第1章-集合与函数概念-必修1-数学-人教A版

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1.1.1集合的含义与表示

1.1.2集合间的基本关系

1.1.3集合的基本运算1.2函数及其表示

1.2.1函数的概念

1.2.2函数的表示法1.3函数的基本性质

1.3.1单调性与最大（小）值

1.3.2奇偶性本章总结提升第一章集合与函数概念目录第一章集合与函数概念1.1集合1．1.1集合的含义与表示1.1.1

│三维目标三维目标1．知识与技能通过实例了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系，了解集合元素的确定性、互异性、无序性，掌握常用数集及其专用符号．2．过程与方法能选择集合不同的语言形式描述具体的问题，提高语言转换和抽象概括能力，树立用集合语言表示数学内容的意识．3．情感、态度与价值观通过解决有关问题，提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的应用意识

1.1.1

│

重点难点[重点]集合的基本概念与表示方法．[难点]表示集合方法的选择．重点难点1.1.1

│

教学建议集合的初步知识与其他内容有着密切的联系，是学习、掌握和使用数学语言的基础．课本从学生熟悉的集合(自然数的集合、有理数的集合等)出发，结合实例给出元素、集合的含义，此外还注重体现逻辑思维的方法，如抽象、概括等，这也是高中学生认知水平的第一次提升．教学建议1.1.1

│

教学建议由于本小节的新概念、新符号较多，建议教学时先引导学生自我学习，合作交流，让学生在阅读与交流中理解概念并熟悉新符号的使用，教师适时给出释疑和评价．这样做的目的是使学生养成主动学习的习惯，提高阅读与理解、合作与交流的能力．在处理集合问题时，根据需要，及时提示学生运用集合语言进行表述，尤其要重视表示集合方法的选用．1.1.1

│

新课导入[导入一]从前，有一位牧民很喜欢数学，但是他怎么想都想不明白集合的意义，就去请教一位很有名的数学家：“尊敬的先生，请问集合是什么？”数学家也很难给出一个明确的定义，正好他看到另一位牧民正在向马棚里赶马，等到牧民把马全部赶进马棚并关好门，数学家灵机一动，高兴地对牧民说：“你看到了吗？这就是集合”．同学们你们明白什么是集合了吗？这节课我们研究——集合的含义与表示．新课导入1.1.1

│

新课导入[导入二]1．到一个定点的距离等于定长的点的集合是________．2．回答：线段垂直平分线的定义．思考：集合的含义是什么？这就是我们这一堂课所要学习的内容——集合的含义与表示．1.1.1

│新课感知新课感知1．初中已接触过的集合的例子(数集、解集、点集各写一个即可)有_____________________________________________

____________________________________________________．2．2013年12月2日凌晨1时30分，嫦娥三号在西昌卫星发射中心发射升空，执行探月计划．你知道哪些国家的飞行器曾在月球上着陆吗？(不必回答)这里要求写出的对象是全体还是部分？这也是我们将要研究的一个新问题——集合的含义与表示．

自然数的集合、不等式2x－3<5的解的集合、平面内到某角的两边距离相等的点的集合(答案不唯一)1.1.1

│

自学探究自学探究►知识点一集合的定义及元素的特征1．集合与元素的概念：一般地，把研究的对象统称为________，把一些元素________________________________叫做集合，简称为________．2．符号表示：集合常用大写字母A，B，C，D，…表示；元素常用小写字母a，b，c，…表示．a属于集合A，记作________；a∉A的意义是__________________．元素组成的总体集1.1.1

│

自学探究3．常用数集及其记法：自然数集________；正整数集________或________；整数集________；有理数集________；实数集________．4．集合中元素的三个特性为________、________、________.NN*

N＋

ZQR确定性互异性无序性1.1.1

│

自学探究1.1.1

│

自学探究►知识点二集合的表示方法1．列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用______________括起来表示集合的方法叫做列举法．注意元素间要用“，”隔开，如{－1,0,1,2}．2．描述法：用集合所含元素的________表示集合的方法称为描述法．注意花括号内竖线前面的部分为集合的元素．共同特征花括号“{}”1.1.1

│

自学探究[思考]试分别用列举法和描述法表示下列的集合：(1)方程x2－2＝0的所有实根组成的集合；(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合．说明两种表示方法的优缺点．1.1.1

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自学探究1.1.1

│

典例分析典例分析►题组一集合中元素的“三性”1.1.1

│

典例分析[解析]根据条件逐一令x2为1、0、x，再根据集合元素的三个特性进行验证．当x2＝1时，x＝1或x＝－1，若x＝1，不满足集合元素的互异性；若x＝－1，集合为{1,0，－1}，符合题意．同上分析当x2＝0时，x＝0，不符合题意；当x2＝x时，x＝0或x＝1，由以上分析知，不符合题意．综上可知：x＝－1.1.1.1

│

典例分析[点评]解决这类问题，利用集合与元素的关系，明确集合的意义是关键，逐一验证，看是否满足集合元素的互异性．1.1.1

│

典例分析1.1.1

│

典例分析A1.1.1

│

典例分析►题组二集合的表示方法1.1.1

│

典例分析1.1.1

│

典例分析1.1.1

│

典例分析1.1.1

│

典例分析[点评](1)解决用符号描述法表示集合的有关问题时，关键在于透彻理解用来描述元素所具有的属性的含义，并注意新字母的取值范围．(2)用描述法表示集合的优点是突出了元素所具有的属性，缺点是不易看出集合的具体元素．1.1.1

