第2章 电路的分析方法

第2章电阻电路的分析方法2.1电路的化简与等效2.2电阻星形连接与三角形连接的等效变换2.3等效电路及等效电阻2.4电路的拓扑图及电路方程的独立性2.5支路法2.6网孔电流法和回路电流法2.7结点电压法2.8应用——万用表2.1电路的化简与等效一、电阻的串联+_R1Rn+_u2i+_u1+_unuR2ab1、电路特点:(2)总电压等于各串联电阻的电压之和(KVL)。(1)各电阻顺序相联，流过同一电流(KCL)。2.1.1电阻的串联和并联2、等效电阻由KVL和欧姆定律得：串联电路的总电阻等于各分电阻之和。

+_R1Rn+_u2i+_u1+_unuR2ab+_Reqiuab3、串联电路的分压公式串联电阻上电压的分配与电阻成正比。两个电阻串联的分压公式：R1u1uR2u2i+–++––两个电导G1和G2串联的等效电阻是多少？思考二、电阻的并联+_R1Rni2ii1inuR2ab1、电路特点:(1)各电阻两端分别接在一起，两端为同一电压(KVL)；(2)总电流等于流过各并联电阻的电流之和(KCL)。i=i1+i2+

…+in2、等效电导由KCL和欧姆定律得：+_Geqiuab+_G1Gni2ii1inuG2ab并联电路的总电导等于各个并联电导之和。

3、并联电路的分流公式并联电阻上电流的分配与电导成正比。两个电阻并联的分流公式：R2i1i2R1ui+–三、电阻的串并联(混联)R1R2R3R4Req如：电路中有电阻的串联，又有电阻的并联，这种联接方式称电阻的串并联（或简称混联）。关键在于识别各电阻的串联、并联关系！四、电桥电路R1R2R4R3us+_Rgig当Rg中的电流ig为零时,达到电桥平衡。R1R3=

R2R4（相对桥臂的乘积相等）电桥平衡的条件：R1R2R4R3us+_R1R2R4R3us+_例1求等效电阻Rab、Rcd。等效电阻针对电路的某两端而言，否则无意义。15655abcd解例2：求等效电阻Rab。4010040ab20202020100ab4040练习：求等效电阻Rab。10410ab4710107ab442.1.2独立源的串联和并联一、独立电压源的串联等效电路us2+_+_us1_+usn+_us注意：各电压源前面的符号！当usk和us的参考方向相同时，前面取正号；当usk和us的参考方向相反时，前面取负号。只有电压相等极性一致的电压源才能并联,否则违背KVL。各电压源中的电流不确定。二、独立电流源的并联等效电路注意：各电流源前面的符号！当isk和is的参考方向相同时，前面取正号；当isk和is的参考方向相反时，前面取负号。iS1iS2iSniS只有电流相等且方向一致的电流源才能串联,否则违背KCL。各电流源两端的电压不确定。2.1.3实际电源的两种模型及其等效变换柴油机组汽油机组蓄电池各种形式的电源设备图干电池2.1.3实际电源的两种模型及其等效变换所谓的等效是指端口的伏安关系保持不变。u=uS

–Rii=iS

–Gui=uS/R

–u/R比较可得等效的条件：iS=uS/R

G=1/R端口特性：电压源模型R+usu+–iGu+–iiS电流源模型由电压源变换为电流源：由电流源变换为电压源：i+_uSR+u_i+_uSR+u_iiSG+u_iiSG+u_①电压源和电流源的等效关系只对外电路而言，对电源内部则是不等效的。注意例：当RL=时，即电源开路i=0，电压源的内阻R中不损耗功率，而电流源的内阻G中则损耗功率。R+usu+–iGu+–iiS②等效变换时，两电源的参考方向要一一对应。

