2023年巴音郭楞职业技术学院高职单招（数学）试题库含答案解析

长风破浪会有时，直挂云帆济沧海。住在富人区的她2023年巴音郭楞职业技术学院高职单招（数学）试题库含答案解析（图片大小可自由调整）全文为Word可编辑，若为PDF皆为盗版，请谨慎购买！第1卷一.综合题(共50题)1.直线2x-3y+10=0的法向量的坐标可以是答案：C2.△ABC是边长为1的正三角形，那么△ABC的斜二测平面直观图△A′B′C′的面积为（

）

A．

B．

C.

D．答案：D3.如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，BD=OB，CD与⊙O切于C，那么∠CAB═______．答案：连接OC，BC．∵CD是切线，∴OC⊥CD．∵BD=OB，∴BC=OB=OC．∴∠ABC=60°．∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB=30°故为：30°4.已知正三角形的外接圆半径为63cm，求它的边长．答案：设正三角形的边长为a，则12a=Rcos30°=63?32=9(cm)∴a=18(cm)．它的边长为18cm．5.若向量，则这两个向量的位置关系是___________。答案：垂直6.一个盒子装有10个红、白两色同一型号的乒乓球，已知红色乒乓球有3个，若从盒子里随机取出3个乒乓球，则其中含有红色乒乓球个数的数学期望是______．答案：由题设知含有红色乒乓球个数ξ的可能取值是0，1，2，3，P（ξ=0）=C37C310=724，P（ξ=1）=C27C13C310=2140，P（ξ=2）=C17C23C310=740，P（ξ=3）=C33C310=1120．∴Eξ=0×724+1×

2140+2×740+3×1120=910．故为：910．7.若点M是△ABC的重心，则下列向量中与AB共线的是______．（填写序号）

（1）AB+BC+AC

（2）AM+MB+BC

（3）AM+BM+CM

（4）3AM+AC．答案：对于（1）AB+BC+AC=2AC不与AB共线对于（2）AM+MB+BC=AB+BC=AC不与AB对于（3）AM+BM+CM=13(AB+AC)+13(BA+BC)+13(CA+CB)=0与AB对于（4）3AM+AC=AB+AC+AC不与AB故为：（3）8.（几何证明选讲选做题）如图，⊙O中，直径AB和弦DE互相垂直，C是DE延长线上一点，连接BC与圆0交于F，若∠CFE=α（α∈(0，π2)），则∠DEB______．答案：∵直径AB和弦DE互相垂直∴AB平分DE∴BD=BE，∠D=∠BED∵DEFB四点共圆∴∠EFC=∠D=α∴∠DEB=α故为：α9.已知椭圆中心在原点，一个焦点为（3，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是______．答案：根据题意知a=2b，c=3又∵a2=b2+c2∴a2=4

b2=1∴x24+

y2=1故为：∴x24+

y2=1．10.圆C1：x2+y2-6x+6y-48=0与圆C2：x2+y2+4x-8y-44=0公切线的条数是（）

A．0条

B．1条

C．2条

D．3条答案：C11.在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CD、CE分别为斜边AB上的高和中线，且∠BCD与∠ACD之比为3：1，求证CD=DE．

答案：证明：∵∠A+∠ACD=∠A+∠B=90°，∴∠ACD=∠B又∵CE是直角△ABC的斜边AB上的中线∴CE=EB∠B=∠ECB，∠ACD=∠ECB但∵∠BCD=3∠ACD，∠ECD=2∠ACD=12∠ACB=12×90°=45°，△EDC为等腰直角三角形∴CE=DE．12.已知f(x)=，若f（x0）＞1，则x0的取值范围是（）

A．（0，1）

B．（-∞，0）∪（0，+∞）

C．（-∞，0）∪（1，+∞）

D．（1，+∞）答案：C13.（上海卷理3文8）动点P到点F（2，0）的距离与它到直线x+2=0的距离相等，则P的轨迹方程为______．答案：由抛物线的定义知点P的轨迹是以F为焦点的抛物线，其开口方向向右，且p2=2，解得p=4，所以其方程为y2=8x．故为y2=8x14.设O是正△ABC的中心，则向量AO,BO.CO是（）

A．相等向量

B．模相等的向量

C．共线向量

D．共起点的向量答案：B15.命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是（）

A．有两个内角是直角

B．有三个内角是直角

C．至少有两个内角是直角

D．没有一个内角是直角答案：C16.否定结论“至少有一个解”的说法中，正确的是（）

A．至多有一个解

B．至少有两个解

C．恰有一个解

D．没有解答案：D17.极坐标方程ρcos2θ=0表示的曲线为（）

A．极点

B．极轴

C．一条直线

D．两条相交直线答案：D18.已知空间四点A(4，1，3)，B(2，3，1)，C(3，7，-5)，D(x，-1，3)共面，则x的值为[

]A

．4

B．1

C．10

D．11答案：D19.已知定点A（12.0），M为曲线x=6+2cosθy=2sinθ上的动点，若AP=2AM，试求动点P的轨迹C的方程．答案：设M（6+2cosθ，2sinθ），动点（x，y）由AP=2AM，即M为线段AP的中点故6+2cosθ=x+122，2sinθ=y+02即x=4cosθy=4sinθ即x2+y2=16∴动点P的轨迹C的方程为x2+y2=1620.设，是互相垂直的单位向量，向量=（m+1）-3，=-（m-1），（+）⊥（-）则实数m为（）

A．-2

B．2

C.-

D．不存在答案：A21.一名同学先后投掷一枚骰子两次，第一次向上的点数记为x，第二次向上的点数记为y，在直角坐标系xOy中，以（x，y）为坐标的点落在直线2x+y=8上的概率为（）A．16B．112C．536D．19答案：由题意知本题是一个古典概型，∵试验发生包含的事件是先后掷两次骰子，共有6×6=36种结果，满足条件的事件是（x，y）为坐标的点落在直线2x+y=8上，当x=1，y=6；x=2，y=4；x=3，y=2，共有3种结果，∴根据古典概型的概率公式得到P=336=112，故选B．22.设双曲线C：x2a2-y2=1（a＞0）与直线l：x+y=1相交于两个不同的点A、B．