│

典例分析1.1.2集合间的基本关系1.1.2

│三维目标三维目标1．知识与技能理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，能判断给定集合间的关系，在具体情境中，了解空集的含义，掌握并能使用Venn图表示集合的关系．2．过程与方法让学生通过观察身边的实例，体会直观图示对理解抽象概念的作用．3．情感、态度与价值观加强学生从具体到抽象的思维能力，树立数形结合的思想1.1.2

│

重点难点重点难点[重点]理解集合间包含与相等的含义．[难点]理解空集的含义．1.1.2

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教学建议课本从学生熟悉的集合(自然数的集合、有理数的集合等)出发，通过类比实数间的大小关系引入集合间的关系，同时，结合相关内容介绍子集等概念．在安排这部分内容时，课本注重体现逻辑思考的方法，如类比等．值得注意的问题：在集合间的关系教学中，建议重视使用Venn图，这有助于学生通过体会直观图示来理解抽象概念；随着学习的深入，集合符号越来越多，建议教学时引导学生区分一些容易混淆的关系和符号：例如“∈”与“⊆”的区别．教学建议1.1.2

│

新课导入新课导入1.1.2

│新课感知新课感知表示元素与集合的关系符号是______、______.观察下列几组集合：(1)A＝{－1,1}，B＝{－1,0,1}；(2)A＝N，B＝R；(3)A＝{x|x是中国人}，B＝{x|x是亚洲人}．A集合中的元素都是B集合中的元素(A集合是B集合的一部分)，即若x∈A，则x∈B.那么，集合A与B的关系是什么？用什么符号来表示？这就是我们这一课时将要学习的内容，请认真阅读教材，主动探究．∈∉1.1.2

│

自学探究自学探究任意一个

A⊆B

包含

ABB⊇A

1.1.2

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自学探究1．条件：________且________．2．表示：A＝B.3．维恩图：如图1－1－1.图1－1－11.1.2

│

自学探究►知识点二集合的相等B⊇AA⊆B

1．定义：____________的集合叫做空集．2．符号表示：∅.3．规定：空集是任何集合的________．1.1.2

│

自学探究►知识点三空集子集

不含任何元素1.1.2

│

自学探究[思考](1)集合A是集合B的真子集与集合A是集合B的子集之间有什么区别？(2)0，{0}，∅，{∅}四者之间有什么关系？1.1.2

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典例分析典例分析►题组一集合的相等关系的应用【例题演练】1.1.2

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典例分析[点评]本题考查集合相等的应用，考查数学思维能力和转化能力．解答问题的关键是构建元素相等，对已知元素0,1赋予另一集合中的元素要有可能性，需要思维辨析．1.1.2

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典例分析1.1.2

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典例分析1.1.2

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典例分析1.1.2

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典例分析►题组二子集与真子集的应用【例题演练】例1

已知A＝{x|－2＜x＜4}，B＝{x|x－5＜0}，则A与B之间的关系为(

)A1.1.2

│

典例分析1.1.2

│

典例分析[点评]判定集合之间关系的方法：(1)利用集合的“包含”与“相等”的定义；(2)把集合中的元素都列举出来，再用定义判定；(3)利用数轴；(4)用几何图形(但要全面，不能以偏概全)．1.1.2

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典例分析1.1.2

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典例分析1.1.2

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典例分析1.1.3集合的基本运算1.1.3

│三维目标三维目标1．知识与技能理解两个集合的并集与交集、全集的含义，掌握求两个简单集合的交集与并集的方法，会求给定子集的补集．2．过程与方法通过观察和类比，借助Venn图理解集合的基本运算．体会直观图示对理解抽象概念的作用，培养数形结合的思想．3．情感、态度与价值观感受集合作为一种语言，在表示数学内容时的简洁和准确，进一步提高类比的能力．1.1.3

│

重点难点重点难点[重点]交集与并集，全集与补集的概念．[难点]理解交集与并集的概念以及符号之间的区别与联系．1.1.3

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教学建议课本从学生熟悉的集合出发，结合实例，通过类比实数加法运算引入集合间的运算，同时，结合相关内容介绍并集和交集等概念．在安排这部分内容时，课本继续注重体现逻辑思考的方法，如类比等．在全集和补集的教学中，应注意利用图形的直观作用，帮助学生理解补集的概念，并能够用直观图进行求补集的运算．教学建议1.1.3

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新课导入新课导入[导入]请同学们观察下列各个集合，你能说出集合C与集合A、B之间的关系吗？(1)A＝{1,3,5}，B＝{2,4,6}，C＝{1,2,3,4,5,6}；

(2)A＝{x|x是有理数}，B＝{z|z是无理数}，C＝{x|x是实数}．引导学生通过观察、类比、思考和交流，得出结论．教师强调集合也有运算，这就是我们本节课所要学习的内容．第1课时集合的交集、并集1.1.3

│新课感知新课感知1．已知集合A＝{1,3,5}，集合B＝{2,3,4,6}，由集合A、B的所有元素组成的集合是______________________，由集合A、B公共元素组成的集合是________．2．类比实数的加法，上题中由集合A、B的所有元素组成的集合可看成集合A、B的“和”，但由于集合中元素具备互异性，集合A、B中相同元素3只写一个，我们把集合{1,2,3,4,5,6}叫集合A、B的________，记作________．同时把集合{3}叫集合A、B的________，记作________．{1,2,3,4,5,6}{3}并集A∪B

