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长风破浪会有时,直挂云帆济沧海。住在富人区的她2023年景德镇陶瓷职业技术学院高职单招(数学)试题库含答案解析(图片大小可自由调整)全文为Word可编辑,若为PDF皆为盗版,请谨慎购买!第1卷一.综合题(共50题)1.(选做题)圆内非直径的两条弦AB、CD相交于圆内一点P,已知PA=PB=4,PC=14PD,则CD=______.答案:连接AC、BD.∵∠A=∠D,∠C=∠B,∴△ACP∽△DBP,∴PAPD=PCPB,∴4PD=14PD4,∴PD2=64∴PD=8∴CD=PD+PC=8+2=10,故为:102.若关于x的不等式(1+k2)x≤k4+4的解集是M,则对任意实常数k,总有(
)
A.
B.
C.
D.,0∈M答案:A3.点O是△ABC内一点,若+=-,则是S△AOB:S△AOC=()
A.1
B.
C.
D.答案:A4.已知P是以F1,F2为焦点的椭圆(a>b>0)上的一点,若PF1⊥PF2,tan∠PF1F2=,则此椭圆的离心率为()
A.
B.
C.
D.答案:D5.附加题选做题B.(矩阵与变换)
设矩阵A=m00n,若矩阵A的属于特征值1的一个特征向量为10,属于特征值2的一个特征向量为01,求实数m,n的值.答案:由题意得m00n10=110,m00n01=201,…6分化简得m=10?n=00?m=0n=2所以m=1n=2.…10分6.已知G是△ABC的重心,过G的一条直线交AB、AC两点分别于E、F,且有AE=λAB,AF=μAC,则1λ+1μ=______.答案:∵G是△ABC的重心∴取过G平行BC的直线EF∵AE=λAB,AF=μAC∴λ=23,μ=23∴1λ+1μ=32+32=3故为37.已知|a|<1,|b|<1,求证:<1.答案:证明略解析:∵<1<1a2+b2+2ab<1+2ab+a2b2a2b2-a2-b2+1>0
(a2-1)(b2-1)>0又|a|<1,|b|<1,∴(a2-1)(b2-1)>0.∴原不等式成立.8.已知圆柱的轴截面周长为6,体积为V,则下列关系式总成立的是()A.V≥πB.V≤πC.V≥18πD.V≤18π答案:设圆柱的底面半径为r,高为h,由题意得:4r+2h=6,即2r+h=3,∴体积为V=πr2h≤π[13(r+r+h)]2=π×(33)2=π当且仅当r=h时取等号,由此可得V≤π恒成立故选:B9.下列各组向量中,可以作为基底的是()A.e1=(0,0),e2=(-2,1)B.e1=(4,6),e2=(6,9)C.e1=(2,-5),e2=(-6,4)D.e1=(2,-3),e2=(12,-34)答案:A、中的2个向量的坐标对应成比例,0-2=01,所以,这2个向量是共线向量,故不能作为基底.B、中的2个向量的坐标对应成比例,46=69,所以,这2个向量是共线向量,故不能作为基底.C中的2个向量的坐标对应不成比例,2-6≠-54,所以,这2个向量不是共线向量,故可以作为基底.D、中的2个向量的坐标对应成比例,212=-3-34,这2个向量是共线向量,故不能作为基底.故选C.10.已知直线3x+4y-3=0与直线6x+my+14=0平行,则它们之间的距离是______.答案:直线3x+4y-3=0即6x+8y-6=0,它直线6x+my+14=0平行,∴m=8,则它们之间的距离是d=|c1-c2|a2+b2=|-6-14|62+82=2,故为:2.11.求由曲线围成的图形的面积.答案:面积为解析:当,时,方程化成,即.上式表示圆心在,半径为的圆.所以,当,时,方程表示在第一象限的部分以及轴,轴负半轴上的点,.同理,当,时,方程表示在第四象限的部分以及轴负半轴上的点;当,时,方程表示圆在第二象限的部分以及轴负半轴上的点;当,时,方程表示圆在第三象限部分.以上合起来构成如图所示的图形,面积为.12.______称为向量;常用
______表示,记为
______,又可用小写字线表示为
______.答案:既有大小,又有方向的量叫做向量;表示方法:①常用有带箭头的线段来表示,记为有向线段AB,②又可用小写字线表示为:a,b,c…,故为:既有大小,又有方向的量;有带箭头的线段,有向线段AB,a,b,c….13.已知F1,F2为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点,过F2作椭圆的弦AB,若△AF1B的周长为16,椭圆的离心率为e=32,则椭圆的方程为______.答案:根据椭圆的定义,△AF1B的周长为16可知,4a=16,∴a=4,∵e=32,∴c=23,∴b=2,∴椭圆的方程为x216+y24=1,故为x216+y24=114.已知,棱长都相等的正三棱锥内接于一个球,某学生画出四个过球心的平面截球与正三棱锥所得的图形,如下图所示,则
A、以上四个图形都是正确的
B、只有(2)(4)是正确的
C、只有(4)是错误的
D、只有(1)(2)是正确的答案:C15.已知a=(1-t,1-t,t),b=(2,t,t),则|b-a|的最小值是______.答案:∵a=(1-t,1-t,t),b=(2,t,t),∴向量b-a=(1+t,2t-1,0)可得向量b-a的模|b-a|=(1+t)2+
(2t-1)2+02=5t2-2t+2∵5t2-2t+2=5(t-15)2+95∴当且仅当t=15时,5t2-2t+2的最小值为95所以当t=15时,|b-a|的最小值是95=355故为:35516.已知圆的极坐标方程ρ=2cosθ,直线的极坐标方程为ρcosθ-2ρsinθ+7=0,则圆心到直线距离为
______.答案:由ρ=2cosθ⇒ρ2=2ρcosθ⇒x2+y2-2x=0⇒(x-1)2+y2=1,ρcosθ-2ρsinθ+7=0⇒x-2y+7=0,∴圆心到直线距离为:d=1-2×0+712+22=855.故为:855.17.已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ),若a、b、c三个向量共面,则实数λ等于
A.
B.
C.
D.答案:D18.给出下列问题:
(1)求面积为1的正三角形的周长;
(2)求键盘所输入的三个数的算术平均数;
(3)求键盘所输入两个数的最小数;
(4)求函数f(x)=2xx2(x≥3)(x<3)当自变量取相应值时的函数值.
