2023年宁波幼儿师范高等专科学校高职单招（数学）试题库含答案解析

长风破浪会有时，直挂云帆济沧海。住在富人区的她2023年宁波幼儿师范高等专科学校高职单招（数学）试题库含答案解析（图片大小可自由调整）全文为Word可编辑，若为PDF皆为盗版，请谨慎购买！第1卷一.综合题(共50题)1.200辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如图所示，则时速不低于60km/h的汽车数量为

______辆．答案：时速不低于60km/h的汽车的频率为（0.028+0.01）×10=0.38∴时速不低于60km/h的汽车数量为200×0.38=76故为：762.过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线与抛物线相交于M，N两点，自M，N向准线l作垂线，垂足分别为M1，N1，则∠M1FN1等于（）

A．45°

B．60°

C．90°

D．120°答案：C3.直线2x-y=7与直线3x+2y-7=0的交点是（）

A．（3，-1）

B．（-1，3）

C．（-3，-1）

D．（3，1）答案：A4.等边三角形ABC中，P在线段AB上，且AP=λAB，若CP•AB=PA•PB，则实数λ的值是______．答案：设等边三角形ABC的边长为1．则|AP|=λ|AB|=λ，|PB|=1-λ．（0＜λ＜1）CP•AB=(CA+AP)•AB=CA•AB+

AP•AB=PA•PB，所以1×1×cos120°+λ×1×cos0°=λ×（1-λ）cos180°．化简-12+λ=-λ（1-λ），整理λ2-2λ+12=0，解得λ=2-22（λ=2+22＞1舍去）故为：2-225.已知0≤θ＜2π，复数icosθ+isinθ＞0，则θ的值是（）A．π2B．3π2C．（0，π）内的任意值D．（0，π2）∪(3π2，2π)内的任意值答案：复数icosθ+isinθ＞0，可得icosθ+sinθ＞0，因为0≤θ＜2π，所以θ=π2．故选A．6.画出《数学3》第一章“算法初步”的知识结构图．答案：《数学3》第一章“算法初步”的知识包括：算法、程序框图、算法的三种基本逻辑结构和框图表示、基本算法语句．算法的三种基本逻辑结构和框图表示就是顺序结构、条件结构、循环结构，基本算法语句是指输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句和循环语句．故《数学3》第一章“算法初步”的知识结构图示意图如下：7.直线l1：x+ay=2a+2与直线l2：ax+y=a+1平行，则a=______．答案：直线l1：x+ay=2a+2即x+ay-2a-2=0；直线l2：ax+y=a+1即ax+y-a-1=0，∵直线l1与直线l2互相平行∴当a≠0且a≠-1时，1a=a1≠-2a-2-a-1，解之得a=1当a=0时，两条直线垂直；当a=-1时，两条直线重合故为：18.若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为（）A．123B．363C．273D．6答案：此几何体为一个三棱柱，棱柱的高是4，底面正三角形的高是33，设底面边长为a，则32a=33，∴a=6，故三棱柱体积V=12?62?32?4=363．故选B9.如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P．若PB=1，PD=3，则BCAD的值为______．答案：因为A，B，C，D四点共圆，所以∠DAB=∠PCB，∠CDA=∠PBC，因为∠P为公共角，所以△PBC∽△PAD，所以BCAD=PBPD=13．故为：13．10.直线过原点且倾角的正弦值是45，则直线方程为______．答案：因为倾斜角α的范围是：0≤α＜π，又由题意：sinα=45所以：tanα=±43x直线过原点，由直线的点斜式方程得到：y=±43x故为：y=±43x11.乘积（a1+a2+a3）（b1+b2+b3+b4）（c1+c2+c3+c4+c5）的展开式中，一共有多少项？答案：因为：从第一个括号中选一个字母有3种方法，从第二个括号中选一个字母有4种方法，从第三个括号中选一个字母有5种方法．故根据乘法计数原理可知共有N=3×4×5=60（项）．12.在极坐标系中，直线l经过圆ρ=2cosθ的圆心且与直线ρcosθ=3平行，则直线l与极轴的交点的极坐标为______．答案：由ρ=2cosθ可知此圆的圆心为（1，0），直线ρcosθ=3是与极轴垂直的直线，所以所求直线的极坐标方程为ρcosθ=1，所以直线l与极轴的交点的极坐标为（1，0）．故为：（1，0）．13.整数630的正约数（包括1和630）共有______个．答案：首先将630分解质因数630=2×32×5×7；然后注意到每一因数可出现的次幂数，如2可有20，21两种情况，3有30，31，32三种情况，5有50，51两种情况，7有70，71两种情况，按分步计数原理，整数630的正约数（包括1和630）共有2×3×2×2=24个．故为：24．14.如图，CD是⊙O的直径，AE切⊙O于点B，连接DB，若∠D=20°，则∠DBE的大小为（）

