第1章概率与随机过程(应用随机过程,陈萍)

应用随机过程第1章概率论基础与随机过程的基本概念教师:陈萍prob123@1

随机过程通常被视为概率论的动态部分,在概率论中研究的随机现象,都是在概率空间上的一个或有限多个随机变量的规律性.但在实际问题中,我们还需要研究一些随机现象的发展和变化过程,即随时间不断变化的随机变量,这就是随机过程所要研究的对象.引言2课程的主要内容概率论基础与随机过程的基本概念泊松过程与更新过程马尔科夫链鞅与Brown运动

随机微分方程

3参考书陈萍等编，随机数学，国防工业出版社，2008林元烈,应用随机过程,清华大学出版社,2002Bernt

ksendalStochasticD如果ferentialEquations,Springer-Verlag,1998陈萍等编，概率与统计，科学出版社，2006工程数学--积分变换4随机试验是概率论的基本概念,一个试验(或观察)，若它的结果预先无法确定，则称之为随机试验;试验的所有可能结果所组成的集合称为样本空间，记为;试验的每一个结果或样本空间的元素称为一个样本点,记为ω;由一个样本点组成的单点集称为一个基本事件,也记为ω.

由Ω中的若干子集构成的集合称为集类，用花写字母A，B，F等表示．由于并不是在所有的Ω的子集上都能方便地定义概率，一般只限制在满足一定条件的集类上研究概率性质，为此引入域(代数)的概念：5定义

1.1.1

设F是空间上的集类，称F为-代数（域）（

-algebra）,若满足:①∈F;②F∈FFC∈F；③A1,A2,…∈FAi∈F注:如果F是-代数,则F对F上的所有集合运算封闭；且对极限运算封闭，如：A1,A2,…∈FAi∈F,A1,A2,…∈Fand

AnAA∈F,A1,A2,…∈Fand

AnAA∈F6例1.1.1几个常见的-代数：1）称{,}为最“粗”的-代数，而称()={的所有子集}为最“细”的-代数；2）设A

，则{,,A,Ac}是-代数；3）设F1，F2是的子集组成的两个-代数，令

F3=F1F2，则F3也为-代数；4）设是实数域Rn，是由Rn上的一切开集生成的-代数，称之为Borel代数，B中的元素称为Borel集.7定义1.1.2设U

是由

的子集构成的集类

.称包含U.的最小-代数,即为由U生成的-代数（

the-algebrageneratedbyU.）定义1.1.3设F为空间的子集组成的代数，称二元组

(,F)为可测空间（measurablespace）;的任一子集F称为F-可测（F-measurable）的,如果F∈F.8定义1.1.4设(,F)为可测空间，μ为定义在F上取非负实数R+=[0,+]的函数，即μ:

F

R+，若μ()=0;

若A1,A2,…∈F,且

{Ai}i≧1

两两不交，则特别，（1）当μ()=1时，称μ为概率测度(probabilitymeasure),记为P，并称(,F,P)为概率空间(probabilityspace).此时称F可测集A为事件，A的测度P(A)称为事件A发生的概率。则称μ为可测空间(,F)上的测度(measure)，且称(,F,μ)为测度空间(measurespace).9(2)当=R，F=B为R上的Borel代数，测度μ使得开区间的测度等于区间的长度,即若A=(a.b),则μ(A)=b-a时,称μ为Lebesgue测度.(3）在可测空间(R,B)上，f是单调不减的连续函数，在B上定义测度μ为称μ为Lebesgue-Stieltjes测度.事件的概率刻画了事件出现可能性的大小．概率的基本性质如下：1）有限可加性：设{Ai,i=1,…,n}为两两互不相容的事件列，则102）单调性：A,BF,且AB,则P(A)P(B)

；3）减法公式：A,BF,则P(B-A)=P(B)-P(AB)；4）下（上）连续性：设{An,n1}F,若An↓A,则P(An)↓P(A);若An↑A,(n→∞),则P(An)↑P(A);5）Jordan公式：设{Ai,i=1,…,n}为事件列，则11定义1.1.5设(,F)与（E，E）为可测空间,函数X:→E称为F-可测的（F-measurable）,如果对任意UE，特别，若(,F,P)为概率空间，(E,E)=（Rn，B)，则可测函数X称为n维随机变量（随机变量）;易证，集类仍为代数，称为由随机变量X生成的代数，记作