电压源正极性的一端与电流源流出的一端相对应。③理想电压源与理想电流源之间无等效关系。RabiSGab+uSRabiSGab+uS④实际的受控源也可按此方法进行，但在变换过程中必须保存控制量所在支路，而不要把它消掉了。Rab+u1Rab例1:求下列各电路的等效电路。解:(a)a+–5V32U+与理想电压源并联的元件对外电路不起作用，即变换时可把它除去（断开）；与理想电流源串联的元件对外电路无影响，变换时可用一根短路线代替。(b)aU5A23b+a+2V5VU+b2(c)++–abU25V(a)+5A(b)aU3b+a+5VUb(c)+例2:解：试用电压源与电流源等效变换的方法计算图示电路中1电阻中的电流I。I2A624V4+12A36VI2A3+624V4+1I4A224V4+1I24V4+18V2+I1A412A4I2A624V4+12A3I1A412A4I13A2例3:解：求如图所示电路中的电压U12。I1A822I2+U1221I1A824I2+U1221+I1A8I4+U1221控制量所在的支路应保留！I1A8I4+U1221对结点1列KCL方程有：解得：I=0.5AU12=8I=4V2.2电阻星形连接与三角形连接的等效变换Rab电阻形连接Y-等效变换电阻Y形连接Rabcbadcbad312R1R3R2i1i2i3R12R31R23i1i2312i3等效变换的条件：

对应端流入或流出的电流(i1、i2、i3)一一相等，对应端间的电压(u12、u23、u31)也一一相等。经等效变换后，不影响其它部分的电压和电流。电阻形连接Y-等效变换电阻Y形连接312R1R3R2i1i2i3R12R31R23i1i2312i3据此可推出两者的关系条件电阻形连接Y-等效变换电阻Y形连接312R1R3R2i1i2i3R12R31R23i1i2312i3一、三角形变为星形的公式电阻形连接电阻Y形连接312R1R3R2i1i2i3R12R31R23i1i2312i3二、星形变为三角形的公式电阻Y形连接312R1R3R2i1i2i3电阻形连接R12R31R23i1i2312i3Y形联接等效变换为形联结时：若R1=R2=R3=RY时，有R12=R23=R31=R=3RY；

将形联接等效变换为Y形联结时：若R12=R23=R31=R时，有R1=R2=R3=RY=R/3电阻形连接Y-等效变换电阻Y形连接312R1R3R2i1i2i3R12R31R23i1i2312i3例1：求图示电路的总电阻R12。R12=2.68R1221222111R1212110.40.40.82R1210.82.41.412R1212.6822.3等效电路及等效电阻一、定义等效电阻二、计算方法（1）如果一端口内部仅含电阻，则应用电阻的串、并联和Y—变换等方法求它的等效电阻；（2）对含有受控源和电阻的二端网络，用外加电源法。Nui+Nusi+外加电压源法在端口加电压源，求电流在端口加电流源，求电压Nisu+外加电流源法注意：电压、电流的参考方向！例1:解：用外加电压源法求如图所示一端口的输入电阻Req。i112i421+uSi'解得：说明:(1)对于含受控源的电路，只能采用外加电源法求输入电阻。(2)含受控源的电路，其输入电阻可能为负值。(3)受控源在电路中的作用相当于电阻。例2:解：用外加电压源法求如图所示一端口的输入电阻Req。+uS解得：R2i21R1R3iR2R2i21R1R3i++uSi1i2例2:解：求如图所示一端口的输入电阻Rin。+uSR2i21R1R3i讨论:

(1)当时，Rin为负电阻，则此电路将发出功率。(2)当时，Rin为正电阻，则此电路将吸收功率。

(3)当=0时，R221R1R3i=0练习：求如图所示一端口的伏安关系式。+10V1k0.5ii+u1k答案：u=10+1.5×103i2.4电路的拓扑图及电路方程的独立性（2）根据（KCL、KVL、VCR）建立变量的独立方程组（即电路方程）；（1）选取电路变量；

