2023年广西培贤国际职业学院高职单招（数学）试题库含答案解析

长风破浪会有时，直挂云帆济沧海。住在富人区的她2023年广西培贤国际职业学院高职单招（数学）试题库含答案解析（图片大小可自由调整）全文为Word可编辑，若为PDF皆为盗版，请谨慎购买！第1卷一.综合题(共50题)1.设全集U={1，2，3，4，5}，A∩C∪B={1，2}，则集合C∪A∩B的所有子集个数最多为（）A．3B．4C．7D．8答案：∵全集U={1，2，3，4，5}，A∩C∪B={1，2}，∴当集合C∪A∩B的所有子集个数最多时，集合B中最多有三个元素：3，4，5，且A∩B=?，作出文氏图∴CUA∩B={3，4，5}，∴集合C∪A∩B的所有子集个数为：23=8．故选D．2.（几何证明选讲选做题）

如图，已知PA是圆O的切线，切点为A，直线PO交圆O于B，C两点，AC=2，∠PAB=120°，则切线PA的长度等于______．答案：∵∠PAB=120°，∴优弧ACB=240°，∴劣弧AB=120°，∴∠ACB=60°，又∵OA=OC故∠AOP=60°，OA=AC=2，∠又∵PA是圆O的切线，切点为A，∴∠OAP=90°∴PA=3OA=23故为：233.已知向量p=a|a|+2b|b|，其中a、b均为非零向量，则|p|的取值范围是

______．答案：∵|a|a||=1，|2b|b||=2

∴p2=|p|2=1+4+4a|a|?b|b|?cos＜a|a|，2b|b|＞=5+4?cos＜a|a|，2b|b|＞∈[1，9]，开方可得

|p|的取值范围[1，3]，故为[1，3]．4.图是正方体平面展开图，在这个正方体中

①BM与ED垂直；

②DM与BN垂直．

③CN与BM成60°角；④CN与BE是异面直线．

以上四个命题中，正确命题的序号是______．答案：由已知中正方体的平面展开图，我们可以得到正方体的直观图如下图所示：由正方体的几何特征可得：①BM与ED垂直，正确；

②DM与BN垂直，正确；③CN与BM成60°角，正确；④CN与BE平行，故CN与BE是异面直线，错误；故为：①②③5.已知一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是______．答案：因为三视图复原的几何体是正四棱锥，底面边长为2，高为1，所以四棱锥的体积为13×2×2×1=43．故为：43．6.向面积为S的△ABC内任投一点P，则△PBC的面积小于S2的概率为______．答案：记事件A={△PBC的面积小于S2}，基本事件空间是三角形ABC的面积，（如图）事件A的几何度量为图中阴影部分的面积（DE是三角形的中位线），因为阴影部分的面积是整个三角形面积的34，所以P（A）=阴影部分的面积三角形ABC的面积=34．故为：34．7.已知曲线x2a+y2b=1和直线ax+by+1=0（a，b为非零实数），在同一坐标系中，它们的图形可能是（）A．

B．

C．

D．

答案：A选项中，直线的斜率大于0，故系数a，b的符号相反，此时曲线应是双曲线，故不对；B选项中直线的斜率小于0，故系数a，b的符号相同且都为负，此时曲线不存在，故不对；C选项中，直线斜率为正，故系数a，b的符号相反，且a正，b负，此时曲线应是焦点在x轴上的双曲线，图形符合结论，可选；D选项中不正确，由C选项的判断可知D不正确．故选D8.某校有老师200人，男学生1200人，女学生1000人．现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n的样本；已知从女学生中抽取的人数为80人，则n=______．答案：∵某校有老师200人，男学生1

200人，女学生1

000人．∴学校共有200+1200+1000人由题意知801000=n200+1200+1000，∴n=192．故为：1929.若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的坐标，则点P落在圆x2+y2=16内的概率是______．答案：由题意知，本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的坐标，共有6×6=36种结果，而满足条件的事件是点P落在圆x2+y2=16内，列举出落在圆内的情况：（1，1）（1，2）（1，3）（2，1）（2，2）（2，3）（3，1）（3，2），共有8种结果，根据古典概型概率公式得到P=836=29，故为：2910.阅读下面的程序框图，则输出的S=（）A．14B．20C．30D．55答案：∵S1=0，i1=1；S2=1，i2=2；S3=5，i3=3；S4=14，i4=4；S5=30，i=5＞4退出循环，故为C．11.若过点A（4，0）的直线l与曲线（x-2）2+y2=1有公共点，则直线l的斜率的取值范围为______．答案：设直线l的方程为y=k（x-4），即kx-y-4k=0∵直线l与曲线（x-2）2+y2=1有公共点，∴圆心到直线l的距离小于等于半径即|2k-4k|k2+1≤1，解得-33≤

k≤33∴直线l的斜率的取值范围为[-33，33]故为[-33，33]12.已知空间四边形ABCD的对角线为AC、BD，设G是CD的中点，则+（+）等于（）

A．

B．

C．

D．

答案：C13.一只蚂蚁在三边边长分别为3，4，5的三角形的边上爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率为______．答案：如下图所示，当蚂蚁位于图中红色线段上时，距离三角形的三个顶点的距离均超过1，由已知易得：红色线段的长度和为：6三角形的周长为：12故P=612=12故为：1214.若则实数λ的值是（）

A．

B.

C．

D．答案：D15.命题“梯形的两对角线互相不平分”的命题形式为（）A．p或qB．p且qC．非pD．简单命题答案：记命题p：梯形的两对角线互相平分，

而原命题是“梯形的两对角线互相不平分”，是命题p的否定形式

故选C16.扇形周长为10，则扇形面积的最大值是（）A．52B．254C．252D．102答案：设半径为r，弧长为l，则周长为2r+l=10，面积为s=12lr，因为10=2r+l≥22rl，所以rl≤252，所以s≤254故选B17.方程x（x2+y2-1）=0和x2-（x2+y2-1）2=0表示的图形是（）