（I）求双曲线C的离心率e的取值范围：

（II）设直线l与y轴的交点为P，且PA=512PB．求a的值．答案：（I）由C与l相交于两个不同的点，故知方程组x2a2-y2=1x+y=1.有两个不同的实数解．消去y并整理得（1-a2）x2+2a2x-2a2=0．①所以1-a2≠0.4a4+8a2(1-a2)＞0.解得0＜a＜2且a≠1．双曲线的离心率e=1+a2a=1a2+1．∵0＜a＜2且a≠1，∴e＞62且e≠2即离心率e的取值范围为(62，2)∪(2，+∞)．（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（0，1）∵PA=512PB，∴(x1，y1-1)=512(x2，y2-1)．由此得x1=512x2．由于x1和x2都是方程①的根，且1-a2≠0，所以1712x2=-2a21-a2．x1•x2=512x22=-2a21-a2．消去x2，得-2a21-a2=28960由a＞0，所以a=1713．23.已知△ABC和点M满足．若存在实数使得成立，则m=（）

A．2

B．3

C．4

D．5答案：B24.下列4个命题

㏒1/2x>㏒1/3x

其中的真命题是（）

、A．（B．C．D．答案：D解析：取x＝,则＝1,＝＜1,p2正确当x∈(0,)时,()x＜1,而＞1.p4正确25.设z是复数，a（z）表示zn=1的最小正整数n，则对虚数单位i，a（i）=（）A．8B．6C．4D．2答案：a（i）=in=1，则最小正整数n为4．故选C．26.1

甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为,乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为,甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为

（1）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工零件是一等品的概率；

（2）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率.答案：见解析解析：解：（1）设A、B、C分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件①②③27.甲、乙两人对一批圆形零件毛坯进行成品加工．根据需求，成品的直径标准为100mm．现从他们两人的产品中各随机抽取5件，测得直径（单位：mm）如下：

甲：105

102

97

96

100

乙：100

101

102

97

100

（I）分别求甲、乙的样本平均数与方差，并由此估计谁加工的零件较好？

（Ⅱ）若从乙样本的5件产品中再次随机抽取2件，试求这2件产品中至少有一件产品直径为100mm的概率．答案：（Ⅰ）.x甲=15(105+102+97+96+100)=100，.x乙=15(100+101+102+97+100)=100S甲=15(25+4+3+16+0)=545=10.8，S乙=15(0+1+4+9+0)=145=2.8．∵S甲＞S乙，据此估计乙加工的零件好；（Ⅱ）从乙样本的5件产品中再次随机抽取2件的全部结果有如下10种：（100，101），（100，102），（100，97），（100，100），（101，102），（101，97），（101，100），（102，97），（102，100），（97，100）．设事件A为“其中至少有一件产品直径为100”，则时间A有7种．故P（A）=710．28.已知函数f（x）对其定义域内任意两个实数a，b，当a＜b时，都有f（a）＜f（b）．试用反证法证明：函数f（x）的图象与x轴至多有一个交点．答案：证明：假设函数f（x）的图象与x轴至少有两个交点，…（2分）（1）若f（x）的图象与x轴有两个交点，不妨设两个交点的横坐标分别为x1，x2，且x1＜x2，…（5分）由已知，函数f（x）对其定义域内任意实数x1，x2，当x1＜x2时，有f（x1）＜f（x2）．…（7分）又根据假设，x1，x2是函数f（x）的两个零点，所以，f（x1）=f（x2）=0，…（9分）这与f（x1）＜f（x2）矛盾，…（10分）所以，函数f（x）的图象不可能与x轴有两个交点．…（11分）（2）若f（x）的图象与x轴交点多于两个，可同理推出矛盾，…（12分）所以，函数f（x）的图象不可能与x轴有两个以上交点．综上，函数f（x）的图象与x轴至多有一个交点…（14分）29.点P（2，5）关于直线x+y=1的对称点的坐标是（

）。答案：(-4，-1)30.设a1，a2，…，an为正数，求证：a21a2+a22a3+…+a2n-1an+a2na1≥a1+a2+…+an．答案：证明：不妨设a1＞a2＞…＞an＞0，则a12＞a22＞…＞an2，1a1＜1a2＜…1an由排序原理：乱序和≥反序和，可得：a21a2+a22a3+…+a2n-1an+a2na1≥a12a1+a22a2+…+an2an=a1+a2+…+an．31.|a|=4，|b|=5，|a+b|=8，则a与b的夹角为______．答案：设a与b的夹角为θ因为|a|=4，|b|=5，|a+b|=8，所以a2+2a?b+b2=64即16+2×4×5cosθ+25=64解得cosθ=2340所以θ=arccos2340故为arccos234032.选修4-4参数方程与极坐标

在平面直角坐标系xOy中，动圆x2+y2-8xcosθ-6ysinθ+7cos2θ+8=0（θ∈R）的圆心为P（x0，y0），求2x0-y0的取值范围．答案：将圆的方程整理得：（x-4cosθ）2+（y-3sinθ）2=1由题设得x0=4cosθy0=3sinθ（θ为参数，θ∈R）．所以2x0-y0=8cosθ-3sinθ=73cos(θ+φ)，所以