交集A∩B1.1.3

│

自学探究自学探究►知识点一并集并集的三种语言文字语言：所有属于集合A________属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的________．符号语言：A∪B＝_____________________.图形语言：如图1－1－2所示：或并集{x|x∈A，或x∈B}

1.1.3

│

自学探究图1－1－21.1.3

│

自学探究[思考]集合A∪B的元素个数是否等于集合A与集合B的元素个数和．解：A∪B的元素个数小于或等于集合A与集合B的元素个数和．1.1.3

│

自学探究►知识点二交集交集的三种语言文字语言：由属于集合A________属于集合B的所有元素组成的集合，称为集合A与B的________．符号语言：A∩B＝___________________________.图形语言：如图1－1－3所示．且交集{x|x∈A，且x∈B}1.1.3

│

自学探究图1­1­31.1.3

│

自学探究[思考]当集合A与B没有公共元素时，能不能说集合A与B没有交集？若不能，又该如何叙述、表达？解：不能．当集合A与B没有公共元素时，集合A与B的交集为∅，即A∩B＝∅.1.1.3

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自学探究1.1.3

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典例分析典例分析►题组并集、交集的运算【例题演练】例1已知集合M＝{x|－3＜x≤5}，N＝{x|x＜－5或x＞5}，则M∪N＝(

)A．{x|x＜－5或x＞－3}B．{x|－5＜x＜5}C．{x|－3＜x＜5}D．{x|x＜－3或x＞5}A1.1.3

│

典例分析[解析]由M＝{x|－3＜x≤5}，N＝{x|x＜－5或x＞5}，结合数轴，可得M∪N＝{x|x＜－5或x＞－3}，故选A.[点评]求两个集合的交集只需确定这两个集合有哪些公共元素，求两个集合的并集，只需将两个集合的元素并在一起组成一个新的集合，但应注意重复元素只能写一个．1.1.3

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典例分析1.1.3

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典例分析1.1.3

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典例分析1.1.3

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典例分析1.1.3

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典例分析1.1.3

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典例分析第2课时集合的全集、补集1.1.3

│新课感知新课感知1.1.3

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自学探究自学探究►知识点一补集1．全集如果一个集合含有所研究问题中涉及的________，那么就称这个集合为________，通常记作U.所有元素全集1.1.3

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自学探究1.1.3

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自学探究1.1.3

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自学探究1.1.3

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典例分析►题组一全集与补集问题【例题演练】例1设U＝R，A＝{x|x＞0}，B＝{x|x＞1}，则A∩(∁UB)＝(

)A．{x|0≤x＜1}B．{x|0＜x≤1}C．{x|x＜0}D．{x|x＞1}B1.1.3

│

典例分析[解析]

∵U＝R，∴∁UB＝{x|x≤1}，∴A∩(∁UB)＝{x|x＞0}∩{x|x≤1}＝{x|0＜x≤1}，故选B.[点评]求集合B的补集，只需在全集中剔除集合B的元素后组成一个集合即可．1.1.3

│

典例分析1.1.3

│

典例分析1.1.3

│

典例分析[点评]由于这里集合的元素不能确定，因此必须分类讨论．1.1.3

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典例分析1.1.3

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典例分析1.1.3

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典例分析1.2函数及其表示1.2.1函数的表示法1.2.1

│三维目标三维目标1．知识与技能理解函数的概念；初步了解函数的定义域、值域、对应法则的含义．2．过程与方法通过实例感知函数的定义域、值域、对应法则是构成函数的三要素，将抽象的概念通过实例具体化．3．情感、态度与价值观在函数概念深化的过程中，体会数学形成和发展的一般规律；由函数所揭示的因果关系，培养学生的辨证思维能力．1.2.1

│

重点难点重点难点[重点]理解函数的概念．[难点]理解函数符号y

＝f(x)的含义．1.2.1

│

教学建议学生在初中初步探讨了函数的相关知识，有一定的基础；通过集合的学习，对集合思想的认识也日渐提高，为重新定义函数，从根本上揭示函数的本质提供了知识保证．从学生能力层面看：通过以前的学习，学生已有一定的分析、推理和概括能力，初步具备了学习函数概念的基本能力．在学习的过程中学生主要存在以下困惑、困难：(1)对“为什么要重新定义函数”存在困惑．学生在预习之前可能一直都有疑问：我们已经定义过函数教学建议1.2.1

│

典例分析了，再学习函数的定义有重复之嫌．(2)学生由实例抽象概括出函数的概念时存在困难．教学中由实例抽象归纳出函数概念时，要求学生必须通过自己的努力探索才能得出，对学生的能力要求比较高．在通过“观察、分析、比较、归纳、概括”得出函数的概念时，学生在其中的任何一个环节出了问题都可能得不出函数的概念．(3)对抽象符号f(x)的理解存在困难．在本节课的教学中，以学生作为活动的主体，总是创设恰当的问题情境，引导学生积极思考，大胆探索，最大限度地调动学生积极参与教学活动，在教学难点处适当放慢节奏，给学生充分的时间进行思考与讨论，适时地给予适当的思维点拨，1.2.1

