2023年流体力学题库

第１章绪论１基本概念及方程【１-１】底面积A＝0.2ｍ×0.2ｍ的水容器,水面上有一块无重密封盖板，板上面放置一个重量为G1=3000Ｎ的铁块,测得水深h=0.5m,如图所示。假如将铁块加重为G2=8000N,试求盖板下降的高度Δｈ。【解】:运用体积弹性系数计算体积压缩率:p为绝对压强。本地大气压未知，用标准大气压代替。因和不是很大,可选用其中任何一个,例如,选用来计算体积弹性系数:在工程实际中,当压强不太高时,可取【2-2】用如图所示的气压式液面计测量封闭油箱中液面高程h。打开阀门1,调整压缩空气的压强,使气泡开始在油箱中逸出,记下U形水银压差计的读数Δh1=150mm,然后关闭阀门1,打开阀门2，同样操作，测得Δh２=210ｍｍ。已知a＝1m，求深度ｈ及油的密度ρ。【解】水银密度记为ρ1。打开阀门1时,设压缩空气压强为ｐ１，考虑水银压差计两边液面的压差，以及油箱液面和排气口的压差,有同样,打开阀门2时,两式相减并化简得代入已知数据，得所以有2基本概念及参数【1-３】测压管用玻璃管制成。水的表面张力系数σ=0.0728Ｎ/m，接触角θ=8º,假如规定毛细水柱高度不超过5mm，玻璃管的内径应为多少？【解】由于ﻫ因此【1－4】高速水流的压强很低,水容易汽化成气泡,对水工建筑物产气愤蚀。拟将小气泡合并在一起，减少气泡的危害。现将10个半径R１=0．1ｍm的气泡合成一个较大的气泡。已知气泡周边的水压强po＝6000Pａ，水的表面张力系数σ＝0.07２N／m。试求合成后的气泡半径Ｒ。【解】小泡和大泡满足的拉普拉斯方程分别是设大、小气泡的密度、体积分别为ρ、V和ρ１、V1。大气泡的质量等于小气泡的质量和，即合成过程是一个等温过程,T=T1。球的体积为V＝4/3πR3,因此令x=R/R1,将已知数据代入上式,化简得上式为高次方程,可用迭代法求解,例如,以xo=2作为初值,三次迭代后得ｘ＝２．2372８４6,误差小于10－５,因此,合成的气泡的半径为还可以算得大、小气泡的压强分布为,。【1－5】一重Ｗ＝500N的飞轮，其回转半径ρ=30ｃｍ，由于轴套间流体粘性的影响，当飞轮以速度ω＝600转/分旋转时，它的减速度ε=0.02m/ｓ2。已知轴套长L=５ｃm，轴的直径ｄ＝２cm,其间隙ｔ=0.05mm，求流体粘度。【解】：由物理学中的转动定律知,导致飞轮减速的力矩Ｍ=Jε，飞轮的转动惯量Ｊ所以力矩另一方面,从摩擦阻力F的等效力系看,导致飞轮减速的力矩为：为线性分布。则ﻫ摩擦阻力矩应等于M,即T=M即所以第2章流体静力学【２-1】试求解图中同高程的两条输水管道的压强差ｐ1-p2，已知液面高程读数z1＝18mm,z2=６２mm，ｚ3＝32mm，z4=5３mm，酒精密度为８０0ｋg/ｍ3。【解】设管轴到水银面4的高程差为ｈｏ，水密度为ρ,酒精密度为ρ1，水银密度为ρ2,则将ｚ的单位换成ｍ，代入数据,得ﻫ【2－2】用如图所示的气压式液面计测量封闭油箱中液面高程h。打开阀门1,调整压缩空气的压强，使气泡开始在油箱中逸出,记下Ｕ形水银压差计的读数Δh1＝1５０ｍｍ,然后关闭阀门1，打开阀门2，同样操作，测得Δh２＝210mｍ。已知a=1m，求深度ｈ及油的密度ρ。【解】水银密度记为ρ1。打开阀门１时,设压缩空气压强为ｐ1,考虑水银压差计两边液面的压差，以及油箱液面和排气口的压差,有同样,打开阀门2时,两式相减并化简得代入已知数据，得所以有【2-３】人在海平面地区每分钟平均呼吸1５次。假如要得到同样的供氧,则在珠穆朗玛峰顶(海拔高度８84８m）需要呼吸多少次？【解】:海平面气温T0=288,ｚ=88４8m处的气温为峰顶压强与海平面压强的比值为峰顶与海平面的空气密度之比为呼吸频率与空气密度成反比,即,【２-4】如图所示,圆形闸门的半径R＝０.1ｍ，倾角α=４5o,上端有铰轴，已知H1＝5m,H2＝1m，不计闸门自重，求启动闸门所需的提高力T。【解】设y轴沿板面朝下，从铰轴起算。在闸门任一点，左侧受上游水位的压强ｐ１,右侧受下游水位的压强ｐ2，其计算式为平板上每一点的压强p1-p2是常数，合力为（ｐ1－ｐ２）A,作用点在圆心上,因此代入已知数据,求得T=871.34N。【2－5】盛水容器底部有一个半径r＝2.5cm的圆形孔口，该孔口用半径R=4ｃm、自重G＝２.４5２N的圆球封闭，如图所示。已知水深Ｈ＝20ｃm,试求升起球体所需的拉力T。【解】用压力体求铅直方向的静水总压力Fz：由于，因此,,【２-６】如图所示的挡水弧形闸门,已知R＝2m，θ＝3０o,ｈ=5m，试求单位宽度所受到的静水总压力的大小。【解】水平方向的总压力等于面EB上的水压力。铅直方向的总压力相应的压力体为CＡBEDC。ﻫﻫ