A．都是两个点

B．一条直线和一个圆

C．前者为两个点，后者是一条直线和一个圆

D．前者是一条直线和一个圆，后者是两个圆答案：D18.下列各组向量中，可以作为基底的是（）A．e1=(0，0)，e2=(-2，1)B．e1=(4，6)，e2=(6，9)C．e1=(2，-5)，e2=(-6，4)D．e1=(2，-3)，e2=(12，-34)答案：A、中的2个向量的坐标对应成比例，0-2=01，所以，这2个向量是共线向量，故不能作为基底．B、中的2个向量的坐标对应成比例，46=69，所以，这2个向量是共线向量，故不能作为基底．C中的2个向量的坐标对应不成比例，2-6≠-54，所以，这2个向量不是共线向量，故可以作为基底．D、中的2个向量的坐标对应成比例，212=-3-34，这2个向量是共线向量，故不能作为基底．故选C．19.已知顶点在坐标原点，焦点在x轴上的抛物线被直线y=2x+1截得的弦长为15，求此抛物线方程．答案：由题意可设抛物线的方程y2=2px（p≠0），直线与抛物线交与A（x1，y1），B（x2，y2）联立方程y2=2pxy=2x+1可得，4x2+（4-2p）x+1=0则x1+x2=12p-1，x1x2=14，y1-y2=2（x1-x2）AB=(x1-x2)2+(y1-y2)2=5(x1-x2)2=5[(x1+x2)2-4x1x2

]=5(12p-1)2-5=15解得p=6或p=-2∴抛物线的方程为y2=12x或y2=-4x20.动点P到直线x+2=0的距离减去它到M（1，0）的距离之差等于1，则动点P的轨迹是______．答案：将直线x+2=0向右平移1个长度单位得到直线x+1=0，则动点到直线x+1=0的距离等于它到M（1，0）的距离，由抛物线定义知：点P的轨迹是以点M为焦点的抛物线．：以点M为焦点以x=-1为准线的抛物线．21.用黄金分割法寻找最佳点，试验区间为[1000，2000]，若第一个二个试点为好点，则第三个试点应选在（

）。答案：123622.为了考察两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两位同学各自独立地做10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l1和l2，已知两个人在试验中发现对变量x的观测数据的平均值都是s，对变量y的观测数据的平均值都是t，那么下列说法正确的是（）

A．l1和l2必定平行

B．l1与l2必定重合

C．l1和l2有交点（s，t）

D．l1与l2相交，但交点不一定是（s，t）答案：C23.过椭圆4x2+y2=1的一个焦点F1的直线与椭圆交于A，B两点，则A与B和椭圆的另一个焦点F1构成的△ABF2的周长为（）

A．2

B．2

C．4

D．8答案：C24.设A={x|2x2+ax+2=0}，B={x|x2+3x+2a=0}，A∩B={2}．

（1）求a的值及集合A、B；

（2）设全集U=A∪B，求（CUA）∪（CUB）的所有子集．答案：解：（1）∵A∩B={2}，∴2∈A，∴8+2a+2=0，∴a=﹣5；B={2，﹣5}（2）U=A∪B=，∴CUA={﹣5}，CUB=∴（CUA）∪（CUB）=∴（CUA）∪（CUB）的所有子集为：，{﹣5}，{}，{﹣5，}．25.袋子里有大小相同的3个红球和4个黑球，今从袋子里随机取球．

（Ⅰ）若有放回地取3次，每次取1个球，求取出1个红球2个黑球的概率；

（Ⅱ）若无放回地取3次，每次取1个球，

①求在前2次都取出红球的条件下，第3次取出黑球的概率；

②求取出的红球数X

的分布列和数学期望．答案：（Ⅰ）记“取出1个红球2个黑球”为事件A，根据题意有P(A)=C13(37)×(47)2=144343；

所以取出1个红球2个黑球的概率是144343．（Ⅱ）①记“在前2次都取出红球”为事件B，“第3次取出黑球”为事件C，则P(B)=3×27×6=17，P(BC)=3×2×47×6×5=435，所以P(C|B)=P(BC)P(B)=43517=45．所以在前2次都取出红球的条件下，第3次取出黑球的概率是45．②随机变量X

的所有取值为0，1，2，3．P(X=0)=C34?A33A37=435，P(X=1)=C24C13?A33A37=1835，P(X=2)=C14C23?A33A37=1235，P(X=3)=C33?A33A37=135．所以X的分布列为：所以EX=0×435+1×1835+2×1235+3×135=4535=97．26.已知平面α内有一个点A（2，-1，2），α的一个法向量为=（3，1，2），则下列点P中，在平面α内的是（）

A．（1，-1，1）

B．（1，3，）

C．,（1,-3，）

D．（-1,3，-）答案：B27.

如图，平面内向量，的夹角为90°，，的夹角为30°，且||=2，||=1，||=2，若=λ+2

，则λ等（）

A．

B．1

C．

D．2

答案：D28.将函数进行平移，使得到的图形与抛物线的两个交点关于原点对称，试求平移后的图形对应的函数解析式．答案：函数解析式是解析：将函数进行平移，使得到的图形与抛物线的两个交点关于原点对称，试求平移后的图形对应的函数解析式．29.如果圆x2+y2+Gx+Ey+F=0与x轴相切于原点，那么（）A．F=0，G≠0，E≠0B．E=0，F=0，G≠0C．G=0，F=0，E≠0D．G=0，E=0，F≠0答案：圆与x轴相切于原点，则圆心在y轴上，G=0，圆心的纵坐标的绝对值等于半径，F=0，E≠0．故选C．30.已知向量a与b的夹角为60°，且|a|=1，|b|=2，那么（a+b）2的值为______．答案：由题意可得a?b=|a|?|b|cos＜a

，

b＞=1×2×cos60°=1．∴（a+b）2=a2+b2+2a?b=1+4+2×1=7．故为：7．31.已知抛物线x2=4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且AF=λFB(λ＞0)．过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M．