-73≤2x0-y0≤73．33.如图，在平行四边形OABC中，点C（1，3）．

（1）求OC所在直线的斜率；

（2）过点C做CD⊥AB于点D，求CD所在直线的方程．答案：（1）∵点O（0，0），点C（1，3），∴OC所在直线的斜率为kOC=3-01-0=3．（2）在平行四边形OABC中，AB∥OC，∵CD⊥AB，∴CD⊥OC．∴CD所在直线的斜率为kCD=-13．∴CD所在直线方程为y-3=-13(x-1)，即x+3y-10=0．34.设a、b∈R+且a+b=3，求证1+a+1+b≤10．答案：证明：证法一：（综合法）∵(1+a+1+b)2=2+a+b+2(1+a)?(1+b)≤5+(1+a+1+b)=10∴1+a+1+b≤10证法二：（分析法）∵a、b∈R+且a+b=3，∴欲证1+a+1+b≤10只需证(1+a+1+b)2≤10即证2+a+b+2(1+a)?(1+b)≤10即证2(1+a)?(1+b)≤5只需证4（1+a）?（1+b）≤25只需证4（1+a）?（1+b）≤25即证4（1+a+b+ab）≤25只需证4ab≤9即证ab≤94∵ab≤(a+b2)2=(32)2=94成立∴1+a+1+b≤10成立35.方程（x2-9）2（x2-y2）2=0表示的图形是（）

A．4个点

B．2个点

C．1个点

D．四条直线答案：D36.若A（x,5-x,2x-1），B(1,x+2,2-x)，当||取最小值时，x的值等于（

）

A．

B．

C．

D．答案：C37.在区间[-1,1]上任取两个数s和t，则关于x的方程x2+sx+t=0的两根都是正数的概率是[

]A．

B．

C．

D.答案：A38.已知a,b,c是正实数,且a+b+c=1,则的最小值为(

)A．3B．6C．9D．12答案：C解析：本题考查均值不等式等知识。将1代入中，得，当且仅当，又，故时不等式取，选C。39.设a，b，c都是正数，求证：bca+cab+abc≥a+b+c．答案：证明：∵2（bca+acb+abc）=（bca+acb）+（bca+abc）+（acb+abc）≥2abc2ab+2acb2ac+2bca2bc=2c+2b+2a，∴bca+acb+abc≥a+b+c当且仅当a=b=c时，等号成立．40.已知⊙C1：x2+y2+2x+8y-8=0，⊙C2：x2+y2-4x-4y-2=0，则的位置关系为（）

A．相切

B．相离

C．相交

D．内含答案：C41.到两定点A（0，0），B（3，4）距离之和为5的点的轨迹是（）

A．椭圆

B．AB所在直线

C．线段AB

D．无轨迹答案：C42.棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，BC1•B1D1=（）A．22B．4C．-22D．-4答案：棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，BC1与

B1D1的夹角等于BC1与BD的夹角，等于60°．∴BC1•B1D1=22×22cos60°=4，故选B．43.下面是一个算法的伪代码．如果输出的y的值是10，则输入的x的值是______．答案：由题意的程序，若x≤5，y=10x，否则y=2.5x+5，由于输出的y的值是10，当x≤5时，y=10x=10，得x=1；当x＞5时，y=2.5x+5=10，得x=2，不合，舍去．则输入的x的值是1．故为：1．44.由直线y=x+1上的一点向圆（x-3）2+y2=1引切线，则切线长的最小值为（）

A．1

B．2

C．

D．3答案：C45.下列各组向量中，可以作为基底的是（）A．e1=(0，0)，e2=(-2，1)B．e1=(4，6)，e2=(6，9)C．e1=(2，-5)，e2=(-6，4)D．e1=(2，-3)，e2=(12，-34)答案：A、中的2个向量的坐标对应成比例，0-2=01，所以，这2个向量是共线向量，故不能作为基底．B、中的2个向量的坐标对应成比例，46=69，所以，这2个向量是共线向量，故不能作为基底．C中的2个向量的坐标对应不成比例，2-6≠-54，所以，这2个向量不是共线向量，故可以作为基底．D、中的2个向量的坐标对应成比例，212=-3-34，这2个向量是共线向量，故不能作为基底．故选C．46.已知随机变量X满足D（X）=2，则D（3X+2）=（）

A．2

B．8

C．18

D．20答案：C47.下列几种说法正确的个数是（）

①相等的角在直观图中对应的角仍然相等；

②相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等；

③平行的线段在直观图中对应的线段仍然平行；

④线段的中点在直观图中仍然是线段的中点．

A．1

B．2

C．3

D．4答案：B48.圆锥的侧面展开图是一个半径长为4的半圆，则此圆锥的底面半径为

______．答案：设圆锥的底面半径为R，则由题意得，2πR=π×4，即R=2，故为：2．49.若a>0，b>0，则不等式－b＜aA．＜x＜0或0＜x＜

答案：D解析：试题分析：50.方程组的解集是（

）答案：{(5，-4)}第2卷一.综合题(共50题)1.参数方程（θ为参数）化为普通方程是（）

A．2x-y+4=0

B．2x+y-4=0

C．2x-y+4=0，x∈[2，3]

D．2x+y-4=0，x∈[2，3]答案：D2.设某批产品合格率为，不合格率为，现对该产品进行测试，设第ε次首次取到正品，则P（ε=3）等于（）

A．

B．

C．

D．答案：C3.如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3cm，4cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则BD=______cm．答案：∵易知AB=32+42=5，又由切割线定理得BC2=BD?AB，∴42=BD?5∴BD=165．故为：1654.一只袋中装有2个白球、3个红球，这些球除颜色外都相同．

（Ⅰ）从袋中任意摸出1个球，求摸到的球是白球的概率；

（Ⅱ）从袋中任意摸出2个球，求摸出的两个球都是白球的概率；

（Ⅲ）从袋中任意摸出2个球，求摸出的两个球颜色不同的概率．答案：（Ⅰ）从5个球中摸出1个球，共有5种结果，其中是白球的有2种，所以从袋中任意摸出1个球，摸到白球的概率为25．

…（4分）（Ⅱ）从袋中任意摸出2个球，共有C25=10种情况，其中全是白球的有1种，故从袋中任意摸出2个球，摸出的两个球都是白球的概率为110．…（9分）（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，摸出的两个球颜色不同的情况共有2×3=6种，故从袋中任意摸出2个球，摸出的2个球颜色不同的概率为610=35．

