2023年柳州职业技术学院高职单招（数学）试题库含答案解析

长风破浪会有时，直挂云帆济沧海。住在富人区的她2023年柳州职业技术学院高职单招（数学）试题库含答案解析（图片大小可自由调整）全文为Word可编辑，若为PDF皆为盗版，请谨慎购买！第1卷一.综合题(共50题)1.已知点P的坐标为（3，4，5），试在空间直角坐标系中作出点P．答案：由P（3，4，5）可知点P在Ox轴上的射影为A（3，0，0），在Oy轴上射影为B（0，4，0），以OA，OB为邻边的矩形OACB的顶点C是点P在xOy坐标平面上的射影C（3，4，0）．过C作直线垂直于xOy坐标平面，并在此直线的xOy平面上方截取5个单位，得到的就是点P．2.用行列式讨论关于x，y

的二元一次方程组mx+y=m+1x+my=2m解的情况并求解．答案：D=.m11m.=m2-1=(m+1)(m-1)，Dx=.m+112mm.=m2-m=m(m-1)，Dy=.mm+112m.=2m2-m-1=(2m+1)(m-1)，…（各（1分）共3分）（1）当m≠-1，m≠1时，D≠0，方程组有唯一解，解为(4)x=mm+1(5)y=2m+1m+1(6)…（（2分），其中解1分）（2）当m=-1时，D=0，Dx≠0，方程组无解；…（2分）（3）当m=1时，D=Dx=Dy=0，方程组有无穷多组解，此时方程组化为x+y=2x+y=2，令x=t（t∈R），原方程组的解为x=ty=2-t（t∈R）．…（（2分），没写出解扣1分）3.试指出函数y=3x的图象经过怎样的变换，可以得到函数y=（13）x+1+2的图象．答案：把函数y=3x的图象经过3次变换，可得函数y=（13）x+1+2的图象，步骤如下：y=3x沿y轴对称y=（13）x左移一个单位y=（13）x+1上移2个单位y=（13）x+1+2．4.函数y=ax的反函数的图象过点（9，2），则a的值为______．答案：依题意，点（9，2）在函数y=ax的反函数的图象上，则点（2，9）在函数y=ax的图象上将x=2，y=9，代入y=ax中，得9=a2解得a=3故为：3．5.直线4x-3y+5=0与直线8x-6y+5=0的距离为______．答案：直线4x-3y+5=0即8x-6y+10=0，由两平行线间的距离公式得：直线4x-3y+5=0（8x-6y+10=0）与直线8x-6y+5=0的距离是

|10-5|62+82=12，故为：12．6.（理）

设O为坐标原点，向量OA=(1，2，3)，OB=(2，1，2)，OP=(1，1，2)，点Q在直线OP上运动，则当QA•QB取得最小值时，点Q的坐标为______．答案：∵OP=(1，1，2)，点Q在直线OP上运动，设OQ=λOP=（λ，λ，2λ）又∵向量OA=(1，2，3)，OB=(2，1，2)，∴QA=（1-λ，2-λ，3-2λ），QB=（2-λ，1-λ，2-2λ）则QA•QB=（1-λ）×（2-λ）+（2-λ）×（1-λ）+（3-2λ）×（2-2λ）=6λ2-16λ+10易得当λ=43时，QA•QB取得最小值．此时Q的坐标为（43，43，83）故为：（43，43，83）7.P在⊙O外，PC切⊙O于C，PAB交⊙O于A、B，则（）

A．∠PCB=∠B

B．∠PAC=∠P

C．∠PCA=∠B

D．∠PAC=∠BCA答案：C8.扇形周长为10，则扇形面积的最大值是（）A．52B．254C．252D．102答案：设半径为r，弧长为l，则周长为2r+l=10，面积为s=12lr，因为10=2r+l≥22rl，所以rl≤252，所以s≤254故选B9.有五条线段长度分别为1、3、5、7、9，从这5条线段中任取3条，则所取3条线段能构成一个三角形的概率为（）A．110B．310C．12D．710答案：由题意知本题是一个古典概型，∵试验发生包含的所有事件是从五条线段中取三条共有C53种结果，而满足条件的事件是3、5、7；3、7、9；5、7、9，三种结果，∴由古典概型公式得到P=3C35=310，故选B．10.假设要抽查某种品牌的850颗种子的发芽率，抽取60粒进行实验．利用随机数表抽取种子时，先将850颗种子按001，002，…，850进行编号，如果从随机数表第8行第2列的数3开始向右读，请你依次写出最先检测的4颗种子的编号______，______，______，______．

（下面摘取了随机数表第7行至第9行）

84

42

17

53

31

57

24

55

06

88

77

04

74

47

67

21

76

33

50

25

83

92

12

06

76

63

01

63

78

59

16

95

55

67

19

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10

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12

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07

44

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52

42

07

44

38

15

51

00

13

42

99

66

02

79

54．答案：第8行第2列的数3开始向右读第一个小于850的数字是301，第二个数字是637，也符合题意，第三个数字是859，大于850，舍去，第四个数字是169，符合题意，第五个数字是555，符合题意，故为：301，637，169，55511.若直线x-y-1=0与直线x-ay=0的夹角为，则实数a等于（）

A.

B．0

C.

D．0或答案：D12.如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点．若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是（）A．3B．2C．3D．2答案：∵M，N是双曲线的两顶点，M，O，N将椭圆长轴四等分∴椭圆的长轴长是双曲线实轴长的2倍∵双曲线与椭圆有公共焦点，∴双曲线与椭圆的离心率的比值是2故选B．13.抛物线y=ax2（其中a＞0）的焦点坐标是（

）

A．(，0)

B．(0，)

C．(，0)