【2－7】如图所示，底面积为b×ｂ=0.２m×０.2m的方口容器,自重Ｇ＝40N，静止时装水高度h＝0.１5m，设容器在荷重W＝20０Ｎ的作用下沿平面滑动,容器底与平面之间的摩擦系数f＝0.3，试求保证水不能溢出的容器的最小高度。【解】解题的关键在于求出加速度a。假如已知加速度,就可以拟定容器里水面的斜率。考虑水、容器和重物的运动。系统的质量M和外力分别为因此,系统的重力加速度为

代入数据得ａ=５.58９8ｍ/ｓ2容器内液面的方程式为坐标原点放在水面（斜面）的中心点,由图可见，当x＝－ｂ/2时，z＝H-h,代入上式,可见,为使水不能溢出，容器最小高度为０.207m。【2－８】如图所示，液体转速计由一个直径为d1的圆筒、活塞盖以及与其连通的直径为d２两支竖直支管构成。转速计内装液体，竖管距离立轴的距离为R，当转速为ω时，活塞比静止时的高度下降了h,试证明:【解】活塞盖具有重量,系统没有旋转时，盖子处在一个平衡位置。旋转时，盖子下降,竖管液面上升。设系统静止时，活塞盖如实线所示，其高度为h1，竖管的液面高度设为Ｈ1。此时，液体总压力等于盖子重量,设为Ｇ:旋转时,活塞盖下降高度为ｈ，两支竖管的液面上升高度为H。液体压强分布的通式为将坐标原点放在活塞盖下表面的中心,并根据竖管的液面参数拟定上式的积分常数C。当r＝R,ｚ＝H１-h1＋Ｈ+h时,ｐ=pa,因此,液体压强分布为旋转时，液体压力、大气压力的合力应等于盖子重量，即因盖子下表面的相对压强为代入Ｇ式并进行积分，得到

代入上式，化简得

由图中看出，活塞盖挤走的液体都进入两支竖管,因此所以有【2－9】如图所示,U形管角速度测量仪，两竖管距离旋转轴为R1和Ｒ２,其液面高差为Δh,试求ω的表达式。假如Ｒ1＝0.0８m,Ｒ2＝0.２0ｍ,Δｈ=0.06m，求ω的值。【解】两竖管的液面的压强都是pa(本地大气压）,因而它们都在同一等压面上,如图虚线所示。设液面方程为不妨设竖管中较低的液面到转盘的高度差为h。现根据液面边界条件进行计算。当r=R1,z＝h及r=Ｒ２，z=ｈ＋Δh时

；两式相减得所以【2－10】航标灯可用如图所示模型表达:灯座是一个浮在水面的均质圆柱体，高度H＝0.5ｍ,底半径R＝0.6m,自重G=1500N，航灯重W=500N,用竖杆架在灯座上，高度设为z。若规定浮体稳定,z的最大值应为多少？【解】浮体稳定期规定倾半径r大于偏心距e，即ｒ>ｅ先求定倾半径r＝J/Ｖ,浮体所排开的水的体积Ｖ可根据吃水深度h计算。，再求偏心距e,它等于重心与浮心的距离。设浮体的重心为C,它到圆柱体下表面的距离设为ｈC，则根据浮体稳定的规定有化简得r,ｈ的值已经算出,代入其它数据，有z<1.1074m【2-１1】如图所示水压机中,已知压力机柱塞直径Ｄ=２5cm,水泵柱塞直径ｄ＝５cm，密封圈高度h＝2．5cm,密封圈的摩擦系数f=0.15,压力机柱塞重G＝981N，施于水泵柱塞上的总压力P1=８82N,试求压力机最后对重物的压力Ｆ。