.显然，X是(X)可测的，且(X)是使X可测的最小代数。任一随机变量X，都可以导出(Rn,B)上的测度，称为X的分布，即12定理1.1.6设X,Y为→Rn的函数.则Y是(X)-可测的，当且仅当存在Borel可测函数g:Rn→Rn使得Y=g(X)定理1.1.4设X,Y为F-可测函数,则X+c,cX,|X|,X2,X+Y,X/Y均为可测函数.定理1.1.5设{fn}是F-可测函数列,则以下定义的4个函数h,g,f*,f*F-可测。可测函数的性质131.1.3独立性定义1.1.10设(,F,P)为概率空间，称两事件A，B是独立的（independent）如果若A={Hi;i=1,2,..}是由可测集类

Hi组成的集族，称A是独立的，如果对任意不同的i1,…,ik称随机变量族{Xi;i=1,2,…}是独立的，如果生成-代数族{(Xi),i=1,2,…}是独立的.14定理1.1.7.设(,F,P)为概率空间,若Ct,t∈T为独立的-类,则(Ct),t∈T为独立的-代数.推论2.设(,F,P)为概率空间,若{Xt,t∈T}为独立的随机变量族

,{gt,t∈T}为Borel可测函数族，则{gt(Xt),t∈T}独立.推论1.设(,F,P)为概率空间,若{Ai,i=1,…,m,m+1,…,m+n}为m+n个独立的事件

,g,h表示两个事件运算，则g(A1,…,Am)与h(Am+1,…,Am+n)独立.注：称集类C为类，若满足A,BCABC15定义1.3.1定义在可测空间(,F)上的函数X()称为是简单函数（simple）,如果存在有限个两两互不相容的可测集{F1,...,Fn}以及有限个实数{a1,...,an}满足：

1.2.1可积性的定义16

在经典概率论中，连续型随机变量X的期望定义为（Riemann

积分）：其中

称为概率密度函数.离散型随机变量X的期望定义为§1.2随机变量的期望可否给出期望的统一定义？…17Riemann积分:

考虑对示性函数的积分：其中A是[0，1]区间的有理数集

若要函数可积，必须上和等于下和-----连续函数或几乎处处连续的有界函数上和始终为

1,下和始终为

0…18

[0，1]区间的有理数集是可数的,即,

1.对示性函数,定义关于Lebesgue测度的积分为

2.对于简单函数:1.2.1Lebesgue

积分19引理：设

f(x）为上的非负可测函数则存在简单函数序列满足.其中于是可以定义

f(x)的Lubesgue积分为

事实上…20引理证明:

f(x):

上的非负可测函数

a1=“区间”

(如果

f(x)连续)21引理证明:a1a222引理证明:a1a2a1重复以上过程,总可以构造出简单函数序列hn(x)converging收敛到f(x).………..证毕！23Lebesgue积分

4.对于上的可测函数f,其中于是，当时，定义

f(x)的Lubesgue积分为24Lebesgue积分的性质:

Lebesgue

积分有所有Riemann积分的性质：c:constant如果如果AB=25定义1.3.1定义在可测空间(,F)上的函数X()称为是简单函数（simple）,如果存在有限个两两互不相容的可测集{F1,...,Fn}以及有限个实数{a1,...,an}满足：1.2.2关于测度的积分26引理1.2.1设(,F)为可测空间，X为非负可测函数，则1)则存在非负递增简单可测函数列{Xn,n1}，使得积分的定义i)对于(,F,μ)上的简单函数，称X是可积的，如果μ(Fi)<,i=1,…,n，X的积分定义为27ii)如果X()是非负实值可测函数，{Xn}为非负简单函数列，满足0XnX.则X的积分（integral）定义为iii)如果X()实值可测函数，则X的积分定义为其中28注:若X:→Rn,则29在计算积分时，改变积分区域有时可以带来很大的方便，这在微积分中是熟知的，在一般的测度论中，也有类似的结果，这就是重要的积分变换定理.定理1.2.1设f为测度空间(,F,μ)到可测空间(R,E）上的可测映射，g为定义在(R,E）上的可测函数，则其中，.这里等号的意义是上式在两端之一有意义时成立.30若则称为X的期望(w.r.t.P).其中设X为概率空间(,F,P)上的n维随机变量，1.2.3期望31更一般地,若g:Rn→R为Boreal可测函数，则*Lr空间