复杂电路分析方法的基本步骤:（3）求解电路变量。2.4.1网络图论的初步知识一、电路的图(1)若把每一个元件作为一条支路R5R1R2R4R3uS5+_R6iS2——由结点(点)和支路(线段)所组成，用G表示。56324156324178当用不同的结构或内容来定义电路的一条支路时，电路的图以及它的结点数和支路数也不同。(2)元件的串联及并联组合作为一条支路1、图(Graph)G={支路，结点}从图G的一个结点出发沿着一些支路连续移动到达另一结点所经过的支路构成路径。3、路径2、有向图标有各支路参考方向的图（电压、电流一般取关联参考方向）563241无向图563241有向图4、连通图图G的任意两结点之间至少有一条路径的图称为连通图，否则称为非连通图。5、子图若图G1中所有支路和结点都是图G中的支路和结点，则称G1是G的子图。二、回路(Loop)所经过的结点都相异的闭合路径。2、回路1、闭合路径若一条路径的起点和终点重合，就构成一条闭合路径。3241（1，2，3，1）（1，2，3，4，1）（1，2，3，4，2，1）回路闭合路径不一定是回路一定是三、树(Tree)树是连通图的一个子图满足下列条件：(1)连通的(2)包含全部结点(3)不包含回路树是连接全部结点所需的最小支路的集合。563241621T1T2631341T35634141一个连通图有很多不同的树1、树支：属于树T的支路连支：属于图G但不属于树T的支路563241621T1（1，2，6）为树支（3，4，5）为连支对于结点数为n，支路数为b的连通图，

树支数bt=n1连支数bl

=bbt=bn+12、单连支回路（基本回路）：仅含一条连支的回路例：563241621621621435单连支回路组（基本回路组）：全部单连支回路构成单连支回路一定是独立回路不一定是独立回路数=连支数=bn+1例：图示为电路的图，画出两种树及其对应的基本回路。8754123654368543n=5，b=8l=bn+1=4四、割集(CutSet)连通图G的一个割集是一组支路集合，它满足下列条件：(1)移去该集合中的所有支路，图G将分成两个部分；(2)当少移去其中任一支路时，图G仍是连通的。563241属于同一割集的所有支路电流应满足KCL。2、割集可以借助作闭合面的方法确定。c1(1，2，6)c2(1，4，5)c3(3，4，6)1、定义思考：支路集合(1，5，4，6)和(1，2，3，4，6)是割集吗？对应于一组线性独立的KCL方程的割集称独立割集。3、单树枝割集(或基本割集)563241可以借助树来确定独立割集。621单树枝割集：由树枝和相应的一些连枝构成的割集。54c1(1，4，5)62143c2(3，4，6)62135c3(2，3，5)选择(1，2，6)为树单树枝割集一定是独立割集不一定是独立割集数=树支数=n-

1例：图示为电路的图，若选择支路(1,7,8,6)为树，写出其基本割集组。87541236c1(1，3，5)875412368754123687541236c2(7，5，3，2)c3(8，4，5，3，2)c4(6，3，5，4)五、平面图和网孔对平面图而言，没有其他支路穿过的回路。2、网孔1、平面图画在平面上不出现交叉的电路。平面图非平面图对于平面图有：网孔数=独立回路数=bn+12.4.2KCL的独立方程数563241①④③②以上只有3个是独立的。对于具有n个结点，b条支路的电路,独立的KCL方程为(n-1)个。借助割集列独立的KCL方程563241①④③②选择(1，2，6)为树c1c2c3规定：树枝的方向为割集的方向，流出为正，流入为负。树选取恰当，割集的KCL方程可以成为结点的KCL方程。2.4.3KVL的独立方程数563241123KVL的独立方程数=基本回路数=b－(n－1)例：选择基本回路如图对于具有n个结点，b条支路的电路,独立的KVL方程为(b-n+1)个。图论小结：图G点和线集合电路模型图F表示有向图G连通图G平面图G图G分解树的角度割集角度回路角度树枝连枝n-1b-n+1回路基本回路b-n+1确定独立的KVL方程割集基本割集n-1确定独立的KCL方程P48习题

2-2；2-5；2-7；2-9；本章作业(1)：希望同学独立作业，认真完成！2.5支路电流法

(branchcurrentmethod)一、2b法：以支路电流和支路电压为电路独立变量的解题方法。2b法的一般步骤：(1)选取b个支路电压和b个支路电流为变量；(2)应用KCL对(n–1)个独立结点列写支路电流方程；(3)应用KVL对b–(n–1)个独立回路列写支路电压方程；(5)求解2b个变量。(4)应用VCR列b个支路方程；例1：用2b法列电路的方程。n1：–I1–I2+