D．(0，)答案：D14.由圆C：x=2+cosθy=3+sinθ（θ为参数）求圆的标准方程．答案：圆的参数方程x=2+cosθy=3+sinθ变形为：cosθ=2-xsinθ=3-y，根据同角的三角函数关系式cos2θ+sin2θ=1，可得到标准方程：（x-2）2+（y-3）2=1．所以为（x-2）2+（y-3）2=1．15.若A∩B=A∪B，则A______B．答案：设有集合W=A∪B=B∩C，根据并集的性质，W=A∪B?A?W，B?W，根据交集的性质，W=A∩B?W?A，W?B由集合子集的性质，A=B=W，故为：=．16.已知圆锥的母线长为5，底面周长为6π，则圆锥的体积是______．答案：圆锥的底面周长为6π，所以圆锥的底面半径为3；圆锥的高为4所以圆锥的体积为13×π32×4=12π故为12π．17.在四面体O-ABC中，OA=a，OB=b，OC=c，D为BC的中点，E为AD的中点，则OE=______（用a，b，c表示）答案：在四面体O-ABC中，OA=a，OB=b，OC=c，D为BC的中点，E为AD的中点，∴OE=12（OA+OD）=OA2+OD2=12a+12×12（OB+OC）=12a+14（b+c）=12a+14b+14c，故为：12a+14b+14c．18.在平面几何中，四边形的分类关系可用以下框图描述：

则在①中应填入______；在②中应填入______．答案：由题意知①对应的四边形是一个有一组邻边相等的平行四边形，∴这里是一个菱形，②处的图形是一个有一条腰和底边垂直的梯形，∴②处是一个直角梯形，故为：菱形；直角梯形．19.在空间直角坐标系O-xyz中，点P（4，3，7）关于坐标平面yOz的对称点的坐标为______．答案：设所求对称点为P'（x，y，z）∵关于坐标平面yOz的对称的两个点，它们的纵坐标、竖坐标相等，而横坐标互为相反数，∴x=-4，y=3，z=7即P关于坐标平面yOz的对称点的坐标为P'（-4，3，7）故为：（-4，3，7）20.已知的单调区间；

（2）若答案：（1）（2）证明略解析：（1）对已知函数进行降次分项变形

,得,（2）首先证明任意事实上,而

.21.已知二次函数f（x）=x2+bx+c，f（0）＜0，则该函数零点的个数为（）

A．1

B．2

C．3

D．0答案：B22.若关于x的方程x2-2ax+2+a=0有两个不相等的实根，求分别满足下列条件的a的取值范围．

(1)方程两根都大于1；

(2)方程一根大于1，另一根小于1。答案：解：设f(x)=x2-2ax+2+a，(1)∵两根都大于1，∴，解得：2＜a＜3；(2)∵方程一根大于1，一根小于1，∴f(1)＜0，∴a＞3。23.直线(t为参数)被圆x2+y2=9截得的弦长为（）

A.

B.

C.

D.答案：B24.若图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则（）

A．k1＜k2＜k3

B．k3＜k1＜k2

C．k3＜k2＜k1

D．k1＜k3＜k2

答案：D25.在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为有理数的点称为有理点．试根据这一定义，证明下列命题：若直线y=kx+b（k≠0）经过点M（2，1），则此直线不能经过两个有理点．答案：证明：假设此直线上有两个有理点A（x1，y1），B（x2，y2），其中x1、y1、x2、y2均为有理数，则有y1=kx1+b，y2=kx2+b，两式相减，得y1-y2=k（x1-x2）．∵斜率k存在，∴x1≠x2，得k=y1-y2x1-x2．而有理数经过四则运算后还是有理数，故k为有理数．又由y1=kx1+b知，b也是有理数．又∵点M（2，1）在此直线上，∴1=2k+b，于是有2=1-bk（k≠0）．此式左端为无理数，右端为有理数，显然矛盾，故此直线不能经过两个有理点．26.为了调查甲、乙两个网站受欢迎的程度，随机选取了14天，统计上午8：00-10：00间各自的点击量，得如下所示的统计图，根据统计图：

（1）甲、乙两个网站点击量的极差，中位数分别是多少？

（2）甲网站点击量在[10，40]间的频率是多少？（结果用分数表示）

（3）甲、乙两个网站哪个更受欢迎？并说明理由。答案：解：（1）甲网站的极差为73-8=65，乙网站的极差为71-5=66；甲网站的中位数是56.5，乙网站的中位数是36.5。（2）甲网站点击量在[10，40]间的频率是；（3）甲网站的点击量集中在茎叶图的下方，而乙网站的点击量集中在茎叶图的上方，从数据的分布情况来看，甲网站更受欢迎。27.甲袋中装有3个白球和5个黑球，乙袋中装有4个白球和6个黑球，现从甲袋中随机取出一个球放入乙袋中，充分混合后，再从乙袋中随机取出一个球放回甲袋中，则甲袋中白球没有减少的概率为（）A．944B．2544C．3544D．3744答案：白球没有减少的情况有：①抓出黑球，抓入任意球，概率是：58．抓出白球，抓入白球，概率是38×511=1588，故所求事件的概率为58+1588=3544，故选C．28.某商场举行购物抽奖促销活动，规定每位顾客从装有编号为0，1，2，3四个相同小球的抽奖箱中，每次取出一球记下编号后放回，连续取两次，若取出的两个小球号码相加之和等于6则中一等奖，等于5中二等奖，等于4或3中三等奖．

（1）求中三等奖的概率；

（2）求中奖的概率．答案：（1）设“中三等奖”为事件A，“中奖”为事件B，从四个小球中有放回的取两个共有（0，0），（0，1），（0，2），（0，3），（1，0），（1，1）（1，2），（1，3），（2，0），（2，1），（2，2），（2，3），（3，0），（3，1），（3，2），（3，3）16种不同的结果两个小球号码相加之和等于4的取法有3种：（1，3），（2，2），（3，1）两个小球号相加之和等于3的取法有4种：（0，3），（1，2），（2，1），（3，0）由互斥事件的加法公式得：P(A)=316+416=716，即中三等奖的概率为716；（2）两个小球号码相加之和等于3的取法有4种；（0，3），（1，2），（2，1），（3，0）两个小球相加之和等于4的取法有3种；（1，3），（2，2），（3，1）两个小球号码相加之和等于5的取法有2种：（2，3），（3，2）两个小球号码相加之和等于6的取法有1种：（3，3）由互斥事件的加法公式得：P(B)=116+216+316+416=58.即中奖的概率为：58．29.已知△ABC的顶点坐标为A（3，4），B（-2，-1），C（4，5），D在BC上，且S△ABC=3S△ABD，则AD的长为______．答案：D在BC上，且S△ABC=3S△ABD，∴D点为BC边上的三等分点则D点分线段BC所成的比为12则易求出D点坐标为：x=-2+12×41+12y=-1+12×51+12∴x=0y=1故AD=32故为：3230.已知=1-ni，其中m，n是实数，i是虚数单位，则m+ni=（