其中不需要用条件语句描述的算法的问题有()A.1个B.2个C.3个D.4个答案:(1)求面积为1的正三角形的周长用顺序结构即可,故不需要用条件语句描述;(2)求键盘所输入的三个数的算术平均数用顺序结构即可解决问题,不需要用条件语句描述;(3)求键盘所输入两个数的最小数,由于要作出判断,找出最小数,故本问题的解决要用到条件语句描述;(4)求函数f(x)=2xx2(x≥3)(x<3)当自变量取相应值时的函数值,由于此函数是一个分段函数,所以要用条件结构选择相应的函数解析式,需要用条件语句描述.综上,(3)(4)两个问题要用到条件语句描述,(1),(2)不需要用条件语句描述故选B19.(2的c的•湛江一模)已知⊙O的方程为x2+y2=c,则⊙O上的点到直线x=2+45ty=c-35t(t为参数)的距离的最大值为______.答案:∵直线x=2+45t一=1-35t(t为参数)∴3x+4一=10,∵⊙e的方程为x2+一2=1,圆心为(0,0),设直线3x+4一=k与圆相切,∴|k|5=1,∴k=±5,∴直线3x+4一=k与3x+4一=10,之间的距离就是⊙e上的点到直线的距离的最大值,∴d=|10±5|5,∴d的最大值是155=3,故为:3.20.如右图,一个地区分为5个行政区域,现给地图着色,要求相邻区域不得使用同一颜色,现有4种颜色可供选择,求不同着色方法共有多少种?(以数字作答).答案:本题是一个分类和分步综合的题目,根据题意可分类求第一类用三种颜色着色,由乘法原理C14C41
C12=24种方法;第二类,用四种颜色着色,由乘法原理有2C14C41
C12
C11=48种方法.从而再由加法原理得24+48=72种方法.即共有72种不同的着色方法.21.对任意实数x,y,定义运算x*y=ax+by+cxy,其中a,b,c是常数,等式右边的运算是通常的加法和乘法运算。已知1*2=3,2*3=4,并且有一个非零常数m,使得对任意实数x,都有x*m=x,则m的值是(
)。答案:422.平面向量、的夹角为60°,=(2,0),=1,则=(
)
A.
B.
C.3
D.7答案:B23.已知矩阵A=abcd,若矩阵A属于特征值3的一个特征向量为α1=11,属于特征值-1的一个特征向量为α2=1-1,则矩阵A=______.答案:由矩阵A属于特征值3的一个特征向量为α1=11可得abcd11=311,即a+b=3c+d=3;(4分)由矩阵A属于特征值2的一个特征向量为α2=1-1,可得abcd1-1=(-1)1-1,即a-b=-1c-d=1,(6分)解得a=1b=2c=2d=1,即矩阵A=1221.(10分)故为:1221.24.柱坐标(2,,5)对应的点的直角坐标是
。答案:()解析:∵柱坐标(2,,5),且,2,∴对应直角坐标是()25.求圆Cx=3+4cosθy=-2+4sinθ(θ为参数)的圆心坐标,和圆C关于直线x-y=0对称的圆C′的普通方程.答案:圆Cx=3+4cosθy=-2+4sinθ(θ为参数)
即
(x-3)2+(y+2)2=16,表示圆心坐标(3,-2),半径等于4的圆.C(3,-2)关于直线x-y=0对称的点C′(-2,3),半径还是4,故圆C′的普通方程(x+2)2+(y-3)2=16.26.下面的结构图,总经理的直接下属是()
A.总工程师和专家办公室
B.开发部
C.总工程师、专家办公室和开发部
D.总工程师、专家办公室和所有七个部答案:C27.设p,q是简单命题,则“p且q为真”是“p或q为真”的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:若“p且q为真”成立,则p,q全真,所以“p或q为真”成立若“p或q为真”则p,q全真或真q假或p假q真,所以“p且q为真”不一定成立∴“p且q为真”是“p或q为真”的充分不必要条件故选B28.圆的极坐标方程是ρ=2cosθ+2sinθ,则其圆心的极坐标是()
A.(2,)
B.(2,)
C.(1,)
D.(1,)答案:A29.关于直线a,b,c以及平面M,N,给出下面命题:
①若a∥M,b∥M,则a∥b
②若a∥M,b⊥M,则b⊥a
③若a∥M,b⊥M,且c⊥a,c⊥b,则c⊥M
④若a⊥M,a∥N,则M⊥N,
其中正确命题的个数为()
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个答案:C30.已知a,b为正数,求证:≥.答案:证明略解析:1:∵a>0,b>0,∴≥,≥,两式相加,得≥,∴≥.解析2.≥.∴≥.解析3.∵a>0,b>0,∴,∴欲证≥,即证≥,只要证
≥,只要证
≥,即证
≥,只要证a3+b3≥ab(a+b),只要证a2+b2-ab≥ab,即证(a-b)2≥0.∵(a-b)2≥0成立,∴原不等式成立.【名师指引】当要证明的不等式形式上比较复杂时,常通过分析法寻求证题思路.“分析法”与“综合法”是数学推理中常用的思维方法,特别是这两种方法的综合运用能力,对解决实际问题有重要的作用.这两种数学方法是高考考查的重要数学思维方法.31.随机地向某个区域抛撒了100粒种子,在面积为10m2的地方有2粒种子发芽,假设种子的发芽率为100%,则整个撒种区域的面积大约有______m2.答案:设整个撒种区域的面积大约xm2,由于假设种子的发芽率为100%,所以在面积为10m2的地方有2粒种子发芽,意味着在面积为10m2的地方有2粒种子,从而有:100x=210,∴x=500,故为:500.32.已知=(2,-1,3),=(-1,4,-2),=(7,5,λ),若、、三向量共面,则实数λ等于()
A.
B.
C.
D.答案:D33.为了调查上海市中学生的身体状况,在甲、乙两所学校中各随意抽取了
100名学生,测试引体向上,结果如下表所示:
(1)甲乙两校被测学生引体向上的平均数分别是:甲校______个,乙校______个.
