第1章 事件与概率

第一章随机事件与概率1.1随机事件及其运算1.2概率的定义及其确定方法1.3概率的性质1.4条件概率1.5独立性1.1随机事件及其运算现实世界中的客观现象确定性现象（条件完全决定结果）非确定性现象（条件不能完全决定结果）随机现象（不确定性、统计规律性）随机试验种瓜得瓜，种豆得豆世界上没有两片完全相同的叶子多次重复抛掷一枚硬币，正面朝上的次数占一半在大量重复试验或观察中所呈现出来的固有规律性称为统计规律性.例如，确定南极磷虾年龄的方法.问题:（1）冬天食物缺乏时，身体会减小，不能靠常用的体长确定年龄.（2）无论磷虾是生长还是收缩，都会蜕皮，从色素深浅上不能确定年龄.解决办法：

生命的存在依赖它的眼睛，故在生存条件恶劣时也不会消化眼睛，于是它的复眼包含的小眼随年龄的增加会增多，其直径也会增加.随机试验E

(randomtest)的特点：

（1）在同一条件下可以重复试验；

（2）每次试验的可能结果不止一个，且能事先明确试验的所有可能结果;

（3）进行一次试验之前无法确定哪一个结果会出现.随机现象：在一定的条件下，并不是总出现相同的结果，其特点有

（1）结果不止一个;

（2）事前无法确定哪一个结果会出现.概率论与数理统计主要研究能大量重复的随机现象.

(也注意研究不能重复的随机现象，如失业、经济增长速度等.)

例1.1.1

将一枚硬币先后掷两次，令(1,0)=“第一次正面朝上，第二次反面朝上”则样本空间为：={(0,0),

(0,1),

(1,0),

(1,1)}

.若令i=“正面朝上的次数”则样本空间为：={0,1,

2}

.样本点是今后抽样的最基本单元，认识随机现象的前提是要先列出它的样本空间.样本空间

(samplespace)：随机试验的一切可能结果组成的集合.记为或S.可能结果又称为样本点，常用符号表示.注意：样本空间和划分的标准有关.

例1.1.2

一天内进入某商场的人数的样本空间为={0,1,

2,

…}.例1.1.3

电视机寿命的样本空间为={t|t0}.

在以后的数学处理上，我们往往把有限个或可列个样本点的情况归为一类，称为离散样本空间；而将不可列无限个样本点的情况归为另一类，称为连续样本空间.

随机事件

(randomevent)

随机试验的某些子集称为随机事件，简称事件.它在随机试验中可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性.注意事项(1)在概率论中常用一个长方形来

表示概率空间，用椭圆或者其它的

几何图形来表示事件.这类图形被称

为维恩(Venn)图，又叫文氏图.●1●2A常用符号(1)大写的英文字母：A,B,C.

(2)大写的英文字母加下标：A1,A2,A3,…

.

(2)由中的单个元素组成的子集称为基本事件，常用表示.

①

样本空间的最大子集称为必然事件，常用表示；

②

样本空间的最小子集称为不可能事件，常用表示.(3)判定一个事件是否发生的标准是看它所包含的样本点是否出现.事件发生当且仅当该事件包含的某个样本点出现.可能结果——样本点——基本事件

例1.1.4

掷一枚骰子的样本空间为={1,

2,

…,

6}={i|1

i6}.则A=“出现偶数点”={2,

4,

6}.

例1.1.5

检测灯泡寿命的试验中，如果规定寿命超过1500小时为合格，则={t|t0}事件A=“合格品”={t|t>1500}.

例1.1.6

向平面OXY内随机投点，则={(x,y)

|x,yR}事件A=“落在单位圆内”={(x,y)

|x2+y2<1}.