【解】:P1所形成的流体静压力压力机柱塞上的总压力

静压力作用在密封圈上的总压力为p∏Dh,方向与柱塞垂直。所以密封圈上的摩擦力

故压力机对重物的压力为ﻫ第3、4章流体运动的基本概念及方程【３－１】已知平面流动的速度分布为,试计算点(0,１)处的加速度。【解】先将极坐标的速度分量换算成直角坐标的速度,然后再求直角坐标中的加速度。将

，,代入，得所以有:在点（０,１）处，，算得，【3－２】验证下列速度分充满足不可压缩流体的连续性方程：（1)

,（2)

，(3）

，【解】：(1)

,,(２）

（3)从速度分布的表达式看出，用极坐标比较方便。当然,使用直角坐标也可以进行有关计算,但求导过程较为复杂。，【3-3】已知平面流场的速度分布为,，试求ｔ=1时通过坐标原点的流线方程。【解】对于固定期刻to，流线的微分方程为积分得这就是时刻to的流线方程的一般形式。根据题意，ｔo＝1时,x＝０,y＝0，因此Ｃ=2【３-4】如图所示的装置测量油管中某点的速度。已知油的密度为ρ=800kg/ｍ3，水银密度为ρ’＝1360０kg/m3,水银压差计的读数Δh=60mm，求该点的流速u。【解】我们分析管流中的一条流至测压管管口的流线，即如图中的流线１－0。这条流线从上游远处到达“L”形管口后发生弯曲，然后绕过管口,沿管壁面延伸至下游。流体沿这条流线运动时,速度是发生变化的。在管口上游远处,流速为u。当流体靠近管口时,流速逐渐变小,在管口处的点0,速度变为0,压强为po，流体在管口的速度虽然变化为0，但流体质点并不是停止不动，在压差作用下,流体从点0开始作加速运动，速度逐渐增大，绕过管口之后,速度逐渐加大至u。综上分析,可以看到,流体沿流线运动,在点1,速度为u，压强为p,在点０,速度为0,压强为po,忽略重力影响,沿流线的伯努利方程是由此可见，只要测出压差为po-p，就可以求出速度u。不妨设压差计的右侧水银面与流线的高差为l。由于流线平直,其曲率半径很大,属缓变流,沿管截面压强的变化服从静压公式,因此,式中,ρ和ρˊ分别是油和水银的密度。将已知数据代入计算，Δh的单位应当是用ｍ表达,Δh=0.06ｍ，得速度为u=4.3391m/ｓ。【３-5】矿山排风管将井下废气派入大气。为了测量排风的流量,在排风管出口处装有一个收缩、扩张的管嘴,其喉部处装有一个细管，下端插入水中，如图所示。喉部流速大,压强低，细管中出现一段水柱。已知空气密度ρ=1．25kg/m3,管径d1＝40０mm,d2=600mｍ,水柱h=４5mm，试计算体积流量Q。【解】截面1－1的管径小,速度大,压强低;截面2-2接触大气,可应用伯努利方程，即运用连续方程，由上式得此外细管有液柱上升,说明p1低于大气压,即式中,ρˊ是水的密度，因此由d1＝4０0mm,d2＝６００ｍｍ可以求出A１和A2,而ρ、ρˊ、h皆已知，可算得【3－6】如图所示,水池的水位高h=４m，池壁开有一小孔,孔口到水面高差为y，假如从孔口射出的水流到达地面的水平距离x＝２m，求ｙ的值。假如要使水柱射出的水平距离最远，则x和y应为多少？【解】孔口的出流速度为流体离开孔口时,速度是沿水平方向的，但在重力作用下会产生铅直向下的运动，设流体质点从孔口降至地面所需的时间为ｔ,则 消去ｔ，得,即解得假如要使水柱射出最远，则由于x是y的函数，当x达成极大值时，ｄx/dy=0,上式两边对y求导,得【3－7】如图所示消防水枪的水管直径d１=0.1２m,喷嘴出口直径d２=0．04m，消防人员持此水枪向距离为ｌ=１2m,高ｈ=15m的窗口喷水，规定水流到达窗口时具有V３=10m／s的速度,试求水管的相对压强和水枪倾角θ。【解】解题思绪:已知V3运用截面2-2和3-３的伯努利方程就可以求出Ｖ2。而运用截面1－1和２－２的伯努利方程可以求出水管的相对压强ｐ1－pａ。水流离开截面2-2以后可以视作斜抛运动，运用有关公式就可以求出倾角θ。对水射流的截面2-2和截面3－3,压强相同,将h、V３代入得Ｖ２＝19.8540m/ｓ。对于喷嘴内的水流截面1-1和截面2-２,有式中，p2＝pa。运用连续方程,则有喷嘴出口水流的水平速度和铅直速度分别是Ｖ２cosθ和Ｖ2sinθ,运用斜抛物体运动公式,不难得到上抛高度ｈ和平抛距离l的计算公式分别为消去时间t得到代入数据,又上式化为【3-8】如图所示,一个水平放置的水管在某处出现θ=３０ｏ的转弯,管径也从ｄ1=0.３m渐变为ｄ2=０.2m,当流量为Q=0.1m3／s时,测得大口径管段中心的表压为2．94×104Pａ,试求为了固定弯管所需的外力。【解】用ｐˊ表达表压，即相对压强,根据题意,图示的截面1－１的表压p1ˊ=p1-pa=2.94×１0４Pa,截面２－２的表压p2ˊ可根据伯努利方程求出。而固定弯管所需的外力,则可以运用总流的动量方程求出。取如图所示的控制体，截面1－1和2－２的平均流速分别为弯管水平放置,两截面高程相同,故总流的动量方程是由于弯管水平放置,因此我们只求水平面上的力。对于图示的控制体,x,ｙ方向的动量方程是

