流体力学第二章

第二章流体静力学流体静力学研究流体在静止状态下的力学规律静止：受平衡力作用下的运动状态绝对静止、相对静止、匀速直线运动本章研究的问题静止液体压强分布规律物体所受的总压力、压力中心、压力体惯性力作用下液体的相对平衡思考1挡水墙的静水压强按什么规律分布?挡水墙所受的总压力是多少?思考2珠穆朗玛峰顶上的大气压力、密度、温度为多少?思考3海面下108m深处的水压强是多少?§2-1静止流体的受力本节研究的问题什么是应力?静止流体的应力有什么特征?1．质量力和表面力质量力：某种力场对流体的作用力单位质量力是单位质量的流体所受到的力场作用力，记作f.在重力场中，单位质量力f就等于重力加速度g.表面力：周围物体作用在流体微团表面的力。

作用在单位面积上的表面力称为应力.有切应力和正应力两种。

☆质量力作用于流体体积内的每一质点，是远距离作用力，是空间点和时间的函数。☆表面力作用于流体周界的表面上，源于分子间的相互作用，是表面点和时间的函数。重力、惯性力、电磁力属质量力，压力、粘性力属表面力。

问题：表面张力、浮力属什么类型？下一页ΔFΔPΔTAΔAVτn法向应力周围流体作用的表面力切向应力作用在流体上的表面力如上图所示，在流体中取出被表面积为A的封闭曲面所包围的某部分流体体积V，则周围流体必然有力作用在这个体积V的表面积A上。在表面积A上围绕点a取一微元面积ΔA，周围流体作用在其上的表面力为ΔF，则a点的法向应力和切向应力的数学表达式分别为

法向应力P和切向应力τ的单位为Pa（N/m2）。上一页2．静止流体的应力特征特征一:流体静止时，切应力为零。特征二:静止的流体不能承受拉应力，只能承受压应力（压强），

任一点各个方向的压强相等。特征三:有势力场中，两种流体交界面必为等压面。特征四:流体静压强的方向必然重合于受力面的内法线方向。证明：任一点各个方向的压强值相等证明当图中的四面体缩成一点时,四个面上的压应力相等.pypxpzpn作用在ACD面上的流体静压强作用在ABC面上的流体静压强作用在BCD面上的静压强作用在ABD和上的静压强微元四面体受力分析现在来分析作用于微元四面体ABCD上各力的平衡关系。由于静止流体中没有切应力，所以作用在微元四面体四个表面上的表面力只有垂直于各个表面的压强。因为所取微元四面体的各三角形面积都是无限小的，所以可以认为在无限小表面上的压强是均匀分布的。设作用在ACD、ABD、ABC和BCD四个面上的流体静压强分别为px、py、pz和pn，pn与x、y、z轴的夹角分别为α、β、γ，则作用在各面上流体的总压力分别为：（dAn为BCD的面积）假定作用在流流体上的单位质量力为，它在各坐标轴上的分量分别为fx、fy、fz，则作用在微元四面体上的总质量力为：它在三个坐标轴上的分量为：

由于流体的微元四面体处于平衡状态，故作用在其上的一切力在任意轴上投影的总和等于零。

在x轴方向上力的平衡方程为：(2-1)因为:则上式变成或dx趋于0时，第三项为无穷小，可以略去，故得：同理可得:所以因为n的方向完全可以任意选择，从而证明了在静止流体中任一点上来自各个方向的流体静压强都相等。但是，静止流体中深度不同的点处流体的静压强是不一样的，而流体又是连续介质，所以流体静压强仅是空间点坐标的连续函数，即

一、流体平衡微分方程式在静止流体中任取一边长为dx，dy和dz的六面体流体微团，作用在该六面体的上表面力只有静压强。设六面体中心点处的静压强为p，则作用在六个平面中心点上的静压强可按泰勒（G.I.Taylor）级数展开，例如：在垂直于X轴的左、右两个平面中心点上的静压强分别为：§2-2静止流体微分方程略去二阶以上无穷小量后，分别等于：p微元平行六面体x方向的受力分析