A．20°

B．40°

C．60°

D．70°答案：D15.已知：空间四边形ABCD，AB=AC，DB=DC，求证：BC⊥AD．答案：取BC的中点为E，∵AB=AC，∴AE⊥BC．∵DB=DC，∴DE⊥BC．这样，BC就和平面ADE内的两条相交直线AE、DE垂直，∴BC⊥面ADE，∴BC⊥AD．16.P在⊙O外，PC切⊙O于C，PAB交⊙O于A、B，则（）

A．∠PCB=∠B

B．∠PAC=∠P

C．∠PCA=∠B

D．∠PAC=∠BCA答案：C17.椭圆焦点在x轴，离心率为32，直线y=1-x与椭圆交于M，N两点，满足OM⊥ON，求椭圆方程．答案：设椭圆方程x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），∵e=32，∴a2=4b2，即a=2b．∴椭圆方程为x24b2+y2b2=1．把直线方程代入化简得5x2-8x+4-4b2=0．设M（x1，y1）、N（x2，y2），则x1+x2=85，x1x2=15（4-4b2）．∴y1y2=（1-x1）（1-x2）=1-（x1+x2）+x1x2=15（1-4b2）．由于OM⊥ON，∴x1x2+y1y2=0．解得b2=58，a2=52．∴椭圆方程为25x2+85y2=1．18.根据给出的程序语言，画出程序框图，并计算程序运行后的结果．

答案：程序框图：模拟程序运行：当j=1时，n=1，当j=2时，n=1，当j=3时，n=1，当j=4时，n=2，…当j=8时，n=2，…当j=11时，n=2，当j=12时，此时不满足循环条件，退出循环程序运行后的结果是：2．19.用辗转相除法或者更相减损术求三个数的最大公约数.答案：同解析解析：解：324=243×1＋81

243=81×3＋0

则324与243的最大公约数为81又135=81×1＋54

81=54×1＋27

54=27×2＋0则81与135的最大公约数为27所以,三个数324、243、135的最大公约数为27.另法为所求。20.下面的结构图，总经理的直接下属是（）

A．总工程师和专家办公室

B．开发部

C．总工程师、专家办公室和开发部

D．总工程师、专家办公室和所有七个部答案：C21.（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）

A．（不等式选做题）不等式|x-5|+|x+3|≥10的解集是______．

B．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆ρ=-2sinθ的圆心的极坐标是______．

C．（几何证明选做题）如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DF=CF=22，BE=1，BF=2，若CE与圆相切，则线段CE的长为______．答案：A：当x＜-3时不等式|x-5|+|x+3|≥10可化为：-（x-5）-（x+3）≥10解得：x≤-4当-3≤x≤5时不等式|x-5|+|x+3|≥10可化为：-（x-5）+（x+3）=8≥10恒不成立当x＞5时不等式|x-5|+|x+3|≥10可化为：（x-5）+（x+3）≥10解得：x≥6故不等式|x-5|+|x+3|≥10解集为：（-∞，-4]∪[6，+∞）．B：圆ρ=-2sinθ即ρ2=-2ρsinθ，即x2+y2+2y=0，即x2+（y+1）2=1．表示以（0，-1）为圆心，半径等于1的圆，故圆心的极坐标为（1，3π2）．C：由题意，DF=CF=22，BE=1，BF=2，由DF•FC=AF•BF，得22•22=AF•2，∴AF=4，又BF=2，BE=1，∴AE=7；由切割线定理得CE2=BE•EA=1×7=7．∴CE=7．故为：（-∞，-4]∪[6，+∞）；（1，3π2）（不唯一）；7．22.与双曲线x2-y24=1有共同的渐近线，且过点（2，2）的双曲线的标准方程为______．答案：设双曲线方程为x2-y24=λ∵过点（2，2），∴λ=3∴所求双曲线方程为x23-y212=1故为x23-y212=123.如图，设a，b，c，d＞0，且不等于1，y=ax，y=bx，y=cx，y=dx在同一坐标系中的图象如图，则a，b，c，d的大小顺序（）