(,F,P)上所有r阶矩存在的随机变量组成的集合构成线性空间，称为Lr空间。即X∈Lr,如果E|X|r<∞.*记L∞为所有a.s.有界的随机变量组成的集合。*当1≦r<∞时，Lr

为Banach空间.32设X:R

为随机变量，满足E[|X|]<,

若AF且

P(A)=0，则(2)设Y:R

为随机变量满足E[|Y|]<,且XY,a.s.则E[X]E[Y].

期望的性质(3)设X:R

为随机变量满足E[|X|]<,且X0a.s.,则E[X]=0当且仅当X=0a.s.;若X>0a.s.,则E[X]>0.33(4)设X:R

为随机变量满足E[|X|]<,则对A,BF且AB=.(5)设两个随机变量X,Y:R独立，且E[X]<,E[Y]<，则E[XY]=E[X]E[Y],34(a)(Chebychev’s不等式)设X:Rn为随机变量，满足E[|X|P]<,0<p<.则1.2.4不等式(b)(Jensen不等式)设X为R上可积的随机变量,g(.)是连续凸函数.如果E[|g(X)|]<,则E[g(X)]g[E(X)].例如.E[|X|]|E[X]|;E[X2]{E[X]}2注：凸函数g(.)满足g(px+(1-p)y)pg(x)+(1-p)g(y),x,yRn,p[0,1]35(c)(Holder不等式)设p,q为大于1的实数，满足1/p+1/q=1,且设fLp，gLq,则(d)(矩不等式)设0<s<t为实数,X为随机变量，则(e)(Minkowski’s不等式)设p为大于1的实数,f,g属于Lp,则f+gLp,且注:当0<p<1时,E|f+g|p

E|f|p+E|g|p361.3随机变量序列的收敛性定义1.3.1(a)称{Xn,n=1,2,…}依概率P收敛于X，若对于任意>0，(b)若,则称{Xn,n=1,2,…}依概率1收敛或强收敛于X,记为设{Xn,n=1,2,…}是概率空间(,F,P)上的随机变量序列.X是随机变量。记为37

(c)设随机变量序列满足其中r>0为常数，若,则称

{Xn,n=1,2,…}r阶收敛于X，记为

(d)称{Xn,n=1,2,…}依分布收敛于X,如果记为特别，当时，称{Xn,n=1,2,…}均方收敛于X，记为38定理1.3.1

设{Xn,n=1,2,…}是概率空间(,F,P)上的随机变量序列，X是随机变量.1)2)如果子列{Xn’}使或则3)如果则且存在{Xn}的Borel-Canteli引理设,且满足，则39定理1.3.2(单调收敛定理):设0≤Xn↑X,a.s.或依概率,则E[Xn]→E[X]*Fato引理设E[Xn]存在,(n=1,2,...)i)若Xn

X,a.s.且X可积,则存在,且ii)若Xn

≦X,a.s.且X可积,

则存在,且定理1.3.3(控制收敛定理):设|Xn|≤Ya.s.(n=1,2,...),Y可积,如果或则401.2.5大数定律及中心极限定理1.切比雪夫大数定律

设{Xk,k=1,2,...}为独立的随机变量序列，且有相同的数学期望，及方差2>0，则即若任给>0,使得412.柯尔莫哥洛夫强大数定律设{Xn,n=1.2,...}是独立的随机序列,且则有3.

若{Xk,k=1.2,...}为独立同分布随机变量序列,EXk=<,k=1,2,…则证明参见冯予，陈萍，概率论与数理统计，第5章424.

Levy-Lindeberg中心极限定理设{Xn}为独立同分布随机变量序列，若EXk=<，DXk=2<，k=1,2,…,则5.DeMoivre-Laplace中心极限定理设随机变量n(n=1,2,...)服从参数为n,p(0<p<1)的二项分布，则436.

Lindeberg中心极限定理设{Xn，n=1,2,…}为独立随机变量序列，满足Lindeberg条件:其中Fk(x)是Xk的分布函数，，则对x一致地有447.