I3=0l1：U1+U3=0l2：–U2–U3=0解：R2+-R1Us1I1I212U1-+-+U201R3I3+-U3+-Us2b1：U1

=R1I1–Us1b2：U2

=R2I2–Us2b3：U3

=R3I3二、支路电流法——以支路电流为电路独立变量的解题方法。支路电流法的一般步骤：(1)标定各支路电流的参考方向；(2)应用KCL对(n–1)个独立结点列写支路电流方程；(3)应用KVL和VCR对b–(n–1)个独立回路列写以支路电流为变量的回路方程；(4)求解上述方程，得到b个支路电流；(5)进一步计算支路电压和进行其它分析。当电流方向与回路方向一致时，Rkik前面取“+”，否则取“–”。当电压源与回路方向一致时，usk前面取“–”，否则取“+”。例2：用支路电流法求各支路电流。对结点1：–I1–I2+

I3=0对网孔1：对网孔2：I1R1+I3R3=Us1I2R2+I3R3=Us2代入数据得：I1+I2–I3=020I1+6I3=140

5I2+6I3=90解得：I1=4A，I2=6A，I3=10A解：01+-Us2R2+-R3R1Us1I1I3I212140V90V6205校验：取未用过的回路，用KVL进行校验。I1R1–I2R2+US2–US1=0代入数据是正确的。例3列出如图所示电路的支路电流方程。对(n-1)个独立结点列KCL方程支路数b=6结点数n=4(2)对(b-n+1)个独立回路列KVL方程n1：

–

I1+

I2+IG=0l1：IGRG–I3R3+I1R1=0n2：

–

I2–I4+I

=0n3

：

+

I1+I3-

I

=0l2：I2R2–

I4R4–IGRG=0l3：I4R4+I3R3–Us=0解：l21302Us–+GR3R4R1R2I2I4IGI1I3IRGl1l3例3列出如图所示电路的支路电流方程。支路电流法是电路分析中最基本的方法之一，但当支路数较多时，所需方程的个数较多，求解不方便。解得：当IG=0时有：R2R3=R1R4(电桥平衡的条件)1302Us–+GR3R4R1R2I2I4IGI1I3IRG例4列写支路电流方程。(电路中含有理想电流源)n1：–I1–I2+I3=0(1)列n–1=1个KCL方程：解法一：(2)列b–(n–1)=2个KVL方程：l2：11I2+7I3=

Ul1：7I1–11I2=70–U增补方程：I2=6A由于I2已知，故只列写两个方程n1：–I1+I3=6避开电流源支路取回路：7I1＋7I3=70170V6A0+–I1711I27I3170V6A0+–I1711I27I312U+–解法二：2.6网孔电流法和回路电流法2.6.1网孔电流法一、网孔电流：沿任一网孔流动的假想电流。im1①0+–i1i2i3+–R1uS1uS2R2R3im2(1)网孔电流自动满足了KCL。(2)各个网孔电流彼此独立（不能用KCL联系）——独立性(3)各个支路电流等于流过该支路的各网孔电流的代数和

——完备性i1=im1，

i2=im1–im2，

i3=im2(4)以网孔电流为变量列出的方程是独立的。——以网孔电流为电路独立变量的解题方法。二、网孔电流方程的推导(1)选取网孔电流(2)对各网孔列KVL方程。m1：R1im1+R2(im1-im2)=uS1-uS2m2：R2(im2-im1)+R3im2=uS2整理得：(R1+R2)

im1-R2im2=uS1-uS2-R2im1+(R2+R3)