代入数据,得，【3－9】宽度B=1的平板闸门启动时,上游水位h1＝2m，下游水位h2＝0.8m,试求固定闸门所需的水平力Ｆ。ﻫ【解】应用动量方程解本题,取如图所示的控制体,其中截面１-1应在闸门上游足够远处,以保证该处流线平直，流线的曲率半径足够大，该截面上的压强分布服从静压公式。而下游的截面2－２应选在最小过流截面上。由于这两个截面都处在缓变流中，总压力可按平板静水压力计算。控制体的截面1－１上的总压力为1/2ρｇh1Bh1，它是左方水体作用在控制面１－1上的力,方向从左到右。同样地,在控制面2－2上地总压力为1/2ρgｈ２Bｈ２，它是右方水体作用在控制面2－2上的力，方向从右到左。此外,设固定平板所需的外力是Ｆ,分析控制体的外力时，可以看到平板对控制体的作用力的大小就是F，方向从右向左。考虑动量方程的水平投影式:流速和流量可根据连续性方程和伯努利方程求出:ﻫ由以上两式得

；将已知数据代入动量方程，得我们还可以推导F的一般表达式。上面已经由连续方程和伯努利方程求出速度Ｖ2,因而将此式代入动量方程得【3-１0】如图所示，从固定喷嘴流出一股射流，其直径为ｄ，速度为Ｖ。此射流冲击一个运动叶片,在叶片上流速方向转角为θ,假如叶片运动的速度为u，试求:(1）叶片所受的冲击力；(2)水流对叶片所作的功率；(３）当u取什么值时，水流作功最大？【解】射流离开喷嘴时，速度为V，截面积为Ａ=Πd２/4，当射流冲入叶片时,水流相对于叶片的速度为V-u,显然,水流离开叶片的相对速度也是V－ｕ。而射流截面积仍为A。采用固结在叶片上的动坐标,在此动坐标上观测到的水流运动是定常的，设叶片给水流的力如图所示，由动量方程得叶片仅在水平方向有位移,水流对叶片所作功率为:当V固定期,功率Ｐ是u的函数。令：因此,当u=V/3时，水流对叶片所作的功率达成极大值。【3－1１】如图所示，两股速度大小同为V的水射流汇合后成伞状体散开，设两股射流的直径分别为d1和d2，试求散开角θ与d1、ｄ2的关系。假如ｄ2=0.７d１，θ是多少度?不计重力作用。【解】射流暴露在大气中,不考虑重力影响,根据伯努利方程,各射流截面的流速相等。ﻫ汇合流是一个轴对称的伞状体,其截面积逐渐减小,但汇合流量总是不变的,它等于两个射流量Q１和Q2之和。ﻫ作用在水体上的外力和为零,根据动量方程，可以求出张角θ与d１、d2的关系。

当ｄ2=０.7d1时,cosθ＝0.342３,θ=70ｏ【3-１２】如图所示,气体混合室进口高度为2B，出口高度为２b,进、出口气压都等于大气压，进口的速度u０和2u0各占高度为B，出口速度分布为气体密度为ρ,试求气流给混合室壁面的作用力。ﻫﻫ【解】运用连续性方程求出口轴线上的速度um:用动量方程求合力F：【3-13】如图所示，旋转式洒水器两臂长度不等，l1＝1.2m，l2＝1.５ｍ，若喷口直径d=25ｍm，每个喷口的水流量为Q＝3×10－3m3/s【解】水流的绝对速度等于相对速度及牵连速度的矢量和。本题中,相对速度和牵连速度反向,都与转臂垂直。设两个喷嘴水流的绝对速度为V１和V2,则;根据动量矩方程，有以Ｖ1、V2代入上式，得第8章相似原理及量纲分析【８-1】液体在水平圆管中作恒定流动，管道截面沿程不变，管径为Ｄ，由于阻力作用，压强将沿流程下降，通过观测,已知两个相距为l的断面间的压强差Δｐ与断面平均流速V，流体密度ρ，动力粘性系数μ以及管壁表面的平均粗糙度δ等因素有关。假设管道很长，管道进出口的影响不计。试用π定理求Δp的一般表达式。