A．a＜b＜c＜d

B．a＜b＜d＜c

C．b＜a＜d＜c

D．b＜a＜c＜d

答案：C24.设直角三角形的三边长分别为a，b，c（a＜b＜c），则“a：b：c=3：4：5”是“a，b，c成等差数列”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件答案：∵直角三角形的三边长分别为a，b，c（a＜b＜c），a：b：c=3：4：5，∴a=3k，b=4k，c=5k（k＞0），∴a，b，c成等差数列．即“a：b：c=3：4：5”?“a，b，c成等差数列”．∵直角三角形的三边长分别为a，b，c（a＜b＜c），a，b，c成等差数列，∴a2+b2=c22b=a+c，∴a2+a2+

c2+2ac4=c2，∴4a=3b，5a=3c，∴a：b：c=3：4：5，即“a，b，c成等差数列”?“a：b：c=3：4：5”．故选C．25.（几何证明选讲选做题）已知PA是⊙O的切线，切点为A，直线PO交⊙O于B、C两点，AC=2，∠PAB=120°，则⊙O的面积为______．答案：∵PA是圆O的切线，∴OA⊥AP又∵∠PAB=120°∴∠BAO=∠ABO=30°又∵在Rt△ABC中，AC=2∴BC=4，即圆O的直径2R=4∴圆O的面积S=πR2=4π故为：4π．26.定义集合运算：A⊙B={z︳z=xy（x+y），x∈A，y∈B}，设集合A={0，1}，B={2，3}，则集合A⊙B的所有元素之和为（）A．0B．6C．12D．18答案：当x=0时，z=0，当x=1，y=2时，z=6，当x=1，y=3时，z=12，故所有元素之和为18，故选D27.设矩阵M=.32-121232.的逆矩阵是M-1=.abcd.，则a+c的值为______．答案：由题意，矩阵M的行列式为.32-121232.=32×32+12×12=1∴矩阵M=.32-121232.的逆矩阵是M-1=.3212-1232.∴a+c=3-12故为3-1228.数集{1，x，2x}中的元素x应满足的条件是______．答案：根据集合中元素的互异性可得1≠x，x≠2x，1≠2x∴x≠1且x≠12且x≠0．故为：x≠1且x≠12且x≠0．29.如果命题P：∅∈{∅}，命题Q：∅⊂{∅}，那么下列结论不正确的是（）A．“P或Q”为真B．“P且Q”为假C．“非P”为假D．“非Q”为假答案：命题P：∅∈{∅}，命题Q：∅⊂{∅}，可直接看出命题Q，命题P都是正确的．故“P或Q”为真．“P且Q”为真．“非P”为假．“非Q”为假．故选B．30.用黄金分割法寻找最佳点，试验区间为[1000，2000]，若第一个二个试点为好点，则第三个试点应选在（

）。答案：123631.若直线x=1的倾斜角为α，则α（）A．等于0B．等于π4C．等于π2D．不存在答案：由题意知直线的斜率不存在，故倾斜角α=π2，故选C．32.极点到直线ρ(cosθ+sinθ)=3的距离是