(2)若5个以下(不含5个)为不合格,则甲乙两校的合格率分别为甲校______
乙校______
(3)若15个以上(含15个)为优秀,则甲乙两校中优秀率______校较高(填“甲”或“乙”)
(4)用你所学的统计知识对两所学校学生的身体状况作一个比较.你的结论是______.答案:(1)甲校被测学生引体向上的平均数是=6×3+15×5+44×8+20×11+9×5+6×20100=8.3,乙校被测学生引体向上的平均数是=6×3+11×5+51×8+18×11+8×15+6×20100=9.19;(2)甲校的合格率=15+44+20+9+6100×100%=94%,乙校的合格率=11+51+18+8+6100×100%=94%;(3)甲校中优秀率=9+6100×100%=15%,乙校中优秀率=8+6100×100%=14%,所以甲校较高;(4)虽然合格率相等,但是乙校平均数更高一些,所以乙校更好一些.故为:8.3,9.19,94%,94%,乙校更好一些34.某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析,抽取了总成绩介于350分到650分之间的10000名学生成绩,并根据这10000名学生的总成绩画了样本的频率分布直方图.为了进一步分析学生的总成绩与各科成绩等方面的关系,要从这10000名学生中,再用分层抽样方法抽出200人作进一步调查,则总成绩在[400,500)内共抽出()
A.100人
B.90人
C.65人
D.50人
答案:B35.设O是正△ABC的中心,则向量AO,BO.CO是()
A.相等向量
B.模相等的向量
C.共线向量
D.共起点的向量答案:B36.若曲线的极坐标方程为ρ=2sinθ+4cosθ,以极点为原点,极轴为x轴正半轴建立直角坐标系,则该曲线的直角坐标方程为______.答案:曲线的极坐标方程为ρ=2sinθ+4cosθ,即ρ2=2ρsinθ+4ρcosθ,即x2+y2=2y+4x,化简为(x-2)2+(y-1)2=5,故为(x-2)2+(y-1)2=5.37.(《几何证明选讲》选做题)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,⊙O分别切AC、BC于M、N,圆心O在AB上,⊙O的半径为4,OA=5,则OB的长为______.答案:连接OM,ON,则∵⊙O分别切AC、BC于M、N∴OM⊥AC,ON⊥BC∵∠C=90°,∴OMCN为正方形∵⊙O的半径为4,OA=5∴AM=3∴CA=7∵ON∥AC∴ONAC=OBBA∴47=OBOB+5∴OB=203故为:20338.(考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分)
A.(不等式选做题)不等式|x-5|+|x+3|≥10的解集是______.
B.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,圆ρ=-2sinθ的圆心的极坐标是______.
C.(几何证明选做题)如图,已知圆中两条弦AB与CD相交于点F,E是AB延长线上一点,且DF=CF=22,BE=1,BF=2,若CE与圆相切,则线段CE的长为______.答案:A.∵|x-5|+|x+3|≥10,∴当x≥5时,x-5+x+3≥10,∴x≥6;当x≤-3时,有5-x+(-x-3)≥10,∴x≤-4;当-4<x<5时,有5-x+x+3≥8,不成立;故不等式|x-5|+|x+3|≥10的解集是{x|x≤-4或x≥6};B.由ρ=-2sinθ得:ρ2=-2ρsinθ,即x2+y2=-2y,∴x2+(y+1)2=1,∴该圆的圆心的直角坐标为(-1,0),∴其极坐标是(1,3π2);C.∵DF=CF=22,BE=1,BF=2,依题意,由相交线定理得:AF•FB=DF•FC,∴AF×2=22×22,∴AF=4;又∵CE与圆相切,∴|CE|2=|EB|•|EA|=1×(1+2+4)=7,∴|CE|=7.故为:A.{x|x≤-4或x≥6};B.(1,3π2);C.7.39.在复平面内,复数z=sin2+icos2对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案:∵sin2>0,cos2<0,∴z=sin2+icos2对应的点在第四象限,故选D.40.把下列直角坐标方程或极坐标方程进行互化:
(1)ρ(2cosϑ-3sinϑ)+1=0
(2)x2+y2-4x=0.答案:(1)将原极坐标方程ρ(2cosθ-3sinθ)+1=0展开后化为:2ρcosθ-3ρsinθ+1=0,化成直角坐标方程为:2x-3y+1=0,(2)把公式x=ρcosθ、y=ρsinθ代入曲线的直角坐标方程为x2+y2-4x=0,可得极坐标方程ρ2-4ρcosθ=0,即ρ=4cosθ.41.已知a,b,c∈R,a+2b+3c=6,则a2+4b2+9c2的最小值为______.答案:∵a+2b+3c=6,∴根据柯西不等式,得(a+2b+3c)2=(1×a+1×2b+1×3c)2≤(12+12+12)[a2+(2b)2+(3c)2]化简得62≤3(a2+4b2+9c2),即36≤3(a2+4b2+9c2)∴a2+4b2+9c2≥12,当且仅当a:2b:3c=1:1:1时,即a=2,b=1,c=23时等号成立由此可得:当且仅当a=2,b=1,c=23时,a2+4b2+9c2的最小值为12故为:1242.命题“当AB=AC时,△ABC是等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中,真命题有______个.答案:原命题为真命题.逆命题“当△ABC是等腰三角形时,AB=AC”为假命题.否命题“当AB≠AC时,△ABC不是等腰三角形”为假命题.逆否命题“当△ABC不是等腰三角形时,AB≠AC”为真命题.故为:2.43.某工程队有6项工程需要单独完成,其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行,工程丙必须在工程乙完成后才能进行,有工程丁必须在工程丙完成后立即进行.那么安排这6项工程的不同排法种数是______.(用数字作答)答案:依题意,乙必须在甲后,丙必须在乙后,丙丁必相邻,且丁在丙后,只需将剩余两个工程依次插在由甲、乙、丙丁四个工程之间即可,第一个插入时有4种,第二个插入时共5个空,有5种方法;可得有5×4=20种不同排法.故为:2044.定义xn+1yn+1=1011xnyn,n∈N*为向量OPn=(xn,yn)到向量OPn+1=(xn+1,yn+1)的一个矩阵变换,其中O是坐标原点.已知OP1=(1,0),则OP2010的坐标为______.答案:由题意,xn+1=xnyn+1=xn+yn∴向量的横坐标不变,纵坐标构成以0为首项,1为公差的等差数列∴OP2010的坐标为(1,2009)故为(1,2009)45.已知a>0,b>0且a+b>2,求证:1+ba,1+ab中至少有一个小于2.答案:证明:假设1+ba,1+ab都不小于2,则1+ba≥2,1+ab≥2(6分)因为a>0,b>0,所以1+b≥2a,1+a≥2b,1+1+a+b≥2(a+b)即2≥a+b,这与已知a+b>2相矛盾,故假设不成立(12分)综上1+ba,1+ab中至少有一个小于2.(14分)46.已知函数y=与y=ax2+bx,则下列图象正确的是(
)
A.
B.
C.
D.
答案:C47.如图,△ABC内接于圆⊙O,CT切⊙O于C,∠ABC=100°,∠BCT=40°,则∠AOB=()
A.30°
B.40°
C.80°
D.70°
答案:C48.下列四个散点图中,使用线性回归模型拟合效果最好的是()
A.
B.
C.
D.