随机事件间的关系与运算关系运算包含相等互不相容并交差补AB如果属于A的样本点一定属于B，则称A包含于B，或B包含A.记作AB.概率论表述：事件A发生必然导致事件B发生.如果AB，且AB，那么A=B.即A=B

AB,B

A.概率论表述：事件A,B相等意味着它们是同一个集合.如果事件A,B没有相同的样本点，则称互不相容.记作A∩B=

.概率论表述：事件A,B不可能同时发生.AB由事件A与事件B中所有的样本点组成的新事件.记作A∪B.AB概率论表述：事件A,B中至少有一个发生.由事件A与事件B中所共有的样本点组成的新事件.记作A∩B.概率论表述：事件A,B同时发生.AB由在事件A中而不在事件B中的样本点组成的新事件.记作A-B.AB概率论表述：事件A发生，而事件B发生.由在中而不在事件A中的样本点组成的新事件，也叫A的对立.记作

.A概率论表述：事件A不发生.事件A和不能都不发生，也不能都发生，只能恰好发生其中一个.互不相容与对立区别（1）事件A与事件B对立AB=,A∪B=.（2）事件A与事件B互不相容

AB=.

例1.1.7

设A,B,C是某个随机现象的三个事件，则（1）事件“A与B发生，C不发生”：（2）事件“A,B,C中至少有一个发生”：（3）事件“A,B,C中至少有两个发生”：（4）事件“A,B,C中恰好有两个发生”：（5）事件“A,B,C都发生”：（6）事件“A,B,C都不发生”：（7）事件“A,B,C不都发生”：事件的运算性质（1）否定律：（2）幂等律：A∩A=A,A∪A=A；（3）交换律：A∩B=B∩A,A∪B=B∪A；（4）结合律：A∩(B∩C)

=(A∩B)∩C,

A∪(B∪C)=(A∪B)∪C；（5）分配律：A∩(B∪C)

=(A∩B)∪(A∩C),

A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)；（6）对偶律(德摩根Demorgan公式)：对于多个事件及可列个事件场合有作业注：可以写在书上1.2概率的定义及其确定方法定义1.2.1设的某些子集所组成的集合类F有（1）F；（2）若AF，则（3）若AnF(n=1,2,…)，则则称F为一个事件域(域或代数),(,F)为可测空间.由于①交运算可以通过并和对立实现；

②差运算可以通过交和对立来实现；所以只要求事件域满足对并运算和对立封闭.

所谓事件域，直观上讲就是一个样本空间中某些子集及其运算(并、交、差、对立)结果而组成的集合类.（1）={1,2}F含有22个事件（2）={1,2,…,n

}F含有2n个事件（3）={1,2,…,n,…

}F含有可列个事件{,

{1},{2},},和①

个单元素集:②个双元素集:…③个n-1元素集:,和①可列个单元素集:②可列个双元素集:③可列个三元素集:…常见的事件域（4）博雷尔(Borel)事件域=(-,+)=RF含有不可列个事件（每个元素又称为博雷尔集（可测集））定义1.2.2若D

={D1,D2,…,Dn}满足

①

DiDj=(1i<jn);②D1∪D2∪

…∪Dn=.则称D是的一个划分.由D中一切可能的并及

组成的事件域称为划分D产生的事件域，记为(D)

.①基本集合类:P={(-,x)|

xR};②(a,b),(a,b],[a,b),

[a,b],{b}(a,bR);③上述集合的(有限个或可列个)并运算和交运算结果.排列数公式和组合数公式(1)排列数特别地，①r=n时，②重复排列数

nr.(2)组合数特别地，重复组合数定义1.2.5

在n次独立重复的试验中，事件A出现的次数为m，则称m为事件A发生的频数，称为事件A出现的频率.

频率的基本性质：(1)0fn(A)1;(2)fn()=1;(3)如果AiAj=(1i<jk)，则fn(A1∪A2∪

…

∪Ak)

=fn(A1)

+fn(A2)

+…+fn(Ak).

频率的大小表示事件发生的频繁程度.频率大，事件发生就频繁，这意味着事件在一次试验中发生的可能性就大，反之亦然.人们长期的实践表明：随着试验重复次数n的增加，频率fn(A)会稳定在某一常数a附近，我们称这个常数为频率的稳定值.这个稳定值就是我们所说的(统计)概率.注意定义1.2.6

设F为样本空间的某些子集组成的一个事件域，如果AF，定义在F上的实值函数P(A)满足(1)非负性P(A)0;

(2)正则性

P()=1;(3)可列可加性若AiAj=(i,j1,ij)，则P(A1∪A2∪…∪An∪…)

=P(A1)

+P(A2)

+…

+P(An)

+…那么称P(A)为事件A出现的概率.概率P(A)表征了事件A在一次试验中发生的可能性大小.确定概率的常用方法有：（1）公理化方法（2）频率方法(统计方法)（3）古典方法（4）几何方法（5）主观方法古典概率

定义1.2.7

如果试验满足下面两个特征，则称其为古典概型(或有限等可能概型)：（1）有限性：样本点的个数有限；（2）等可能性：每个样本点发生的可能性相同.