______．答案：将原极坐标方程ρ(cosθ+sinθ)=3化为：直角坐标方程为：x+y=3，原点到该直线的距离是：d=|3|2=62．∴所求的距离是：62．故填：62．33.三个数a=0.52，b=log20.5，c=20.5之间的大小关系是（）A．a＜c＜bB．b＜c＜aC．a＜b＜cD．b＜a＜c答案：∵0＜a=0.52＜1，b=log20.5＜log21=0，c=20.5＞20=1，∴b＜a＜c故选D．34.已知x，y，z满足（x-3）2+（y-4）2+z2=2，那么x2+y2+z2的最小值是______．答案：由题意可得P（x，y，z），在以M（3，4，0）为球心，2为半径的球面上，x2+y2+z2表示原点与点P的距离的平方，显然当O，P，M共线且P在O，M之间时，|OP|最小，此时|OP|=|OM|-2=32+42-2=52，所以|OP|2=27-102．故为：27-102．35.数学归纳法证明“2n+1≥n2+n+2（n∈N*）”时，第一步验证的表达式为______．答案：根据数学归纳法的步骤，首先要验证证明当n取第一个值时命题成立；结合本题，要验证n=1时，2n+1≥n2+n+2的成立；即21+1≥12+1+2成立；故为：21+1≥12+1+2（22≥4或4≥4也算对）．36.若A=1324，B=-123-3，则3A-B=______．答案：∵A=1324，B=-123-3，则3A-B=31324--123-3=39612--123-3=47315．故为：47315．37.已知x1,x2,…,xn都是正数，且x1+x2+…+xn=1,求证：

++…+≥n2.答案：证明略解析：证明

++…+=(x1+x2+…+xn)（

++…+）≥=n2.38.俊、杰兄弟俩分别在P、Q两篮球队效力，P队、Q队分别有14和15名球员，且每个队员在各自队中被安排首发上场的机会是均等的，则P、Q两队交战时，俊、杰兄弟俩同为首发上场交战的概率是（首发上场各队五名队员）（

）A．B．C．D．答案：B解析：解：P（俊首发）=

P（杰首发）==P（俊、杰同首发）=

选B评析：考察考生等可能事件的概率与相互独立事件的概率问题。39.如果关于x的不等式组有解，那么实数a的取值范围（

）

A．（-∞，-3）∪（1，+∞）

B．（-∞，-1）∪（3，+∞）

C．（-1，3）

D．（-3，1）答案：C40.命题“存在x0∈R，2x0≤0”的否定是（）

A．不存在x0∈R，2x0＞0

B．存在x0∈R，2x0≥0

C．对任意的x∈R，2x≤0

D．对任意的x∈R，2x＞0答案：D41.“a=2”是“直线ax+2y=0平行于直线x+y=1”的（）

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件答案：C42.圆x2+y2=1在矩阵A={}对应的变换下，得到的曲线的方程是（）

A．=1

B．=1

C．=1

D．=1答案：C43.已知矩阵A=b-2-7a的逆矩阵是B=a273，则a+b=______．答案：根据矩阵A=b-2-7a的逆矩阵是B=a273，得a273b-2-7a=1001，∴ab-14=1-2a+2a=07b-21=0-14+3a=1，解得a=5b=3∴a+b=8．故为：8．44.已知随机变量ξ服从二项分布ξ～B（6，），则E（2ξ+4）=（）

A．10

B．4

C．3

D．9答案：A45.某校对文明班的评选设计了a，b，c，d，e五个方面的多元评价指标，并通过经验公式样S=ab+cd+1e来计算各班的综合得分，S的值越高则评价效果越好，若某班在自测过程中各项指标显示出0＜c＜d＜e＜b＜a，则下阶段要把其中一个指标的值增加1个单位，而使得S的值增加最多，那么该指标应为（）A．aB．bC．cD．d答案：因a，b，cde都为正数，故分子越大或分母越小时，S的值越大，而在分子都增加1的前提下，分母越小时，S的值增长越多，由于0＜c＜d＜e＜b＜a，分母中d最小，所以c增大1个单位会使得S的值增加最多．故选C．46.下面哪个不是算法的特征（）A．抽象性B．精确性C．有穷性D．唯一性答案：根据算法的概念，可知算法具有抽象性、精确性、有穷性等，同一问题，可以有不同的算法，故选D．47.一个简单多面体的面都是三角形，顶点数V=6，则它的面数为______个．答案：∵已知多面体的每个面有三条边，每相邻两条边重合为一条棱，∴棱数E=32F，代入公式V+F-E=2，得F=2V-4．∵V=6，∴F=8，E=12，即多面体的面数F为8，棱数E为12．故为8．48.某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个）．经过3个小时，这种细菌由1个可繁殖成（）