答案:D49.求下列函数的定义域及值域.
(1)y=234x+1;
(2)y=4-8x.答案:(1)要使函数y=234x+1有意义,只需4x+1≠0,即x≠-14,所以,函数的定义域为{x|x≠-14}.设y=2u,u=34x+1≠0,则u>0,由函数y=2u,得y≠20=1,所以函数的值域为{y|0<y且y≠1}.(2)由4-8x≥0,得x≤23,所以函数的定义域为{x|x≤23}.因0≤4-8x<4,所以0≤y<2,所以函数的值域为[0,2).50.已知空间两点A(4,a,-b),B(a,a,2),则向量AB=()A.(a-4,0,2+b)B.(4-a,0,-b-2)C.(0,a-4,2+b)D.(a-4,0,-b-2)答案:∵A(4,a,-b),B(a,a,2)∴AB=(a-4,a-a,2-(-b))=(a-4,0,2+b)故选A第2卷一.综合题(共50题)1.设向量a,b,c满足a+b+c=0,a⊥b,且a,b的模分别为s,t,其中s=a1=1,t=a3,an+1=nan,则c的模为______.答案:∵向量a,b,c满足a+b+c=0,a⊥b,∴向量a,b,c构成一个直角三角形,如图∵s=a1=1,t=a3,an+1=nan,∴a21=1,即a2=1,∴a31=2,t=a3=2.∴|c|=1+4=5.故为:5.2.设椭圆的左焦点为F,AB为椭圆中过点F的弦,试分析以AB为直径的圆与椭圆的左准线的位置关系.答案:设M为弦AB的中点(即以AB为直径的圆的圆心),A1、B1、M1分别是A、B、M在准线l上的射影(如图).由圆锥曲线的共同性质得|AB|=|AF|+|BF|=e(|AA1|+|BB1|)=2e|MM1|.∵0<e<1,∴|AB|<2|MM1|,即|AB|2<|MM1|.∴以AB为直径的圆与左准线相离.3.方程x2+ky2=2表示焦点在y轴的椭圆,那么实数k的取值范围是
______.答案:椭圆方程化为x22+y22k=1.焦点在y轴上,则2k>2,即k<1.又k>0,∴0<k<1.故为:0<k<14.用反证法证明某命题时,对结论:“自然数a,b,c中恰有一个偶数”正确的假设为()
A.a,b,c都是奇数
B.a,b,c都是偶数
C.a,b,c中至少有两个偶数
D.a,b,c中至少有两个偶数或都是奇数答案:D5.函数y=ax的反函数的图象过点(9,2),则a的值为______.答案:依题意,点(9,2)在函数y=ax的反函数的图象上,则点(2,9)在函数y=ax的图象上将x=2,y=9,代入y=ax中,得9=a2解得a=3故为:3.6.已知α、β均为锐角,若p:sinα<sin(α+β),q:α+β<π2,则p是q的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:当sinα<sin(α+β)时,α+β<π2不一定成立故sinα<sin(α+β)?α+β<π2,为假命题;而若α+β<π2,则由正弦函数在(0,π2)单调递增,易得sinα<sin(α+β)成立即α+β<π2?sinα<sin(α+β)为真命题故p是q的必要而不充分条件故选B.7.设,,,则P,Q,R的大小顺序是(
)
A.P>Q>R
B.P>R>Q
C.Q>P>R
D.Q>R>P答案:B8.若x~B(3,13),则P(x=1)=______.答案:∵x~B(3,13),∴P(x=1)=C13(13)(1-13)2=49.故为:49.9.电视机的使用寿命显像管开关的次数有关.某品牌电视机的显像管开关了10000次还能继续使用的概率是0.96,开关了15000次后还能继续使用的概率是0.80,则已经开关了10000次的电视机显像管还能继续使用到15000次的概率是______.答案:记“开关了10000次还能继续使用”为事件A,记“开关了15000次后还能继续使用”为事件B,根据题意,易得P(A)=0.96,P(B)=0.80,则P(A∩B)=0.80,由条件概率的计算方法,可得P=P(A∩B)P(A)=0.800.96=56;故为56.10.若方程2ax2-x-1=0在(0,1)内恰有一解,则a的取值范围是______.答案:当a>0时,方程对应的函数f(x)=2ax2-x-1在(0,1)内恰有一解,必有f(0)•f(1)<0,即-1×(2a-2)<0,解得a>1当a≤0时函数f(x)=2ax2-x-1在(0,1)内恰无解.故为:a>111.P为椭圆x225+y216=1上一点,F1,F2分别为其左,右焦点,则△PF1F2周长为______.答案:由题意知△PF1F2周长=2a+2c=10+6=16.12.某海域有A、B两个岛屿,B岛在A岛正东40海里处.经多年观察研究发现,某种鱼群洄游的路线像一个椭圆,其焦点恰好是A、B两岛.曾有渔船在距A岛正西20海里发现过鱼群.某日,研究人员在A、B两岛同时用声纳探测仪发出不同频率的探测信号(传播速度相同),A、B两岛收到鱼群反射信号的时间比为5:3.你能否确定鱼群此时分别与A、B两岛的距离?答案:以AB的中点为原点,AB所在直线为x轴建立直角坐标系设椭圆方程为:x2a2+y2b2=1(a>b>0)且c=a2-b2------(3分)因为焦点A的正西方向椭圆上的点为左顶点,所以a-c=20------(5分)又|AB|=2c=40,则c=20,a=40,故b=203------(7分)所以鱼群的运动轨迹方程是x21600+y21200=1------(8分)由于A,B两岛收到鱼群反射信号的时间比为5:3,因此设此时距A,B两岛的距离分别为5k,3k-------(10分)由椭圆的定义可知5k+3k=2×40=80⇒k=10--------(13分)即鱼群分别距A,B两岛的距离为50海里和30海里.------(14分)13.某工厂生产产品,用传送带将产品送到下一道工序,质检人员每隔十分钟在传送带的某一个位置取一件检验,则这种抽样方法是()A.简单随机抽样B.系统抽样C.分层抽样D.非上述答案答案:本题符合系统抽样的特征:总体中各单位按一定顺序排列,根据样本容量要求确定抽选间隔,然后随机确定起点,每隔一定的间隔抽取一个单位的一种抽样方式.故选B.14.设复数z=x+yi(x,y∈R)与复平面上点P(x,y)对应.