）

A．1+2i

B．1-2i

C．2+i

D．2-i答案：C31.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1．

（1）求A1C与DB所成角的大小；

（2）求二面角D-A1B-C的余弦值；

（3）若点E在A1B上，且EB=1，求EC与平面ABCD所成角的大小．答案：（1）如图建立空间直角坐标系C-xyz，则C（0，0，0），D（1，0，0），B（0，1，0），A1（1，1，1）．∴DB=(-1，1，0)，CA1=(1，1，1)．∴cos＜DB，CA1＞=DB•CA1|DB|•|CA1|=02•3=0．∴A1C与DB所成角的大小为90°．（2）设平面A1BD的法向量n1=（x，y，z），则n1⊥DB，n1⊥A1B，可得-x+y=0x+z=0，∴n1=（1，1，-1）．同理可求得平面A1BC的一个法向量n2=（1，0，-1），∴cos＜n1，n2＞=n1•n2|n1|•|n2|=26=63，∴二面角D-A1B-C的余弦值为63．（3）设n=（0，0，1）是平面ABCD的一个法向量，且CE=(22，1，22)，∴cos＜n，CE＞=n•CE|n|•|CE|=12，∴＜n，CE＞=60°，∴EC与平面ABCD所成的角是30°．32.已知命题p、q，若命题“p∨q”与命题“￢p”都是真命题，则（）A．命题q一定是真命题B．命题q不一定是真命题C．命题p不一定是假命题D．命题p与命题q的真值相等答案：∵命题“￢p”与命题“p∨q”都是真命题，∴命题p为假命题，q为真命题．故选A．33.给出下列结论：

（1）两个变量之间的关系一定是确定的关系；

（2）相关关系就是函数关系；

（3）回归分析是对具有函数关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法；

（4）回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．

以上结论中，正确的有几个？（）

A．1

B．2

C．3

D．4答案：A34.集合{x∈N*|

12

x

∈Z}中含有的元素个数为（）

A．4

B．6

C．8

D．12答案：B35.某教师出了一份三道题的测试卷，每道题1分，全班得3分、2分、1分和0分的学生所占比例分别为30%、50%、10%和10%，则全班学生的平均分为______分．答案：∵全班得3分、2分、1分和0分的学生所占比例分别为30%、50%、10%和10%，∴全班的平均分是3×30%+2×50%+1×10%+0×10%=2，故为：236.“a、b、c等比”是“b2=ac”的（）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件答案：由“a，G，b成等比”可得ba=cb，故有“b2=ac”成立，故充分性成立．但由“b2=ac”，不能推出“a、b、c成等比数列”，如a=b=0，c=1时，尽管有“b2=ac”，但0，0，1不能构成等比数列，故必要性不成立．故“b2=ac成等比”是“b2=ac”的充分不必要条件，故选B．37.某工厂生产的产品，用速度恒定的传送带将产品送入包装车间之前，质检员每隔3分钟从传送带上是特定位置取一件产品进行检测，这种抽样方法是（）

A．简单随机抽样

B．系统抽样

C．分层抽样

D．其它抽样方法答案：B38.在下列4个命题中，是真命题的序号为（）

①3≥3；

②100或50是10的倍数；

③有两个角是锐角的三角形是锐角三角形；

④等腰三角形至少有两个内角相等．

A．①

B．①②

C．①②③

D．①②④答案：D39.如图，AB为⊙O的直径，弦AC、BD交于点P，若AP=5，PC=3，DP=5，则AB=______．

答案：∵AP=5，PC=3，DP=5由相交弦定理可得：BP=35又∵AB为直径，∴∠ACB=90°∴BC=PB2-PC2=6∴AB=AC2-BC2=10故为：1040.已知a、b、c为某一直角三角形的三条边长，c为斜边．若点（m，n）在直线ax+by+2c=0上，则m2+n2的最小值是______．答案：根据题意可知：当（m，n）运动到原点与已知直线作垂线的垂足位置时，m2+n2的值最小，由三角形为直角三角形，且c为斜边，根据勾股定理得：c2=a2+b2，所以原点（0，0）到直线ax+by+2c=0的距离d=|0+0+2c|a2+b2=2，则m2+n2的最小值为4．故为：4．41.平面ABCD中，点A坐标为（0，1，1），点B坐标为（1，2，1），点C坐标为（-1，0，-1）．若向量a=（-2，y，z），且a为平面ABC的法向量，则yz=（）A．2B．0C．1D．-1答案：AB=(1，1，0)，AC=(-1，-1，-2)，与平面ABC垂直的向量应与上面的向量的数量积为零，向量a=（-2，y，z），且a为平面ABC的法向量，则a⊥AB且a⊥AC，即a•AB=0，且a•AC=0，即-2+y+0=0且2-y-2z=0，即y=2z=0，∴则yz=20=1，故选C．42.在直角坐标系xoy

中，已知曲线C1：x=t+1y=1-2t（t为参数）与曲线C2：x=asinθy=3cosθ（θ为参数，a＞0

）

有一个公共点在X轴上，则a等于______．答案：曲线C1：x=t+1y=1-2t（t为参数）化为普通方程：2x+y-3=0，令y=0，可得x=32曲线C2：x=asinθy=3cosθ（θ为参数，a＞0