…（14分）5.将一个总体分为A、B、C三层，其个体数之比为5：3：2，若用分层抽样的方法抽取容量为180的样本，则应从C中抽取样本的个数为______个．答案：由分层抽样的定义可得应从B中抽取的个体数为180×25+3+2=36，故为：36．6.试指出函数y=3x的图象经过怎样的变换，可以得到函数y=（13）x+1+2的图象．答案：把函数y=3x的图象经过3次变换，可得函数y=（13）x+1+2的图象，步骤如下：y=3x沿y轴对称y=（13）x左移一个单位y=（13）x+1上移2个单位y=（13）x+1+2．7.如果关于x的不等式|x-4|-|x+5|≥b的解集为空集，则实数b的取值范围为______．答案：|x-4|-|x+5|的几何意义就是数轴上的点到4的距离与到-5的距离的差，差的最大值为9，如果关于x的不等式|x-4|-|x+5|≥b的解集为空集，则实数b的取值范围为b＞9；故为：b＞9．8.一平面截球面产生的截面形状是______；它截圆柱面所产生的截面形状是______．答案：根据球的几何特征，一平面截球面产生的截面形状是圆；当平面与圆柱的底面平行时，截圆柱面所产生的截面形状为圆；当平面与圆柱的底面不平行时，截圆柱面所产生的截面形状为椭圆；故为：圆，圆或椭圆9.已知函数f(x)=(12)x

x≥4

f(x+1)

x＜4

则f（2+log23）的值为______．答案：∵2+log23∈（2，3），∴f（2+log23）=f（2+log23+1）=f（3+log23）=(12)3+log23=(12)3(12)log23=18×13=124故为12410.设P1（4，-3），P2（-2，6），且P在P1P2的延长线上，使||=2||，则点P的坐标

（）

A．（-8，15）

B．（0，3）

C．（-，）

D．（1，）答案：A11.已知P(B|A)=，P(A)=，则P（AB）等于（）

A．

B．

C．

D．答案：C12.如图把椭圆x225+y216=1的长轴AB分成8分，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1，P2，…P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则|P1F|+|P2F|+…+|P7F|=______．答案：如图，把椭圆x225+y216=1的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1，P2，P3，P4，P5，P6，P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则根据椭圆的对称性知，|P1F1|+|P7F1|=|P1F1|+|P1F2|=2a，同理其余两对的和也是2a，又|P4F1|=a，∴|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|=7a=35，故为35．13.设矩阵M=.32-121232.的逆矩阵是M-1=.abcd.，则a+c的值为______．答案：由题意，矩阵M的行列式为.32-121232.=32×32+12×12=1∴矩阵M=.32-121232.的逆矩阵是M-1=.3212-1232.∴a+c=3-12故为3-1214.已知三角形ABC的一个顶点A（2，3），AB边上的高所在的直线方程为x-2y+3=0，角B的平分线所在的直线方程为x+y-4=0，求此三角形三边所在的直线方程．答案：由题意可得AB边的斜率为-2，由点斜式求得AB边所在的直线方程为y-3=-2（x-2），即2x+y-7=0．由2x+y-7=0x+y-4=0

求得x=3y=1，故点B的坐标为（3，1）．设点A关于角B的平分线所在的直线方程为x+y-4=0的对称点为M（a，b），则M在BC边所在的直线上．则由b-3a-2=-1a+22+b+32-4=0

求得a=1b=2，故点M（1，2），由两点式求得BC的方程为y-12-1=x-31-3，即x+2y-5=0．再由x-2y+3=0x+2y-5=0求得点C的坐标为（2，52），由此可得得AC的方程为x=2．15.用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为（）

A．8

B．24

C．48

D．120答案：C16.频率分布直方图的重心是（）

A．众数

B．中位数

C．标准差

D．平均数答案：D17.一个箱中原来装有大小相同的

5

个球，其中

3

个红球，2

个白球．规定：进行一次操

作是指“从箱中随机取出一个球，如果取出的是红球，则把它放回箱中；如果取出的是白

球，则该球不放回，并另补一个红球放到箱中．”

（1）求进行第二次操作后，箱中红球个数为

4

的概率；

（2）求进行第二次操作后，箱中红球个数的分布列和数学期望．答案：（1）设A1表示事件“第一次操作从箱中取出的是红球”，B1表示事件“第一次操作从箱中取出的是白球”，A2表示事件“第二次操作从箱中取出的是红球”，B2表示事件“第二次操作从箱中取出的是白球”．则A1B2表示事件“第一次操作从箱中取出的是红球，第二次操作从箱中取出的是白球”．由条件概率计算公式得P（A1B2）=P（A1）P（B2|A1）=35×25=625．B1A2表示事件“第一次操作从箱中取出的是白球，第二次操作从箱中取出的是红球”．由条件概率计算公式得P（B1A2）=P（B1）P（A2|B1）=25×45=825．A1B2+B1A2表示“进行第二次操作后，箱中红球个数为

4”，又A1B2与B1A2是互斥事件．∴P（A1B2+B1A2）=P（A1B2）+P（B1A2）=625+825=1425．（2）设进行第二次操作后，箱中红球个数为X，则X=3，4，5．P（X=3）35×35=925，P（X=4）=1425，P（X=5）=25×15=225．进行第二次操作后，箱中红球个数X的分布列为：进行第二次操作后，箱中红球个数X的数学期望EX=3×925+4×1425+5×225=9325．18.设U={（x，y）|x2+y2≤1，x，y∈R}，M={（x，y）|x|+|y|≤1，x，y∈R}，现有一质点随机落入区域U中，则质点落入M中的概率是（）A．2πB．12πC．1πD．2π答案：满足条件U={（x，y）|x2+y2≤1，x，y∈R}的圆，如下图示：其中满足条件M={（x，y）|x|+|y|≤1，x，y∈R}的平面区域如图中阴影所示：则圆的面积S圆=π阴影部分的面积S阴影=2故质点落入M中的概率概率P=S阴影S正方形=2π故选D19.下列点在x轴上的是（）