im2=uS2——网孔电流方程im1①0+–i1i2i3+–R1uS1uS2R2R3im2R11im1+R12im2=uS11R21im1+R22im2=uS22具有两个网孔的平面电路的网孔电流方程的一般形式：R11——网孔1的自阻，等于回路1中所有电阻之和。R22——网孔2的自阻，等于回路2中所有电阻之和。自阻总为正。R12和R21——网孔1和网孔2之间的互阻。当两个网孔电流流过相关支路方向相同时，互阻取正号；否则为负号。当电路不含受控源时，R12=R21uS11——网孔1中所有电压源电压的代数和。uS22——网孔2中所有电压源电压的代数和。当电压源的参考方向与该网孔方向一致时，取负号；反之取正号。对于具有m个网孔的平面电路，网孔电流方程的一般形式为:R11im1+R12im1+…+R1m

imm=uS11…R21im1+R22im1+…+R2mimm=uS22Rm1im1+Rm2im1+…+Rmmimm=uSmm其中:Rjk:互阻+:流过互阻两个网孔电流方向相同-:流过互阻两个网孔电流方向相反0:无关Rkk:自阻(为正)uSmm：网孔m中所有电压源电压的代数和。当电压源的参考方向与该网孔方向一致时，取负号；反之取正号。当电路不含受控源时，Rjk=Rkj例1：列出如图所示电路的网孔电流方程。im1im2+–R2+–R1uS1uS5R5R3–uS2+R4R6–uS6+im3解：(1)选取网孔电流如图所示(2)列网孔电流方程m1：(R1+R2+R3)im1-R3im2–R2im3=uS1-uS2m2：-R3im1+(R3+R4+R5)im2–R4im3=-uS5m3：-R2im1–R4im2+(R2+R4+R6)im3=uS2-uS62.6.2回路电流法回路电流法：以回路电流为电路独立变量的解题方法。选择基本回路作为独立回路，则其连支电流就是回路电流。563241①④③②n=4，b=6l=bn+1=3462135il1il2il3(1)回路电流自动满足了KCL。(2)各个回路电流彼此独立（不能用KCL联系）——独立性(3)各个支路电流等于流过该支路的各回路电流的代数和

——完备性i1=–il1–il3，

i2=–il2–il3，

i3=il3i4=il1，

i5=il3，i6=il2–il1回路电流是一组独立完备的电路变量。462135il1il2il3若选择(4，6，3)为树，则回路成为网孔。回路电流法特例网孔电流法推广563241①④③②网孔电流法仅适用于平面电路，回路电流法则适用于平面或非平面电路。例2：若选取如图所示的回路，列出电路的回路电流方程。il1il2+–R2+–R1uS1uS5R5R3–uS2+R4R6–uS6+il3解：l1：(R1+R2+R3)il1-R3il2+R1il3=uS1-uS2l2：-R3il1+(R3+R4+R5)il2+R5il3=-uS5l3：R1i11+R5il2+(R1+R5+R6)il3=uS1-uS6–uS5一、受控源支路的处理处理原则：(1)先把受控源看作独立电源按上述方法列方程;(2)再把受控源的控制量用回路电流表示。il1il2例3列出如图所示电路的回路电流方程。(2)对各回路列回路电流方程l1：(R1+R2)il1-R2il2=uS1l2：-R2il1+(R2+R3)il2=-uR1补充方程：uR1=-R1il1+–+–R1uS1R3R2uR1+–uR1解：(1)选取回路电流如图所示代入整理得：

l2：-(R2+R1)il1+(R2+R3)il2=0在含有受控源的电路中，互阻不再相等。二、纯电流源支路(无电阻与电流源并联)的处理方法一：

选取回路电流时，只让一个回路电流流过电流源il1il3+–+–R1uS1R5R4uS5R3iS2il2例3列出如图所示电路的回路电流方程。(2)对各回路列回路电流方程l1：il1=iS2l2：-R1il1+(R1+R3+R4)il2-R4il3=uS1解：(1)选取回路电流如图所示l3：-R4il2+(R4+R5)il3=-uS5二、纯电流源支路(无电阻与电流源并联)的处理方法二：(1)把电流源两端的电压作为变量列方程；(2)增加一个回路电流的附加方程。il3+–+–R1uS1R5R4uS5R3iS2例3列出如图所示电路的回路电流方程。(2)对各回路列回路电流方程l1：R1il1=uS1-ul2：(R3+R4)il2-R4il3=u解：(1)选取回路(网孔)电流如图所示,电流源两端的电压为u。l3：-R4il2+(R4+R5)il3=-uS5il2il1iS2=il2-il1–+u补充方程：例4：求电路中电压U，电流I和电压源发出的功率。4V2IU312A2A+–3A–+I1I2I3I4(2)对各回路列回路电流方程l1：I1=2Al2：I2=2A解：(1)选取回路电流如图所示l3：I3=3Al4：-3I1+I2–(3+1)I3+(3+1+2)I4=–4解得：I4=2AI=I1+I3–I4=3AU=2I4+4