（I）证明FM.AB为定值；

（II）设△ABM的面积为S，写出S=f（λ）的表达式，并求S的最小值．答案：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（xo，yo），焦点F（0，1），准线方程为y=-1，显然AB斜率存在且过F（0，1）设其直线方程为y=kx+1，联立4y=x2消去y得：x2-4kx-4=0，判别式△=16（k2+1）＞0．x1+x2=4k，x1x2=-4于是曲线4y=x2上任意一点斜率为y'=x2，则易得切线AM，BM方程分别为y=（12）x1（x-x1）+y1，y=（12）x2（x-x2）+y2，其中4y1=x12，4y2=x22，联立方程易解得交点M坐标，xo=x1+x22=2k，yo=x1x24=-1，即M（x1+x22，-1）从而，FM=（x1+x22，-2），AB（x2-x1，y2-y1）FM•AB=12（x1+x2）（x2-x1）-2（y2-y1）=12（x22-x12）-2[14（x22-x12）]=0，（定值）命题得证．这就说明AB⊥FM．（Ⅱ）由（Ⅰ）知在△ABM中，FM⊥AB，因而S=12|AB||FM|．|FM|=(x1+x22)2+(-2)2=14x12+14x22+12x1x2+4=λ+1λ+2=λ+1λ．因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y=-1的距离，所以|AB|=|AF|+|BF|=y1+y2+2=λ+1λ+2=（λ+1λ）2．于是S=12|AB||FM|=12（λ+1λ）3，由λ+1λ≥2知S≥4，且当λ=1时，S取得最小值4．32.若动点P到两个定点F1（-1，0）、F2（1，0）的距离之差的绝对值为定值a（0≤a≤2），试求动点P的轨迹．答案：①当a=0时，||PF1|-|PF2||=0，从而|PF1|=|PF2|，所以点P的轨迹为直线：线段F1F2的垂直平分线．②当a=2时，||PF1|-|PF2||=2=|F1F2|，所以点P的轨迹为两条射线．③当0＜a＜2时，||PF1|-|PF2||=a＜|F1F2|，所以点P的轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线．33.下列图象中不能作为函数图象的是（）A．

B．

C．

D．

答案：根据函数的概念：如果在一个变化过程中，有两个变量x、y，对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与之对应，这时称y是x的函数．结合选项可知，只有选项B中是一个x对应1或2个y故选B．34.若f（x）=x2，则对任意实数x1，x2，下列不等式总成立的是(

)

A．f（）≤

B．f（）＜

C．f（）≥

D．f（）＞答案：A35.无论m，n取何实数值，直线(3m-n)x+(m+2n)y-n=0都过定点P，则P点坐标为

A.(-1，3)

B.

C.

D.答案：D36.已知点P的坐标为（3，4，5），试在空间直角坐标系中作出点P．答案：由P（3，4，5）可知点P在Ox轴上的射影为A（3，0，0），在Oy轴上射影为B（0，4，0），以OA，OB为邻边的矩形OACB的顶点C是点P在xOy坐标平面上的射影C（3，4，0）．过C作直线垂直于xOy坐标平面，并在此直线的xOy平面上方截取5个单位，得到的就是点P．37.定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的=（m，n），=（p，q）

，令⊙=mq-np，下面说法错误的序号是（）

①若若a与共线，则⊙=0

②⊙=⊙a

③对任意的λ∈R，有（λ）⊙=λ（⊙）

④（⊙）2+（a）2=||2||2

A．②

B．①②

C．②④

D．③④答案：A38.若平面α与β的法向量分别是a=（1，0，-2），b=（-1，0，2），则平面α与β的位置关系是（）A．平行B．垂直C．相交不垂直D．无法判断答案：∵a=（1，0，-2），b=（-1，0，2），∴a+b=（1-1，0+0，-2+2）=（0，0，0），即a+b=0由此可得a∥b∵a、b分别是平面α与β的法向量∴平面α与β的法向量平行，可得平面α与β互相平行．39.将参数方程x=2sinθy=1+2cos2θ（θ为参数，θ∈R）化为普通方程，所得方程是______．答案：由x=2sinθ

①y=1+2cos2θ

②，因为θ∈R，所以-1≤sinθ≤1，则-2≤x≤2．由①两边平方得：x2=2sin2θ③由②得y-1=2cos2θ④③+④得：x2+y-1=2，即y=-x2+3（-2≤x≤2）．故为y=-x2+3（-2≤x≤2）．40.用三段论的形式写出下列演绎推理．

（1）若两角是对顶角，则该两角相等，所以若两角不相等，则该两角不是对顶角；

（2）矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以，正方形的对角线相等．答案：（1）两个角是对顶角则两角相等，大前提∠1和∠2不相等，小前提∠1和∠2不是对顶角．结论（2）每一个矩形的对角线相等，大前提正方形是矩形，小前提正方形的对角线相等．结论41.某学校三个社团的人员分布如下表（每名同学只参加一个社团）：

声乐社排球社武术社高一4530a高二151020学校要对这三个社团的活动效果里等抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取30人，结果声乐社被抽出12人，则a=______．答案：根据分层抽样的定义和方法可得，1245+15=30120+a，解得a=30，故为3042.经过两点A（-3，5），B（1，1

）的直线倾斜角为______．答案：因为两点A（-3，5），B（1，1

）的直线的斜率为k=1-51-(-3)=-1所以直线的倾斜角为：135°．故为：135°．43.已知某一随机变量ξ的分布列如下，且Eξ=6.3，则a的值为（）

ξ

4

a

9

P

0.5

0.1

b

A．5

B．6

C．7

D．8答案：C44.用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是（）

A．假设至少有一个钝角

B．假设没有一个钝角

C．假设至少有两个钝角

D．假设没有一个钝角或至少有两个钝角答案：C45.已知函数y=f（x）是R上的奇函数，其零点为x1，x2，…，x2011，则x1+x2+…+x2011=______．答案：∵f（x）是R上的奇函数，∴0是函数y=f（x）的零点．其他非0的零点关于原点对称．∴x1+x2+…+x2011=0．故为：0．46.正态曲线下、横轴上，从均值到+∞的面积为______答案：由正态曲线的对称性特点知，曲线与x轴之间的面积为1，所以从均数到的面积为整个面积的一半，即50%．填：0.5．47.已知向量a=（2，0），b=（1，x），且a、b的夹角为π3，则x=______．答案：由两个向量的数量积的定义、数量积公式可得a?b=2+0=21+x2cosπ3=21+x2=12，x2=3，∴x=±3，故为±3．48.