作用在流体微团上的外力除静压强外，还有质量力。若流体微团的平均密度为ρ，则质量力沿三个坐标轴的分量为：

静止状态下的微元平行六面体的流体微团的平衡条件是：作用在其上的外力在三个坐标轴上的分力之和都等与零。对于x轴，则为整理即得：（2-2）同理得（2-3）

写成矢量形式这就是静止流体平衡微分方程式，又称欧拉平衡微分方程式（1755年，欧拉首先推导）。

欧拉平衡方程的物理意义：在静止流体中，某点单位质量流体的质量力与静压强的合力相平衡。欧拉平衡方程的适用范围：静止或相对静止状态的可压缩和不可压缩流体。欧拉平衡方程是流体静力学最基本的方程，流体静力学的其他计算公式都是从此方程组推导出来的。在推导流体静力学的计算公式时，一般不从上述方程出发，而是从下述的压强差公式来进行推导的。把式（2-2）与（2-3）两边分别乘以dx，dy，dz，然后相加，得（2-4）

此式称为压强差公式。它表明：在静止流体中，空间点的坐标增量为dx、dy、dz时，相应的流体静压强增加dp，压强的增量取决于质量力。积分（2-4）即可得静止流体压强p的分布式。

二、流体平衡条件

对于不可压缩均质流体，密度ρ＝常数，可将式（2-4）写成

上式的左边是全微分，它的右边也必须是某个函数的全微分。由于（2-5）

所以

（2-6）即质量力的分量等于函数的偏导数，因此，称为力势函数（若某一坐标函数对个坐标的偏导数分别等于力场的力在对应坐标轴上的投影，则称该坐标函数为力的势函数）。存在力势函数的质量力称为有势力，重力、电磁力、惯性力等是有势力。

流体平衡条件：不可压均质流体只有在有势力的作用下才能保持静止平衡。质量力的向量形式：对重力：则：证：在交界面上的两点A、B，其静压差为dp，势差为dπ则：dp=ρ1dπ=ρ2dπ

∵ρ1≠ρ2≠0∴dp=dπ=0

等压面就是等势面。（P=常数，π=常数，dP=dπ=0）。有势力场中，两种流体交界面必为等压面（等势面）。§2-3静止液体的压强分布

工程实际中，液体ρ=常数,质量力只有重力。取Z轴为海拔高度方向，则压强与高度的关系当z=const时，p=const， ——等压面是一个水平面同一种液体中，p随z的增加而变小压强随液深（淹深）线性增加。帕斯卡定律（1650年）：自由面上的压强p0的任何变化，都会等值的传递到液体中的任何一点。用开口管测压强，液柱高度为用真空管测压强，液柱高度为根据，可以定义位置高度（位置水头）z：点距离基准面的高度。压强高度（压强水头）：压强的度量流体压强按计量基准的不同可区分为绝对压强和相对压强。以完全真空时的绝对零压强(p＝0)为基准来计量的压强称为绝对压强。以当地大气压强为基准来计量的压强称为相对压强，也称计示压强或表压强。当自由液面上的压强是当地大气压强pa时，有：

（2-8）或（2-9）式中p—流体的绝对压强，Pa；

pe—流体的相对压强，Pa。因为pe可以由压强表直接测得，所以又称计示压强。当流体的绝对压强低于当地大气压强时，就说该流体处于真空状态。例如水泵和风机的吸入管中，凝汽器、锅炉炉膛以及烟囱的底部等处的绝对压强都低于当地大气压强，这些地方的计示压强都是负值，称为真空或负压强，用符号pv表示，则

（2-10）如以液柱高度表示，则(2-11)