│

典例分析必要时进行大面积提问，让学生做课堂的主人，充分发表自己的意见．这样既有利于化解难点、突出重点，也有利于充分发挥学生的主体作用，使课堂气氛更加活跃，让学生在生生互动、师生互动中掌握知识，提升能力．教学过程中既要注重锻炼学生独立解决问题的能力，又要注重对学生交流合作意识和创新意识的培养．通过本节课的教学，希望对学生的思维品质的培养﹑数学思想的建立﹑心理品质的优化起到良好的作用．1.2.1

│

新课导入新课导入[导入一]2010年9月5日0时14分，我国在西昌卫星发射中心用“长征三号乙”运载火箭，成功将“鑫诺六号”通信广播卫星送入太空．在“鑫诺六号”飞行期间，我们时刻关注着“鑫诺六号”离地面的距离随时间是如何变化的，数学上可以用函数

来描述这种运动变化中的数量关系．1.2.1

│

新课导入[导入二]放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？回顾初中函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与之对应，此时y是x的函数，x是自变量，y是因变量，由此引出本节内容．

1.2.1

│新课感知新课感知1．初中所学函数的定义常谓之传统定义，定义叙述为__________________________________________________________________________________________________________________________.2．用集合与函数的观点描述函数的定义谓之近代定义，可描述为：对于两个非空数集A、B，对于A中的________________，按照某种对应关系f，在数集B中______________________和它对应，记作f：A→B.在变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们就称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量每一个x

都有唯一确定的y1.2.1

│

自学探究自学探究►知识点一函数的定义非空数集

f：A→B

y＝f(x)，x∈A

唯一确定的数f(x)取值范围A

任意一个数x

{f(x)|x∈A}1.2.1

│

自学探究[思考](1)理解函数概念应强化：非空、任意性和唯一确定性，你怎样理解？(2)如果值域记作C，上述定义中，集合B、C的关系怎样？(3)若已知函数y＝f(x)，那么f(x)与f(a)有什么关系？解：(1)①A、B必须为非空数集，②A中元素任意性，③B中元素必须有唯一确定性．(2)C⊆B.(3)f(a)是f(x)的值域中的一个值，即当x＝a时的函数值．1.2.1

│

自学探究1.2.1

│

自学探究[思考]定义域和值域分别相同的两个函数是同一个函数吗？解：不一定．因为定义域和值域不能唯一地确定函数的对应关系．如y＝x＋1与y＝2x＋1，两个函数的定义域和值域均为实数集R，但这两个函数不是同一函数，原因是对应关系不同．1.2.1

│

自学探究►知识点三区间表示设a，b是两个实数，且a<b，我们规定：(1)满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做________区间，表示为________；(2)满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做__________________区间，表示为________；(3)满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫做________________________区间，表示为________或________．闭[a，b]开(a，b)半闭半开（或半开半闭）[a，b)(a，b]1.2.1

│

自学探究►知识点四常见函数的值域R(－∞，0)∪(0，＋∞)1.2.1

│

典例分析典例分析►题组一函数的定义【例题演练】例1下列对应关系为集合A到B的函数的有________．(1)A＝{1,2,3,4,5}，B＝{0,2,4,6,8}，x∈A，f：x→y，y＝2x；(2)A＝R，B＝R，x∈A，f：x→y，y＝|x|；(3)A＝[0，＋∞)，B＝R，x∈A，f：x→y，y2＝x.(2)

1.2.1

│

典例分析[解析](1)对于集合A中的元素5，在集合B找不到其所对应的元素10，故这个对应不是从集合A到B的函数．(2)对于任意一个实数x，|x|被x唯一确定，所以这个对应是从集合A到B的函数，这个函数也可以表示为f(x)＝|x|.(3)令x＝4，由y2＝4，得y＝2或y＝－2，这里一个x值与两个y值对应(不是单值对应)，所以这个对应不是从集合A到B的函数．1.2.1

│

典例分析例2下列四个图像中是函数图像的是(

)图1－2－1A．(1)B．(1)(3)(4)C．(1)(2)(3)D．(3)(4)B1.2.1

│

典例分析[解析]由任一个变量x仅有一个f(x)与之对应得，(2)不是函数图像．1.2.1

│

典例分析►题组二函数值及函数定义域1.2.1

│

典例分析1.2.1

│

典例分析[分析](1)确定函数的函数值f(a)，只要将函数表达式中的x换成a，计算可得．(2)求f(x)的定义域，应使表达式中各部分均有意义，即转化为不等式(或不等式组)求解集．1.2.1

│

典例分析1.2.1

│

典例分析1.2.1

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典例分析►题组三函数相等的判断【例题演练】(1)(3)(5)1.2.1

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典例分析1.2.1

│

典例分析[点评]判定两个函数是否表示同一函数，要看三要素的实质是否对应相同．由于没有特殊的要求，函数的值域可由定义域及对应关系来确定，因而只需判断这两个要素是否都相同即可．1.2.1

│

典例分析1.2.1

│

典例分析1.2.1

│

典例分析►题组四简单函数的值域【例题演练】[3，＋∞)

1.2.1

│

典例分析1.2.1

│

典例分析例2求函数y＝x2－4x＋6，x∈[1,5)的值域．解：y＝x2－4x＋6＝(x－2)2＋2，因为x∈[1,5)，所以函数的值域为[2,11)．1.2.2函数的表示法1.2.2