A．（0.1，0.2，0.3）

B．（0，0，0.001）

C．（5，0，0）

D．（0，0.01，0）答案：C20.把下列直角坐标方程或极坐标方程进行互化：

（1）ρ（2cosϑ-3sinϑ）+1=0

（2）x2+y2-4x=0．答案：（1）将原极坐标方程ρ（2cosθ-3sinθ）+1=0展开后化为：2ρcosθ-3ρsinθ+1=0，化成直角坐标方程为：2x-3y+1=0，（2）把公式x=ρcosθ、y=ρsinθ代入曲线的直角坐标方程为x2+y2-4x=0，可得极坐标方程ρ2-4ρcosθ=0，即ρ=4cosθ．21.方程x2+y2=1（xy＜0）的曲线形状是（）

A．

B．

C．

D．

答案：C22.直线2x-y=7与直线3x+2y-7=0的交点是（）

A．（3，-1）

B．（-1，3）

C．（-3，-1）

D．（3，1）答案：A23.先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a，b．

（1）求直线ax+by+5=0与圆x2+y2=1相切的概率；

（2）将a，b，5的值分别作为三条线段的长，求这三条线段能围成等腰三角形的概率．答案：（1）先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a，b，事件总数为6×6=36．∵直线ax+by+c=0与圆x2+y2=1相切的充要条件是5a2+b2=1即：a2+b2=25，由于a，b∈{1，2，3，4，5，6}∴满足条件的情况只有a=3，b=4，c=5；或a=4，b=3，c=5两种情况．∴直线ax+by+c=0与圆x2+y2=1相切的概率是236=118（2）先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a，b，事件总数为6×6=36．∵三角形的一边长为5∴当a=1时，b=5，（1，5，5）1种当a=2时，b=5，（2，5，5）1种当a=3时，b=3，5，（3，3，5），（3，5，5）2种当a=4时，b=4，5，（4，4，5），（4，5，5）2种当a=5时，b=1，2，3，4，5，6，（5，1，5），（5，2，5），（5，3，5），（5，4，5），（5，5，5），（5，6，5）6种当a=6时，b=5，6，（6，5，5），（6，6，5）2种故满足条件的不同情况共有14种故三条线段能围成不同的等腰三角形的概率为1436=718．24.设a，b∈R．“a=O”是“复数a+bi是纯虚数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案：因为a，b∈R．“a=O”时“复数a+bi不一定是纯虚数”．“复数a+bi是纯虚数”则“a=0”一定成立．所以a，b∈R．“a=O”是“复数a+bi是纯虚数”的必要而不充分条件．故选B．25.（文）不等式的解集是（

）A．B．C．D．答案：D解析：【思路分析】：原不等式可化为，得，故选D.【命题分析】考查不等式的解法，要求同解变形.26.直线L1：x-y=0与直线L2：x+y-10=0的交点坐标是（）

A．（5，5）

B．（5，-5）

C．（-1，1）

D．（1，1）答案：A27.从1，2，…，9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是（）A．59B．49C．1121D．1021答案：基本事件总数为C93，设抽取3个数，和为偶数为事件A，则A事件数包括两类：抽取3个数全为偶数，或抽取3数中2个奇数1个偶数，前者C43，后者C41C52．∴A中基本事件数为C43+C41C52．∴符合要求的概率为C34+C14C25C39=1121．28.若a=(1，1)，则|a|=______．答案：由题意知，a=(1，1)，则|a|=1+1=2，故为：2．29.（x+2y）4展开式中各项的系数和为______．答案：令x=y=1，可得（1+2）4=81故为：81．30.已知空间三点A（1，1，1）、B（-1，0，4）、C（2，-2，3），则AB与CA的夹角θ的大小是

______答案：AB=（-2，-1，3），CA=（-1，3，-2），cos＜AB，CA＞=(-2)×(-1)+(-1)×3+3×(-2)14•14=-714=-12，∴θ=＜AB，CA＞=120°．故为120°31.已知两个力F1，F2的夹角为90°，它们的合力大小为20N，合力与F1的夹角为30°，那么F1的大小为（）A．103NB．10

NC．20

ND．102N答案：设向F1，F2的对应向量分别为OA、OB以OA、OB为邻边作平行四边形OACB如图，则OC=OA+OB，对应力F1，F2的合力∵F1，F2的夹角为90°，∴四边形OACB是矩形在Rt△OAC中，∠COA=30°，|OC|=20∴|OA|=|OC|cos30°=103故选：A32.设a1，a2，…，a2n+1均为整数，性质P为：对a1，a2，…，a2n+1中任意2n个数，存在一种分法可将其分为两组，每组n个数，使得两组所有元素的和相等求证：a1，a2，…，a2n+1全部相等当且仅当a1，a2，…，a2n+1具有性质P．答案：证明：①当a1，a2，…，a2n+1全部相等时，从中任意2n个数，将其分为两组，每组n个数，两组所有元素的和相等，故性质P成立．②下面证明：当a1，a2，…，a2n+1具有性质P时，a1，a2，…，a2n+1全部相等．反证法：假设a1，a2，…，a2n+1不全部相等，则其中至少有一个整数和其它的整数不同，不妨设此数为a1，若a1在取出的2n个数中，将其分为两组，每组n个数，则a1在的那个组所有元素的和与另一个组所有元素的和不相等，这与性质P矛盾，故假设不成立，所以，当a1，a2，…，a2n+1具有性质P时，a1，a2，…，a2n+1全部相等．综上，a1，a2，…，a2n+1全部相等当且仅当a1，a2，…，a2n+1具有性质P．33.设随机变量x～B（n，p），若Ex=2.4，Dx=1.44则（）

A．n=4，p=0.6

B．n=6，p=0.4

C．n=8，p=0.3

D．n=24，p=0.1答案：B34.位于直角坐标原点的一个质点P按下列规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向向左或向右，并且向左移动的概率为，向右移动的概率为，则质点P移动五次后位于点（1，0）的概率是（）