式中hv称为真空高度。在工程中，例如汽轮机凝汽器中的真空，常用当地大气压强的百分数来表示，即：（2-12）式中B通常称为真空度。真空绝对压强相对压强/计示压强绝对压强绝对压强、计示压强和真空之间的关系常用压强单位与换算：1mmH2O=9.807Pa（4℃时，1mm水柱产生的压强）1Torr=1mmHg=133.3Pa（1托，0℃时，1mm水银产生的压强）1atm=101325Pa（1个标准大气压）1at=1kgf/cm2=98065Pa（1个工程大气压，海拔200m处）1bar=105Pa（1巴，常用于气象）1psi=1磅力/英寸2=6887Pa（英制单位）§2-4液柱式测压计U形管：P－Pa=ρ’gh2－ρgh1

Π形管：p1=p0+ρg(Δh+x)p2=p0+ρgx

p1－p2=ρgΔh

倾斜微压计P1－P2=ρ’g(Δh+lsinθ)∵A0l=AΔh

∴P1－P2=ρ’g(sinθ+A0/A)l定义:倾斜系数K＝ρ’(sinθ+A0/A)则P1－P2＝Kgl例题例2-3复式压差计测气体管道的压强差点1的压强pA点2的压强PA－ρ2(Z2－Z1)g

点3的压强PA－ρ2(Z2－Z1)g+ρ1(Z2－Z3)g所以：PA－PB=ρ2(Z2－Z1+Z4－Z3)g－ρ1(Z2－Z3)g

点4的压强PA－ρ2(Z2－Z1)g+ρ1(Z2－Z3)g－ρ2(Z4－Z3)g=PB当P=Pa时，杯和管的水银面平齐，P<Pa时，杯的水银面上升Δh，测管液面下降hpa=p+ρ汞(h+Δh)g例2-4杯式水银真空计求杯口气压P的真空度§2-5静止大气的压强分布本节研究国际标准大气的压强、密度、温度随海拔高度的变化国际标准大气:国际上约定的(海平面上的)大气状况.基准大气参数：450（纬度）海平面z=0，T0=15℃，p0=101325Pa，

ρ0=1.225kg/m3，满足理想气体状态方程p=ρRT，气体常数R＝287Nm/kgK。地面上的大气分为对流层（0～11km）和同温层（11～50km）。对流层：高度为z=0～11000m在对流层内,温度随高度增加而线性减少T=T0－βZ=T0－0.0065ZT0=288K,β=0.0065K/m，则：当z1=11000m时，P1=0.0031P0,T1=216.5K,由状态方程算得ρ1=0.2968ρ0例：喜马拉雅山顶，z=8848m，

T=288－0.0065×8848=230.5K,!如按：P＝P0－ρgz=101325-1.225

×8848＝-104851Pa同温层

高度为Z=11000～50000m在同温层内,温度为常数T1=216.5K习题2-32-72-8§2-6静止液体作用在平面壁和曲面

壁上的总压力静止液体对固体壁面的合力、合力作用点（压力中心）压力体的概念

垂直平面壁形心：面的形心就是截面图形的几何中心。压力中心：淹没面积上的压力合力（总压力）的作用点。压力中心永远在形心之下，面在液体中下降的越深，压力中心就越靠近面的形心。静面矩（静矩，面积矩）惯性矩惯性积xCyxyCCxydAO

倾斜平面壁结论：平板所受的总压力的大小F等于平板形心的压强乘以板的面积，其方向垂直于平板。对于微元dA，左边受水压力，右边受大气压力式中，为平板对x轴的静面矩。C点为形心，hc是形心C的液深（淹深）。总压力F：

压力中心求合力作用点D的坐标xD，yD总压力F对x轴、y轴的矩等于所有微元上的压力对该轴的矩。Jxy=Jcxy+xcycA，Jx=Jcx+y2cA

Jxy为面积A对x、y两轴的惯性积，Jx为为面积A对x轴的惯性矩。设形心C的坐标为xc，yc,。根据平行移轴原理有：惯性积Jcxy可正可负，故xd可能大于xc，也可能小于xc。而Jcx＞0，故yd