│三维目标三维目标1．知识与技能了解函数的一些基本表示法(列表法、图像法、解析法)，会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数，树立应用数形结合的思想．会用描点法画一些简单函数的图像，培养学生应用函数的图像解决问题的能力．2．过程与方法通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用，提高应用函数解决实际问题的能力，提高学习数学的兴趣．1.2.2

│三维目标3．情感、态度与价值观了解映射的概念及表示方法，会利用映射的概念来判断“对应关系”是否是映射，感受对应关系在刻画函数和映射概念中的作用，提高对数学高度抽象性和广泛应用性的进一步认识．1.2.2

│

重点难点重点难点[重点]函数的三种表示方法，分段函数和映射的概念．[难点]分段函数的表示及其图像，映射概念的理解．1.2.2

│

教学建议课本从引进函数概念开始就比较注重函数的不同表示方法：解析法，图像法，列表法，函数的不同表示方法能丰富对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念，特别是在信息技术环境下，可以使函数在形与数两方面的结合得到更充分的表现，学生通过函数的学习更好地体会数形结合这种重要的数学思想方法．因此，在研究函数时，要充分发挥图像的直观作用．在研究图像时又要注意代数刻画，以求思考和表述的精确性．课本将映射作为函数的一种推广，这与传统的处理方式有了逻辑顺教学建议1.2.2

│

教学建议序上的变化．这样处理，主要是想较好地衔接初中的学习，让学生将更多的精力集中在理解函数的概念，同时，也体现了从特殊到一般的思维过程．值得注意的问题：在集合间的关系教学中，建议重视使用Venn图，这有助于学生通过体会直观图示来理解抽象概念；随着学习的深入，集合符号越来越多，建议教学时引导学生区分一些容易混淆的关系和符号：例如“∈”与“⊆”的区别．1.2.2

│

新课导入新课导入[导入一]回顾上节课中的三个实例：(1)炮弹发射：h＝130t－5t2(0≤t≤26)．(解析法)(2)南极臭氧层的空洞：(图像法)1.2.2

│

新课导入(3)恩格尔系数：(列表法)时间(年)19911992199319941995199619971998199920002001恩格尔系数(%)53.852.950.149.949.948.646.444.541.939.237.91.2.2

│

新课导入问题：(1)比较三种函数的表示法，它们各自有哪些优、缺点？(2)所有的函数都能用解析法表示吗？举出一个函数，并分别用三种方法表示．[导入二]我们在前一课中，已经学习了函数的定义，会求函数的值域，那么函数有哪些表示的方法呢？这一节课我们研究这一问题．1.2.2

│新课感知新课感知1．函数的三种表示方法分别是__________________________________．2．分段函数的定义域是各段函数定义域的________；值域是各段函数值域的________．解析法、图像法、列表法并集并集1.2.2

│

自学探究自学探究►知识点一函数的三种表示方法1．把两个变量的函数关系用一个________来表示，就叫解析法，这个等式叫做函数的解析表达式，简称________．2．用列出表格来表示两个变量的函数关系就叫做________．3．图像象法就是用________表示两个变量之间的对应关系．等式解析式列表法图像1.2.2

│

自学探究[思考]优点不足解析法列表法图像法1.2.2

│

自学探究优点不足解析法函数关系清楚，容易从自变量的值求出其对应的函数值，便于用解析式研究函数的性质不直观，涉及具体自变量所对函数值时还要进行计算列表法不计算就可得出当自变量取某些值时函数的对应值变化规律不明显，不能或不太好推出取任意一个自变量时的函数值图像法能直观形象地表示出函数的变化情况自变量所对的函数值不能准确地得出1.2.2

│

自学探究►知识点二分段函数对于一个函数来说，对应关系________________构成，它的图像________________组成，这样的函数我们称为“分段函数”．由几个解析式共同由几条曲线共同1.2.2

│

自学探究►知识点三映射的概念设A、B是两个________，如果按某一确定的对应关系f，使对于集合A中的________元素x，在集合B中都有________的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为________________的一个映射．非空集合任意一个唯一确定从集合A到集合B

1.2.2

│

自学探究[思考]从映射f：A→B的角度理解函数，A就是____________，函数的值域C________B.函数的定义域⊆1.2.2

│

典例分析典例分析►题组一函数的图像【例题演练】C1.2.2

│

典例分析图1－2－21.2.2

│

典例分析[解析]当x>0时，f(x)＝x＋1；x<0时，f(x)＝x－1.1.2.2

│

典例分析例2

在现实生活中，常常使用表格，有些表格描述了两个变量的函数关系，比如国内跨省市之间的邮寄信函，每封信函的质量和对应邮资如下表：信函质量m/g0<m≤2020<m≤4040<m≤6060<m≤8080<m≤100邮资M/元0.801.602.403.204.00画出函数图像，并写出它的解析式及函数的值域．1.2.2

│

典例分析1.2.2

│

典例分析函数的值域为{0.80,1.60,2.40,3.20,4.00}．1.2.2

│

典例分析[点评]作函数图像一般要明确函数的表示方法，能写出解析式的要写出解析式，然后据描点法作出图像．本题为分段函数，且每一段为常函数，此类函数的图像，要注意虚实点的准确标示．分段函数的值域为各段值域的并集．1.2.2