A．

B．

C．

D．答案：D35.命题“存在x0∈R，使x02+1＜0”的否定是______．答案：∵命题“存在x0∈R，使x02+1＜0”是一个特称命题∴命题“存在x0∈R，使x02+1＜0”的否定是“对任意x0∈R，使x02+1≥0”故为：对任意x0∈R，使x02+1≥036.为了调查上海市中学生的身体状况，在甲、乙两所学校中各随意抽取了

100名学生，测试引体向上，结果如下表所示：

（1）甲乙两校被测学生引体向上的平均数分别是：甲校______个，乙校______个．

（2）若5个以下（不含5个）为不合格，则甲乙两校的合格率分别为甲校______

乙校______

（3）若15个以上（含15个）为优秀，则甲乙两校中优秀率______校较高（填“甲”或“乙”）

（4）用你所学的统计知识对两所学校学生的身体状况作一个比较．你的结论是______．答案：（1）甲校被测学生引体向上的平均数是=6×3+15×5+44×8+20×11+9×5+6×20100=8.3，乙校被测学生引体向上的平均数是=6×3+11×5+51×8+18×11+8×15+6×20100=9.19；（2）甲校的合格率=15+44+20+9+6100×100%=94%，乙校的合格率=11+51+18+8+6100×100%=94%；（3）甲校中优秀率=9+6100×100%=15%，乙校中优秀率=8+6100×100%=14%，所以甲校较高；（4）虽然合格率相等，但是乙校平均数更高一些，所以乙校更好一些．故为：8.3，9.19，94%，94%，乙校更好一些37.设a∈（0，1）∪（1，+∞），对任意的x∈(0，12]，总有4x≤logax恒成立，则实数a的取值范围是______．答案：∵a∈（0，1）∪（1，+∞），当0＜x≤12时，函数y=4x的图象如下图所示：∵对任意的x∈(0，12]，总有4x≤logax恒成立，若不等式4x＜logax恒成立，则y=logax的图象恒在y=4x的图象的上方（如图中虚线所示）∵y=logax的图象与y=4x的图象交于（12，2）点时，a=22，故虚线所示的y=logax的图象对应的底数a应满足22＜a＜1．故为：（22，1）．38.用0、1、2、3、4、5这6个数字，可以组成无重复数字的五位偶数的个数为______（用数字作答）．答案：末尾是0时，有A55=120种；末尾不是0时，有2种选择，首位有4种选择，中间有A44，故有2×4×A44=192种故共有120+192=312种．故为：31239.抛物线顶点在坐标原点，以y轴为对称轴，过焦点且与y轴垂直的弦长为16，则抛物线方程为______．答案：∵过焦点且与对称轴y轴垂直的弦长等于p的2倍．∴所求抛物线方程为x2=±16y．故为：x2=±16y．40.点M（4，）化成直角坐标为（）

A．（2，）

B．（-2，-）

C．（，2）

D．（-，-2）答案：B41.如图，在△ABC中，，，则实数λ的值为（）

A．

B．

C．

D．

答案：D42.当x∈N+时，用“＞”“＜”或“=”填空：

(12)x______1，2x______1，(12)x______2x，(12)x______(13)x，2x______3x．答案：根据指数函数的性质得，当x∈N+时，(12)x＜1，2x＞1，则2x＞(12)x，且2x＜3x，则(12)x＞(13)x，故为：＜、＞、＜、＞、＜．43.已知△ABC∽△DEF，且相似比为3：4，S△ABC=2cm2，则S△DEF=______cm2．答案：∵△ABC∽△DEF，且相似比为3：4∴S△ABC：S△DEF=9：16∴S△DEF=329．故为：329．44.△ABC中，若有一个内角不小于120°，求证：最长边与最短边之比不小于3．答案：设最大角为∠A，最小角为∠C，则最大边为a，最小边为c因为A≥120°，所以B+C≤60°，且C≤B，所以2C≤B+C≤60°，C≤30°．所以ac=sinAsinC=sin(B+C)sinC≥sin2CsinC=2cosC≥3．45.一个容量为n的样本，分成若干组，已知某数的频数和频率分别为40、0.125，则n的值为（）A．640B．320C．240D．160答案：由频数、频率和样本容量之间的关系得到，40n=0.125，∴n=320．故选B．46.与椭圆+y2=1共焦点且过点P（2，1）的双曲线方程是（）

A．-y2=1

B．-y2=1

C．-=1

D．x2-=1答案：B47.已知：|.a|=1，|.b|=2，＜a，b＞=60°，则|a+b|=______．答案：由题意|a+b|2=(a+b)2=a2+2b?a+b2=1+4+2×2×1×cos＜a，b＞=5+2=7∴|a+b|=7故为748.10件产品中有7件正品，3件次品，则在第一次抽到次品条件下，第二次抽到次品的概率______．答案：根据题意，在第一次抽到次品后，有2件次品，7件正品；则第二次抽到次品的概率为29；故为29．49.若a=0.30.2，b=20.4，c=0.30.3，则a，b，c三个数的大小关系是：______（用符号“＞”连接这三个字母）答案：∵1=0.30＞0.30.2＞0.30.3，又∵20.4＞20=1，∴b＞a＞c．故为：b＞a＞c．50.若（1+2）5=a+b2（a，b为有理数），则a+b=（）A．45B．55C．70D．80答案：解析：由二项式定理得：（1+2）5=1+C512+C52（2）2+C53（2）3+C54（2）4+C55?（2）5=1+52+20+202+20+42=41+292，∴a=41，b=29，a+b=70．故选C第3卷一.综合题(共50题)1.已知定点A（12.0），M为曲线x=6+2cosθy=2sinθ上的动点，若AP=2AM，试求动点P的轨迹C的方程．答案：设M（6+2cosθ，2sinθ），动点（x，y）由AP=2AM，即M为线段AP的中点故6+2cosθ=x+122，2sinθ=y+02即x=4cosθy=4sinθ即x2+y2=16∴动点P的轨迹C的方程为x2+y2=162.已知平面向量=（3,1），=（x，3），且⊥，则实数x的值为（）