）化为普通方程：x2a2+y29=1∵两曲线有一个公共点在x轴上，∴94a2=1∴a=32故为：3243.集合A={一条边长为2，一个角为30°的等腰三角形}，其中的元素个数为（）A．2B．3C．4D．无数个答案：由题意，两腰为2，底角为30°；两腰为2，顶角为30°；底边为2，底角为30°；底边为2，顶角为30°．∴共4个元素，故选C．44.已知球的表面积等于16π，圆台上、下底面圆周都在球面上，且下底面过球心，圆台的轴截面的底角为π3，则圆台的轴截面的面积是（）A．9πB．332C．33D．6答案：设球的半径为R，由题意4πR2=16，R=2，圆台的轴截面的底角为π3，可得圆台母线长为2，上底面半径为1，圆台的高为3，所以圆台的轴截面的面积S=12(2+4)×3=33故选C45.i是虚数单位，a，b∈R，若ia+bi=1+i，则a+b=______．答案：∵ia+bi=1+i，a，b∈R，∴i(a-bi)(a+bi)(a-bi)=1+i，∴b+aia2+b2=1+i，化为b+ai=（a2+b2）+（a2+b2）i，根据复数相等的定义可得b=a2+b2a=a2+b2，a2+b2≠0解得a=b=12．∴a+b=1．故为1．46.圆心在原点且圆周被直线3x+4y+15=0分成1：2两部分的圆的方程为

______．答案：如图，因为圆周被直线3x+4y+15=0分成1：2两部分，所以∠AOB=120°．而圆心到直线3x+4y+15=0的距离d=1532+42=3，在△AOB中，可求得OA=6．所以所求圆的方程为x2+y2=36．故为：x2+y2=3647.已知随机变量X的分布列为：P（X=k）=，k=1，2，…，则P（2＜X≤4）等于（）

A.

B.

C.

D.答案：A48.某校有老师200人，男学生1200人，女学生1000人．现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n的样本；已知从女学生中抽取的人数为80人，则n=______．答案：∵某校有老师200人，男学生1

200人，女学生1

000人．∴学校共有200+1200+1000人由题意知801000=n200+1200+1000，∴n=192．故为：19249.不等式|x+3|-|x-1|≤a2-3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（）

A．（-∞，-1]∪[4，+∞）

B．（-∞，-2]∪[5，+∞）

C．[1，2]

D．（-∞，1]∪[2，+∞）答案：A50.已知函数f（x）=ax2+（a+3）x+2在区间[1，+∞）上为增函数，则实数a的取值范围是______．答案：∵f（x）=ax2+（a+3）x+2，∴f′（x）=2ax+a+3，∵函数f（x）=ax2+x+1在区间[1，+∞）上为增函数，∴f′（x）=2ax+a+3≥0在区间[1，+∞）恒成立．∴a≥02a×1+a+3≥0，解得a≥0，故为：a≥0．第2卷一.综合题(共50题)1.设集合A和B都是自然数集合N，映射f：A→B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素2n+n，则在映射f下，象20的原象是（）A．2B．3C．4D．5答案：由2n+n=20求n，用代入法可知选C．故选C2.A、B是直线l上的两点，AB=4，AC⊥l于A，BD⊥l于B，AC=BD=3，又AC与BD成60°的角，则C、D两点间的距离是______答案：CD=CA+AB+BD，|CD|=|

CA+AB+BD|，CD=32+32+42+2×

3×3cosθ，θ=120°或60°，CD=32+32+42±32．CD=5或43故为：5或433.若函数f（x）=loga（x+b）的图象如图，其中a，b为常数．则函数g（x）=ax+b的大致图象是(

)

答案：D解析：试题分析：解：由函数f（x）=loga（x+b）的图象为减函数可知0＜a＜1，f（x）=loga（x+b）的图象由f（x）=logax向左平移可知0＜b＜1，故函数g（x）=ax+b的大致图象是D故选D.4.如图，在⊙O中，AB是弦，AC是⊙O的切线，A是切点，过

B作BD⊥AC于D，BD交⊙O于E点，若AE平分∠BAD，则∠BAD=（）

A．30°

B．45°

C．50°

D．60°

答案：D5.将函数进行平移，使得到的图形与抛物线的两个交点关于原点对称，试求平移后的图形对应的函数解析式．答案：函数解析式是解析：将函数进行平移，使得到的图形与抛物线的两个交点关于原点对称，试求平移后的图形对应的函数解析式．6.若a2+b2+c2=1，则a+2b+3c的最大值为______．答案：因为已知a、b、c是实数，且a2+b2+c2=1根据柯西不等式（a2+b2+c2）（x2+y2+z2）≥（ax+by+cz）2故有（a2+b2+c2）（12+22+32）≥（a+2b+3c）2故（a+2b+3c）2≤14，即2a+b+2c≤14．即a+2b+3c的最大值为14．故为：14．7.随机变量ξ的分布列为

ξ01xP15p310且Eξ=1.1，则p=______；x=______．答案：由15+p+310=1，得p=12．由Eξ=0×15+1×12+310x=1.1，得x=2．故为12；2．8.若一个圆锥的轴截面是边长为4cm的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为______cm2．答案：如图所示：∵轴截面是边长为4等边三角形，∴OB=2，PB=4．圆锥的侧面积S=π×2×4=8πcm2．故为8π．9.选修4-1：几何证明选讲

如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC的顶点重合．已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2-14x+mn=0的两个根．

（Ⅰ）证明：C，B，D，E四点共圆；

（Ⅱ）若∠A=90°，且m=4，n=6，求C，B，D，E所在圆的半径．

答案：（I）连接DE，根据题意在△ADE和△ACB中，AD×AB=mn=AE×AC，即ADAC=AEAB又∠DAE=∠CAB，从而△ADE∽△ACB因此∠ADE=∠ACB∴C，B，D，E四点共圆．（Ⅱ）m=4，n=6时，方程x2-14x+mn=0的两根为x1=2，x2=12．故AD=2，AB=12．取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH．∵C，B，D，E四点共圆，∴C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH．由于∠A=90°，故GH∥AB，HF∥AC．HF=AG=5，DF=12（12-2）=5．故C，B，D，E四点所在圆的半径为5210.已知点P（x，y）在曲线x=2+cosθy=2sinθ（θ为参数），则ω=3x+2y的最大值为______．答案：由题意，ω=3x+2y=3cosθ+4sinθ+6=5sin（θ+?）+6∴当sin（θ+?）=1时，ω=3x+2y的最大值为

11故为11．11.已知二项分布满足X～B（6，23），则P（X=2）=______，EX=______．答案：∵X服从二项分布X～B（6，23）∴P（X=2）=C26(13)4(23)2=20243∵随机变量ξ服从二项分布ξ～B（6，23），∴期望Eξ=np=6×23=4故为：20243；412.已知某一随机变量ξ的分布列如下，且Eξ=6.3，则a的值为（）