定义1.2.8

设古典概型有n个样本点，事件A含有其中的m个,则称为事件A的古典概率.(1)古典概率的假想世界是不存在的.对于那些极其罕见的，但并非不可能发生的事情，古典概率不予考虑.如硬币落地后恰好立着，一次课堂讨论时突然着火等.(2)古典概率还假定周围世界对事件的干扰是均等的.在实际生活中无次序的、靠不住的因素是经常存在的.例1.2.1(无放回抽样模型)

一批产品共有N个，其中M个不合格品，N-M个合格品，从中抽取n个，令Am=“取出的n个产品中含有m个不合格品”求(1)无放回时，P(Am)；(2)无放回时，P(Am).解(1)无放回时(2)有放回时

例1.2.2（抽签问题）袋中有a支红签，b支白签，它们除颜色外无差别，现有a+b个人无放回地去抽签，求第k个人抽到红签的概率.

解法一

假定这a+b支签都不相同，不妨设它们为R1,R2,…,Ra;W1,W2,…,Wb令A=“第k个人抽到红签”，则解法二

假定a支红签完全相同，b支红签完全相同.令A=“第k个人抽到红签”，则解法三

令A=“第k个人抽到红签”，则

这个例子告诉我们，对于古典概型可用不同的等可能基本事件组来描述，对同一事件的概率也常有多种不同的解法。本题结果还告诉我们每个人抽到红签的概率与抽签的先后次序无关，所以，进行分组的时候采用抽签或抓阄的方法是公平的。

例1.2.3（盒子问题）设有n个球，每个球都等可能地被放到m不同的盒子中的任一个，每个盒子所放球数不限，试求（1）指定的n(nm)个盒子各有一球的概率P1；（2）恰好有n(nm)个盒子各有一球的概率P2.

解

(1)（2）(1)本题对应的模型为统计物理学中的马克斯威尔—波尔兹曼(Maxwell-Boltzmann)统计；(2)若每个球是不可辨的，对应波色—爱因斯坦(Bose-Einstein)统计；(3)如果球是不可辨的，且每个盒子里最多只能放一个球对应费米—狄拉克(Fermi-Dirac)统计。

例1.2.4（生日问题）某班级有n个人，问该班至少有两个人的生日在同一天的概率是多少？

解令A=“至少有两个人的生日在同一天”，且假定一年按365天计算，把365天当作365个房间，于是“n个人的生日都不相同”相当于“恰有n个房间，其中各有一人”.于是例1.2.5（占位问题）将n个完全相同的球随机地分配到m(mn)个不同的盒子中去，求不出现空盒的概率.

解假设已经将n个球分配到各盒子中，把这m(mn)个盒子排成一排每个小球和每个盒子内壁看作一个位置在这n+m个位置里随意选出m-1个放上内壁，则形成m个盒子，并且这n个球都被分配到盒子中.所以，每一种选取盒子内壁位置的方法就对应着一种往盒子中放小球的方法，方法的个数为令A=“不出现空盒”，则作业

例1.2.6（取数问题）从1,2,…,9中有放回地取出五个数，求下列事件的概率.(1)A1=“最后取出的数字是奇数”；(2)A2=“5个数字都不相同”；(3)A3=“1恰好出现2次”；(4)A4=“1至少出现2次”；(5)A5=“恰好出现不同的2对数字”；(6)A6=“5个数字的总和为10”；解(1)(2)(3)(4)(5)A1=“最后取出的数字是奇数”A2=“5个数字都不相同”A3=“1恰好出现2次”A4=“1至少出现2次”A5=“恰好出现不同的2对数字”(6)A6=“5个数字的总和为10”解法一令xi=“第i次取到的数字”(i=1,2,…,5;1xi9)