【解】列出上述影响因素的函数关系式

函数式中Ｎ=７；选取3个基本物理量,依次为几何学量D、运动学量V和动力学量ρ,三个基本物理量的量纲是

其指数行列式为ﻫ说明基本物理量的量纲是独立的。可写出Ｎ－3＝７-3＝4个无量纲π项：,，,

根据量纲和谐原理，各π项中的指数分别拟定如下（以π1为例）：

即

解得x１=1,y1=0,z１=0,所以ﻫ,,，ﻫ以上各π项根据需要取其倒数，但不会改变它的无量纲性质，所以ﻫ求压差Δｐ时,以,代入，可得;令:ﻫ，最后可得沿程水头损失公式为上式就是沿程损失的一般表达式。【8-2】通过汽轮机叶片的气流产生噪声,假设产生噪声的功率为Ｐ,它与旋转速度ω，叶轮直径D,空气密度ρ,声速c有关,试证明汽轮机噪声功率满足【解】由题意可写出函数关系式

现选ω,D，ρ为基本物理量,因此可以组成两个无量纲的π项:

,

基于MLT量纲制可得量纲式

ﻫ

联立上三式求得x1=３，ｙ1＝1,ｚ1＝5所以

,故有

ﻫ一般常将c／ωD写成倒数形式,即ωD/ｃ,其实质就是旋转气流的马赫数,因此上式可改写为【8－３】水流围绕一桥墩流动时，将产生绕流阻力ＦD，该阻力和桥墩的宽度b(或柱墩直径D)、水流速度V、水的密度ρ、动力粘性系数μ及重力加速度ｇ有关。试用π定理推导绕流阻力表达式。【解】依据题意有现选ρ、V、b为基本物理量,由π定理,有，,对于π1项,由量纲和谐定理可得求得x１＝1，y1＝2，z1＝2；故对于π2项,由量纲和谐原理可得解得x2＝1，y2=1,z2=1；故对于π3项，由量纲和谐定理可得第５章管流损失和水力计算【5-1】动力粘性系数μ=0.０７2ｋｇ/(m．s)的油在管径d＝0．1m的圆管中作层流运动，流量Q=3×10－3m３/ｓ,试计算管壁的切应力【解】管流的粘性切应力的计算式为在管流中，当r增大时,速度u减小，速度梯度为负值,因此上式使用负号。圆管层流的速度分布为式中，Ｖ是平均速度；r０是管道半径。由此式可得到壁面的切应力为由流量Q和管径d算得管流平均速度,代入上式可算出τ0:【5－2】明渠水流的速度分布可用水力粗糙公式表达，即式中，y坐标由渠底壁面起算。设水深为Ｈ，试求水流中的点速度等于截面平均速度的点的深度h。【解】：运用分部积分法和罗彼塔法则,得平均速度为当点速度恰好等于平均速度时,可见，点速度等于平均速度的位置距底面的距离为ｙ＝0.367９H，距水面的深度为h=0.６32１H。【5－3】一条输水管长l＝1０0０ｍ，管径d＝0.3ｍ，设计流量Q＝0．05５ｍ3／s,水的运动粘性系数为ν＝10-6ｍ2/s,假如规定此管段的沿程水头损失为hf=3m，试问应选择相对粗糙度Δ/【解】由已知数据可以计算管流的雷诺数Ｒe和沿程水头损失系数λ。

由水头损失

算得λ=0．02915。将数据代入柯列勃洛克公式，有可以求出λ,【5－4】如图所示,密度ρ＝920kg／m3的油在管中流动。用水银压差计测量长度ｌ＝３m的管流的压差，其读数为Δh＝90ｍm。已知管径d＝2５mｍ，测得油的流量为Ｑ＝４.5×10-4m3／ｓ【解】：ﻫ式中，ρˊ＝1３600kg/ｍ3是水银密度;ρ是油的密度。代入数据，算得hｆ＝１.2404m。