Liapounov中心极限定理设{Xn，n=1,2,…}为独立随机变量序列，若存在δ>0,使得则对x一致地有其中45§1-4条件期望1.关于事件B的条件期望定义1.4.1设(,F,P)为概率空间，A，BF，P(B)≠0,称**PB为F上的概率测度即:(,F,PB)为概率空间.为已知事件B的条件下，事件A的条件概率。46设(,

F,P)为概率空间,P(B)>0,为随机变量,如果在概率空间

(,F,PB)下的期望存在,则称之为关于事件B的条件期望，记作E(|B).注:设=A,则Lemma1.4.2472.关于代数C的条件期望构造性定义:设{Bn,n=1,2,...}为的可数分割，C={Bn,n=1,2,...},设为所有期望存在的随机变量组成的集合，称E(|

C)=∑[E(|Bn)]Bn

为关于C的条件期望。例如：设若在X=x条件下，Y的条件密度为且则48例1将一硬币抛2次,所有可能结果为={HH;HT;TH;TT}.以F1表示由第一次抛掷结果生成的代数:H={HH;HT},T={TH;TT},F1={H,T}.设X为定义在上的随机变量:X(HH)=3,X(HT)=X(TH)=2,X(TT)=1.E(X|F1)=?解49定理1.4.3

E(|C)关于C可测，且EX已知随机变量X的分布律为且知在{X=x}的条件下,随机变量Y的条件密度为p(y|x).且设E|Y|<∞,求证:--全期望公式.50描述性定义定义1.4.4条件期望E(|C)是到Rn的函数，满足

E(|C)关于C可测.(2)补充:设与为(,F),上的-有限测度，称为关于绝对连续的,如果(A)=0则(A)=0.记作<<.Radon-Nikodym定理设和

都是可测空间(,F)上的有限测度，若<<，则存在唯一的非负函数XL1(,F,)，使得51补充:Radon-Nikodym定理设与为(,F),上的-有限测度，称为关于绝对连续的,如果(A)=0则(A)=0.记作<<.Radon-Nikodym定理设和

都是可测空间(,F)上的有限测度，若<<，则存在唯一的非负函数XL1(,F,)，使得52条件期望的性质设，η是随机变量,E,Eη,E(|C),E(η|C)存在.E(|C)=E(+|C)-E(-|C)a.s.如果关于

C可测,则

E(|C)=a.s.对任意实数a,E(a|C)=aa.s.如果与

C独立,则

E(|C)=Ea.s.如果关于

C可测，E存在,则E(|C)=E(|C)a.s.53(6)设CC1F,则E(E(|C)|C1)=E(|C)a.s.如果E(|C1)存在，则E(E(|C1)|

C)=E(|C)a.s(7)若,a.s.则E(|C)E(|C).a.s.(8)设a,bR,则E(a+b|C)=aE(|C)+bE(|C)a.s.EX证明wald等式:设{Xi,i=1,2,…}为独立随机变量序列,具有相同的数学期望E(Xi)=μ,i=1,2,….。又设N是取正整数值的随机变量,E(N)<且{N≤n}{Xi,i≤n}.则10706*54条件单调收敛定理:如果0≤Xn↑X,a.s.或pr则E[Xn|C]→E[X|C]a.s.或pr.条件Fato引理:设E[Xn|C]存在,(n=1,2,...)i)如果Xn

X,a.s.且X可积,则ii)如果Xn

≦X,a.s.且X可积,则条件收敛55条件有界收敛定理:设|Xn|≤Ya.s.(n=1,2,...)且Y可积,如果或则56(a)(条件

Jensen不等式)设g(.)为连续凸函数.如果E[g(X|C

)]<,则E[g(X)|C

]g[E(X|C

)].