则A6=“x1+x2+x3+x4+x5=10”设xi=“第i个盒子中球的个数”(i=1,2,…,5)，则A6=“把10个小球随机投向这5个盒中，不出现空盒”于是解法二令xi=“第i次取到的数字”(i=1,2,…,5;1xi9)

则A6=“x1+x2+x3+x4+x5=10”设f(x)=(x+x2+…+x9)5，那么于是P(A6)=126/95.寻找

f(x)的10方项系数

例1.2.7（对称性问题）甲、乙两人掷一枚均匀硬币，其中甲掷n次，乙掷n-1次，求下述事件的概率.A=“甲掷出正面的次数大于乙掷出正面的次数”

解设甲正=“甲掷出正面的次数”甲反=“甲掷出反面的次数”乙正=“乙掷出正面的次数”乙反=“乙掷出反面的次数”则A=

甲正>乙正，且甲反>乙反=甲正乙正由对称性知P(甲正>乙正)=

P(甲反>乙反)，故P(A)=

0.5.几何概型

定义1.2.9

如果试验满足下面两个特征，则称其为几何概型(或无限等可能概型)：（1）样本点有无限多个，且可以用一个有度量的几何区域来表示；（2）每个样本点发生的可能性相同.

定义1.2.10

设几何概型的样本空间为,则称为事件A的几何概率.

简单地说，每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型.例1.2.8（等车问题）公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过，乘客到达汽车站的时刻是等可能的，求乘客等候不超过3分钟的概率.解设A=“乘客等候不超过3分钟”，乘客提前到达汽车站的时间为x分钟.则={x|0x5}A={x|0x3}.所以特别地:P(“乘客等候时间刚好为3分钟)=0这表明：不可能事件的概率为0，但概率为0的事件不一定是不可能事件.几何概型的解题步骤（1）根据问题选取合适的参数(尽量少)；（2）写出样本空间和所求事件A的集合形式；（3）建立适当的坐标系；（4）在坐标系上找出样本空间和所求事件A对应的几何区域，根据几何概率公式求解.例1.2.9（约会问题）甲乙两人约定周末12点到13点之间在人民公园门口见面，先到者等待20分钟后离去，假定他俩在12点到13点之间到达约定地点的时刻是任意的，求他们能相见的概率.解设A=“他们能相见”，两人到达约定地点的时刻分别为12点零x,y小时.则={(x,y)

|0x,y1}A={(x,y)

|0x,y1;|x-y|<1/3}所以例1.2.10（布丰(Buffon)投针问题）平面上画有间隔为d的等距平行线，向该平面任意投掷一枚长为l(l<d)的针,求针与任一平行线相交的概率.解设A=“针与某一平行线相交”，针的中点到最近一条平行线的距离为x，针与该平行线的夹角为.则={(x,)

|0xd/2,0}A={(x,)

|0xd/2,0;0x(lsin)/2}={(x,)

|0;0x(lsin)/2}所以本题的答案与有关，因此历史上有很多学者利用它来计算的近似值.只要设计一个随机试验，使得一个事件的概率与某未知数有关，然后通过重复试验，以频率近似概率，即可求得未知数的近似解.一般来说,试验次数越多，求得的近似解就越精确.由于计算机的出现，人们可以利用计算机来大量重复地模拟所设计的随机试验，使得这种方法得到迅速的发展和应用.人们称这种方法为随机模拟法，又叫蒙特卡洛(MonteDarlo)法.课后练习题（1）平面上画有间隔为d的等距平行线，向该平面任意投掷一枚直径为l(l<d)的硬币,求该硬币与任一平行线相交的概率.（2）平面上画有间隔为d的等距平行线，向该平面任意投掷一个三边长分别为a,b,c(max{a,b,c}<d)的三角形,求该三角形与任一平行线相交的概率.ddabbc例1.2.11（三角形构成问题）在长度为a的线段内任取两点将其分为三段，求它们可以构成一个三角形的概率.解设A=“它们可以构成一个三角形”，被截成的三段线段长度分别为x,y,a-x-y，则