算得λ＝0.2412。设管流为层流,λ＝64/Re,因此可见油的流动状态确为层流。因此

【5－5】不同管径的两管道的连接处出现截面忽然扩大。管道1的管径ｄ１＝0．2ｍ,管道２的管径d1=０．3m。为了测量管2的沿程水头损失系数λ以及截面忽然扩大的局部水头损失系数ξ，在突扩处前面装一个测压管,在其它地方再装两测压管，如图所示。已知l１＝1.2m，l２=3ｍ,测压管水柱高度ｈ1＝80mｍ，ｈ2=162mm,h3=１5２ｍm,水流量Q=０.０6m3／ｓ,试求λ和ξ。【解】在长l2的管段内，没有局部水头损失，只有沿程水头损失,因此，将数据代入上式，可得λ=0.０2７22。在长l１的管段内,既有局部水头损失,也有沿程水头损失,列出截面1和2的伯努利方程：因此V1=Ｑ/A１＝1.９1m／ｓ，代入其它数据，有【５－6】水塔的水通过一条串连管路流出,规定输水量Ｑ=０．028ｍ3/ｓ,如图所示。各管的管径和长度分别为：d1＝0.2m，l1＝６00ｍ,d2=0.15m,l2＝300m,d3＝0.18m，ｌ３=500m，各管的沿程水头损失系数相同,λ=0．03。由于锈蚀,管2出现均匀泄漏,每米长度上的泄漏量为q，总泄漏量为Qt＝ql2=0.01５m3/s。试求水塔的水位H【解】不计局部水头损失，则有现分别计算各管的沿程水头损失。对于管道1，其流量应为于是流速和水头损失分别为管道2有泄漏，其右端的出口流量也为Q，即Q2=Q=０.0２8ｍ3/s。其沿程损失管道３的流速和水头损失为总的水头损失为【5-7】如图所示，两个底面直径分别为D1=２ｍ,Ｄ２=1.5m的圆柱形水箱用一条长l＝８m，管径d＝0.１m的管道连通。初始时刻，两水箱水面高差h０=1.2m，在水位差的作用下，水从左水箱流向右水箱。不计局部水头损失,而沿程水头损失系数用光滑管的勃拉休斯公式计算，即式中,，水的运动粘性系数,试求水面高差从h＝ｈ0＝1．2m变为h=0所需的时间T。【解】设初始时刻,左、右水箱水位分别为Ｈ1和H２，水位差h0=H1－H2＝1.2ｍ。某时刻t,左、右水箱的水位分别为ｈ1和h2,水位差h＝h1－h2。显然，h是时间的函数h=h(t)。变水位出流问题仍使用定常公式进行计算。对两水箱的液面应用伯努利方程,有ﻫ将已知量代入上式,得:ﻫ

水从左边流向右边，使左水箱水位下降,右水箱水位上升，根据连续性方程，有将已知数据以及V的表达式代入上式，得【５－８】如图所示的具有并联、串联管路的虹吸管,已知H=４0m，l1=２0０m，l２=100m，l3=500ｍ,d1＝０.2ｍ,d2=0．１ｍ，ｄ3＝0.2５m，λ1＝λ2＝0.０2,λ3=0.02５,求总流量Q。【解】管1和管2并联,此并联管路又与管３串联,因此(1)

（２）（3)由(2）式得，代入(３)式得由式（1)得将已知数值代入上式,计算得,，【5-9】如图所示，水管直径d=20０mm，壁厚δ=6mm，管内水流速度u0＝1.2m/ｓ,管壁材料的弹性模量为Es=20×１010Pa，水的体积弹性系数为E=2×10９Ｐa,试求由于水击压强Δp引起的管壁的拉应力σ。【解】水击波传播速度c和水击压强Δp：管内外的压强差必然会产生管壁的拉应力，如图所示。现取单位长度管道，沿管轴线切开，分析图示的管壁的受力平衡。根据曲面静压力公式知，压强Δp作用在图示的曲面上的总压力为Δｐd，管壁切面的总拉力为，因此一般钢材的许用应力约为[σ]=３0×106Pa,可见水击引起的拉应力差不多到了许用值。第７章气体的一维流动【７-1】空气气流在两处的参数分别为：，，,，求熵增。【解】：

,，,

又因

所以

ﻫ注:空气的气体参数为:，,，【7-２】过热水蒸汽的温度为430℃,压强为5×10６Pa,速度为52５ｍ／ｓ，求水蒸汽的滞止参数。ﻫ

【解】:ﻫ

ﻫ

ﻫ

ﻫ所以：

ﻫ

ﻫ

ﻫ

ﻫ注：水蒸汽的气体参数为:

【7－3】滞止参数为,ｐ0=4×1０5Pa,T0=３80K的过热蒸汽经收缩喷管流出，出口外部的背压为pe=1.5×１05Pa，出口截面积A＝1０－4ｍ2,某截面面积为A１＝6×1０-4ｍ2，试拟定这两个截面上的马赫数Mａ和Ma1。

【解】：

，ﻫ

ﻫ因此出口截面上的气流达临界状态,即：Ma＝１。ﻫ

;

由上三式得到关于Ma1的代数方程，令ｘ=Ma1，则此方程为ﻫ

ﻫ

用迭代法解：

ﻫ得到x=0.097７５和3.20２３（舍去）,因此，

，【7－4】空气从气罐经拉伐尔喷管流入背压为pｅ＝0.９81×105Pa的大气中,气罐中的气体压强为ｐ0=７×10５Ｐａ,温度为T0＝３13K，已知拉伐尔喷管喉部的直径为d＊=25mm，试求:（1）出口马赫数Mａ2；（2）喷管的质量流量;(3)喷管出口截面的直径d2。ﻫ【解】：(1）