ξ

4

a

9

P

0.5

0.1

b

A．5

B．6

C．7

D．8答案：C13.根据一组数据判断是否线性相关时，应选用（

）

A．散点图

B．茎叶图

C．频率分布直方图

D．频率分布折线图答案：A14.若点（2，-2）在圆（x-a）2+（y-a）2=16的内部，则实数a的取值范围是（）

A．-2＜a＜2

B．0＜a＜2

C．a＜-2或a＞2

D．a=±2答案：A15.如图，以1×3方格纸中的格点为起点和终点的所有向量中，有多少种大小不同的模？有多少种不同的方向？

答案：模为1的向量；模为2的向量；模为3的向量；模为2的向量；模为5的向量；模为10的向量共有6个模，进而分析方向，正方形的边对应的向量共有四个方向，边长为1的正方形的对角线对应的向量共四个方向；1×2的矩形的对角线对应的向量共四个方向；1×3的矩形对角线对应的向量共有四个方向共有16个方向16.已知两点A（2，1），B（3，3），则直线AB的斜率为（）

A．2

B．

C．

D．-2答案：A17.点O是△ABC内一点，若+=-，则是S△AOB：S△AOC=（）

A．1

B．

C．

D．答案：A18.（《几何证明选讲》选做题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，⊙O分别切AC、BC于M、N，圆心O在AB上，⊙O的半径为4，OA=5，则OB的长为______．答案：连接OM，ON，则∵⊙O分别切AC、BC于M、N∴OM⊥AC，ON⊥BC∵∠C=90°，∴OMCN为正方形∵⊙O的半径为4，OA=5∴AM=3∴CA=7∵ON∥AC∴ONAC=OBBA∴47=OBOB+5∴OB=203故为：20319.用反证法证明命题“在函数f（x）=x2+px+q中，|f（1）|，|f（2）|，|f（3）|至少有一个不小于”时，假设正确的是（）

A．假设|f（1）|，|f（2）|，|f（3）|至多有一个小于

B．假设|f（1）|，|f（2）|，|f（3）|至多有两个小于

C．假设|f（1）|，|f（2）|，|f（3）|都不小于

D．假设|f（1）|，|f（2）|，|f（3）|都小于答案：D20.已知e1，e2是夹角为60°的单位向量，且a=2e1+e2，b=-3e1+2e2

（1）求a•b；

（2）求a与b的夹角＜a，b＞．答案：（1）求a•b=(2e1+e2)•

(-3e1+2e2)=

-6e12+e1

•e2+2e22=-6+1×1×cos60°+2=-72．（2）|a|=|2e1+e2|=(2e1+e2)2=4e12+2e1•e2+e22=7同样地求得|b|=7．所以cos＜a，b＞=a•b|a||b|=-727

×7=-12，又0＜＜a，b＞＜π，所以＜a，b＞=2π3．21.集合{0，1}的子集有（）个．A．1个B．2个C．3个D．4个答案：根据题意，集合{0，1}的子集有{0}、{1}、{0，1}、?，共4个，故选D．22.下面哪个不是算法的特征（）A．抽象性B．精确性C．有穷性D．唯一性答案：根据算法的概念，可知算法具有抽象性、精确性、有穷性等，同一问题，可以有不同的算法，故选D．23.不等式-x≤1的解集是（

）。答案：{x|0≤x≤2}24.m为何值时，关于x的方程8x2-（m-1）x+（m-7）=0的两根，

（1）为正数；

（2）一根大于2，一根小于2．答案：（1）设方程两根为x1，x2，则∵方程的两根为正数，∴△≥0x1+x2＞0x1x2＞0即[-(m-1)]2-4×8×(m-7)＞0--(m-1)8＞0m-78＞0解得7＜m≤9或m≥25．（2）令f（x）=8x2-（m-1）x+（m-7），由题意得f（2）＜0，解得m＞27．25.如图，已知某探照灯反光镜的纵切面是抛物线的一部分，光源安装在焦点F上，且灯的深度EG等于灯口直径AB，若灯的深度EG为64cm，则光源安装的位置F到灯的顶端G的距离为______cm．答案：以反射镜顶点为原点，以顶点和焦点所在直线为x轴，建立直角坐标系．设抛物线方程为y2=2px，依题意可点A（64，32）在抛物线上代入抛物线方程得322=128p解得p=8∴焦点坐标为（4，0），而光源到反射镜顶点的距离正是抛物线的焦距，即4cm．故为：4．26.在极坐标系中，若点A(ρ0，π3)（ρ0≠0）是曲线ρ=2cosθ上的一点，则ρ0=______．答案：∵点A(ρ0，π3)（ρ0≠0）是曲线ρ=2cosθ上的一点，∴ρ0=2cosπ3．∴ρ0=2×12=1．故为：1．27.在下面的图示中，结构图是（）

A．

B．

C．

D．

答案：B28.若向量a⊥b，且向量a=（2，m），b=（3，1）则m=______．答案：因为向量a=（2，m），b=（3，1），又a⊥b，所以2×3+m=0，所以m=-6．故为-6．29.到两定点A（0，0），B（3，4）距离之和为5的点的轨迹是（）

A．椭圆

B．AB所在直线

C．线段AB

D．无轨迹答案：C30.平行线3x-4y-8=0与6x-8y+3=0的距离为______．答案：6x-8y+3=0可化为3x-4y+32=0，故所求距离为|-8-32|32+(-4)2=1910，故为：191031.已知三角形ABC的一个顶点A（2，3），AB边上的高所在的直线方程为x-2y+3=0，角B的平分线所在的直线方程为x+y-4=0，求此三角形三边所在的直线方程．答案：由题意可得AB边的斜率为-2，由点斜式求得AB边所在的直线方程为y-3=-2（x-2），即2x+y-7=0．由2x+y-7=0x+y-4=0

求得x=3y=1，故点B的坐标为（3，1）．设点A关于角B的平分线所在的直线方程为x+y-4=0的对称点为M（a，b），则M在BC边所在的直线上．则由b-3a-2=-1a+22+b+32-4=0