A．9

B．1

C．-1

D．-9答案：C3.设随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），且函数f（x）=x2+4x+ξ没有零点的概率为，则μ为（）

A．1

B．4

C．2

D．不能确定答案：B4.已知圆的方程是（x-2）2+（y-3）2=4，则点P（3，2）满足（）

A．是圆心

B．在圆上

C．在圆内

D．在圆外答案：C5.若根据10名儿童的年龄

x（岁）和体重

y（㎏）数据用最小二乘法得到用年龄预报体重的回归方程是

y=2x+7，已知这10名儿童的年龄分别是

2、3、3、5、2、6、7、3、4、5，则这10名儿童的平均体重是（）

A．17㎏

B．16㎏

C．15㎏

D．14㎏答案：C6.设O是坐标原点，F是抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，A是抛物线上的一点，FA与x轴正向的夹角为60°，则|OA|为______．答案：过A作AD⊥x轴于D，令FD=m，则FA=2m，p+m=2m，m=p．∴OA=(p2+p)2+(3p)2=212p.故为：212p7.我们称正整数n为“好数”，如果n的二进制表示中1的个数多于0的个数．如6=（110）：为好数，1984=（11111000000）；不为好数，则：

（1）二进制表示中恰有5位数码的好数共有______个；

（2）不超过2012的好数共有______个．答案：（1）二进制表示中恰有5位数码的二进制数分别为：10000，10001，10010，10011，10100，10101，10110，10111，11000，11001，11010，11011，11100，11101，11110，11111，共十六个数，再结合好数的定义，得到其中好数有11个；（2）整数2012的二进制数为：11111011100，它是一个十一位的二进制数．其中一位的二进制数是：1，共有C11个；其中二位的二进制数是：11，共有C22个；

其中三位的二进制数是：101，110，111，共有C12+C22个；

其中四位的二进制数是：1011，1101，1110，1111，共有C23+C33个；

其中五位的二进制数是：10011，10101，10110，11001，11010，11100，10111，11011，11101，11110，11111，共有C24+C34+C44个；

以此类推，其中十位的二进制数是：共有C49+C59+C69+C79+C89+C99个；其中十一位的小于2012二进制数是：共有24+4个；一共不超过2012的好数共有1164个．故1065个8.已知点E在△ABC所在的平面且满足AB+AC=λAE(λ≠0)，则点E一定落在（）A．BC边的垂直平分线上B．BC边的中线所在的直线上C．BC边的高线所在的直线上D．BC边所在的直线上答案：因为点E在△ABC所在的平面且满足AB+AC=λAE(λ≠0)所以，根据平行四边形法则，E一定落在这个平行四边形的起点为A的对角线上，又平行四边形对角线互相平分，所以E一定落在BC边的中线所在的直线上，故选B．9.若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（0，2）C．（1，+∞）D．（0，1）答案：∵方程x2+ky2=2，即x22+y22k=1表示焦点在y轴上的椭圆∴2k＞2故0＜k＜1故选D．10.若双曲线与椭圆x216+y225=1有相同的焦点，与双曲线x22-y2=1有相同渐近线，求双曲线方程．答案：依题意可设所求的双曲线的方程为y2-x22=λ(λ＞0)…（3分）即y2λ-x22λ=1…（5分）又∵双曲线与椭圆x216+y225=1有相同的焦点∴λ+2λ=25-16=9…（9分）解得λ=3…（11分）∴双曲线的方程为y23-x26=1…（13分）11.设P点在x轴上，Q点在y轴上，PQ的中点是M（-1，2），则|PQ|等于______．答案：设P（a，0），Q（0，b），∵PQ的中点是M（-1，2），∴由中点坐标公式得a+02=-10+b2=2，解之得a=-2b=4，因此可得P（-2，0），Q（0，4），∴|PQ|=(-2-0)2+(0-4)2=25．故为：2512.三行三列的方阵.a11a12

a13a21a22

a23a31a32

a33.中有9个数aji（i=1，2，3；j=1，2，3），从中任取三个数，则它们不同行且不同列的概率是（）A．37B．47C．114D．1314答案：从给出的9个数中任取3个数，共有C39；从三行三列的方阵中任取三个数，使它们不同行且不同列：从第一行中任取一个数有C13种方法，则第二行只能从另外两列中的两个数任取一个有C12种方法，第三行只能从剩下的一列中取即可有1中方法，∴共有C13×C12×C11=6．∴从三行三列的方阵中任取三个数，则它们不同行且同列的概率P=6C39=114．故选C．13.若抛物线y2=2px（p＞0）的焦点与双曲线的右焦点重合，则p的值为（）

A．2

B．4

C．8

D.4答案：C14.设a，b是非负实数，求证：a3+b3≥ab（a2+b2）．答案：证明：由a，b是非负实数，作差得a3+b3-ab（a2+b2）=a2a（a-b）+b2b（b-a）=（a-b）[（a）5-（b）5]．当a≥b时，a≥b，从而（a）5≥（b）5，得（a-b）[（a）5-（b）5]≥0；当a＜b时，a＜b，从而（a）5＜（b）5，得（a-b）[（a）5-（b）5]＞0．所以a3+b3≥ab（a2+b2）．15.A、B为球面上相异两点，则通过A、B两点可作球的大圆有（）A．一个B．无穷多个C．零个D．一个或无穷多个答案：如果A，B两点为球面上的两极点（即球直径的两端点）则通过A、B两点可作球的无数个大圆如果A，B两点不是球面上的两极点（即球直径的两端点）则通过A、B两点可作球的一个大圆故选：D16.①点P在△ABC所在的平面内，且②点P为△ABC内的一点，且使得取得最小值；③点P是△ABC所在平面内一点，且，上述三个点P中，是△ABC的重心的有（）