A．511个

B．512个

C．1023个

D．1024个答案：B49.已知椭圆的参数方程为(ϕ为参数)，点M在椭圆上，点O为原点，则当ϕ=时，OM的斜率为（）

A．1

B．2

C．

D．2答案：D50.已知P：2+2=5，Q：3＞2，则下列判断错误的是（）A．“P或Q”为真，“非Q”为假B．“P且Q”为假，“非P”为真C．“P且Q”为假，“非P”为假D．“P且Q”为假，“P或Q”为真答案：∵P：2+2=5，假；Q：3＞2，真；∴“非P”为真，“非Q”为假，∴“P或Q”为真，“P且Q”为假，∴A，B，D均正确；C错误．故选C．第2卷一.综合题(共50题)1.把下列命题写成“若p，则q”的形式，并指出条件与结论．

（1）相似三角形的对应角相等；

（2）当a＞1时，函数y=ax是增函数．答案：（1）若两个三角形相似，则它们的对应角相等．条件p：三角形相似，结论q：对应角相等．（2）若a＞1，则函数y=ax是增函数．条件p：a＞1，结论q：函数y=ax是增函数．2.右图程序运行后输出的结果为（）

A．3456

B．4567

C．5678

D．6789

答案：A3.关于直线a，b，c以及平面M，N，给出下面命题：

①若a∥M，b∥M，则a∥b

②若a∥M，b⊥M，则b⊥a

③若a∥M，b⊥M，且c⊥a，c⊥b，则c⊥M

④若a⊥M，a∥N，则M⊥N，

其中正确命题的个数为（）

A．0个

B．1个

C．2个

D．3个答案：C4.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，点M在AB上，且AM=13AB，点P在平面ABCD上，且动点P到直线A1D1的距离与P到点M的距离相等，在平面直角坐标系xAy中，动点P的轨迹方程是______．答案：作PN⊥AD，则PN⊥面A1D1DA，作NH⊥A1D1，N，H为垂足，由三垂线定理可得PH⊥A1D1．以AD，AB，AA1为x轴，y轴，z轴，建立空间坐标系，设P（x，y，0），由题意可得M（0，1，0），H（x，0，3），|PM|=|pH|，∴x2+(y-1)2=y2+9，整理，得x2=2y+8．故为：x2=2y+8．5.已知函数f(x)=2x，x≥01，

x＜0，若f（1-a2）＞f（2a），则实数a的取值范围是______．答案：函数f(x)=2x，x≥01，

x＜0，x＜0时是常函数，x≥0时是增函数，由f（1-a2）＞f（2a），所以2a＜1-a21-a2＞0，解得：-1＜a＜2-1，故为：-1＜a＜2-1．6.如果如图所示的程序中运行后输出的结果为132，那么在程序While后面的“条件”应为______．答案：第一次循环之后s=12，i=11；第二次循环之后结果是s=132，i=10，已满足题意跳出循环．由于此循环体是当型循环i=12、11都满足条件，i=10不满足条件．故为：i≥117.已知x，y，z满足（x-3）2+（y-4）2+z2=2，那么x2+y2+z2的最小值是______．答案：由题意可得P（x，y，z），在以M（3，4，0）为球心，2为半径的球面上，x2+y2+z2表示原点与点P的距离的平方，显然当O，P，M共线且P在O，M之间时，|OP|最小，此时|OP|=|OM|-2=32+42-2=52，所以|OP|2=27-102．故为：27-102．8.