条件不等式(e)(条件

Holder不等式)设p,q为大于1的实数，满足1/p+1/q=1,如果fLp

gLq,则57(g)(条件

Minkowski’s不等式)设p>1,f,g

Lp,则f+gLp,且(b)(条件矩不等式)设0<s<t，XLt,则58EX3设保险公司在给定[0,t]时段内发生的索赔次数N(t)服从参数为λt的Poisson分布,各次索赔额是相互独立且与N(t)独立随机变量,服从正态分布,求[0,t]时段内总索赔额的期望.1071*591.4特征函数与正态随机变量一.母函数，矩母函数定义1.4.1设随机变量X的分布律为称为X的母函数.记实变数s的实函数为60母函数有如下性质:3.设独立,且,则4.若X的n阶矩存在,则其母函数的k(kn)阶导数存在(|s|1),且X的k阶矩可由母函数在s=1的各阶导数表示,如615.(反演公式)设随机变量X的分布律为母函数为则分布律可由下式给出:62设,求证:X的母函数是,(1)利用矩母函数的性质求X的前4阶原点矩.(2)利用矩母函数的性质证明:两个独立poisson分布随机变量的和仍然服从poisson分布.EX63三、特征函数的定义1.复随机变量与特征函数(1)复随机变量:若X与Y都是概率空间(,F，P)上的实值随机变量，则Z=X+iY称为复值随机变量，其中;规定EZ=EX+iEY

(2)特征函数:设X是实随机变量，则称为X的特征函数。64（3）设{X

(t)，tT}为随机过程，称为{X

(t)，tT}的n维特征函数；称为{X

(t)，tT}的有穷维特征函数族。

由于r.v.的特征函数与分布函数有一一对应关系，所以，可以通过随机过程的有穷维特征函数族来描述它的概率特性。652、几个常用随机变量的特征函数(1)单点分布:若X~P{X=c}=1，则(t)=eitc；(2)二项分布B(n,p):若(3)泊松分布P():若则则66(4)正态分布N(,2):若则

易知，已知一个随机变量的概率分布可计算出它的特征函数，反之亦然。事实上，在特征函数理论中，有逆转公式和唯一性定理。

因此，可认为：随机变量的概率分布与它的特征函数是一一对应的。67逆转公式:设x1,x2是分布函数F(x)的连续点,则进一步,若特征函数于R上绝对可积,则X是连续型随机变量,且其概率密度f(x)为唯一性定理:分布函数F1(x)及F2(x)恒等的充要条件是它们的特征函数1(t)与2(t)恒等.683、特征函数的性质(1)|(t)|(0)=1；(2)共轭对称性：(3)特征函数(t)在(，)上一致连续；(4)若Y=aX+b，则(5)若X、Y独立，Z=X+Y，则(6)若EXn存在，则(t)可以微分n次，且69四、随机向量的特征函数

1、定义设随机向量X=(X1,…,Xn)’，则对任意n个实数t1,…,tn

：称为n维随机向量X的n维特征函数。n维特征函数也有逆转公式和唯一性定理，由n维特征函数也可以唯一地确定随机向量X的概率分布。702、n维特征函数的性质(1)|(t1,···,tn)|(0,···,0)=1；(2)共轭对称性：(3)特征函数(t1,···,tn)在n维欧氏空间Rn上一致连续；(4)k维随机向量X=(X1,···,Xk)’的特征函数为(0<k<n)(6)X1,···,Xn相互独立(5)若Y=a1X1+···+anXn，则

Y(t)=(a1t,···,ant)；71三、正态随机向量及其性质设X=(X1,···,Xn)’为n维随机向量，x=(x1,···,xn)’为n维实向量，若X的概率密度为则称X是n维正态随机向量，它服从n维正态分布。记为XN

n(,B)。72定理n维正态分布的特征函数为其中t是n维实参数向量。n维正态分布还可如下定义：若n维随机向量X具有形如（）式的特征函数，则称X服从n维正态分布。（）注意：对|B|=0的情形这个定义仍有意义，而前面从密度函数出发定义的n维正态分布此时却没有意义。故，用n维特征函数定义的n维正态分布更为一般。不过，|B|=0时的正态分布称为退化的；否则，称为非退化的。73正态随机向量的性质(1)n维正态随机向量X=(X1,···,Xn)’的m(m<n)个分量构成的随机向量(2)设X=(X1,···,Xn)’为n维正态随机向量，则随机向量X1,···,Xn相互独立是一个m维正态随机向量。即n维正态随机向量任何分量仍为正态随机向量。(3)X=(X1,···,Xn)’~N

n(,B)的充分必要条件是，对任意n个常数l1,···,ln，74(4)设X=(X1,···,Xn)’~N

n(,B)，又m维随机向量Y=CX，其中C=(cij)mn，则Y服从m维正态分布N

m(C,CBC’)。EX设X1,…,Xn是独立同分布的标准正态随机变量.设,其中A为正交阵.试证:Y1,…,Yn

也是独立同分布的标准正态随机变量.75定义1.5.10设(,F,P)为概率空间，(E,E)为可测空间，TR，若，且t给定时，Xt关于F可测，则称为(,F,P)上取值于E的随机过程.此时,Xt()表示在时刻t系统的状态。称(E,E)为相空间或状态空间；称T为参数集或时间域；通常取或1.5随机过程的基本概念