如图，已知平行六面体OABC-O1A1B1C1，点G是上底面O1A1B1C1的中心，且，则用

表示向量为（

）

A．

B．

C．

D．

答案：A49.设直线l与平面α相交，且l的方向向量为a，α的法向量为n，若＜a，n＞=，则l与α所成的角为（）

A．

B．

C．

D．答案：C50.以椭圆x23+y2=1的右焦点为焦点，且顶点在原点的抛物线标准方程为______．答案：∵椭圆x23+y2=1的右焦点F（2，0），∴以F（2，0）为焦点，顶点在原点的抛物线标准方程为y2=42x．故为：y2=42x．第2卷一.综合题(共50题)1.曲线的参数方程为（t是参数），则曲线是（

）

A．线段

B．双曲线的一支

C．圆

D．射线答案：D2.如图，△ABC是圆的内接三角形，PA切圆于点A，PB交圆于点D．若∠ABC=60°，PD=1，BD=8，则∠PAC=______°，PA=______．答案：∵PD=1，BD=8，∴PB=PD+BD=9由切割线定理得PA2=PD?PB=9∴PA=3又∵PE=PA∴PE=3又∠PAC=∠ABC=60°故：60，33.电子手表厂生产某批电子手表正品率为，次品率为，现对该批电子手表进行测试，设第X次首次测到正品，则P（1≤X≤2013）等于（）

A．1-()2012

B．1-()2013

C．1-()2012

D．1-()2013答案：B4.给出下列说法：①球的半径是球面上任意一点与球心的连线段；②球的直径是球面上任意两点的连线段；③用一个平面截一个球面，得到的是一个圆；④球常用表示球心的字母表示．其中说法正确的是______．答案：根据球的定义直接判断①正确；②错误；；③用一个平面截一个球面，得到的是一个圆；可以是小圆，也可能是大圆，正确；④球常用表示球心的字母表示．满足球的定义正确；故为：①③④5.复数z=sin1+icos2在复平面内对应的点位于第______象限．答案：z对应的点为（sin1，cos2）∵1是第一象限的角，2是第二象限的角∵sin1＞0，cos2＜0所以（sin1，cos2）在第四象限故为：四6.如图为△ABC和一圆的重迭情形，此圆与直线BC相切于C点，且与AC交于另一点D．若∠A=70°，∠B=60°，则的度数为何（）

A．50°

B．60°

C．100°

D．120°

答案：C7.已知当抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽8米．当水面升高1米后，水面宽度是______米．答案：由题意，建立如图所示的坐标系，抛物线的开口向下，设抛物线的标准方程为x2=-2py（p＞0）∵顶点距水面2米时，量得水面宽8米∴点（4，-2）在抛物线上，代入方程得，p=4∴x2=-8y当水面升高1米后，y=-1代入方程得：x=±22∴水面宽度是42米故为：428.长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3，5，15，则它的体积为______．答案：设长方体过同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，∵从长方体一个顶点出发的三个面的面积分别为3，5，15，∴a?b=3，a?c=5，b?c=15∴（a?b?c）2=152∴a?b?c=15即长方体的体积为15，故为：15．9.已知函数f(x)=x21+x2，那么f(1)+f(2)+f(12)+f(3)+f(13)+f(4)+f(14)=______．答案：∵f(x)=x21+x2，∴f（1x）=11+x2∴f（x）+f（1x）=1∴f（2）+f（12）=1，f（3）+f（13）=1，f（4）+f（14）=1，f（1）=12∴f(1)+f(2)+f(12)+f(3)+f(13)+f(4)+f(14)=72故为：7210.下列数字特征一定是数据组中的数是（）

A．众数

B．中位数

C．标准差

D．平均数答案：A11.两平行直线x+3y-5=0与x+3y-10=0的距离是______．答案：根据题意，得两平行直线x+3y-5=0与x+3y-10=0的距离为d=|-5+10|12+32=102故为：10212.如图表示空间直角坐标系的直观图中，正确的个数为（）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个答案：C13.选修4-2：矩阵与变换

已知矩阵A=33cd，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1=11，属于特征值1的一个特征向量为α2=3-2．求矩阵A的逆矩阵．答案：由矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1=11，可得33cd11=611，即c+d=6；由矩阵A属于特征值1的一个特征向量为α2=3-2可得，33cd3-2=3-2，即3c-2d=-2，解得c=2d=4，即A=3324，A逆矩阵是23-12-1312．14.不等式x+x3≥0的解集是（

）。答案：{x|x≥0}15.设F1，F2是双曲线x29-y216=1的两个焦点，点P在双曲线上，且∠F1PF2=90°，求△F1PF2的面积．答案：双曲线x29-y216=1的a=3，c=5，不妨设PF1＞PF2，则PF1-PF2=2a=6F1F22=PF12+PF22，而F1F2=2c=10得PF12+PF22=（PF1-PF2）2+2PF1•PF2=100∴PF1•PF2=32∴S=12PF1•PF2=16△F1PF2的面积16．16.|a|=2，|b|=3，|a+b|=4，则a与b的夹角是______．答案：∵|a+b|=4，∴a2+2a?b+b2=16∴a?b=32∴cos＜a，b＞=a?b|.a|×|.b|=322×3=14∵＜a，b＞∈[0°，180°]∴.a与.b的夹角为arccos14故为arccos1417.不等式的解集是（

）

A．（-3,2）

B．（2，+∞）

C．（-∞，-3）∪（2，+∞）

D．（-∞，-3）∪（3，+∞）答案：C18.各项都为正数的数列{an}，满足a1=1，an+12-an2=2．

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）证明1a1+1a2+…+1an≤2n-1对一切n∈N+恒成立．答案：（Ⅰ）∵an+12-an2=2，∴an2为首项为1，公差为2的等差数列，∴an2=1+（n-1）×2=2n-1，又an＞0，则an=2n-1（Ⅱ）只需证：1+13+…+12n-1≤

2n-1．1当n=1时，左边=1，右边=1，所以命题成立．当n=2时，左边＜右边，所以命题成立②假设n=k时命题成立，即1+13+…+12k-1≤2k-1，当n=k+1时，左边=1+13+…+12K-1+12K+1≤2K-1+12K+1．＜2K-1+22K+1+2K-1=2K-1+2(2K+1-2K-1)

2=2(K+1)-1．命题成立由①②可知，1a1+1a2+…+1an≤2n-1对一切n∈N+恒成立．19.若=（2，-3，1）是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是（）