＞yc，即压力中心总在形心的下方。

平行移轴原理：任何平面图形对某轴的惯性矩等于它对该轴的形心轴的惯性矩与图形面积乘以两轴之距的平方的和，任何平面图形对两条相垂直的轴的惯性积等于它对平行于该两轴的形心轴的惯性积与面积乘以两对平行轴间距的乘积之和。yxdAO(A)yx0y0CyCy0证明：静止液体作用在水平面上的总压力

由于水平面是水平放置的，压强分布是均匀分布的，那么仅有液体作用在底面为A、液深为h的水平面的总压力：F=ρghA

总压力的作用点是水平面面积的形心。

可见，仅由液体产生作用在水平平面上的总压力同样只与液体的密度、平面面积和液深有关。静水奇象静水奇象如图所示，四个容器装有同一种液体，根据式（F=ρghA），液体对容器底部的作用力是相同的，而与容器的形状无关，这一现象称为静水奇象。换句话说，液体作用在容器上的总压力不要和容器所盛液体的重量相混淆。工程上可以利用这一现象对容器底部进行严密性检查。例题例2-6一块宽为B，倾角α的平板，没入水中的长度为L.总压力:压力中心:例题例2-7单位宽度的平板将渠道上下游的水隔开，此平板可绕固定铰轴O转动，O至板底B的距离设为S，上、下游的水深为H和h。求证:为保证此平板闸门不会自动开启,必有:证明上下游的湿水长度

L=H/sinθ,l=h/sinθ上下游的总压力力F和f对O取矩整理得例题图示的单位宽度平板闸门，已知h=1.5m,α=600,水的总压力F的大小及作用点位置.解:板AB之长L=h/sinα,

f1=ρgHL,f2=0.5ρghL，F=f1+f2FDB=f1L/2+f2L/3DB=(f1L/2+f2L/3)/F曲面壁总压力在x方向的分量总压力在z方向的分量V称为压力体的体积.V——曲面、水平面，过曲面周边的（无数条）铅直线围成的空间的体积。压力体与受压面在同一侧的叫做实压力体，液体压力向下；压力体与受压面不在同一侧的叫做虚压力体，液体压力向上。

压力体举例如图巨石挡水

FZ=ρg(Vebcf

－Veba)=ρgVabcf压力体总是自液面往下，并覆盖整个边界；但作用力的方向可向上也可向下。

分析浸没在液体中的球的压力体。分析下图中所示的压力体：例2-9求三个油盖的压力如图示,水箱壁面有三个半球形盖,已知R=0.5m，H=2.5m，h=0.75m，求三个半球该所受的静水总压力.解：盖1，Fx=0盖2盖3习题2-142-162-192-21§2-7

液体的相对静止1．液体随容器作等加速直线运动fx=－a

fz=－gdp=ρ(－adx－gdz)等压面方程:dp=0,adx+gdz=0积分得:z=-ax/g+const自由面是等压面:z0=-ax/g压强分布:p=ρ(-ax-gz)+p0=p0+ρg(z0－z)

问题：＝？液体对底板压力＝？液体对前后侧板压力＝？2．液体随容器作等角速度旋转运动fy=ω2rsinθ=ω2yfx=ω2rcosθ=ω2xfz=-gdp=ρ(ω2xdx+ω2ydy－gdz)等压面方程：ω2xdx+ω2ydy－gdz=0积分得：自由面方程：压强分布：例2-11离心铸造机用离心铸造机铸造车轮,铁水密度为ρ,已知h,D,ω,求铁水对于圆平面A-A的总压力解：压强分布面A-A上,z=-h，铁水总压力为例题一个圆桶,底面半径R=0.1m,高H=0.3m,内盛深h=0.2m的液体,若使桶和液体以角速度ω旋转.求:1.液体开始被抛出时所需的ω;2.当液面最低点降至圆筒底面时所需的ω.解1.旋转抛物面所围的体积等于同高圆柱体体积的一半.0.5(H-h1)A=(H-h)A式中,A为桶的底面积.得h1=0.1m当z=H－h1=0.2m时，r=R=0.1m2.当液面最低点降至圆筒底面时