圆ρ=（cosθ+sinθ）的圆心的极坐标是（）

A．（1，）

B．（，）

C．（，）

D．（2，）

答案：A9.如图⊙0的直径AD=2，四边形ABCD内接于⊙0，直线MN切⊙0于点B，∠MBA=30°，则AB的长为______．答案：连BD，则∠MBA=∠ADB=30°，在直角三角形ABD中sin30°=ABAD，∴AB=12×2=1故为：110.在下列各图中，每个图的两个变量具有线性相关关系的图是（）

A．（1）（2）

B．（1）（3）

C．（2）（4）

D．（2）（3）答案：D11.直线x=1和函数y=f（x）的图象的公共点的个数为______．答案：由函数定义知当函数在x=1处有定义时，直线x=1和函数y=f（x）的图象的公共点的个数为1，若函数在x=1处有无定义时，直线x=1和函数y=f（x）的图象的公共点的个数为0故线x=1和函数y=f（x）的图象的公共点的个数为0或1故为0或112.已知点P为y轴上的动点，点M为x轴上的动点，点F（1，0）为定点，且满足PN+12NM=0，PM•PF=0．

（Ⅰ）求动点N的轨迹E的方程；

（Ⅱ）过点F且斜率为k的直线l与曲线E交于两点A，B，试判断在x轴上是否存在点C，使得|CA|2+|CB|2=|AB|2成立，请说明理由．答案：（Ⅰ）设N（x，y），则由PN+12NM=0，得P为MN的中点．∴P(0，y2)，M（-x，0）．∴PM=(-x，-y2)，PF=(1，-y2)．∴PM•PF=-x+y24=0，即y2=4x．∴动点N的轨迹E的方程y2=4x．（Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x-1），由y=k(x-1)y2=4x，消去x得y2-4ky-4=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则

y1+y2=4k，y1y2=-4．假设存在点C（m，0）满足条件，则CA=(x1-m，y1)，CB=(x2-m，y2)，∴CA•CB=x1x2-m(x1+x2)+m2+y1y2=(y1y24)2-m(y12+y224)+m2-4=-m4[(y1+y2)2-2y1y2]+m2-3=m2-m(4k2+2)-3．∵△=(4k2+2)2+12＞0，∴关于m的方程m2-m(4k2+2)-3=0有解．∴假设成立，即在x轴上存在点C，使得|CA|2+|CB|2=|AB|2成立．13.直线（x+1）a+（y+1）b=0与圆x2+y2=2的位置关系是______．答案：直线（x+1）a+（y+1）b=0化为ax+by+（a+b）=0，所以圆心点到直线的距离d=|a+b|a2+b2=a2+b2+2aba2+b2≤2(a2+b2)a2+b2=2．所以直线（x+1）a+（y+1）b=0与圆x2+y2=2的位置关系是：相交或相切．故为：相交或相切．14.已知、分别是的外接圆和内切圆；证明：过上的任意一点，都可作一个三角形，使得、分别是的外接圆和内切圆．答案：略解析：证：如图，设，分别是的外接圆和内切圆半径，延长交于，则，，延长交于；则，即；过分别作的切线，在上，连，则平分，只要证，也与相切；设，则是的中点，连，则，，，所以，由于在角的平分线上，因此点是的内心，（这是由于，，而，所以，点是的内心）．即弦与相切．15.已知2，4，2x，4y四个数的平均数是5而5，7，4x，6y四个数的平均数是9，则xy的值是______．答案：因为2，4，2x，4y四个数的平均数是5，则2+4+2x+4y=4×5，又由5，7，4x，6y四个数的平均数是9，则5+7+4x+6y=4×9，x与y满足的关系式为x+2y=72x+3y=12解得x=3y=2故为6．16.已知x与y之间的一组数据：

x

0

1

2

3

y

2

4

6

8

则y与x的线性回归方程为y=bx+a必过点（）

A．（1.5，4）

B．（1.5，5）

C．（1，5）

D．（2，5）答案：B17.根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20～80mg/100mL（不含80）之间，属于酒后驾车；血液酒精浓度在80mg/100mL（含80）以上时，属醉酒驾车．据有关报道，2009年8月15日至8