;ﻫ

;

所以ﻫ

ﻫ(２)由于出口马赫数大于1，因此气流在喉部达临界状态，流量按下式计算：ﻫ

，ﻫ

,ﻫ

ﻫ（3）

,ﻫ

ﻫ

【７-5】马赫数Ｍa1=2.5,滞止压强p０1＝1.2×106Pa,滞止温度T01＝6０0K的空气进入一条等截面无摩擦的加热管道，假如出口马赫数Ma2＝１，试求加热量ｑ，出口压强p2,滞止压强p０２，出口温度T2，滞止温度T02。

【解】本题的解题环节为：(１)计算进口参数p１,T1;(2)由Ｍa1,Ma2求Ｔ02,ｑ；(３)计算出口参数。ﻫ(１)

进口参数计算：

，

,ﻫ(２)

T02和ｑ的计算：

ﻫ

ﻫ(３)

出口参数计算:ﻫ

，

；

;

ﻫ

第章抱负流体的有旋及无旋流动【-1】已知平面流动的速度分布u=x2+２x－４ｙ,v＝-2xｙ－2y。试拟定流动:(1)是否满足连续性方程;(2)是否有旋；(3)如存在速度势和流函数，求出它们。ﻫ【解】:

（1）ﻫ

，连续性方程得到满足。ﻫ（2）

,流动有旋。ﻫ（3）ﻫ

此流场为不可压缩流体的有旋运动,流函数存在,速度势不存在。

ﻫ

ﻫ由于ﻫ

ﻫ所以

;，ﻫ

注意:复位势W(z）不存在。【－２】已知平面流动的流函数求势函数，并证明速度大小与点的矢径r的平方成正比。【解】：，由于:所以：;【－３】已知复位势为

(1）分析流动由哪些基本势流组成;(2)圆周x2+y2=2上的速度环量Г和流量Q。【解】:(1)

对比点源（汇)，点涡,偶极子的复势，可以看出此流动由下列简朴势流叠加而成：位于原点的偶极子，其强度M=2π，方向角（由点汇指向点源）β＝π；

在点(0,1）和点（0，－1）各有一个点源和点涡，点源强度Q1=２π,点涡强度Г1＝2π,方向为顺时针方向;

在点（０，２)和点(0，－2）各有一个点源和点涡,点源强度Ｑ2=4π,点涡强度Г2=6π，方向为逆时针方向。(2)

圆周x2＋y２＝2内部区域有两个同向涡点(强度为Г1)，尚有两个点源(强度为Q1)，因此在圆周x2+y2＝2上的速度环量和流量分别为

；【－４】势流由一个速度为Ｖ∞，方向与ｘ轴正向一致的均匀流和一个位于坐标原点的强度为Q的电源叠加而成,试求通过驻点的流线方程，并绘出该流线的大体形状。【解】：ﻫ

ﻫ驻点就是速度为零的点,令ﻫ

得ﻫ

可见，驻点的位置为ﻫ

,或，ﻫ通过驻点的流线为

ﻫ当θ＝π／2时，当θ=0时，流线形状如图所示。【－5】求如图所示的势流的流函数以及通过驻点的流线方程。已知:V∞=5,Q＝2０π,ａ=2。【解】：

令：ﻫ

,,则ﻫ下面求驻点位置：ﻫ

所以 ,即

，当x＝－2,y＝0(驻点）时，θ1=π＋π/4,θ2＝π－π/４，过驻点流线方程为

【－6】已知平面流场的速度分布为ｕ=-ｘ－y,v=y，试问(1）流场是否有旋?（2）沿如图所示的曲线ABCD的速度环量Г时多少?【解】:可见,流场内处处有旋，涡量为常数。使用斯托克斯定理,可以使曲线ABCD的速度环量的计算变得简朴当然也可以由速度的线积分直接计算Г。速度为线性分布，矩形每条边的平均速度等于两端点的速度之和的一半,故Г＝－１×2＋1/2×1-（-2)×4－1/２×1=2答案虽然同样,但计算要复杂得多。【-7】已知速度分布为,,试证流线和涡线平行，并求涡量与速度之间的数量关系,式中k，C为常数。【解】：;涡线方程为可以看出,涡线方程与流线方程完全相同。【-8】设不可压缩流体平面运动的流线方程在极坐标下的形式是θ=θ(r)，速度只是r的函数，试证涡量为【解】：不可压缩流体运动的连续性方程为由于速度与θ无关,上式左边第二项为零，因此

