C.[2,3]
D.[3,4]答案:B9.对任意实数x,y,定义运算x*y为:x*y=ax+by+cxy,其中a,b,c为常数,等式右端运算为通常的实数加法和乘法,现已知1*2=3,2*3=4,并且有一个非零实数m,使得对于任意的实数都有x*m=x,则d的值为(
)
A.4
B.1
C.0
D.不确定答案:A10.已知a=5-12,则不等式logax>loga5的解集是______.答案:∵0<a<1,∴f(x)=logax在(0,+∞)上单调递减∵logax>loga5∴0<x<5故为:(0,5)11.若过点A(4,0)的直线l与曲线(x-2)2+y2=1有公共点,则直线l的斜率的取值范围为______.答案:设直线l的方程为y=k(x-4),即kx-y-4k=0∵直线l与曲线(x-2)2+y2=1有公共点,∴圆心到直线l的距离小于等于半径即|2k-4k|k2+1≤1,解得-33≤
k≤33∴直线l的斜率的取值范围为[-33,33]故为[-33,33]12.如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输出S的值为254,则判断框①中应填入的条件是()A.n≤5B.n≤6C.n≤7D.n≤8答案:分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是输出满足条件S=2+22+23+…+2n=126时S的值∵2+22+23+…+27=254,故最后一次进行循环时n的值为7,故判断框中的条件应为n≤7.故选C.13.在直角三角形ABC中,∠ACB=90°,CD、CE分别为斜边AB上的高和中线,且∠BCD与∠ACD之比为3:1,求证CD=DE.
答案:证明:∵∠A+∠ACD=∠A+∠B=90°,∴∠ACD=∠B又∵CE是直角△ABC的斜边AB上的中线∴CE=EB∠B=∠ECB,∠ACD=∠ECB但∵∠BCD=3∠ACD,∠ECD=2∠ACD=12∠ACB=12×90°=45°,△EDC为等腰直角三角形∴CE=DE.14.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点M是棱AB的中点,点P是平面ABCD上的一动点,且点P到直线A1D1的距离两倍的平方比到点M的距离的平方大4,则点P的轨迹为()A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线答案:在平面ABCD上,以AD为x轴,以AB为y轴建立平面直角坐标系,则M(,12,0),设P(x,y)则|MP|2=y2+(x-12)2点P到直线A1D1的距离为x2+1由题意得4(x2+1)=
y2+(x-12)2+4即3(x+12)2-y2=74选C15.已知事件A与B互斥,且P(A)=0.3,P(B)=0.6,则P(A|.B)=______.答案:∵P(B)=0.6,∴P(.B)=0.4.又事件A与B互斥,且P(A)=0.3,∴P(A|.B)=P(A)P(.B)=0.30.4=34.故为:34.16.点P(x,y)是椭圆2x2+3y2=12上的一个动点,则x+2y的最大值为______.答案:把椭圆2x2+3y2=12化为标准方程,得x26+y24=1,∴这个椭圆的参数方程为:x=6cosθy=2sinθ,(θ为参数)∴x+2y=6cosθ+4sinθ,∴(x+2y)max=6+16=22.故为:22.17.△ABC是边长为1的正三角形,那么△ABC的斜二测平面直观图△A′B′C′的面积为(
)
A.
B.
C.
D.答案:D18.从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球,那么互斥而不对立的两个事件是()
A.至少有1个白球;都是白球
B.至少有1个白球;至少有1个红球
C.恰有1个白球;恰有2个白球
D.至少有一个白球;都是红球答案:C19.若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay-6=0(a>0)的公共弦的长为23,则a=______.答案:由已知x2+y2+2ay-6=0的半径为6+a2,由图可知6+a2-(-a-1)2=(3)2,解之得a=1.故为:1.20.若函数y=f(x)的定义域是[12,2],则函数y=f(log2x)的定义域为______.答案:由题意知12≤log2x≤2,即log22≤log2x≤log24,∴2≤x≤4.故为:[2,4].21.如右图,一个地区分为5个行政区域,现给地图着色,要求相邻区域不得使用同一颜色,现有4种颜色可供选择,求不同着色方法共有多少种?(以数字作答).答案:本题是一个分类和分步综合的题目,根据题意可分类求第一类用三种颜色着色,由乘法原理C14C41
C12=24种方法;第二类,用四种颜色着色,由乘法原理有2C14C41
C12
C11=48种方法.从而再由加法原理得24+48=72种方法.即共有72种不同的着色方法.22.将5位志愿者分成4组,其中一组为2人,其余各组各1人,到4个路口协助交警执勤,则不同的分配方案有______种(用数字作答).答案:由题意,先分组,再到4个路口协助交警执勤,则不同的分配方案有C25A44=240种故为:240.23.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,MN是它的内切球的一条弦(把球面上任意两点之间的线段称为球的弦),P为正方体表面上的动点,当弦MN最长时.PM•PN的最大值为______.答案:设点O是此正方体的内切球的球心,半径R=1.∵PM•PN≤|PM|