(1)设复数z满足条件|z+3|+(-1)n|z-3|=3a+(-1)na(其中n∈N*,常数a∈
(32
,
3)),当n为奇数时,动点P(x,y)的轨迹为C1;当n为偶数时,动点P(x,y)的轨迹为C2,且两条曲线都经过点D(2,2),求轨迹C1与C2的方程;
(2)在(1)的条件下,轨迹C2上存在点A,使点A与点B(x0,0)(x0>0)的最小距离不小于233,求实数x0的取值范围.答案:(1)方法1:①当n为奇数时,|z+3|-|z-3|=2a,常数a∈
(32
,
3),轨迹C1为双曲线,其方程为x2a2-y29-a2=1;…(3分)②当n为偶数时,|z+3|+|z-3|=4a,常数a∈
(32
,
3),轨迹C2为椭圆,其方程为x24a2+y24a2-9=1;…(6分)依题意得方程组44a2+24a2-9=14a2-29-a2=1⇒4a4-45a2+99=0a4-15a2+36=0
,解得a2=3,因为32<a<3,所以a=3,此时轨迹为C1与C2的方程分别是:x23-y26=1(x>0),x212+y23=1.…(9分)方法2:依题意得|z+3|+|z-3|=4a|z+3|-|z-3|=2a⇒|z+3|=3a|z-3|=a…(3分)轨迹为C1与C2都经过点D(2,2),且点D(2,2)对应的复数z=2+2i,代入上式得a=3,…(6分)即|z+3|-|z-3|=23对应的轨迹C1是双曲线,方程为x23-y26=1(x>0);|z+3|+|z-3|=43对应的轨迹C2是椭圆,方程为x212+y23=1.…(9分)(2)由(1)知,轨迹C2:x212+y23=1,设点A的坐标为(x,y),则|AB|2=(x-x0)2+y2=(x-x0)2+3-14x2=34x2-2x0x+x20+3=34(x-43x0)2+3-13x20,x∈[-23,23]…(12分)当0<43x0≤23即0<x0≤332时,|AB|2min=3-13x20≥43⇒0<x0≤5当43x0>23即x0>332时,|AB|min=|x0-23|≥233⇒x0≥833,…(16分)综上,0<x0≤5或x0≥833.…(18分)15.若点P(-1,3)在圆x2+y2=m2上,则实数m=______.答案:∵点P(-1,3)在圆x2+y2=m2上,∴点P坐标代入,得(-1)2+(3)2=m2,即m2=4,解之得m=±2.故为:±216.①某寻呼台一小时内收到的寻呼次数X;
②长江上某水文站观察到一天中的水位X;
③某超市一天中的顾客量X.
其中的X是连续型随机变量的是()
A.①
B.②
C.③
D.①②③答案:B17.给出20个数:87,91,94,88,93,91,89,87,92,86,90,92,88,90,91,86,89,92,95,88它们的和是()A.1789B.1799C.1879D.1899答案:由题意知本题是一个求和问题,87+91+94+88+93+91+89+87+92+86+90+92+88+90+91+86+89+92+95+88=1799,故选B.18.若点A分有向线段所成的比是2,则点C分有向线段所成的比是()
A.
B.3
C.-2
D.-3答案:D19.已知F1、F2为椭圆x225+y216=1的左、右焦点,若M为椭圆上一点,且△MF1F2的内切圆的周长等于3π,则满足条件的点M有
()个.A.0B.1C.2D.4答案:设△MF1F2的内切圆的内切圆的半径等于r,则由题意可得2πr=3π,∴r=32.由椭圆的定义可得
MF1+MF2=2a=10,又2c=6,∴△MF1F2的面积等于12
(MF1+MF2+2c)r=8r=12.又△MF1F2的面积等于12
2cyM=12,∴yM=4,故M是椭圆的短轴顶点,故满足条件的点M有2个,故选
C.20.已知平面向量=(1,-3),=(4,-2),λ+与垂直,则λ是()
A.1
B.2
C.-2
D.-1答案:D21.圆C1x2+y2-4y-5=0与圆C2x2+y2-2x-2y+1=0位置关系是()
A.内含
B.内切
C.相交
D.外切答案:A22.设双曲线的渐近线方程为2x±3y=0,则双曲线的离心率为______.答案:∵双曲线的渐近线方程是2x±3y=0,∴知焦点是在x轴时,ba=23,设a=3k,b=2k,则c=13k,∴e=133.焦点在y轴时ba=32,设a=2k,b=3k,则c=13k,∴e=132.故为:133或13223.有3名同学要争夺2个比赛项目的冠军,冠军获得者共有______种可能.答案:第一个项目的冠军有3种情况,第二个项目的冠军也有3种情况,根据分步计数原理,冠军获得者共有3×3=9种可能,故为9.24.设集合A={1,2,4},B={2,6},则A∪B等于()A.{2}B.{1,2,4,6}C.{1,2,4}D.{2,6}答案:∵集合A={1,2,4},B={2,6},∴A∪B={1,2,4}∪{2,6}={1,2,4,6},故选B.25.在空间直角坐标系中,点P(2,-4,6)关于y轴对称点P′的坐标为P′(-2,-4,-6)P′(-2,-4,-6).答案:∵在空间直角坐标系中,点(2,-4,6)关于y轴对称,∴其对称点为:(-2,-4,-6),故为:(-2,-4,-6).26.在调试某设备的线路设计中,要选一个电阻,调试者手中只有阻值分别为0.7KΩ,1.1KΩ,1.9KΩ,2.0KΩ,3.5KΩ,4.5KΩ,5.5KΩ七种阻值不等的定值电阻,他用分数法进行优法进行优选试验时,依次将电阻值从小到大安排序号,则第1个试点的电阻的阻值是(
).答案:3.5kΩ27.已知||=2,||=,∠AOB=150°,点C在∠AOB内,且∠AOC=30°,设(m,n∈R),则=()
A.
B.
C.
D.答案:B28.如图,在半径为7的⊙O中,弦AB,CD相交于点P,PA=PB=2,PD=1,则圆心O到弦CD的距离为______.答案:由相交弦定理得,AP×PB=CP×PD,∴2×2=CP•1,解得:CP=4,又PD=1,∴CD=5,又⊙O的半径为7,则圆心O到弦CD的距离为d=r2-(CD2)2=7-(52)2=32.故为:32.29.某校欲在一块长、短半轴长分别为10米与8米的椭圆形土地中规划一个矩形区域搞绿化,则在此椭圆形土地中可绿化的最大面积为()平方米.
A.80
B.160
C.320
D.160答案:B30.设直线l与平面α相交,且l的方向向量为a,α的法向量为n,若<a,n>=,则l与α所成的角为()
A.
B.
C.