流线的方程式为,涡量的表达式是上式右边的第二项为零,因此【－9】已知速度场为

求所围的正方形的速度环量。【解】：根据斯托克斯定理有【－10】已知速度场u＝2y，ｖ＝3x,求椭圆4x2＋9y2=36周线上的速度环量。【解】:椭圆方程可写为其长、短轴分别为a=３，b=２，根据斯托克斯定理，有【－1１】在平面上有三个强度和方向相同的点涡，位置如图所示。试求各个点涡的运动速度。【解】：位于点(3,０）处的点涡的运动速度为,位于点(－3,０）处的点涡的运动速度为，位于点(0，3）处的点涡的运动速度为,【－12】横截面是一个边长为(高为）的如图所示的等边三角形的柱体内部充满抱负不可压缩的均质流体，柱体和其内的流体原先都是静止的,当柱体绕中心轴线以角速度ω作等角速度旋转时，求流体对于三角形柱体的相对运动速度,并拟定相对于柱体的流线形状。【解】：建立如图所示的坐标系,其中档边三角形的高与ｘ轴重合,三条边的方程为;;设流函数为C为待定系数，显然,在边界上流体的旋转角速度为-２ω，即用流函数表达上式，有再将的表达式代入上式,有；;;流线的一般方程为

【-１3】在抱负不可压缩流体的无界流场中有一对点涡如图所示，无穷远处有一股均匀流V∞恰好使这对点涡静止不动，试求V∞与Γ的关系。【解】：位于(０，b）的点涡的运动速度为,若使点涡静止，必有第章粘性流体绕过物体的流动【－１】如图所示,液膜沿倾角为θ的斜面向下流动，设流动定常,液膜厚度ｈ为常数,试求液膜的速度分布式。ﻫ【解】设x轴沿壁面法向，如图所示,y向速度为零，即ｖ＝0。流动定常,x向速度与时间无关。质量力的分量为

,运动方程式为由上式第二个方程积分得液面上流体压强与本地大气压ｐa相等,即由此式得到了待定函数f(ｘ),于是由于ｈ=常数,因而液体压强p与x无关，这样x方向运动方程变为积分得积分常数由下列边界条件拟定，

ﻩ：; ：因此,C1＝－h,Ｃ2＝0【－２】如图所示，两平行的水平平板间有互不相混的不可压缩粘性流体,这两层流体的密度、动力粘性系数和厚度分别为ρ1、μ１、h1和ρ2、μ2、ｈ2，设两板静止,流体在常压强梯度作用下发生层流运动,试求流体的速度分布。【解】这两层流体的运动方程都是积分得因此，两层流体的速度分布可分别表达为;由边界条件拟定积分常数，：：：：由以上四个边界条件解出积分常数C1、C2、D1、Ｄ2:；；最后得速度分布分别为；【－3】考虑振荡平板上方的粘性流动。设有一块无限大平板,此平板上方充满粘性流体，假如平板以速度U0cosωt作振荡,试求流体的速度。ﻫ【解】本问题的微分方程及边界条件分别为

ﻫ

,;，ﻫ本问题采用复数解法，设本问题的解为

ﻫ

的实部。将此表达式代入原式，得到函数f（y)的方程及边界条件：

ﻫ

;,

设此解为ﻫ

ﻫ则

,,

ﻫ因此，本问题的解为

【-4】如图所示，两个半径分别为a和b的同轴圆柱面之间充满均匀不可压缩粘性流体，此两个圆柱分别以角速度ω1和ω2绕轴旋转，试求流体的速度分布。ﻫ【解】这种流动只有切向速度v,径向速度和轴向速度都为零，流动为定常。由于对称关系，流动参数与角度θ无关,因而由圆柱坐标中的Ｎ-S方程可得ﻫ

ﻫ或

ﻫ边界条件ﻫ

运动方程是欧拉方程，设解为：

ﻩﻫ则得ﻫ

ﻫ

代入边界条件得积分常数C1、C2

因此速度分布为

【-５】如图所示,粘性不可压缩流体在无限长的矩形截面管道中作定常层流运动，设矩形的边长分别为2a和2ｂ，试求此管流的速度分布。

【解】设ｘ轴沿管轴线,管截面上的坐标为y和z，原点在矩形中心,设速度仅在x轴上有分量，其余两个速度分量为零,于是ｘ轴上的速度u与ｘ无关，u＝u(ｙ,z)，且管轴线上的压强梯度是一个常数。运动方程和边界条件分别是

;ﻫ方程是非齐次的，但边界条件是齐次的。我们设法使方程变为齐次,同时使一个边界条件保持齐次。令

式中,Y（y)和Z（ｚ）表达ｙ、ｚ的函数。这样，微分方程和边界条件变为

ﻫ

,由边界条件求出本征值：

ﻫ此