求得a=1b=2，故点M（1，2），由两点式求得BC的方程为y-12-1=x-31-3，即x+2y-5=0．再由x-2y+3=0x+2y-5=0求得点C的坐标为（2，52），由此可得得AC的方程为x=2．32.从⊙O外一点P引圆的两条切线PA，PB及一条割线PCD，A、B为切点．求证：ACBC=ADBD．

答案：证明：∠CAP=∠ADP∠CPA=∠APD?△CAP∽△ADP?ACAD=APDP，①∠CBP=∠BDP∠CPB=∠BPD?△CBP∽△BDP?BCDB=BPDP，②又AP=BP，③由①②③知：ACAD=BCBD，故ACBC=ADBD．得证．33.已知集合A={0，1，2}，集合B={x|x=2a，a∈A}，则A∩B=（）A．{0}B．{2}C．{0，2}D．{1，4}答案：B={0，2，4}，∴A∩B={0，2}，故选C34.若F1、F2是椭圆x24+y2=1的左、右两个焦点，M是椭圆上的动点，则1|MF1|+1|MF2|的最小值为______．答案：∵F1、F2是椭圆x24+y2=1的左、右两个焦点，M是椭圆上的动点，∴1|MF1|+1|MF2|=|MF1|+|MF2||MF1|?|MF2|=4|MF1|?|MF2|，∵|MF1|?|MF2|的最大值为a2=4，∴1|MF1|+1|MF2|的最小值=44=1．故为：1．35.已知a=（1，0），b=（m，m）（m＞0），则＜a，b＞=______．答案：∵b=（m，m）（m＞0），∴b与第一象限的角平分线同向，且由原点指向远处，而a=（1，0）同横轴的正方向同向，∴＜a，b＞=45°，故为：45°36.

若平面向量，，两两所成的角相等，||=||=1，||=3，则|++|=（）

A．2

B．4

C．2或5

D．4或5答案：C37.数集{1，x，2x}中的元素x应满足的条件是______．答案：根据集合中元素的互异性可得1≠x，x≠2x，1≠2x∴x≠1且x≠12且x≠0．故为：x≠1且x≠12且x≠0．38.已知A、B、M三点不共线，对于平面ABM外的任意一点O，确定在下列条件下，点P是否与A、B、M一定共面，答案：解：为共面向量，∴P与A、B、M共面，，根据空间向量共面的推论，P位于平面ABM内的充要条件是，∴P与A、B、M不共面．39.若实数X、少满足，则的范围是（）

A．[0，4]

B．（0，4）

C．（-∝，0]U[4，+∝）

D．（-∝，0）U（4，+∝））答案：D40.有四条线段，其长度分别为2，3，4，5，现从中任取三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是______．答案：所有的取法共有C34=4种，三条线段构成三角形的条件是任意两边之和大于第三边，其中能够成三角形的取法有①2、3、4；②2、4、5；③3、4、5，共有3种，故这三条线段为边可以构成三角形的概率是34，故为34．41.______称为向量；常用

______表示，记为

______，又可用小写字线表示为

______．答案：既有大小，又有方向的量叫做向量；表示方法：①常用有带箭头的线段来表示，记为有向线段AB，②又可用小写字线表示为：a，b，c…，故为：既有大小，又有方向的量；有带箭头的线段，有向线段AB，a，b，c…．42.已知点A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），O（0，0），若，α∈(0，π)，则与的夹角为（）

A．

B．

C．

D．答案：D43.在复数范围内解方程|z|2+(z+.z)i=3-i2+i（i为虚数单位）．答案：原方程化简为|z|2+(z+.z)i=1-i，设z=x+yi（x、y∈R），代入上述方程得x2+y2+2xi=1-i，∴x2+y2=1且2x=-1，解得x=-12且y=±32，∴原方程的解是z=-12±32i．44.用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设______．答案：根据用反证法证明数学命题的方法和步骤，先把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，而命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60°”的否定为“三个内角都大于60°”，故为三个内角都大于60°．45.直线x+ky=0，2x+3y+8=0和x-y-1=0交于一点，则k的值是（）

A．

B．-

C．2

D．-2答案：B46.直线l只经过第一、三、四象限，则直线l的斜率k（）

A．大于零

B．小于零

C．大于零或小于零

D．以上结论都有可能答案：A47.如图，梯形ABCD内接于⊙O，AB∥CD，AB为直径，DO平分∠ADC，则∠DAO的度数是

______．答案：∵DO平分∠ADC，∴∠CDO=∠ODA；∵OD=OA，∴∠A=∠ADO=12∠ADC；∵AB∥CD，∴∠A+∠ADC=3∠A=180°，即∠A=∠ADO=60°．故为：60°48.平面上动点M到定点F（3，0）的距离比M到直线l：x+1=0的距离大2，则动点M满足的方程（）

A．x2=6y

B．x2=12y

C．y2=6x

D．y2=12x答案：D49.设b是a的相反向量，则下列说法错误的是（）

A．a与b的长度必相等

B．a与b的模一定相等

C．a与b一定不相等

D．a是b的相反向量答案：C50.已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为x=3+3cosθy=1+3sinθ，（θ为参数），以Ox为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为pcos(θ+π6)=0．

（1）写出直线l的直角坐标方程和圆C的普通方程；

（2）求圆C截直线l所得的弦长．答案：（1）消去参数θ，得圆C的普通方程为(x-3)2+(y-1)2=9．（2分）由ρcos(θ+π6)=0，得32ρcosθ-12ρsinθ=0，∴直线l的直角坐标方程为3x-y=0．（5分）（2）圆心(3，1)到直线l的距离为d=|3×3-1|(3)2+12=1．（7分）设圆C直线l所得弦长为m，则m2=r2-d2=9-1=22，∴m=42．（10分）第3卷一.综合题(共50题)1.（选做题）方程ρ=cosθ与（t为参数）分别表示何种曲线（