D.答案:C31.复数32i+11-i的虚部是______.答案:复数32i+11-i=32i+1+i(1-i)(1+i)=32i+1+i2=12+2i∴复数的虚部是2,故为:232.在极坐标系中,直线l经过圆ρ=cosθ的圆心且与直线ρcosθ=3平行,则直线l与极轴的交点的极坐标为______.答案:由ρ=cosθ可知此圆的圆心为(12,0),直线ρcosθ=3是与极轴垂直的直线,所以所求直线的极坐标方程为ρcosθ=12,所以直线l与极轴的交点的极坐标为(12,0).故为:(12,0).33.半径为1、2、3的三个圆两两外切.证明:以这三个圆的圆心为顶点的三角形是直角三角形.
答案:证明:设⊙O1、⊙O2、⊙O3的半径分别为1、2、3.因这三个圆两两外切,故有O1O2=1+2=3,O2O3=2+3=5,O1O3=1+3=4,则有O1O22+O1O32=32+42=52=O2O32根据勾股定理的逆定理,得到△O1O2O3为直角三角形.34.如图,已知C点在圆O直径BE的延长线上,CA切圆O于A点,∠ACB的平分线分别交AE、AB于点F、D.
(Ⅰ)求∠ADF的度数;
(Ⅱ)若AB=AC,求ACBC的值.答案:解
(1)∵AC为圆O的切线,∴∠B=∠EAC,又CD是∠ACB的平分线,∴∠ACD=∠DCB,∴∠B+∠DCB=∠EAC+∠ACD,即∠ADF=∠AFD.又∵BE为圆O的直径,∴∠BAE=90°,∴∠ADF=12(180°-∠BAE)=45°(2)∵∠B=∠EAC,∠ACE=∠BCA,∴△ACE∽△BCA又∵AB=AC,∴∠B=∠ACB,∴∠B=∠ACB=∠EAC,由∠BAE=90°及三角形内角和知,∠B=30°,∴在Rt△ABE中,ACBC=AEBA=tan∠B=tan30°=3335.棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上,E,F分别是棱AA1,DD1的中点,则直线EF被球O截得的线段长为()
A.
B.1
C.1+
D.答案:D36.直线(t为参数)被圆x2+y2=9截得的弦长为()
A.
B.
C.
D.答案:B37.已知P(x,y)是椭圆x24+y2=1上的点,求M=x+2y的取值范围.答案:∵x24+y2=1的参数方程是x=2cosθy=sinθ(θ是参数)∴设P(2cosθ,sinθ)(4分)∴M=x+2y=2cosθ+2sinθ=22sin(θ+π4)
(7分)∴M=x+2y的取值范围是[-22,22].(10分)38.对于回归方程y=4.75x+2.57,当x=28时,y
的估计值是______.答案:∵回归方程y=4.75x+2.57,∴当x=28时,y的估计值是4.75×28+2.57=135.57.故为:135.57.39.赋值语句n=n+1的意思是()
A.n等于n+1
B.n+1等于n
C.将n的值赋给n+1
D.将n的值增加1,再赋给n,即n的值增加1答案:D40.(选做题)(几何证明选讲选做题)如图,直角三角形ABC中,∠B=90°,AB=4,以BC为直径的圆交AC边于点D,AD=2,则∠C的大小为______.答案:∵∠B=90°,AB=4,BC为圆的直径∴AB与圆相切,由切割线定理得,AB2=AD?AC∴AC=8故∠C=30°故为:30°41.直线和圆交于两点,则的中点
坐标为(
)A.B.C.D.答案:D解析:,得,中点为42.求下列函数的定义域及值域.
(1)y=234x+1;
(2)y=4-8x.答案:(1)要使函数y=234x+1有意义,只需4x+1≠0,即x≠-14,所以,函数的定义域为{x|x≠-14}.设y=2u,u=34x+1≠0,则u>0,由函数y=2u,得y≠20=1,所以函数的值域为{y|0<y且y≠1}.(2)由4-8x≥0,得x≤23,所以函数的定义域为{x|x≤23}.因0≤4-8x<4,所以0≤y<2,所以函数的值域为[0,2).43.欲对某商场作一简要审计,通过检查发票及销售记录的2%来快速估计每月的销售总额.现采用如下方法:从某本50张的发票存根中随机抽一张,如15号,然后按序往后将65号,115号,165号,…发票上的销售额组成一个调查样本.这种抽取样本的方法是()A.简单随机抽样B.系统抽样C.分层抽样D.其它方式的抽样答案:∵总体的个体比较多,抽样时某本50张的发票存根中随机抽一张,如15号,这是系统抽样中的分组,然后按序往后将65号,115号,165号,…发票上的销售额组成一个调查样本.故选B.44.在下列各图中,每个图的两个变量具有线性相关关系的图是()
A.(1)(2)
B.(1)(3)
C.(2)(4)
D.(2)(3)答案:D45.已知原点O(0,0),则点O到直线4x+3y+5=0的距离等于
______.答案:利用点到直线的距离公式得到d=|5|42+32=1,故为1.46.某学校准备调查高三年级学生完成课后作业所需时间,采取了两种抽样调查的方式:第一种由学生会的同学随机对24名同学进行调查;第二种由教务处对年级的240名学生编号,由001到240,请学号最后一位为3的同学参加调查,则这两种抽样方式依次为()A.分层抽样,简单随机抽样B.简单随机抽样,分层抽样C.分层抽样,系统抽样D.简单随机抽样,系统抽样答案:学生会的同学随机对24名同学进行调查,是简单随机抽样,对年级的240名学生编号,由001到240,请学号最后一位为3的同学参加调查,是系统抽样,故选D47.平面α的一个法向量为v1=(1,2,1),平面β的一个法向量为为v2=(-2,-4,10),则平面α与平面β()A.平行B.垂直C.相交D.不确定答案:∵平面α的一个法向量为v1=(1,2,1),平面β的一个法向量为v2=(-2,-4,10),∵v1•v2=1×(-2)+2×(-4)+1×10=0∴v1⊥v2,∴平面α⊥平面β故选B48.已知向量OA=(2,3),OB=(4,-1),P是线段AB的中点,则P点的坐标是()A.(2,-4)B.(3,1)C.(-2,4)D.(6,2)答案:由线段的中点公式可得OP=12(OA+OB)=(3,1),故P点的坐标是(3,1),故选B.49.下列命题中,错误的是()
A.平行于同一条直线的两个平面平行
B.平行于同一个平面的两个平面平行
C.一个平面与两个平行平面相交,交线平行
D.一条直线与两个平行平面中的一个相交,则必与另一个相交答案:A50.长为3的线段AB的端点A、B分别在x轴、y轴上移动,,则点C的轨迹是()
A.线段
B.圆
C.椭圆
D.双曲线答案:C第3卷一.综合题(共50题)1.若(1+2)5=a+b2(a,b为有理数),则a+b=()A.45B.55C.70D.80答案:解析:由二项式定理得:(1+2)5=1+C512+C52(2)2+C53(2)3+C54(2)4+C55?(2)5=1+52+20+202+20+42=41+292,∴a=41,b=29,a+b=70.故选C2.已知复数z0=1-mi(m>0),z=x+yi和,其中x,y,x',y'均为实数,i为虚数单位,且对于任意复数z,有w=.z0•.z,|w|=2|z|.