={(x,y)

|0<x,y,a-x-y<a}={(x,y)

|0<x,y,x+y<a}A={(x,y)

|0<x,y,a-x-y<a;x+y>a-x-y,a-x>x,

a-y>y}={(x,y)

|x<a/2,y<a/2,x+y>a/2}所以引入的变量越少，几何图形越简单.作业

(1)P()=0.(2)若AiAj=(1i<jn)，则P(A1∪A2∪…∪An)

=P(A1)

+P(A2)

+…+P(An).(3)对任意事件A，有

特别地，若AB，则P(A-B)=P(A)-P(B).(4)对任意事件A,B，有①P(A∪B)

=P(A)

+P(B)-P(AB);②P(A-B)

=P(A)-P(AB)1.3概率的性质证明

1=P()=P(∪

∪∪…)=P

()+P()

+P()

+

…P()+P()

+

…=0P()=0证明

因为AiAj=(1i<jn)，所以P(A1∪A2∪…∪An)

=P(A1∪A2∪…∪An∪

∪∪…)

=P(A1)

+P(A2)

+…+P(An)+P(

)

+P(

)

+…=P(A1)

+P(A2)

+…+P(An)A证明

1=P()证明

因为AB

，所以P(A)=P((A-B)∪B)=P(B)+P(A-B)P(A-B)=P(A)-P(B)BA证明

P(A∪B)

=P((A-B)∪AB∪(B-A)

)

=P(A-B)+P(AB)+P(B-A)

=P(A)-P(AB)+P(AB)+P(B)-P(AB)

=P(A)+P(B)-P(AB)BA证明

P(A)

=P((A-B)∪AB)

=P(A-B)+P(AB)

P(A-B)

=P(A)-P(AB)

P(A)P(B)（5）对任意的n个事件A1,A2,

…,

An，有证明

①当n=2时，显然有②假定n=m时，有那么n=m+1时，有综上所述，命题得证.

例1.3.136只灯泡中有4只13W，其余都是28W，现在从中任取3只，求至少取到一只13W的概率.

解设A=“取到的3只中至少取到一只13W”，则

例1.3.2

口袋中有编号为1,2,…,n的n个球，从中有放回地任取m次，求取出的m个球中最大号码为k的概率.

解设Ak=“取出的m个球中最大号码为k”，Bk=“取出的m个球中最大号码不超过k”.(k=1,2,…,n)则上例中，假如n=6,m=3，可以算得这表明:掷三枚骰子，最大点数k是6的概率为0.4213且P(k3)=0.0046+0.0324+0.0880=0.1250

例1.3.3

在12000的整数中随机取一个数，问取到的整数既不能被6整除，又不能被8整除的概率是多少？

解设A=“取到的整数能被6整除”，B=“取到的整数能被8整除”.因为333<2000/6<334,2000/8=250,83<2000/24<84.所以

例1.3.4已知P(A)=0.4,P(B)=0.3,P(A∪B)=0.6求

解因为P(A)=0.4,P(B)=0.3

P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.6所以P(AB)=0.4+0.3-0.6=0.1于是无论是条件还是所求结论，先把“并、补、差、条件”符号利用基本公式转换掉，使得最后只有“交”运算.

例1.3.5（配对问题）在一个有n个人参加的晚会上每个人带了一件礼物，且假定各人带的礼物都不相同.晚会期间各人从放在一起的n件礼物中随机抽取一件，问至少有一个人抽到自己礼物的概率.

解设

Ai=“第i个人抽到自己的礼物”(i=1,2,…,n).则P(“至少有一个人抽到自己的礼物”)是否n越大上述概率越小？

概率的连续性定义1.3.1（1）对F中任一单调不减的事件序列A1A2

…

An

…

称可列并为的{An}极限事件，记为（2）对F中任一单调不增的事件序列B1B2

…

Bn

…

称可列交

为的{An}极限事件，记为定义1.3.2对F上的一个概率P（1）若它对F中任一单调不减的事件序列{An}满足则称概率P是下连续的.（2）若它对F中任一单调不增的事件序列{Bn}满足则称概率P是上连续的.定理1.3.1(概率的连续性)若P为事件域F上的概率，则P既是下连续的，又是上连续的.