│

典例分析1.2.2

│

典例分析1.2.2

│

典例分析►题组二函数解析式求法【例题演练】例1

已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]＝4x＋3，则f(x)的解析式为(

)A．f(x)＝－2x－3B．f(x)＝2x＋1C．f(x)＝2x＋3D．f(x)＝－2x－3或f(x)＝2x＋1D1.2.2

│

典例分析1.2.2

│

典例分析1.2.2

│

典例分析1.2.2

│

典例分析1.2.2

│

典例分析1.2.2

│

典例分析1.2.2

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典例分析1.2.2

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典例分析►题组三分段函数的应用【例题演练】1.2.2

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典例分析1.2.2

│

典例分析1.2.2

│

典例分析例2已知函数y＝|x－5|＋|x＋3|.作出该函数的图像，并求出函数的值域．

1.2.2

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典例分析1.2.2

│

典例分析【变式巩固】1.2.2

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典例分析1.2.2

│

典例分析►题组四映射的概念【例题演练】1.2.2

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典例分析1.2.2

│

典例分析例2如图1­2­4所示，箭头标明A中元素与B中元素的对应关系，它们中为映射的有_______；为函数关系的有_______．

图1－2－3(3)(4)(3)(4)1.2.2

│

典例分析[解析]判断A→B的对应是否为映射，关键是根据定义：满足A中任一元素在B中有唯一元素与之对应，即A中元素都有唯一的象，具体地说即A→B是“一对一或多对一”，在映射条件下，当A、B为非空数集时，则对应为函数．1.3函数的基本性质1.3.1单调性与最大(小)值1.3.1

│三维目标三维目标1．知识与技能理解函数单调性和最大(小)值的概念，并能判断一些简单函数在给定区间上的单调性和最大(小)值．2．过程与方法启发学生发现问题和提出问题，培养学生分析问题、认识问题和解决问题的能力．3．情感、态度与价值观通过观察——猜想——推理——证明这一重要的思想过程，进一步培养学生的逻辑推理能力和创新意识；通过渗透数形结合的数学思想，对学生进行辩证唯物主义的思想教育．1.3.1

│

重点难点重点难点[重点]函数单调性的概念和判断．[难点]利用函数单调性的定义或者函数的图像判断函数的单调性和最大(小)值．1.3.1

│

教学建议

学生已有的认知基础是：初中学习过函数的概念，初步认识到函数是一个刻画某些运动变化数量关系的数学概念；进入高中以后，又进一步学习了函数的概念，认识到函数是两个数集之间的一种对应．学生还了解函数有三种表示方法，特别是可以借助图像对函数特征加以直观考察．此外，还学习过一次函数、二次函数、反比例函数等几个简单而具体的函数，了解它们的图像及性质．尤其值得注意的是，学生有利用函数性质进行两个数大小比较的经验，“图像是上升的，函数是单调增教学建议1.3.1

│

教学建议的；图像是下降的，函数是单调减的”，仅就图像角度直观描述函数单调性的特征，学生并不感到困难，困难在于把具体的、直观形象的函数单调性的特征抽象出来，用数学的符号语言描述，其中最难理解的是为什么要在区间上“任意”取两个大小不等的x1，x2.教学中，通过一次函数、二次函数等具体函数的图像及数值变化特征的研究，得到“图像是上升的”，相应地，即“随着x的增大，y也增大”，初步提出单调增的说法，通过讨论、交流，让学生尝试，就一般情况进行刻画，提出“在某区间上，如果对于任意的x1<x2有f(x)1<f(x2)”，则函数在该区间上具有“图像是上升的”“随着x的增大，y也增大”的特征，进一步给出函数单调性的定义，然后通过辨析、练习1.3.1

│

教学建议等帮助学生理解这一概念．结合本节课的教学内容，教学中注重过程、方法，引导学生不断提出问题，研究问题，并解决问题．重视互动交流，在教学过程中渗透情感、态度与价值观．1.3.1

│

新课导入新课导入[导入一]函数是描述事物运动变化规律的数学模型，如果了解了函数的变化规律，那么也就把握了相应事物的变化规律．因此，在掌握了函数的概念和表示方法后，还要研究函数的性质．[导入二](1)近六届世界杯进球数如下表：画成折线图，如下图1.3.1

│

新课导入年份进球数1990115199413719981712002161200614720101451.3.1

│

新课导入1.3.1

│

新课导入问题：随着年份的不同，进球数有什么变化？进球数的变化和图像的变化有什么联系？(2)某市某天的气温变化曲线图如下：1.3.1

│

新课导入问题：随着时间的变化，温度的变化趋势是什么？(上升？下降？)事实上，在生活中，有很多数据的变化是有规律的，了解这些数据的变化规律，对我们的生活很有帮助．观察满足函数关系的数据变化规律往往是看：随着自变量的变化，函数值是如何变化的，这就是我们今天要研究的函数的单调性．第1课时函数的单调性第1课时

│新课感知新课感知1．函数y＝x的定义域是______________，观察y＝x的图像知：________(选填“上升的”

“下降的”)函数中，y随自变量x的变化规律是________________．2．函数y＝x2的定义域是__________，观察图像可知，在区间________上，图像是下降的，即__________________．在区间________上，图像是上升的，即________________．(－∞，＋∞)上升的y随x的增大而增大(－∞，＋∞)(－∞，0]y随x的增大而减小[0，＋∞)y随x的增大而增大第1课时