A．（0，-3，1）

B．（2，0，1）

C．（-2，-3，1）

D．（-2，3，-1）答案：D20.（1）若三条直线2x+3y+8=0，x-y-1=0和x+ky=0相交于一点，则k的值为？

（2）若α∈N，又三点A（α，0），B（0，α+4），C（1，3）共线，求α的值．答案：（1）由2x+3y+8=0x-y-1=0解得x=-1，y=-2，∴直线2x+3y+8=0和x-y-1=0的交点为（-1，-2）．∵三条直线2x+3y+8=0，x-y-1=0和x+ky=0相交于一点，∴（-1，-2）在直线x+ky=0上，∴-1-2k=0，解得k=-12．（2）A、B、C三点共线，说明直线AB与直线AC的斜率相等∴a+4-00-a=3-01-a，解得：a=221.对于平面几何中的命题：“夹在两条平行线之间的平行线段相等”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：“______”．答案：在由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时，我们常用由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质，故由平面几何中的命题：“夹在两条平行线这间的平行线段相等”，我们可以推断在立体几何中：“夹在两个平行平面间的平行线段相等”这个命题是一个真命题．故为：“夹在两个平行平面间的平行线段相等”．22.椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为______．答案：方程x2+my2=1变为x2+y21m=1∵焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，∴1m=2，解得m=14故应填1423.椭圆的长轴长为10，短轴长为8，则椭圆上的点到椭圆中心的距离的取值范围是______．答案：椭圆上的点到圆心的最小距离为短半轴的长度，最大距离为长半轴的长度因为椭圆的长轴长为10，短轴长为8，所以椭圆上的点到圆心的最小距离为4，最大距离为5所以椭圆上的点到椭圆中心距离的取值范围是[4，5]故为：[4，5]24.对于空间四点A、B、C、D，命题p：AB=xAC+yAD，且x+y=1；命题q：A、B、C、D四点共面，则命题p是命题q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案：根据命题p：AB=xAC+yAD，且x+y=1，可得AB

、AC

、AD

共面，从而可得命题q：A、B、C、D四点共面成立，故命题p是命题q的充分条件．根据命题q：A、B、C、D四点共面，可得A、B、C、D四点有可能在同一条直线上，若AB=xAC+yAD，则x+y不一定等于1，故命题p不是命题q的必要条件．综上，可得命题p是命题q的充分不必要条件．故选：A．25.关于直线a，b，c以及平面M，N，给出下面命题：

①若a∥M，b∥M，则a∥b

②若a∥M，b⊥M，则b⊥a

③若a∥M，b⊥M，且c⊥a，c⊥b，则c⊥M

④若a⊥M，a∥N，则M⊥N，

其中正确命题的个数为（）

A．0个

B．1个

C．2个

D．3个答案：C26.把4名男生和4名女生排成一排，女生要排在一起，不同排法的种数为（）

A．A88

B．A55A44

C．A44A44

D．A85答案：B27.（几何证明选讲选做题）

如图，已知PA是圆O的切线，切点为A，直线PO交圆O于B，C两点，AC=2，∠PAB=120°，则切线PA的长度等于______．答案：∵∠PAB=120°，∴优弧ACB=240°，∴劣弧AB=120°，∴∠ACB=60°，又∵OA=OC故∠AOP=60°，OA=AC=2，∠又∵PA是圆O的切线，切点为A，∴∠OAP=90°∴PA=3OA=23故为：2328.下列哪组中的两个函数是同一函数（）A．y=(x)2与y=xB．y=(3x)3与y=xC．y=x2与y=(x)2D．y=3x3与y=x2x答案：A、y=x与y=x2的定义域不同，故不是同一函数．B、y=(3x)3=x与y=x的对应关系相同，定义域为R，故是同一函数．C、fy=x2与y=(x)2的定义域不同，故不是同一函数．D、y=3x3与y=x2x

具的定义域不同，故不是同一函数．故选B．29.一口袋内装有5个黄球，3个红球，现从袋中往外取球，每次取出一个，取出后记下球的颜色，然后放回，直到红球出现10次时停止，停止时取球的次数ξ是一个随机变量，则P（ξ=12）=______．（填算式）答案：若ξ=12，则取12次停止，第12次取出的是红球，前11次中有9次是红球，∴P（ξ=12）=C119（38）9×（58）2×38=C911(38)10(58)2

故为C911(38)10(58)230.已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆x2+3y2=4上，对角线BD所在直线的斜率为1．

（Ⅰ）当直线BD过点（0，1）时，求直线AC的方程；

（Ⅱ）当∠ABC=60°时，求菱形ABCD面积的最大值．答案：（Ⅰ）由题意得直线BD的方程为y=x+1．因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD．于是可设直线AC的方程为y=-x+n．由x2+3y2=4y=-x+n得4x2-6nx+3n2-4=0．因为A，C在椭圆上，所以△=-12n2+64＞0，解得-433＜n＜433．设A，C两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则x1+x2=3n2，x1x2=3n2-44，y1=-x1+n，y2=-x2+n．所以y1+y2=n2．所以AC的中点坐标为(3n4，n4)．由四边形ABCD为菱形可知，点(3n4，n4)在直线y=x+1上，所以n4=3n4+1，解得n=-2．所以直线AC的方程为y=-x-2，即x+y+2=0．（Ⅱ）因为四边形ABCD为菱形，且∠ABC=60°，所以|AB|=|BC|=|CA|．所以菱形ABCD的面积S=32|AC|2．由（Ⅰ）可得|AC|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=-3n2+162，所以S=34(-3n2+16)(-433＜n＜433)．所以当n=0时，菱形ABCD的面积取得最大值43．31.将函数y=sin(x+)的图象按向量=(-m,0)平移所得的图象关于y轴对称，则m最小正值是

（

）

A．

B．

C．

D．答案：A32.已知：空间四边形ABCD，AB=AC，DB=DC，求证：BC⊥AD．答案：取BC的中点为E，∵AB=AC，∴AE⊥BC．∵DB=DC，∴DE⊥BC．这样，BC就和平面ADE内的两条相交直线AE、DE垂直，∴BC⊥面ADE，∴BC⊥AD．33.已知x、y的取值如下表：x0134y2.24.34.86.7从散点图分析，y与x线性相关，且回归方程为y=0.95x+a，则a=______．答案：点(.x，.y)在回归直线上，计算得.x=2，.y=4.5；代入得a=2.6；故为2.6．34.抛物线y=ax2（其中a＞0）的焦点坐标是（

）

A．(，0)

B．(0，)

C．(，0)

D．(0，)答案：D35.如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上一点，AE⊥DC交DC的延长线于点E，且AC平分∠EAB．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若AB=6，AE=245，求BD和BC的长．答案：（1）证明：连接OC∵AC平分∠EAB∴∠EAC=∠BAC又在圆中OA=OC∴∠AC0=∠BAC∴∠EAC=∠ACO∴OC∥AE（内错角相等，两直线平行）则由AE⊥DC知OC⊥DC即DE是⊙O的切线．（2）∵∠D=∠D，∠E=∠OCD=90°∴△DCO∽△DEA∴BD=2∵Rt△EAC∽Rt△CAB．∴AC2=1445由勾股定理得BC=655．36.已知两条直线l1：y=x，l2：ax-y=0，其中a为实数，当这两条直线的夹角在（0，）内变动时，a的取值范围是（