1.5.1

随机过程的概念与举例

76数学解释：可认为{X

(,t)，tT}是定义在T上的二元函数。当t固定时，X(,t)是r.v.(stat)，当固定时，X(,t)是定义在T上的普通函数，称为随机过程的样本函数或轨道(path)，样本函数的全体称为样本函数空间。77几个实例1.某地某日一昼夜气温的变化情况{X(t),0<t<24},X(t)表示t时刻的气温。2.通讯技术中，接收机热噪声电压随时间的变化过程{V(t),t>0}3.股票行情，{P(t),t>0}.P(t)表示某时刻某种股票的价格，4.某路公交车的客流情况{(X(t),Y(t));t0<t<t1},(X(t),Y(t))表示t时刻起点与终点站的候车人数.5.纺纱机纺出一条长为l的细纱,由于纺纱过程中随机因素的干扰，它各处的横截面直径是不同的，记X(u)是坐标为u处横截面的直径，0<u<l78随机过程可按时间(参数)是连续的或离散的分为两类:(1)若T是有限集或可列集时,则称为离散参数随机过程或随机序列.(2)若T是有限或无限区间时,则称为连续参数随机过程.随机过程,也可按任一时刻的状态是连续型随机变量或离散型随机变量分为两类:(1)若对于任意都是离散型随机变量,称为离散型随机过程；79如下表所示：类别1234T离散YYNNE离散YNYN(2)若对于任意都是连续型随机变量,称为连续型随机过程.80例1.指出以下过程的类型1.利用抛一枚硬币的试验,定义2。随机相位正弦波3.某路公交车的客流情况{(X(t),Y(t));t0<t<t1},(X(t),Y(t))表示t时刻起点与终点站的候车人数81定义1.5.1

设{Xt，tT}

为(,F,P)(E,E)随机过程，令其中F1×...,×FkE.称为随机过程{Xt，tT}

的有限维分布族.1.5.2随机过程的数字特征及有限维分布族特别,对于一维随机过程{X

(t),tT}任意nZ+和t1,···,tn

T，随机向量（X

t1

,···,X

tn)’的分布函数全体称为{Xt，tT}的有穷维分布函数族。82若对,随机向量有密度函数,则这些密度函数的全体称为{Xt，tT}的有穷维密度函数族。若对,随机向量是离散型的,则这些分布律的全体称为{Xt，tT}的有穷维概率分布族。83随机过程的有限维分布满足下面的两个性质：(1)对称性：对于1,2,…,n的任意排列(1),(2),…,(n)有(2)相容性：对于任意的自然数k,m,反之，(Kolmogorov’s扩张定理).对一切性质(1)(2)的概率测度，则存在概率空间(,F,P)

及定义在

上取值于E的随机过程{Xt}，使得令为Ek上满足以上84例2.求随机过程的一维密度函数.这里b是常数,X是标准正态随机变量.解:(1)当cosbt≠0时,由X(t)=Xcosbt,X~N(0,1)知X(t)~N(0,cos2bt),则X(t)的一维密度函数为(2)当cosbt=0时,X(t)不存在一维密度函数.85定义1.5.2给定随机过程{Xt,tT},给定t,（1）随机变量Xt的均值或数学期望与t有关,记为称X(t)为随机过程Xt的均值函数(Mean)称为随机过程{Xt,tT},的均方值函数.（2）随机变量Xt的二阶原点矩86（3）随机变量Xt的方差称为随机过程{Xt,tT},的方差函数(Varance)(4)设Xt1和Xt2是随机过程{Xt,tT}在任意二个时刻t1和t2时的状态.称Xt1和Xt2的二阶混合原点矩为随机过程{Xt,tT}的自相关函数(correlation),简称相关函数.87（5）称Xt1和Xt2的二阶混合中心矩为随机过程{Xt,tT}的自协方差函数covaricance,简称协方差函数.(6)对于两个随机过程{Xt,tT},{Yt,tT}，若对任意t