│

自学探究自学探究第1课时

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自学探究►知识点二单调性与单调区间若函数y＝f(x)在某个区间内是增函数或减函数，就说函数f(x)在这一区间内具有(严格的)________，这一区间叫做函数f(x)的________．此时也说函数是这一区间上的单调函数．单调性单调区间第1课时

│

自学探究[探究]若函数f(x)在定义域内的两个区间D1，D2上都是增函数，那么f(x)的增区间能写成D1∪D2吗？第1课时

│

自学探究►知识点三单调性证明方法步骤证明函数f(x)在区间D上的单调性应遵循以下步骤：①设元：设x1，x2∈D，且x1<x2；②作差：将函数值f(x1)、f(x2)作差f(x1)－f(x2)或f(x2)－f(x1)；③变形：将上述差值(因式分解、配方等)变形；④判号：对上述变形的结果的正负加以判定；⑤定论：据定义对f(x)的单调性作出结论．第1课时

│

自学探究[思考]总结确定函数单调性的方法．解：借助图像；运用定义．第1课时

│

自学探究[探究]你对函数单调性的定义中x1、x2的任意性如何理解？解：函数单调性的定义中，x1、x2必须是区间内任意两个数，不能只是特例．如证明f(x)＝2x在(－∞，＋∞)上是增函数，不能仅由f(－1)<f(2)得出结论．第1课时

│

典例分析典例分析►题组一由函数图像确定单调区间【例题演练】例1如图1-3-1是定义在闭区间[－5,7]上的函数y＝f(x)的图像，根据图像可知函数y＝f(x)的单调增区间为____________________；单调减区间为____________________________________．[－3，－2]，[2,5][－5，－3]，[－2,2]，[5,7]第1课时

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典例分析图1-3-1第1课时

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典例分析[解析]根据图像的升降判断函数的单调区间．第1课时

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典例分析例2

作出函数y＝x2－2x＋3的图像，观察该函数的单调性，并写出单调区间．解：函数在区间(－∞，1]上为减函数，在区间[1，＋∞)上为增函数．作图略．第1课时

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典例分析第1课时

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典例分析第1课时

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典例分析第1课时

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典例分析►题组二函数单调性的证明及应用【例题演练】例1

已知函数y＝x2＋2(a－2)x＋5在区间(4，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是(

)A．a≤－2B．a≥－2C．a≤－6D．a≥－6B[解析]－(a－2)≤4，∴a≥－2.第1课时

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典例分析第1课时

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典例分析第1课时

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典例分析【变式巩固】第1课时

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典例分析[点评]本题利用函数单调性的定义判断、证明函数单调性，注重变形，特别是对差式变形，以能得出正负为目的．第2课时函数的最大(小)值第2课时│新课感知新课感知(－1,2)2单调减函数最大最小11/2第2课时│新课感知第2课时│新课感知第2课时│新课感知第2课时│新课感知练习：求函数y＝－3x2＋6x＋9的最大值．[答案]12第2课时│

自学探究自学探究►知识点一函数最大(小)值的直观解释函数f(x)在其定义域(某个区间)内的最大值，其几何意义是图像上__________________；最小值为图像上________________，即数形结合可得最值．最高点的纵坐标最低点的纵坐标第2课时│

自学探究►知识点二函数最大值的定义f(x)≤M

f(x0)＝M

f(x0)≤M

f(x0)＝M第2课时│

自学探究►知识点三求函数最值的常用方法1．图像法：作出y＝f(x)的图像，观察最高点与最低点，则最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值．2．运用已学函数的值域．第2课时│

自学探究[思考]二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的最值是什么？常用哪些方法求二次函数的最值．第2课时│

自学探究第2课时│

典例分析典例分析►题组一由函数图像确定函数最值【例题演练】例1函数y＝f(x)，x∈[－2,2]的图像如图1－3－3，则函数的最大、最小值分别为(

)C第2课时│

典例分析图1－3－3第2课时│

典例分析第2课时│

典例分析第2课时│

典例分析例2图1－3－4为函数y＝f(x)，x∈[－4,7]的图像，指出它的最大值、最小值及单调区间．图1－3－4第2课时│

典例分析[分析]观察函数图像，取图像上最高(低)点的纵坐标，即为函数的最大(小)值；由函数图像的升降，写出对应单调区间．解：观察函数图像可以知道，图像上最高的点是(3,3)，最低的点是(－1.5，－2)，所以函数y＝f(x)当x＝3时，取得最大值ymax＝3，当x＝－1.5时，取得最小值ymin＝－2.函数的单调增区间是[－1.5,3]，[5,6]；单调减区间是[－4，－1.5]，[3,5]，[6,7]．第2课时│

典例分析[点评]由图像确定函数最值，关键是寻找图像上的最高(低)点，这是求函数最值的重要方法．第2课时│

典例分析►题组二分段函数最值的求法【例题演练】例1

已知函数y＝x2＋2|x|＋2，则此函数的最小值为________．1第2课时│

典例分析[解析]

当x≥0时，函数y＝x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1，此时该函数的最小值为2；当x<0时，函数y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，此时函数的最小值为2.故所求最小值为2.第2课时│

典例分析例2某上市股票在30天内每股的交易价格P(元)与时间t(天)组成有序数对(t，P)，点(t，P)落在图1－3－5中的两条线段上；该股票在30天内的日交易量Q(万股)与时间t(天)的部分数据如下表所示：第t天4101622Q(万股)36302418第2课时│