）

A．（0，1）

B．

C．

D．答案：C37.已知空间四边形OABC，M，N分别是OA，BC的中点，且OA=a，OB=b，OC=c，用a，b，c表示向量MN为（）A．12a+12b+12cB．12a-12b+12cC．-12a+12b+12cD．-12a+12b-12c答案：如图所示，连接ON，AN，则ON=12（OB+OC）=12（b+c），AN=12（AC+AB）=12（OC-2OA+OB）=12（-2a+b+c）=-a+12b+12c，所以MN=12（ON+AN）=-12a+12b+12c．故选C．38.对变量x、y有观测数据（xi，yi）（i=1，2，…，10），得散点图1；对变量u，v有观测数据（ui，vi）（i=1，2，…，10），得散点图2．由这两个散点图可以判断（）

A．变量x与y正相关，u与v正相关

B．变量x与y正相关，u与v负相关

C．变量x与y负相关，u与v正相关

D．变量x与y负相关，u与v负相关答案：C39.方程x2+y2=1（xy＜0）的曲线形状是（）

A．

B．

C．

D．

答案：C40.某简单几何体的三视图如图所示，其正视图．侧视图．俯视图均为直角三角形，面积分别是1，2，4，则这个几何体的体积为（）A．83B．43C．8D．4答案：由三视图知几何体是一个三棱锥，设出三棱锥的三条两两垂直的棱分别是x，y，z∴xy=2

①xz=4

②yz=8

③由①②得z=2y

④∴y=2∴以y为高的底面面积是2，∴三棱锥的体积是13×2×2=43故选B．41.点M（2，-3，1）关于坐标原点对称的点是（）

A．（-2，3，-1）

B．（-2，-3，-1）

C．（2，-3，-1）

D．（-2，3，1）答案：A42.已知A(3，0)，B(0，3)，O为坐标原点，点C在第一象限内，且∠AOC=60°，设OC=OA+λOB

(λ∈R)，则λ等于（）A．33B．3C．13D．3答案：∵OC=OC=OA+λOB(λ∈R)，∠AOC=60°∴|λOB|=

3tan60°=33又∵|OB|=3∴λ=3故选D．43.满足条件|z|=|3+4i|的复数z在复平面上对应点的轨迹是______．答案：|z|=5，即点Z到原点O的距离为5∴z所对应点的轨迹为以（0，0）为圆心，5为半径的圆．44.不等式的解集是

（

）A．B．C．D．答案：B解析：当时，不等式成立；当时，不等式可化为，解得综上，原不等式解集为故选B45.下列关于算法的说法中正确的个数是（）

①求解某一类问题的算法是唯一的；

②算法必须在有限步操作之后停止；

③算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义或模糊；

④算法执行后一定产生确定的结果．A．1B．2C．3D．4答案：由算法的概念可知：求解某一类问题的算法不是唯一的，故①不正确；算法是有限步，结果明确性，②④是正确的．对于③，算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义或模糊是正确的；故③正确．∴关于算法的说法中正确的个数是3．故选C．46.正方体AC1中，S，T分别是棱AA1，A1B1上的点，如果∠TSC=90°，那么∠TSB=______．答案：由题意，BC⊥平面A1B，∵S，T分别是棱AA1，A1B1上的点，∴BC⊥ST∵∠TSC=90°，∴ST⊥SC∵BC∩SC=C∴ST⊥平面SBC∴ST⊥SB∴∠TSB=90°，故为：90°47.A、B为球面上相异两点，则通过A、B两点可作球的大圆有（）A．一个B．无穷多个C．零个D．一个或无穷多个答案：如果A，B两点为球面上的两极点（即球直径的两端点）则通过A、B两点可作球的无数个大圆如果A，B两点不是球面上的两极点（即球直径的两端点）则通过A、B两点可作球的一个大圆故选：D48.直线L1：ax+3y+1=0，L2：2x+（a+1）y+1=0，若L1∥L2，则a的值为（

）

A．-3

B．2

C．-3或2

D．3或-2答案：A49.集合{0，1}的子集有（）个．A．1个B．2个C．3个D．4个答案：根据题意，集合{0，1}的子集有{0}、{1}、{0，1}、?，共4个，故选D．50.如图所示，I为△ABC的内心，求证：△BIC的外心O与A、B、C四点共圆．答案：证明：连接OB、BI、OC，由O是外心知∠IOC=2∠IBC．由I是内心知∠ABC=2∠IBC．从而∠IOC=∠ABC．同理∠IOB=∠ACB．而∠A+∠ABC+∠ACB=180°，故∠BOC+∠A=180°，于是O、B、A、C四点共圆．第3卷一.综合题(共50题)1.经过抛物线y2=2x的焦点且平行于直线3x-2y+5=0的直线的方程是（）

A．6x-4y-3=0

B．3x-2y-3=0

C．2x+3y-2=0

D．2x+3y-1=0答案：A2.设全集U={1，2，3，4，5}，A∩C∪B={1，2}，则集合C∪A∩B的所有子集个数最多为（）A．3B．4C．7D．8答案：∵全集U={1，2，3，4，5}，A∩C∪B={1，2}，∴当集合C∪A∩B的所有子集个数最多时，集合B中最多有三个元素：3，4，5，且A∩B=?，作出文氏图∴CUA∩B={3，4，5}，∴集合C∪A∩B的所有子集个数为：23=8．故选D．3.圆x2+y2=1在矩阵10012对应的变换作用下的结果为______．答案：设P（x，y）是圆C：x2+y2=1上的任一点，P1（x′，y′）是P（x，y）在矩阵A=10012对应变换作用下新曲线上的对应点，则x′y′=10012xy=1x12y即x′=xy′=12y，所以x=x′y=2y′，将x=x′y=2y′代入x2+y2=1，得x2+4y2=1，（8分）故为：x2+4y2=1．4.已知命题p、q，若命题“p∨q”与命题“￢p”都是真命题，则（）A．命题q一定是真命题B．命题q不一定是真命题C．命题p不一定是假命题D．命题p与命题q的真值相等答案：∵命题“￢p”与命题“p∨q”都是真命题，∴命题p为假命题，q为真命题．故选A．5.已知动点M到定点F（1，0）的距离比M到定直线x=-2的距离小1．