）。答案：圆，双曲线2.已知0＜k＜4，直线l1：kx-2y-2k+8=0和直线l：2x+k2y-4k2-4=0与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k值为______．答案：如图所示：直线l1：kx-2y-2k+8=0即k（x-2）-2y+8=0，过定点B（2，4），与y轴的交点C（0，4-k），直线l：2x+k2y-4k2-4=0，即2x-4+k2（y-4）=0，过定点（2，4），与x轴的交点A（2k2+2，0），由题意知，四边形的面积等于三角形ABD的面积和梯形OCBD的面积之和，故所求四边形的面积为12×4×（2k2+2-2）+2×(4-k+4)2=4k2-k+8，∴k=18时，所求四边形的面积最小，故为18．3.已知x1,x2,…,xn都是正数，且x1+x2+…+xn=1,求证：

++…+≥n2.答案：证明略解析：证明

++…+=(x1+x2+…+xn)（

++…+）≥=n2.4.求证：梯形两条对角线的中点连线平行于上、下底，且等于两底差的一半（用解析法证之）．答案：证明见过程解析：求证：梯形两条对角线的中点连线平行于上、下底，且等于两底差的一半（用解析法证之）．5.直线l与抛物线y2=2x相交于A、B两点，O为抛物线的顶点，若OA⊥OB．证明：直线l过定点．答案：证明：设点A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）（I）当直线l有存在斜率时，设直线方程为y=kx+b，显然k≠0且b≠0．（2分）联立方程得：y=kx+by2=2x消去y得k2x2+（2kb-2）x+b2=0由题意：x1x2=b2k2，&

y1y2=(kx1+b)(kx2+b)=2bk（5分）又由OA⊥OB得x1x2+y1y2=0，（7分）即b2k2+2bk=0，解得b=0（舍去）或b=-2k（9分）故直线l的方程为：y=kx-2k=k（x-2），故直线过定点（2，0）（11分）（II）当直线l不存在斜率时，设它的方程为x=m，显然m＞0联立方程得：x=my2=2x解得y=±2m，即y1y2=-2m又由OA⊥OB得x1x2+y1y2=0，即m2-2m=0，解得m=0（舍去）或m=2可知直线l方程为：x=2，故直线过定点（2，0）综合（1）（2）可知，满足条件的直线过定点（2，0）．6.抛物线y=4x2的焦点坐标为（）

A．（1，0）

B．(0，)

C．（0，1）

D．(，0)答案：B7.在z轴上与点A（-4，1，7）和点B（3，5，-2）等距离的点C的坐标为

______．答案：由题意设C（0，0，z），∵C与点A（-4，1，7）和点B（3，5，-2）等距离，∴|AC|=|BC|，∴16+1+(7-z)2=9+25+(z+2)2，∴18z=28，∴z=149，∴C点的坐标是（0，0，149）故为：（0，0，149）8.数集{1，x，2x}中的元素x应满足的条件是______．答案：根据集合中元素的互异性可得1≠x，x≠2x，1≠2x∴x≠1且x≠12且x≠0．故为：x≠1且x≠12且x≠0．9.已知、分别是与x轴、y轴方向相同的单位向量，且=-3+6，=-6+4，=--6，则一定共线的三点是（）

A．A，B，C

B．A，B，D

C．A，C，D

D．B，C，D答案：C10.半径为5，圆心在y轴上，且与直线y=6相切的圆的方程为______．答案：如图所示，因为半径为5，圆心在y轴上，且与直线y=6相切，所以可知有两个圆，上圆圆心为（0，11），下圆圆心为（0，1），所以圆的方程为x2+（y-1）2=25或x2+（y-11）2=25．11.已知实数x，y满足3x+4y+10=0，那么x2+y2的最小值为______．答案：设P（x，y），则|OP|=x2+y2，即x2+y2的几何意义表示为直线3x+4y+10=0上的点P到原点的距离的最小值．则根据点到直线的距离公式得点P到直线3x+4y+10=0的距离d=|10|32+42=105=2．故为：2．12.现有含盐7%的食盐水为200g，需将它制成工业生产上需要的含盐5%以上且在6%以下(不含5%和6%)的食盐水，设需要加入4%的食盐水xg，则x的取值范围是（

）。答案：（100，400）13.下列特殊命题中假命题的个数是（）

①有的实数是无限不循环小数；

②有些三角形不是等腰三角形；

③有的菱形是正方形．

A．0

B．1

C．2

D．3答案：B14.方程组的解集是[

]A.{5，1}

B.{1，5}

C.{（5，1）}

D.{（1，5）}答案：C15.下列函数中，与函数y=x（x≥0）有相同图象的一个是（）A．y=x2B．y=（x）2C．y=3x3D．y=x2x答案：一个函数与函数y=x

（x≥0）有相同图象时，这两个函数应是同一个函数．A中的函数和函数y=x

（x≥0）的值域不同，故不是同一个函数．B中的函数和函数y=x

（x≥0）具有相同的定义域、值域、对应关系，故是同一个函数．C中的函数和函数y=x

（x≥0）的值域不同，故不是同一个函数．D中的函数和函数y=x

（x≥0）的定义域不同，故不是同一个函数．综上，只有B中的函数和函数y=x

（x≥0）是同一个函数，具有相同的图象，故选B．16.设f（x）=ex(x≤0)ln

x(x＞0)，则f[f（13）]=______．答案：因为f（x）=ex(x≤0)ln

x(x＞0)，所以f（13）=ln13＜0，所以f[f（13）]=f（ln13）=eln13=13，故为13．17.在极坐标系下，圆C：ρ2+4ρsinθ+3=0的圆心坐标为（）

A．（2，0）

B．

C．（2，π）

D．答案：D18.若命题P（n）对n=k成立，则它对n=k+2也成立，又已知命题P（2）成立，则下列结论正确的是（）

A．P（n）对所有自然数n都成立

B．P（n）对所有正偶数n成立

C．P（n）对所有正奇数n都成立

D．P（n）对所有大于1的自然数n成立答案：B19.如图为某公司的组织结构图，则后勤部的直接领导是______．

答案：有已知中某公司的组织结构图，可得专家办公室直接领导：财务部，后勤部和编辑部三个部门，故后勤部的直接领导是专家办公室．故为：专家办公室．20.设集合A={0，1，3}，B={1，3，4}，则A∩B=______．答案：∵集合A={0，1，3}，B={1，3，4}，A∩B={1，3}．故为：{1，3}．21.如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆上的两点，半圆O的切线PC交AB的延长线于点P，∠PCB=25°，则∠ADC为（）