证明

略定理1.3.2若P为

F上满足P()=1的非负集合函数，则它具有可列可加性的充要条件是（1）它是有限可加的：（2）它是下连续的.定理1.3.1(概率的连续性)若P为事件域F上的概率，则P既是下连续的，又是上连续的.

证明（1）P的下连续性设{An}是F中一个单调不减的事件序列，即令A0

=，则Ai-1

Ai,且各(Ai-

Ai-1)互不相容，于是（2）P的上连续性设{Bn}是F中一个单调不增的事件序列，则是F中一个单调不减的事件序列，于是作业

1.4条件概率所谓条件概率是指在某事件A发生的条件下，另一事件B发生的概率.记作：P(B|A).

例1.4.1

考察有两个小孩的家庭，其样本空间为={bb,bg,gb,gg}其中bg代表大的是男孩、小的是女孩.已知此家庭有一个女孩，求另一个也是女孩的概率.

解令A=“该家有一个女孩”，B=“该家另一个是女孩”则将A包含的范围视为新的样本空间定义1.4.1

设A,B是样本空间中的两个事件，且P(A)>0，则称为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率.条件概率的基本性质(1)非负性P(B|A)0;

(2)正则性

P(|A)=1;(3)可列可加性若AiAj=(i,j1,ij)，则

例1.4.2

设某种动物由出生起活20岁以上的概率为80%，活25岁以上的概率为40%.如果现在有一个20岁的这种动物，问它能活25岁以上的概率？

解设A=“这个动物能活20岁以上”，B=“这个动物能活25岁以上”，则P(A)=0.8,P(AB)=P(B)=0.4，所以解法二

P(B|A)=0.5年龄20岁25岁80%40%既然条件概率符合上述三条基本性质，故一般概率的性质公式也适用于条件概率.如条件概率还有三个非常实用的公式：乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式.例1.4.3

若，试证证明课后习题：P5331一、乘法公式(Multiplicationformula)

（1）若P(B)>0，则P(AB)=P(B)P(A|B).（2）若P(A1A2

…

An-1

)>0，则P(A1A2

…

An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)

…

P(An|A1A2

…

An-1

).

证明（1）因为P(B)>0，所以（2）因为P(A1)P(A1A2)…P(A1A2

An-1

)>0，所以（2）证法二

例1.4.3

某人欲从甲地到丙地，途经乙地.在甲地每天有30个人买票去丙地，但只有20张去丙地的票；已知在甲地没有买到票的乘客中有70%选择去乙地买票，乙地每天有200张去丙地的票，有300人要买票到丙地去.问乘客在甲地没有买到票，到乙地也没有买到票的概率.

解设A=“在甲地没有买到票”，B=“从甲地去乙地去”，C=“乙地没有买到票”，则P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)

甲乙丙30/20300/20070%

例1.4.4（罐子模型）设袋中装有b只黑球，r只红球，每次随机从袋中任取一只球，观察其颜色后放回，并再放入c只同色球和d只异色球.解设Bi

=“第i次取出的是黑球”，

Rj

=“第j次取出的是红球”，(i=1,2,…)则

从上述计算中可以看出，若连续从罐子中取出三个球，其中两个红球、一个黑球，则各种情况的概率和黑球在第几次取出有关.(罐子模型)波利亚模型（1）当c=-1,d=0时，称为无返回抽样（2）当c=0,d=0时，称为有返回抽样（3）当c>0,d=0时，称为传染病模型（4）当c=0,d>0时，称为安全模型（3）模型解释每次取出球后会增加下一次取到同色球的概率，换句话说，每出现一个传染病患者，以后都会增加再传染的概率.（4）模型解释每当事故发生了（红球被取出），安全工作就抓紧一些，下次发生事故的概率就会减小；而当事故没有发生（黑球被取出），安全工作就放松一些，下次在发生事故的概率机会增大.概率相同概率不同二、全概率公式(Completeprobabilityformula)

若事件A1,A2,…,An满足：

(1)A1∪A2∪…∪An=;