=8V电压源发出的功率：P=–4I4=–8W例5：列出如图所示电路的回路电流方程。(2)对各回路列回路电流方程l1：(R1+R3)

I1-R3I3=-U2l2：R2I2=U2–U3解法一：(1)选取网孔作为回路如图所示,并设电流源两端的电压为U2和U3。l3：-R3I1+(R3+R4+R5)I3-R5I4=0IS=I1-I2补充方程：l4：-R5I3+R5I4=U3–U1gU1=I4-I2U1=-R1I1+_U1gU1R2U1_+ISR1R3R4R5I1I2I3I4_+U2_+U3例5：列出如图所示电路的回路电流方程。(2)对各回路列回路电流方程l1：

I1=ISl2：-R3I1+(R3+R4+R5)I2

-R5I3+R4I4=0解法二：(1)选取回路电流时只让一个电流流过纯电流源支路，如图所示。l3：I3=gU1补充方程：l4：R1I1+R4I2+(R1+R2+R4)I4=–U1U1=-R1(I1+I4)+_U1gU1R2U1_+ISR1R3R4R5I1I2I3I4回路电流法的一般步骤：(1)选定l=b-(n-1)个独立回路，并确定其绕行方向；(2)按一般公式列回路电流方程，注意自阻总是正的，互阻的正负由相关的回路电流通过公共支路的参考方向决定；同时要注意电压源前面的正负号。(3)对于含受控源或纯电流源支路的情况需另行处理。(4)对于平面电路，可用网孔电流法。2.7结点电压法结点电压法：以结点电压为电路独立变量的解题方法。一、结点电压：任意选择参考结点，其它结点与参考结点的电压差即是结点电压(位)，方向为从独立结点指向参考结点。(1)结点电压自动满足了KVL。(2)各个结点电压彼此独立（不能用KVL联系）——独立性(3)各个支路电压等于相应结点电压的代数和。——完备性u1=un1，u2=un2，u3=un3，u4=un1un2，u5=un2un3，u6=un1un3对任一回路均有：u=0(4)以结点电压为变量列出的方程是独立的。5632410①②③un1un2un3二、结点电压方程的推导1、选取结点电压i1i2i4+–R1uS1R3R5iS2+–uS5iS3R4i5i3①0②2、对(n-1)个独立结点列KCL方程。n1：i1-i2+i4+i5=0n2：i3-i4-i5=03、利用VCR，把各支路电流用结点电压表示出来。代入整理得：二、结点电压方程的推导i1i2i4+–R1uS1R3R5iS2+–uS5iS3R4i5i3①0②——结点电压方程G11un1+G12un2=iS11G21un1+G22un2=iS22具有两个独立结点的电路的结点电压方程的一般形式：G11——结点1的自导，等于连接到结点1的全部电导之和。G22——结点2的自导，等于连接到结点2的全部电导之和。G12和G21——结点1和结点2的互导。注意：(1)自导总为正，互导总是负的。在计算自导和互导时，各独立电源处于零状态。(2)当电路不含受控源时，G12=G21iS11——流入结点1的电流源(或电压源等效变换形成的电流源)电流的代数和。iS22——流入结点2的电流源(或电压源等效变换形成的电流源)电流的代数和。当电流源的参考方向指向该结点时，前面取“+”号；反之取“”号。当电压源的参考正极性接到该结点时，前面取“+”号；反之取“”号。G11un1+G12un2=iS11G21un1+G22un2=iS22具有两个独立结点的电路的结点电压方程的一般形式：对于具有n个独立结点的电路，结点电流方程的一般形式