T，E[Xt]2、E[Yt]2存在，则称函数为随机过程

{Xt,tT},与{Yt,tT},的互协方差函数。88为随机过程{Xt,tT}与{Yt,tT}的互相关函数.易知(7)称定义1.5.3若对任意的s,tT，有E[XsYt]=0,则称随机过程{Xt,tT}与{Yt,tT}正交;若CXY(s,t)=0，则称随机过程{Xt,tT}与{Yt,tT}

互不相关；若对任意的n,mZ+，随机向量(Xt1,···,Xtn)’与(Ys1,···,Ysm)’相互独立，，则称随机过程{Xt,tT}与{Yt,tT}相互独立。89例3设,其中X0和V是相互独立的随机变量.且求随机过程{X(t),-∞<t<∞}的五种数字特征.解:90定义1.5.4若{Xt,tT},{Yt,tT}是两个实随机过程，则称{Zt=Xt+iYt，tT}为复随机过程。它的均值函数、协方差函数、相关函数和方差函数分别定义如下：

μZ(t)=E[Zt]=EXt+iEYt,tT91§1-3几类典型的随机过程(1)独立随机序列对于任意n个不同的参数t1,···,tnT，r.v.X(t1),···,X(tn)相互独立，这样的随机序列称为独立随机序列。(2)独立增量过程定义1.3.1若参数t1,···,tnT满足t1

<t2

<···<tn，X(t)的增量X(t2)

X(t1),X(t3)

X(t2),

···,X(tn)

X(tn1)相互独立，这样的随机过程称为独立增量过程。92特别地,若独立增量过程{X(t),tT}满足增量平稳性，即对任意t,X(s+t)-X(s)与X(t)同分布，则称{X(t),tT}为具有平稳增量（或时齐）的独立增量过程；进一步，若具有平稳增量的独立增量过程{X(t),tT}满足(1)参数集T连续;(0)P{X(0)=0}=1则称过程{X(t),tT}为Levy过程.定理1.3.1设{X(t),tT}是具有平稳增量的独立增量过程，X(0)=0,则其有限维分布可由一维分布完全决定。93(7)若存在，则例1.4.1

设{Xt,tT}是独立增量过程，且增量平稳,P{X0=0}=1，求证：增量的分布完全决定任意有穷维分布.94证：不妨设X0=0。则s0,t>0,Xt的特征函数决定了Xs+t-Xs的分布.95类似地，n,于是96(3)马尔可夫过程（马氏过程）定义1.3.1

设随机过程，若对则称该过程为马尔可夫过程，简称“马氏过程”。马氏过程的特点：已知现在，将来与过去无关。称为转移概率函数.(transitionprobabilityfunction)97Aprocess{Xk}withindependentincrementsisaMarkovprocessProof::independentrandomvariables.WeshowthatisMarkov98-measurableIndependentofIndependentof-measurable

Yk

isindependentof99Inparticular,wehaveAprocess{Xk}withindependentincrementsisaMarkovprocess100（4）二阶矩过程定义1.3.3设随机过程{Xt，tT}，若对tT，Xt的均值和方差有限，则称{Xt，tT}为二阶矩过程。易知，二阶矩过程的自相关函数和自协方差函数总是存在的。一般地，所论及的二阶矩过程可为复随机过程。101定理1.3.1设二阶矩过程的自相关函数为R(t1,t2)，则此性质称为共轭对称性或埃尔密特性(Hermite).定理1.3.2二阶矩过程的自相关函数具非负定性：对n个参数t1,…,tnT及n个复数1,…,n，有102(5)平稳随机过程在工程应用和大量实际现象的理论分析研究中常会遇到一类过程。其统计特性随着时间的推移不发生任何变化。此类过程中，最重要的是“平稳过程”。例如无线电设备中热噪声电压X(t)是由于电路中电子的热运动引起的，这种热扰动不随时间而变；连续测量飞机飞行速度产生的测量误差X(t)，是由仪器震动、电磁波干扰、气候变化等因素引起的;纺纱厂生产出的棉纱各处直径X(t)不同是由于纺纱机运行，棉条不匀、温湿度变化等因素引起的。103严平稳过程