|PN|,∴当点P,M,N三点共线时,PM•PN取得最大值.此时PM•PN≤(PO-MO)•(PO+ON),而MO=ON,∴PM•PN≤PO2-R2=PO2-1,当且仅当点P为正方体的一个顶点时上式取得最大值,∴(PM•PN)max=(232)2-1=2.故为2.24.到两定点A(0,0),B(3,4)距离之和为5的点的轨迹是()
A.椭圆
B.AB所在直线
C.线段AB
D.无轨迹答案:C25.设a,b∈R.“a=O”是“复数a+bi是纯虚数”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案:因为a,b∈R.“a=O”时“复数a+bi不一定是纯虚数”.“复数a+bi是纯虚数”则“a=0”一定成立.所以a,b∈R.“a=O”是“复数a+bi是纯虚数”的必要而不充分条件.故选B.26.设z∈C,|z|≤2,则点Z表示的图形是()A.直线x=2的左半平面B.半径为2的圆面C.直线x=2的右半平面D.半径为2的圆答案:由题意z∈C,|z|≤2,由得数的几何意义知,点Z表示的图形是半径为2的圆面,故选B27.若直线y=x+b与圆x2+y2=2相切,则b的值为
______.答案:由题意知,直线y=x+b与圆x2+y2=2相切,∴2=|b|2,解得b=±2.故为:±2.28.阅读如图所示的程序框,若输入的n是100,则输出的变量S的值是()A.5051B.5050C.5049D.5048答案:根据流程图所示的顺序,该程序的作用是累加并输出S=100+99+98+…+2,∵100+99+98+…+2=5049,故选C.29.已知直线l经过点A(2,4),且被平行直线l1:x-y+1=0与l2:x-y-1=0所截得的线段的中点M在直线x+y-3=0上.求直线l的方程.答案:∵点M在直线x+y-3=0上,∴设点M坐标为(t,3-t),则点M到l1、l2的距离相等,即|2t-2|2=|2t-4|2,解得t=32∴M(32,32)又l过点A(2,4),即5x-y-6=0,故直线l的方程为5x-y-6=0.30.(理)某单位有8名员工,其中有5名员工曾经参加过一种或几种技能培训,另外3名员工没有参加过任何技能培训,现要从8名员工中任选3人参加一种新的技能培训;
(I)求恰好选到1名曾经参加过技能培训的员工的概率;
(Ⅱ)这次培训结束后,仍然没有参加过任何技能培训的员工人数X是一个随机变量,求X的分布列和数学期望.答案:(I)由题意知本题是一个等可能事件的概率,∵试验发生包含的事件是从8人中选3个,共有C83=56种结果,满足条件的事件是恰好选到1名曾经参加过技能培训的员工,共有C51C32=15∴恰好选到1名已参加过其他技能培训的员工的概率P=1556(II)随机变量X可能取的值是:0,1,2,3.P(X=0)=156P(X=1)=1556P(X=2)=1528P(X=3)=C35C38=528∴随机变量X的分布列是X0123P15615561528528∴X的数学期望是1×1556+2×
1528+3×528=15831.行驶中的汽车,在刹车时由于惯性作用,要继续往前滑行一段距离才能停下,这段距离叫做刹车距离.在某种路面上,某种型号汽车的刹车距离s(m)与汽车的车速v(km/h)满足下列关系:s=(n为常数,且n∈N),做了两次刹车试验,有关试验数据如图所示,其中,
(1)求n的值;
(2)要使刹车距离不超过12.6m,则行驶的最大速度是多少?答案:解:(1)依题意得,解得,又n∈N,所以n=6;(2)s=,因为v≥0,所以0≤v≤60,即行驶的最大速度为60km/h。32.已知函数y=f(n),满足f(1)=2,且f(n+1)=3f(n),n∈N+,则
f(3)的值为______.答案:∵f(1)=2,且f(n+1)=3f(n),n∈N+,∴f(2)=3f(1)=6,f(3)=f(2+1)=3f(2)=18,故为18.33.某地位于甲、乙两条河流的交汇处,根据统计资料预测,今年汛期甲河流发生洪水的概率为0.25,乙河流发生洪水的概率为0.18(假设两河流发生洪水与否互不影响).现有一台大型设备正在该地工作,为了保护设备,施工部门提出以下三种方案:
方案1:运走设备,此时需花费4000元;
方案2:建一保护围墙,需花费1000元,但围墙只能抵御一个河流发生的洪水,当两河流同时发生洪水时,设备仍将受损,损失约56
000元;
方案3:不采取措施,此时,当两河流都发生洪水时损失达60000元,只有一条河流发生洪水时,损失为10000元.
(1)试求方案3中损失费ξ(随机变量)的分布列;
(2)试比较哪一种方案好.答案:(1)在方案3中,记“甲河流发生洪水”为事件A,“乙河流发生洪水”为事件B,则P(A)=0.25,P(B)=0.18,所以,有且只有一条河流发生洪水的概率为P(A?.B+.A?B)=P(A)?P(.B)+P(.A)?P(B)=0.34,两河流同时发生洪水的概率为P(A?B)=0.045,都不发生洪水的概率为P(.A?.B)=0.75×0.82=0.615,设损失费为随机变量ξ,则ξ的分布列为:(2)对方案1来说,花费4000元;对方案2来说,建围墙需花费1000元,它只能抵御一条河流的洪水,但当两河流都发生洪水时,损失约56000元,而两河流同时发生洪水的概率为P=0.25×0.18=0.045.所以,该方案中可能的花费为:1000+56000×0.045=3520(元).对于方案来说,损失费的数学期望为:Eξ=10000×0.34+60000×0.045=6100(元),比较可知,
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