(Ⅰ)试求m的值,并分别写出x'和y'用x、y表示的关系式:
(Ⅱ)将(x、y)用为点P的坐标,(x'、y')作为点Q的坐标,上述关系式可以看作是坐标平面上点的一个变换:它将平面上的点P变到这一平面上的点Q.已知点P经该变换后得到的点Q的坐标为(3,2),试求点P的坐标;
(Ⅲ)若直线y=kx上的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上,试求k的值.答案:(I)由题设得,|w|=|.z0•.z|=|z0||z|=2|z|,∴|z0|=2,由1+m2=4,且m>0,得m=3,∴z0=1-3i,∵w=.z0•.z,∴x′+y′i=.(1-3i)•.(x+yi))=(1+3i)(x-yi)=x+3y+(3x-y)i,由复数相等得,x′=x+3yy′=3x-y,(Ⅱ)由(I)和题意得,x+3y=33x-y=2,解得x=343y=14
,即P点的坐标为(343,14).
(Ⅲ)∵直线y=kx上的任意点P(x,y),其经变换后的点Q(x+3y,3x-y)仍在该直线上,∴3x-y=k(x+3y),即(3k+1)y=(3-k)x∵当k=0时,y=0,y=3x不是同一条直线,∴k≠0,于是3k+11=3-kk,即3k2+2k-3=0,解得k=33或k=-33.若向量、、满足++=,=3,=1,=4,则等于(
)
A.-11
B.-12
C.-13
D.-14答案:C4.若直线l:ax+by=1与圆C:x2+y2=1有两个不同交点,则点P(a,b)与圆C的位置关系是(
)
A.点在圆上
B.点在圆内
C.点在圆外
D.不能确定答案:C5.设a=0.7,b=0.8,c=log30.7,则()
A.c<b<a
B.c<a<b
C.a<b<c
D.b<a<c答案:B6.已知点D是△ABC的边BC的中点,若记AB=a,AC=b,则用a,b表示AD为______.答案:以AB,AC为临边作平行四边形ACEB,连接其对角线AE、BC交与点D,易知D是△ABC的边BC的中点,且D是AE的中点,如图:由向量的平行四边形法则可得AB+AC=a+b=AE=2AD,解得AD=12(a+b),故为:AD=12(a+b)7.三棱锥P-ABC中,M为BC的中点,以为基底,则可表示为()
A.
B.
C.
D.答案:D8.椭圆的两个焦点坐标是()
A.(-3,5),(-3,-3)
B.(3,3),(3,-5)
C.(1,1),(-7,1)
D.(7,-1),(-1,-1)答案:B9.直线y=3x+3的倾斜角的大小为______.答案:∵直线y=3x+3的斜率等于3,设倾斜角等于α,则0°≤α<180°,且tanα=3,∴α=60°,故为60°.10.若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示,则这个棱柱的体积为()A.123B.363C.273D.6答案:此几何体为一个三棱柱,棱柱的高是4,底面正三角形的高是33,设底面边长为a,则32a=33,∴a=6,故三棱柱体积V=12?62?32?4=363.故选B11.证明空间任意无三点共线的四点A、B、C、D共面的充分必要条件是:对于空间任一点O,存在实数x、y、z且x+y+z=1,使得OA=xOB+yOC+zOD.答案:(必要性)依题意知,B、C、D三点不共线,则由共面向量定理的推论知:四点A、B、C、D共面⇔对空间任一点O,存在实数x1、y1,使得OA=OB+x1BC+y1BD=OB+x1(OC-OB)+y1(OD-OB)=(1-x1-y1)OB+x1OC+y1OD,取x=1-x1-y1、y=x1、z=y1,则有OA=xOB+yOC+zOD,且x+y+z=1.(充分性)对于空间任一点O,存在实数x、y、z且x+y+z=1,使得OA=xOB+yOC+zOD.所以x=1-y-z得OA=(1-y-z)OB+yOC+zOD.OA=OB+yBC+zBD,即:BA=yBC+zBD,所以四点A、B、C、D共面.所以,空间任意无三点共线的四点A、B、C、D共面的充分必要条件是:对于空间任一点O,存在实数x、y、z且x+y+z=1,使得OA=xOB+yOC+zOD.12.给定两个长度为1且互相垂直的平面向量OA和OB,点C在以O为圆心的圆弧AB上变动.若OC=2xOA+yOB,其中x,y∈R,则x+y的最大值是______.答案:由题意|OC|=1,即4x2+y2=1,令x=12cosθ,y=sinθ则x+y=12cosθ+sinθ=(12)2+1sin(θ+φ)≤52故x+y的最大值是52故为:5213.已知点A(3,0),B(0,3),C(cosα,sinα),O(0,0),若,α∈(0,π),则与的夹角为()
A.
B.
C.