z=H=0.3m,r=R=0.1m解习题2-172-232-312-8浮体与潜体的稳定性一、浮力的原理如图2-27所示，有一物体沉没在静止的液体中，它受到的静水总压力P可以分解成水平分力px、py和垂直分力pz。先确定水平分力。对于浸没于液体中的物体，可以找到一个母线平行于x轴的水平外切柱面与物体相切的封闭曲线BCFD，该曲线将物体分成左右两部分，作用于物体上沿着x方向的水平分力px就是这两部分的外部曲面上的水平分力Px1与Px2之和，它们的大小各为相应曲面在垂直于轴的垂直投影面上的水压力。而这两部分在此垂直面上的投影面完全重合，故Px1与Px2大小相等，方向相反，因此Px=0。同理可得作用于物体上沿着y方向的水平分力Py=0。也就是浸没于液体中的物体在各水平方向的总压力为零。Pz1JKABCDEFPx2PzPx1Pz2图2-27浮力原理再确定垂直分力。作该物体的垂直外切柱面，与物体相切得封闭曲线ACED，将物体分成上下两部分，液体作用在上部分表面上的总压力的垂直分力Pz1等于压力体ABEKJ的液体重量，方向垂直向下，即Pz1=ρgVABEKJ液体作用在下部分表面上的总压力的垂直分力Pz2等于压力体AFEKJ的液体重量，方向垂直向上，即Pz2=-ρgVAFEKJ液体作用于整个物体上的总压力的垂直分力Pz是上下两部分的外部曲面上的垂直分力的合力。即Pz=Pz1+Pz2==-ρg(VAFEKJ-VABEKJ)=-ρgVAFEB负号表示方向向上。上面的分析结果同样适用于漂浮在液面上的物体。综上所述，液体作用在沉没或漂浮物体上的总压力的方向垂直向上，大小等于物体所排开液体的重量，该力又称为浮力，作用线通过压力体的几何中心，又称浮心，这就是著名的阿基米德原理。从上面的分析可以看出：浮力的存在就是物体表面上作用的液体压强不平衡的结果。一切浸没于液体中或漂浮于液面上的物体都受到两个力作用：一个是垂直向上的浮力，其作用线通过浮心；另一个是垂直向下的重力G，其作用线通过物体的重心。对浸没于液体中的均质物体，浮心与重心重合，但对于浸没于液体中的非均质物体或漂浮于液面上的物体重心与浮心是不重合的。

根据重力G与浮力Pz的大小，物体在液体中将有三种不同的存在方式：1．重力G大于浮力Pz，物体将下沉到底，称为沉体；2．重力G等于浮力Pz，物体潜没于液体中，称为潜体；3．重力G小于浮力Pz，物体会上浮，直到部分物体露出液面，使留在液面以下部分物体所排开的液体重量恰好等于物体的重力为止，称为浮体。阿基米德原理对于沉体、潜体和浮体都是正确的。利用浮力原理测量液体相对密度如图所示，比重计浮在纯水（相对密度s=1.0）中时，仪器上有一个参考刻度位于水面处；当比重计浮在相对密度s较大的液体中时，由于排开液体体积较少，参考高度将高出水面某个高度△h。如果比重计在纯水中淹没的体积是V，那么在密度较大的液体中淹没的体积应为V-A△h，比重计受到的浮力为由此得二、潜体的稳定性重力与浮力相等，是浮体和潜体维持平衡的必要条件。如果要求浮体