月28日，某地区查处酒后驾车和醉酒驾车共500人，如图是对这500人血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，则属于醉酒驾车的人数约为（）A．25B．50C．75D．100答案：∵血液酒精浓度在80mg/100ml（含80）以上时，属醉酒驾车，通过频率分步直方图知道属于醉驾的频率是（0.005+0.01）×10=0.15，∵样本容量是500，∴醉驾的人数有500×0.15=75故选C．18.抽样方法有（）A．随机抽样、系统抽样和分层抽样B．随机数法、抽签法和分层抽样法C．简单随机抽样、分层抽样和系统抽样D．系统抽样、分层抽样和随机数法答案：我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，而抽签法和随机数法，只是简单随机抽样的两种不同抽取方法故选C19.已知当抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽8米．当水面升高1米后，水面宽度是______米．答案：由题意，建立如图所示的坐标系，抛物线的开口向下，设抛物线的标准方程为x2=-2py（p＞0）∵顶点距水面2米时，量得水面宽8米∴点（4，-2）在抛物线上，代入方程得，p=4∴x2=-8y当水面升高1米后，y=-1代入方程得：x=±22∴水面宽度是42米故为：4220.复数Z=arccosx-π+（-2x）i（x∈R，i是虚数单位），在复平面上的对应点只可能位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：∵a=arccosx-π，arccosx∈[0，π]，∴a＜0，∵b=-2x＜0，∴复数Z对应的点的实部和虚部都小于零，∴复数在第三象限，故选C．21.复数3+4i的模等于______．答案：|3+4i|=32+42=5，故为5．22.已知点A（1，2），直线l1：x=1+3ty=2-4t（t为参数）与直线l2：2x-4y=5相交于点B，则A、B两点之间的距离|AB|=______．答案：将x=1+3t，y=2-4t代入2x-4y=5，得t=12，所以两直线的交点坐标为（52，0）所以|AB|=(1-52)2+(2-0)2

=52．故为：5223.已知直线3x+4y-3=0与直线6x+my+14=0平行，则它们之间的距离是______．答案：直线3x+4y-3=0即6x+8y-6=0，它直线6x+my+14=0平行，∴m=8，则它们之间的距离是d=|c1-c2|a2+b2=|-6-14|62+82=2，故为：2．24.在程序语言中，下列符号分别表示什么运算*；\；∧；SQR；ABS？答案：“*”表示乘法运算；“\”表示除法运算；“∧”表示乘方运算；“SQR（）”表示求算术平方根运算；“ABS（）”表示求绝对值运算．25.已知a=（2，-1，3），b=（-1，4，-2），c=（7，5，λ），若a、b、c三个向量共面，则实数λ等于

A.

B.

C.

D.答案：D26.若不等式对一切x恒成立，求实数m的范围.答案：见解析解析：∵x2-8x+20=(x-4)2+4>0,∴只须mx2-mx-1<0恒成立，即可：①

当m=0时，-1<0,不等式成立；②

当m≠0时，则须，解得-4<m<0.由（1）、（2）得：-4<m≤0.</m<0.27.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系（ρ，θ）（ρ＞0，0≤θ＜π2）中，曲线ρ=2sinθ与ρ=2cosθ的交点的极坐标为______．答案：两式ρ=2sinθ与ρ=2cosθ相除得tanθ=1，∵0≤θ＜π2，∴θ=π4，∴ρ=2sinπ4=2，故交点的极坐标为（2，π4）．故为：（2，π4）．28.已知两曲线参数方程分别为x=5cosθy=sinθ（0≤θ＜π）和x=54t2y=t（t∈R），它们的交点坐标为______．答案：曲线参数方程x=5cosθy=sinθ（0≤θ＜π）的直角坐标方程为：x25+y2=1；曲线x=54t2y=t（t∈R）的普通方程为：y2=45x；解方程组：x25+y2=1y2=45x得：x=1y=255∴它们的交点坐标为（1，255）．故为：（1，255）．29.已知矩阵A=12-14，向量a=74．

（1）求矩阵A的特征值λ1、λ2和特征向量α1、α2；

（2）求A5α的值．答案：（1）矩阵A的特征多项式为f(λ)=.λ-1-21λ-4.=λ2-5λ+6，令f（λ）=0，得λ1=2，λ2=3，当λ1=2时，得α1=21，当λ2=3时，得α2=11．（7分）（2）由α=mα1+nα2得2m+n=7m+n=4，得m=3，n=1．∴A5α=A5(3α1+α2)=3(A5α1)+A5α2=3(λ51α1)+λ52α2=3×2521+3511=435339．（15分）30.在极坐标系中，过点p(3，)且垂直于极轴的直线方程为（）