D.答案:D14.若一辆汽车每天行驶的路程比原来多19km,则该汽车在8天内行驶的路程s(km)就超过2200km;若它每天行驶的路程比原来少12km,则它行驶同样的路程s(km)就得花9天多的时间。这辆汽车原来每天行驶的路程(km)的范围是(
)
A.(259,260)
B.(258,260)
C.(257,260)
D.(256,260)答案:D15.在坐标平面内,与点A(1,2)距离为1,且与点B(3,1)距离为2的直线共有()A.1条B.2条C.3条D.4条答案:分别以A、B为圆心,以1、2为半径作圆,两圆的公切线有两条,即为所求.故选B.16.如图,把椭圆x225+y216=1的长轴AB分成8等份,过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1,P2,P3,P4,P5,P6,P7七个点,F是椭圆的一个焦点,则|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|=______.答案:如图,把椭圆x225+y216=1的长轴AB分成8等份,过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1,P2,P3,P4,P5,P6,P7七个点,F是椭圆的一个焦点,则根据椭圆的对称性知,|P1F1|+|P7F1|=|P1F1|+|P1F2|=2a,同理其余两对的和也是2a,又|P4F1|=a,∴|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|=7a=35,故为35.17.若21-i=a+bi(i为虚数单位,a,b∈R),则a+b=______.答案:∵21-i=2(1+i)(1-i)(1+i)=2(1+i)2=1+i,∵21-i=a+bi∴a+bi=1+i∴a=b=1∴a+b=2.故为:218.抛物线y2=4x的焦点坐标为()
A.(0,1)
B.(1,0)
C.(0,2)
D.(2,0)答案:B19.设集合A={1,2},则满足A∪B={1,2,3}的集合B的个数是()A.1B.3C.4D.8答案:A={1,2},A∪B={1,2,3},则集合B中必含有元素3,即此题可转化为求集合A={1,2}的子集个数问题,所以满足题目条件的集合B共有22=4个.故选择C.20.方程组的解集是[
]A.{5,1}
B.{1,5}
C.{(5,1)}
D.{(1,5)}答案:C21.方程(x2-9)2(x2-y2)2=0表示的图形是()
A.4个点
B.2个点
C.1个点
D.四条直线答案:D22.将6位志愿者分成4组,每组至少1人,分赴世博会的四个不同场馆服务,不同的分配方案有______种(用数字作答).答案:由题意,六个人分为四组,若有三个人一组,则四组人数为3,1,1,1,则不同的分法为C63=20种,若存在两人一组,则分法为2,2,1,1,不同的分法有C26×C24A22=45分赴世博会的四个不同场馆服务,不同的分配方案有(20+45)×A44=1560种故为:1560.23.已知求证:答案:证明见解析解析:证明:24.已知=1-ni,其中m,n是实数,i是虚数单位,则m+ni=(
)
A.1+2i
B.1-2i
C.2+i
D.2-i答案:C25.已知△ABC的顶点坐标为A(3,4),B(-2,-1),C(4,5),D在BC上,且S△ABC=3S△ABD,则AD的长为______.答案:D在BC上,且S△ABC=3S△ABD,∴D点为BC边上的三等分点则D点分线段BC所成的比为12则易求出D点坐标为:x=-2+12×41+12y=-1+12×51+12∴x=0y=1故AD=32故为:3226.在数列{an}中,a1=2,an+1=λan+λn+1+(2-λ)2n(n∈N+).(Ⅰ)求a2,a3,a4,并猜想数列{an}的通项公式(不必证明);(Ⅱ)证明:当λ≠0时,数列{an}不是等比数列;(Ⅲ)当λ=1时,试比较an与n2+1的大小,证明你的结论.答案:(Ⅰ)∵a1=2,∴a2=λa1+λ2+2(2-λ)=λ2+4,同理可得,a3=2λ3+8,a4=3λ4+16,猜想an=(n-1)λn+2n.(Ⅱ)假设数列{an}是等比数列,则a1,a2,a3也成等比数列,∴a22=a1•a3⇒(λ2+4)2=2(2λ3+8)⇒λ4-4λ3+8λ2=0,∵λ≠0,∴λ2-4λ+8=0,即(λ-2)2+4=0,但(λ-2)2+4>0,矛盾,∴数列{an}不是等比数列.(Ⅲ)∵λ=1,∴an=(n+1)+2n,∴an-(n2+1)=2n-(n2-n+2),∵当n=1,2,3时,2n=n2-n+2,∴an=n2+1.当n≥4时,猜想2n>n2-n+2,证明如下:当n=4时,显然2k>k2-4+2假设当n=k≥4时,猜想成立,即2k>k2-k+2,则当n=k+1时,2k+1=2•2k>2(k2-k+2),∵2(k2-k+2)-[(k+1)20-(k+1)+2]=(k-1)(k-2)>0∴2k+1>2(k2-k+2)>(k+1)2-(k+1)+2,∴当n≥4时,猜想2n>n2-n+2成立,∴当n≥4时,an>n2+1.27.直线l过椭圆x24+y23=1的右焦点F2并与椭圆交与A、B两点,则△ABF1的周长是()A.4B.6C.8D.16答案:根据题意结合椭圆的定义可得:|AF1|+|AF2|=2a=4,,并且|BF1|+|BF2|=2a=4,又因为|AF2|+|BF2|=|AB|,所以△ABF1的周长为:|AF1|+|BF1|+|AB|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=8.故选C.28.节假日时,国人发手机短信问候亲友已成为一种时尚,若小李的40名同事中,给其发短信问候的概率为1,0.8,0.5,0的人数分别是8,15,14,3(人),通常情况下,小李应收到同事问候的信息条数为()
A.27
B.37
C.38
D.8答案:A29.点(2a,a-1)在圆x2+y2-2y-4=0的内部,则a的取值范围是()
A.-1<a<1
B.0<a<1
C.-1<a<
D.-<a<1答案:D30.北京期货商会组织结构设置如下:
(1)会员代表大会下设监事会、会长办公会,而会员代表大会于会长办公会共辖理事会;
(2)会长办公会设会长,会长管理秘书长;
(3)秘书长具体分管:秘书处、规范自律委员会、服务推广委员会、发展创新委员会.
根据以上信息绘制组织结构图.答案:绘制组织结构图:31.若点P(a,b)在圆C:x2+y2=1的外部,则直线ax+by+1=0与圆C的位置关系是()
A.相切
B.相离
C.相交
D.相交或相切答案:C32.已知直线l经过点P(3,1),且被两平行直线l1;x+y+1=0和l2:x+y+6=0截得的线段之长为5,求直线l的方程.答案:解法一:若直线l的斜率不存在,则直线l的方程为x=3,此时与l1、l2的交点分别为A′(3,-4)或B′(3,-9),截得的线段AB的长|AB|=|-4+9|=5,符合题意.若直线l的斜率存在,则设直线l的方程为y=k(x-3)+1.解方程组y=k(x-3)+1x+y+1=0得A(3k-2k+1,-4k-1k+1).解方程组y=k(x-3)+1x+y+6=0得B(3k-7k+1,-9k-1k+1).由|AB|=5.得(3k-2k+1-3k-7k+1)2+(-4k-1k+1+9k-1k+1)2=52.解之,得k=0,直线方程为y=1.综上可知,所求l的方程为x=3或y=1.解法二:由题意,直线l1、l2之间的距离为d=|1-6|2=522,且直线L被平行直线l1、l2所截得的线段AB的长为5,设直线l与直线l1的夹角为θ,则sinθ=5225=22,故θ=45°.由直线l1:x+y+1=0的倾斜角为135°,知直线l的倾斜角为0°或90°,又由直线l过点P(3,1),故直线l的方程为:x=3或y=1.解法三:设直线l与l1、l2分别相交A(x1,
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