（1）求证：M点的轨迹是抛物线，并求出其方程；

（2）大家知道，过圆上任意一点P，任意作互相垂直的弦PA、PB，则弦AB必过圆心（定点）．受此启发，研究下面问题：

1过（1）中的抛物线的顶点O任意作互相垂直的弦OA、OB，问：弦AB是否经过一个定点？若经过，请求出定点坐标，否则说明理由；2研究：对于抛物线上某一定点P（非顶点），过P任意作互相垂直的弦PA、PB，弦AB是否经过定点？答案：（1）证明：由题意可知：动点M到定点F（1，0）的距离等于M到定直线x=-1的距离根据抛物线的定义可知，M的轨迹是抛物线所以抛物线方程为：y2=4x（2）（i）设A（x1，y1），B（x2，y2），lAB：y=kx+b，（b≠0）由y=kx+by2=4x消去y得：k2x2+（2bk-4）kx+b2=0，x1x2=b2k2．∵OA⊥OB，∴OA•OB=0，∴x1x2+y1y2=0，y1y2=4bk所以x1x2+（x1x2）2=0，b≠0，∴b=-2k，∴直线AB过定点M（1，0），（ii）设p（x0，y0）设AB的方程为y=mx+n，代入y2=2x得y2-2my=-2n=0∴y1+y2=2m，y1y2-2n其中y1，y2分别是A，B的纵坐标∵AP⊥PB∴kmax•kmin=-1即y1-y0x1-x0•y2-y0x2-x0=1∴（y1+y0）（y2+y0）=-4•y1y2+（y1+y2）y0+y02-4=0（-2n）+2my0+2x0+4=0，=my0+x0+2直线PQ的方程为x=my+my0+x0+2，即x=m（y+y0）+x0+2，它一定过点（x0+2，-y0）6.已知圆柱的轴截面周长为6，体积为V，则下列关系式总成立的是（）A．V≥πB．V≤πC．V≥18πD．V≤18π答案：设圆柱的底面半径为r，高为h，由题意得：4r+2h=6，即2r+h=3，∴体积为V=πr2h≤π[13（r+r+h）]2=π×(33)2=π当且仅当r=h时取等号，由此可得V≤π恒成立故选：B7.在⊙O中，弦AB=1.8cm，圆周角∠ACB=30°，则⊙O的直径等于（）

A．3.2cm

B．3.4cm

C．3.6cm

D．4.0cm答案：C8.已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），且P（ξ＜0）=0.2，则P（ξ＞4）=（）

A．0.6

B．0.4

C．0.3

D．0.2答案：D9.复数32i+11-i的虚部是______．答案：复数32i+11-i=32i+1+i(1-i)(1+i)=32i+1+i2=12+2i∴复数的虚部是2，故为：210.若f(x)=exx≤0lnxx＞0，则f(f(12))=______．答案：∵f(x)=ex，x≤0lnx，x＞0，∴f(f(12))=f（ln12）=eln12=12．故为：12．11.已知点A（1-t，1-t，t），B（2，t，t），则A、B两点距离的最小值为（）

A.

B．

C．

D．2答案：A12.（本题满分12分）已知对任意的平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角，得到向量，叫做把点B绕点A逆时针方向旋转角得到点P

①已知平面内的点A（1，2），B，把点B绕点A沿逆时针方向旋转后得到点P，求点P的坐标

②设平面内曲线C上的每一点绕逆时针方向旋转后得到的点的轨迹是曲线，求原来曲线C的方程.答案：解:

……2分

……6分

解得x="0,y="-1

……7分②

…………10分

即…………11分又x’2-y’2="1

"……12分

……13分

化简得:

……14分解析：略13.在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是（）

A．若k2的观测值为k=6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病

B．从独立性检验可知，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病

C．若从统计量中求出有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推断出现错误

D．以上三种说法都不正确答案：D14.从装有两个白球和两个黄球的口袋中任取2个球，以下给出了三组事件：

①至少有1个白球与至少有1个黄球；

②至少有1个黄球与都是黄球；

③恰有1个白球与恰有1个黄球．

其中互斥而不对立的事件共有（）组．

A．0

B．1

C．2

D．3答案：A15.若向量的起点与终点M、A、B、C互不重合且无三点共线，且满足下列关系（O为空间任一点），则能使向量成为空间一组基底的关系是（）

A．

B．

C．

D．答案：C16.甲、乙两人对一批圆形零件毛坯进行成品加工．根据需求，成品的直径标准为100mm．现从他们两人的产品中各随机抽取5件，测得直径（单位：mm）如下：

甲：105

102

97

96

100

乙：100

101

102

97

100

（I）分别求甲、乙的样本平均数与方差，并由此估计谁加工的零件较好？

（Ⅱ）若从乙样本的5件产品中再次随机抽取2件，试求这2件产品中至少有一件产品直径为100mm的概率．答案：（Ⅰ）.x甲=15(105+102+97+96+100)=100，.x乙=15(100+101+102+97+100)=100S甲=15(25+4+3+16+0)=545=10.8，S乙=15(0+1+4+9+0)=145=2.8．∵S甲＞S乙，据此估计乙加工的零件好；（Ⅱ）从乙样本的5件产品中再次随机抽取2件的全部结果有如下10种：（100，101），（100，102），（100，97），（100，100），（101，102），（101，97），（101，100），（102，97），（102，100），（97，100）．设事件A为“其中至少有一件产品直径为100”，则时间A有7种．故P（A）=710．17.下列有关相关指数R2的说法正确的有（）

A．R2的值越大，说明残差平方和越小

B．R2越接近1，表示回归效果越差

C．R2的值越小，说明残差平方和越小

D．如果某数据可能采取几种不同回归方程进行回归分析，一般选择R2小的模型作为这组数据的模型答案：A18.已知平面上直线l的方向向量=（-，），点O（0，0）和A（1，-2）在l上的射影分别是O'和A′，则=λ，其中λ等于（）

A．

B．-

C．2

D．-2答案：D19.“若x、y全为零，则xy=0”的否命题为______．答案：由于“全为零”的否定为“不全为零”，所以“若x、y全为零，则xy=0”的否命题为“若x、y不全为零，则xy≠0”．故为：若x、y不全为零，则xy≠0．20.两个样本甲和乙，其中=10，=10，=0.055，=0.015，那么样本甲比样本乙波动（）

A．大

B．相等

C．小

D．无法确定答案：A21.（文科做）

f(x)=1x

(x＜0)(13)x(x≥0)，则不等式f（x）≥13的解集是______．答案：x＜0时，f（x）=1x≥13，解得x∈?；x≥0时，f（x）=(13)x≥13，解得x≤1，故0≤x≤1．综上所述，不等式f（x）≥13的解集为{x|0≤x≤1}．故为：{x|0≤x≤1}．22.一个算法的流程图如图所示，则输出的S值为______．答案：根据程序框图，题意为求：s=2+4+6+8，计算得：s=20，故为：20．23.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，点A在抛物线C上运动．