A．0个

B．1个

C．2个

D．3个答案：D17.a=(2，1)，b=(3，4)，则向量a在向量b方向上的投影为______．答案：根据向量在另一个向量上投影的定义向量a在向量b方向上的投影为a?b|b|∵a=(2，1)，b=(3，4)，∴a?b=10，|b|=5∴a?b|b|=2故为：218.掷一颗均匀的骰子，若随机事件A表示“出现奇数点”，则A的对立事件B表示______．答案：掷一颗均匀的骰子，结果只有2种：出现奇数点、出现偶数点．若随机事件A表示“出现奇数点”，则A的对立事件B表示：“出现偶数点”，故为出现偶数点．19.直角△PIB中，∠PBO=90°，以O为圆心、OB为半径作圆弧交OP于A点．若弧AB等分△POB的面积，且∠AOB=α弧度，则（

）

A．tanα=α

B．tan=2α

C．sinα=2cosα

D．2sin=cosα答案：B20.不等式ax2+bx+2＞0的解集是(-，)，则a+b的值是（）

A．10

B．-10

C．14

D．-14答案：D21.在极坐标系中，若点A(ρ0，π3)（ρ0≠0）是曲线ρ=2cosθ上的一点，则ρ0=______．答案：∵点A(ρ0，π3)（ρ0≠0）是曲线ρ=2cosθ上的一点，∴ρ0=2cosπ3．∴ρ0=2×12=1．故为：1．22.与向量a=（12，5）平行的单位向量为（）A．(1213，-513)B．(-1213，-513)C．(1213，513)或(-1213，-513)D．(-1213，513)或(1213，-513)答案：设与向量a=（12，5）平行的单位向量b=(x，y)，|a|=13所以a=±13bb=(1213，513)，或b=(-1213，-513)故选C．23.已知实数x，y满足2x+y+5=0，那么x2+y2的最小值为（）A．5B．10C．25D．210答案：求x2+y2的最小值，就是求2x+y+5=0上的点到原点的距离的最小值，转化为坐标原点到直线2x+y+5=0的距离，d=522+1=5．故选A．24.以椭圆的焦点为顶点、顶点为焦点的双曲线方程是（）

A．

B．

C．

D．答案：C25.已知二项分布ξ～B(4，12)，则该分布列的方差Dξ值为______．答案：∵二项分布ξ～B(4，12)，∴该分布列的方差Dξ=npq=4×12×(1-12)=1故为：126.动点P到直线x+2=0的距离减去它到M（1，0）的距离之差等于1，则动点P的轨迹是______．答案：将直线x+2=0向右平移1个长度单位得到直线x+1=0，则动点到直线x+1=0的距离等于它到M（1，0）的距离，由抛物线定义知：点P的轨迹是以点M为焦点的抛物线．：以点M为焦点以x=-1为准线的抛物线．27.直线(t为参数)被圆x2+y2=9截得的弦长为（）

A.

B.

C.

D.答案：B28.已知A（-1，2），B（2，-2），则直线AB的斜率是（）

A．

B．

C．

D．答案：A29.如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1．在三角形内挖去半圆（圆心O在边AC上，半圆与BC、AB相切于点C、M，与AC交于N，见图中非阴影部分），则该半圆的半径长为______．答案：连接OM，则OM⊥AB．设⊙O的半径OM=OC=r．在Rt△OAM中，OA=OMsin30°=2r．在Rt△ABC中，AC=BCtan30°=3，∴3=AC=OA+OC=3r，∴r=33．故为33．30.（理）在极坐标系中，半径为1，且圆心在（1，0）的圆的方程为（）

A．ρ=sinθ

B．ρ=cosθ

C．ρ=2sinθ

D．ρ=2cosθ答案：D31.某海域内有一孤岛，岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界是长轴长为2a，短轴长为2b的椭圆，已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为h1、h2，且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上，现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为θ1、θ2，那么船只已进入该浅水区的判别条件是______．答案：依题意，|MF1|+|MF2|≤2a?h1?cotθ1+h2?cotθ2≤2a；故为：h1?cotθ1+h2?cotθ2≤2a32.已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面α内的一条直线，m⊥β，则α⊥β，反过来则不一定所以“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件．故选B．33.下列数字特征一定是数据组中的数是（）

A．众数

B．中位数

C．标准差

D．平均数答案：A34.O为△ABC平面上一定点，该平面上一动点p满足M={P|OP=OA+λ(AB|AB|sinC+AC|AC|sinB)

，λ＞0}，则△ABC的（）一定属于集合M．A．重心B．垂心C．外心D．内心答案：如图：D是BC的中点，在△ABC中，由正弦定理得，|AB|sinC=|AC|sinB即sinc|AB|=sinB||AC|，设t=sinc|AB|=sinB||AC|，代入OP=OA+λ(AB|AB|sinC+AC|AC|sinB)得，OP=OA+λt(AB+AC)①，∵D是BC的中点，∴AB+AC=2AD，代入①得，OP=OA+2λtAD，∴AP=2λtAD且λ、t都是常数，则AP∥AD，∴点P得轨迹是直线AD，△ABC的重心一定属于集合M，故选A．35.已知a，b，c是空间的一个基底，且实数x，y，z使xa+yb+zc=0，则x2+y2+z2=______．答案：∵a，b，c是空间的一个基底∴a，b，c两两不共线∵xa+yb+zc=0∴x=y=z=0∴x2+y2+z2=0故为：036.在△ABC中，“A=45°”是“sinA=22”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：当A=45°时，sinA=22成立．若当A=135°时，满足sinA=22．所以，“A=45°”是“sinA=22”的充分不必要条件．故选A．37.一圆形纸片的圆心为点O，点Q是圆内异于O点的一定点，点A是圆周上一点．把纸片折叠使点A与Q重合，然后展平纸片，折痕与OA交于P点．当点A运动时点P的轨迹是（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线答案：如图所示，由题意可知：折痕l