(2)AiAj=(ij,1i,jn);

(3)P(Ai)>0

(1in);则对任意的事件B，有特别地，若P(A)>0，则的划分的完备事件组

证明因为(1)A1∪A2∪…∪An=;(2)AiAj=(ij,1i,jn);

(3)P(Ai)>0

(1in);所以例1.4.5

设某仓库有一批产品，已知其中甲乙丙三个工厂生产的产品依次占50%、30%、20%，且甲乙丙厂的次品率分别为1/10,1/15,1/20，现从这批产品中任取一件，求取得正品的概率？

解设A1,A2,A3分别表示事件“取得的产品分别由甲、乙、丙厂生产”，B=“取得正品”，则利用全概率公式时，所求问题通常可以分前后两步，若把前一步的每一种可能情况设为一个事件，则它们构成一个完备事件组.前(取)：A1,A2,A3后(判)：B,

例1.4.6

甲、乙两人轮流掷一枚骰子，甲先掷.每当某人掷出1点时，则交给对方掷，否则此人继续掷.试求第n次由甲掷的概率.

解设Ai=

“第i次由甲掷”(i=

1,2,…)，则P(A1)=1.于是

前(第n-1次)：An-1,后(第n次)：An

,敏感性问题的调查

例1.4.6（敏感性问题的调查）学生阅读黄色书刊和观看黄色影像会严重影像学生身心健康的发展.但这些都是避着老师和家长进行属个人行为.现在要设计一个调查方案，从调查数据中估计出学生阅读黄色书刊和观看黄色影像的比率p.根据之前我们做的调查获知:有效问卷

n张；回答“是”的

k张.而且（1）每人生日在7月1日之前的概率为p1=0.5.（2）罐中红球的比率p2

.问题一：你的生日是否在7月1日之前？●问题二：你是否看过黄色书刊或影像？●是否于是，由全概率公式知P(是)=P(黑球)P(是|黑球)+P(红球)P(是|红球)即三、贝叶斯公式(Bayesianformula)若事件A1,A2,…,An是的一个完备事件组，则对任意的事件B，有

如果所求问题可以分前后两步，把前一步的每一种可能情况设为一个事件，则它们构成一个完备事件组.假如求后一步某事件的概率用全概率公式；若求后一步某事件发生的条件下前一步某事件的概率用贝叶斯公式.后验概率先验概率例1.6.7发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“●”和“-”，由于通讯系统受到干扰，当发出信号“●”时，收报台未必收到信号“●”

，而是分别以0.8和0.2收到“●”和“-”；同样，发出“-”时分别以0.9和0.1收到“-”和“●”.如果收报台收到“●”，问它没收错的概率？解设A=

“发出信号‘●’”；B=

“收到信号‘●’”则前(发)：

●

A,-后(收)：●

B,-

例1.4.8

某地区居民的肝癌发病率为0.0004现用甲胎蛋白法进行普查.医学研究表明，化验结果是存有错误的.已知患有肝癌的人其化验结果99%呈阳性(有病)而没有患肝癌的人其化验结果99%呈阴性(无病).现在某人的检验结果呈阳性，问他真患肝癌的概率是多少？解设A=

“被检验的居民患肝癌”；B=

“检验结果呈阳性”则于是前(居民)：

A(患肝癌),(不患肝癌)后(化验)：B(阳性),(阴性)进一步降低错检的概率是提高检验精度的关键.在实际中由于技术、操作或经济等等原因，降低错检的概率又是很困难的.所以，实际当中常常采用复查的方法来减少错误率.或者用一些简单易行的方法先进行初查，排除大量明显不是肝癌的人.作业

1.5独立性

独立性是概率论中的一个重要概念，利用独立性可以简化概率的计算.

定义1.5.1

如果事件A,B满足P(AB)=P(A)P(B)则称事件A,B相互独立，简称A,B独立，否则称A,B不独立或相依.

两事件相互独立是指：一个事件的发生不影响另一个事件的发生.

性质1.5.1

若事件A,B相互独立，则

证明因为事件A,B相互独立，所以于是同理可证

定义1.5.2

如果事件A,B,C满足P(AB)=