A．105°

B．115°

C．120°

D．125°

答案：B22.频率分布直方图的重心是（）

A．众数

B．中位数

C．标准差

D．平均数答案：D23.现有以下两项调查：①某校高二年级共有15个班，现从中选择2个班，检查其清洁卫生状况；②某市有大型、中型与小型的商店共1500家，三者数量之比为1：5：9．为了调查全市商店每日零售额情况，抽取其中15家进行调查．完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是（）A．简单随机抽样法，分层抽样法B．系统抽样法，简单随机抽样法C．分层抽样法，系统抽样法D．系统抽样法，分层抽样法答案：从15个班中选择2个班，检查其清洁卫生状况；总体个数不多，而且差异不大，故可采用简单随机抽样的方法，1500家大型、中型与小型的商店的每日零售额存在较大差异，故可采用分层抽样的方法故完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是简单随机抽样法，分层抽样法故选A24.已知直线经过点,倾斜角，设与圆相交与两点，求点到两点的距离之积。答案：2解析：把直线代入得，则点到两点的距离之积为25.为了了解学校学生的身体发育情况，抽查了该校100名高中男生的体重情况，根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示，根据此图，估计该校2000名高中男生中体重大于70.5公斤的人数为（）

A．300B．350C．420D．450答案：∵由图得，∴70.5公斤以上的人数的频率为：（0.04+0.035+0.016）×2=0.181，∴70.5公斤以上的人数为2000×0.181=362，故选B26.设随机变量ξ的概率分布如表所示：

求：（l）P（ξ＜1），P（ξ≤1），P（ξ＜2），P（ξ≤2）；

（2）P（x）=P（ξ≤x），x∈R．答案：（1）根据所给的分布列可知14+13+m+112=1，∴m=13，∴P（ξ＜1）=0P（ξ≤1）=P（ξ=1）=14P（ξ＜2）=P（ξ≤1）=P（ξ=1）=14P（ξ≤2）=P（ξ=1）+P（ξ=2）=14+13=712（2）根据所给的分布列和第一问做出的结果，得到P（X）=14，（x≤1）P（X）=712，（1＜X≤2）P（X）=1112，（2＜x≤3）p（X）=1，（X≥3）27.若直线y=x+b与圆x2+y2=2相切，则b的值为（

）

A．±4

B．±2

C．±

D．±2

答案：B28.已知正三角形的外接圆半径为63cm，求它的边长．答案：设正三角形的边长为a，则12a=Rcos30°=63?32=9(cm)∴a=18(cm)．它的边长为18cm．29.下列各个对应中，从A到B构成映射的是（）A．

B．

C．

D．

答案：按照映射的定义，A中的任何一个元素在集合B中都有唯一确定的元素与之对应．而在选项A和选项B中，前一个集合中的元素2在后一个集合中没有元素与之对应，故不符合映射的定义．选项C中，前一个集合中的元素1在后一集合中有2个元素和它对应，也不符合映射的定义，只有选项D满足映射的定义，故选D．30.用秦九韶算法求多项式

在的值.答案：.解析：可根据秦九韶算法原理，将所给多项式改写，然后由内到外逐次计算即可.

而，所以有，，，，，.即.【名师指引】利用秦九韶算法计算多项式值关键是能正确地将所给多项式改写，然后由内到外逐次计算，由于后项计算需用到前项的结果，故应认真、细心，确保中间结果的准确性.31.给出以下四个对象，其中能构成集合的有（）

①教2011届高一的年轻教师；

②你所在班中身高超过1.70米的同学；

③2010年广州亚运会的比赛项目；

④1，3，5．A．1个B．2个C．3个D．4个答案：解析：因为未规定年轻的标准，所以①不能构成集合；由于②③④中的对象具备确定性、互异性，所以②③④能构成集合．故选C．32.在参数方程所表示的曲线上有B、C两点，它们对应的参数值分别为t1、t2，则线段BC的中点M对应的参数值是（）

A.

B.

C.

D.答案：B33.已知a=（2，-1，3），b=（-1，4，-2），c=（7，5，λ），若a、b、c三个向量共面，则实数λ等于

A.

B.

C.

D.答案：D34.为了了解某社区居民是否准备收看奥运会开幕式，某记者分别从社区的60～70岁，40～50岁，20～30岁的三个年龄段中的160，240，X人中，采用分层抽样的方法共抽出了30人进行调查，若60～70岁这个年龄段中抽查了8人，那么x为（）

A．90

B．120

C．180

D．200答案：D35.下列关于结构图的说法不正确的是（）

A．结构图中各要素之间通常表现为概念上的从属关系和逻辑上的先后关系

B．结构图都是“树形”结构

C．简洁的结构图能更好地反映主体要素之间关系和系统的整体特点

D．复杂的结构图能更详细地反映系统中各细节要素及其关系答案：B36.为提高广东中小学生的健康素质和体能水平，广东省教育厅要求广东各级各类中小学每年都要在体育教学中实施“体能素质测试”，测试总成绩满分为100分．根据广东省标准，体能素质测试成绩在[85，100]之间为优秀；在[75，85]之间为良好；在[65，75]之间为合格；在（0，60）之间，体能素质为不合格．

现从佛山市某校高一年级的900名学生中随机抽取30名学生的测试成绩如下：

65，84，76，70，56，81，87，83，91，75，81，88，80，82，93，85，90，77，86，81，83，82，82，64，79，86，68，71，89，96．

（1）在答题卷上完成频率分布表和频率分布直方图，并估计该校高一年级体能素质为优秀的学生人数；

（2）在上述抽取的30名学生中任取2名，设ξ为体能素质为优秀的学生人数，求ξ的分布列和数学期望（结果用分数表示）；

（3）请你依据所给数据和上述广东省标准，对该校高一学生的体能素质给出一个简短评价．答案：（1）由已知的数据可得频率分布表和频率分布直方图如下：

分组

频数

频率[55，60）

1

130[60，65）

1

130[65，70）

2

230[70，75）

2

230[75，80）

4

430[8