典例分析(1)根据提供的图像，写出该种股票每股交易价格P(元)与时间t(天)所满足的函数关系式；(2)根据表中数据确定日交易量Q(万股)与时间t(天)的函数关系式；(3)用y表示该股票日交易额(万元)，写出y关于t的函数关系式，并求在这30天中第几天日交易额最大，最大值是多少？第2课时│

典例分析图1－3－5第2课时│

典例分析第2课时│

典例分析第2课时│

典例分析[点评]本题涉及一次函数、二次函数、分段函数等知识，理解题意、看懂图表、图像是求解本题的关键．求分段函数的最值，应先求出函数在各段上的最值，然后加以比较，其中最大(小)者就是分段函数在整个定义域上的最大(小)值．第2课时│

典例分析►题组三利用函数的单调性求最大(小)值【例题演练】A第2课时│

典例分析第2课时│

典例分析第2课时│

典例分析1.3.2奇偶性1.3.1

│三维目标三维目标1．知识与技能理解函数的奇偶性及其几何意义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质；学会判断函数的奇偶性．2．过程与方法通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生观察、归纳、抽象的能力，渗透数形结合的数学思想．3．情感、态度与价值观通过函数的奇偶性教学，培养学生从特殊到一般的概括归纳问题的能力.1.3.2

│

重点难点重点难点[重点]函数奇偶性的概念和几何意义．[难点]奇偶性概念的数学化提炼过程．1.3.2

│

教学建议教学建议1.3.2

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新课导入新课导入[导入一]“对称”是大自然的一种美，这种“对称美”在数学中也有大量的反映，让我们看看下列各函数有什么共性？观察下列函数的图像，总结各函数之间的共性．1.3.2

│

新课导入1.3.2

│

新课导入1.3.2

│

新课导入[导入二]复习在初中学习的轴对称图形和中心对称图形的定义，同桌两人分别画出函数f(x)＝x3与g(x)＝x2的图像，讨论它们的图像特点.1.3.2

│新课感知新课感知一、二一、三(x，y)与(－x，y)在y＝x2图像上；(x，y)与(－x，－y)在y＝x3的图像上y轴原点1.3.2

│新课感知1.3.2

│

自学探究自学探究1.3.2

│

自学探究[思考]为什么奇、偶函数定义域一定要关于原点对称？解：由定义知，若x是定义域内的一个元素，－x也一定是定义域内的一个元素，所以函数y＝f(x)具有奇偶性的一个必不可少的条件是：定义域关于原点对称．即：如果所给函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性．1.3.2

│

自学探究►知识点二奇偶函数的图像与性质1．奇函数的图像关于________对称；反过来，若一个函数的图像关于原点对称，那么这个函数是________．偶函数的图像关于________对称；反过来，若一个函数的图像关于________对称，那么这个函数就是偶函数．因而研究这类函数的性质时，只需研究函数在区间[0，＋∞)或(－∞，0]上的情况，即可推断出函数在整个定义域内的性质(或图像)．原点奇函数y轴y轴1.3.2

│

自学探究2．重要性质(1)注意函数y＝f(x)与y＝kf(x)的单调性与k(k≠0)相关．当k>0时，f(x)与kf(x)的单调性________．当k<0时，f(x)与kf(x)的单调性________．(2)奇函数在[a，b]和[－b，－a](b>a>0)上有相同的单调性．(3)偶函数在[a，b]和[－b，－a](b>a>0)上有相反的单调性．相同相反1.3.2

│

自学探究[思考]若函数y＝f(x)的图像关于原点对称，则y＝f(x)的图像是否一定过点(0,0)．解：不一定，因为定义域不一定包含x＝0.1.3.2

│

自学探究►知识点三函数奇偶性的判定方法判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法：(1)定义法：若函数的定义域不是关于原点的对称区域，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点的对称区域，再判断f(－x)是否等于________，或判断____________是否等于零，或判断________是否等于±1等．用定义法判断函数奇偶性的一般步骤是：考查函数的定义域是否________________；若定义域关于原点对称，则判断________________是否成立．关于原点对称1.3.2

│

自学探究f(－x)＝－f(x)偶函数0非奇非偶函数图像关于原点(或y轴)1.3.2

│

典例分析典例分析►题组一判断函数奇偶性【例题演练】例1已知对于函数y＝f(x)，等式f(x＋y)＝f(x)＋f(y)对任意实数x，y都成立，则f(x)是(

)A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数A1.3.2

│

典例分析[解析]令x＝y＝0，得f(0)＝0.再令－x＝y，则f(0)＝f(x)＋f(－x)，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．1.3.2

│

典例分析例2判断下列函数是否具有奇偶性：(1)f(x)＝x＋x3＋x5；(2)f(x)＝x2＋1；(3)f(x)＝x＋1；(4)f(x)＝x2，x∈[－1,3]．1.3.2

│

典例分析1.3.2

│

典例分析[点评]定义域关于原点对称是函数成为奇(偶)函数的前提．1.3.2

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典例分析【变式巩固】1.3.2

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典例分析1.3.2

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典例分析►题组二函数奇偶性的综合应用【例题演练】例1已知f(x)＝3ax3＋4bx＋3a＋b是奇函数，且其定义域为[2a－6，a]，则a＝________，b＝________.2－61.3.2

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典例分析