（1）当点A，P满足AP=-2FA，求动点P的轨迹方程；

（2）设M（m，0），其中m为常数，m∈R+，点A到M的距离记为d，求d的最小值．答案：（1）设动点P的坐标为（x，y），点A的坐标为（xA，yA），则AP=（x-xA，y-yA），因为F的坐标为（1，0），所以FA=（xA-1，yA），因为AP=-2FA，所以（x-，y-yA）=-2（xA-1，yA）．所以x-xA=-2（xA-1），y-yA=-2yA，所以xA=2-x，yA=-y代入y2=4x，得到动点P的轨迹方程为y2=8-4x；（2）由题意，d=(m-xA)2+yA2=(m-xA)2+4xA=(xA+2-m)2-4-4m∴m-2≤0，即0＜m≤2，xA=0时，dmin=m；m-2＞0，即m＞2，xA=m-2时，dmin=-4-4m．24.函数f（x）的定义域为R+，若f（x+y）=f（x）+f（y），f（8）=3，则f（2）=（）A．54B．34C．12D．14答案：∵f（x+y）=f（x）+f（y），f（8）=3，∴令x=y=4，则f（8）=2f（4）=3，∴f（4）=32，令x=y=2，f（4）=2f（2）=32，∴f（2）=34．故选B．25.对于数25，规定第1次操作为23+53=133，第2次操作为13+33+33=55，如此反复操作，则第2012次操作后得到的数是

（）A．25B．250C．55D．133答案：第1次操作为23+53=133，第2次操作为13+33+33=55，第3次操作为53+53=250，第4次操作为23+53+03=133∴操作结果，以3为周期，循环出现∵2012=3×670+2∴第2012次操作后得到的数与第2次操作后得到的数相同∴第2012次操作后得到的数是55故选C．26.OA、OB（O为原点）是圆x2+y2=2的两条互相垂直的半径，C是该圆上任一点，且OC=λOA+μOB，则λ2+μ2=______．答案：∵OC=λOA+μOB，OA⊥OB∴OA?OB=0∴OA2=OB2=OC2=2∴OC2=(λOA+μOB)2=λ2OA2+μ2OB2=2（λ2+μ2）=2∴λ2+μ2=1故为：127.抛物线y=3x2的焦点坐标是______．答案：化为标准方程为x2=13y，∴2p=13，∴p2=

112，∴焦点坐标是(0，112)．故为(0，112)28.直线y=kx+1与椭圆x29+y24=1的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．不确定答案：∵直线y=kx+1过定点（0，1），把（0，1）代入椭圆方程的左端有0+14＜1，即（0，1）在椭圆内部，∴直线y=kx+1与椭圆x29+y24=1必相交，

因此可排除B、C、D；

故选A．29.命题“零向量与任意向量共线”的否定为______．答案：命题“零向量与任意向量共线”即“任意向量与零向量共线”，是全称命题，其否定为特称命题：“有的向量与零向量不共线”．故为：“有的向量与零向量不共线”．30.已知A（4，1，3），B（2，-5，1），C是线段AB上一点，且，则C点的坐标为（）

A．

B．

C．

D．答案：C31.直线y=3x的倾斜角为______．答案：∵直线y=3x的斜率是3，∴直线的倾斜角的正切值是3，∵α∈[0°，180°]，∴α=60°，故为：60°32.已知直线l1：3x-y+2=0，l2：3x+3y-5=0，则直线l1与l2的夹角是______．答案：因为直线l1的斜率为3，故倾斜角为60°，直线l2的斜率为-3，倾斜角为120°，故两直线的夹角为60°，即两直线的夹角为π3，故为

π3．33.4名学生参加3项不同的竞赛，则不同参赛方法有（）A．34B．A43C．3!D．43答案：由题意知本题是一个分步计数问题，首先第一名学生从三种不同的竞赛中选有三种不同的结果，第二名学生从三种不同的竞赛中选有3种结果，同理第三个和第四个同学从三种竞赛中选都有3种结果，∴根据分步计数原理得到共有3×3×3×3=34故选A．34.给出下列四个命题：

①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；

②在平行四边形ABCD中，一定有；

③若则

④若则

其中正确的命题个数是（）

A．1

B．2

C．3

D．4答案：C35.函数y=ax2+a与（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（）

A．

B．

C．

D．

答案：D36.如图：已知圆上的弧

AC=

BD，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：

（Ⅰ）∠ACE=∠BCD．

（Ⅱ）BC2=BE×CD．答案：（Ⅰ）因为AC=BD，所以∠BCD=∠ABC．又因为EC与圆相切于点C，故∠ACE=∠ABC所以∠ACE=∠BCD．（5分）（Ⅱ）因为∠ECB=∠CDB，∠EBC=∠BCD，所以△BDC～△ECB，故BCBE=CDBC．即BC2=BE×CD．（10分）37.在极坐标系中，圆ρ=-2cosθ的圆心的极坐标是（）

A．（1，）

B．（1，-）

C．（1，0）

D．（1，π）答案：D38.设a1，a2，…，an为正数，求证：a21a2+a22a3+…+a2n-1an+a2na1≥a1+a2+…+an．答案：证明：不妨设a1＞a2＞…＞an＞0，则a12＞a22＞…＞an2，1a1＜1a2＜…1an由排序原理：乱序和≥反序和，可得：a21a2+a22a3+…+a2n-1an+a2na1≥a12a1+a22a2+…+an2an=a1+a2+…+an．39.已知抛物线y2=4x上两定点A、B分别在对称轴两侧，F为焦点，且|AF|=2，|BF|=5，在抛物线的AOB一段上求一点P，使S△ABP最大，并求面积最大值．答案：不妨设点A在第一象限，B点在第四象限．如图．抛物线的焦点F（1，0），点A在第一象限，设A（x1，y1），y1＞0，由|FA|=2得x1+1=2，x1=1，代入y2=4x中得y1=2，所以A（1，2），…（2分）；同理B（4，-4），…（4分）由A（1，2），B（4，-4）得|AB|=(1-4)2+(2+4)2=35…（6分）直线AB的方程为y-2-4-2=x-14-1，化简得2x+y-4=0．…（8分）再设在抛物线AOB这段曲线上任一点P（x0，y0），且0≤x0≤4，-4≤y0≤2．则点P到直线A