A．Pcosθ=

B．Psinθ=

C．P=cosθ

D．P=sinθ答案：A31.2008年北京奥运会期间，计划将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为（）A．540B．300C．150D．180答案：将5个人分成满足题意的3组有1，1，3与2，2，1两种，分成1、1、3时，有C53?A33种分法，分成2、2、1时，有C25C23A22?A33种分法，所以共有C53?A33+C25C23A22?A33=150种分法，故选C．32.给出一个程序框图，输出的结果为s=132，则判断框中应填（）

A．i≥11

B．i≥10

C．i≤11

D．i≤12

答案：A33.已知平行直线l1：x-y+1=0与l2：x-y+3=0，求l1与l2间的距离．答案：∵已知平行直线l1：x-y+1=0与l2：x-y+3=0，则l1与l2间的距离d=|3-1|2=2．34.已知矩阵A=abcd，若矩阵A属于特征值3的一个特征向量为α1=11，属于特征值-1的一个特征向量为α2=1-1，则矩阵A=______．答案：由矩阵A属于特征值3的一个特征向量为α1=11可得abcd11=311，即a+b=3c+d=3；（4分）由矩阵A属于特征值2的一个特征向量为α2=1-1，可得abcd1-1=（-1）1-1，即a-b=-1c-d=1，（6分）解得a=1b=2c=2d=1，即矩阵A=1221．（10分）故为：1221．35.若双曲线的渐近线方程为y=±3x，它的一个焦点是(10，0)，则双曲线的方程是______．答案：因为双曲线的渐近线方程为y=±3x，则设双曲线的方程是x2-y29=λ，又它的一个焦点是(10，0)故λ+9λ=10∴λ=1，x2-y29=1故为：x2-y29=136.若双曲线的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为（）

A．5

B．

C．2

D．答案：B37.（Ⅰ）已知z∈C，且|z|-i=.z+2+3i（i为虚数单位），求复数z2+i的虚部．

（Ⅱ）已知z1=a+2i，z2=3-4i（i为虚数单位），且z1z2为纯虚数，求实数a的值．答案：（Ⅰ）设z=x+yi，代入方程|z|-i=.z+2+3i，得出x2+y2-i=x-yi+2+3i=（x+2）+（3-y）i，故有x2+y2=x+23-y=-1，解得x=3y=4，∴z=3+4i，复数z2+i=3+4i2+i=2+i，虚部为1（Ⅱ）z1z2=a+2i3-4i=3a-8+(4a+6)i25，且z1z2为纯虚数则3a-8=0，且4a+6≠0，解得a=8338.经过点M（1，1）且在两轴上截距相等的直线是______．答案：①当所求的直线与两坐标轴的截距不为0时，设该直线的方程为x+y=a，把（1，1）代入所设的方程得：a=2，则所求直线的方程为x+y=2；②当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y=kx，把（1，1）代入所求的方程得：k=1，则所求直线的方程为y=x．综上，所求直线的方程为：x+y=2或y=x．故为：x+y=2或y=x39.下列语句不属于基本算法语句的是（）

A．赋值语句

B．运算语句

C．条件语句

D．循环语句答案：B40.设双曲线的焦点在x轴上，两条渐近线为y=±12x，则双曲线的离心率e=______．答案：依题意可知ba=12，求得a=2b∴c=a2+b2=5b∴e=ca=52故为52．41.构成多面体的面最少是（）

A．三个

B．四个

C．五个

D．六个答案：B42.将一枚骰子连续抛掷600次，请你估计掷出的点数大于2的大约是______次．答案：一颗骰子是均匀的，当抛这颗骰子时，出现的6个点数是等可能的，将一枚骰子连续抛掷600次，估计每一个嗲回溯出现的次数是100，∴掷出的点数大于2的大约有400次，故为：400．43.已知x1,x2,…,xn都是正数，且x1+x2+…+xn=1,求证：

++…+≥n2.答案：证明略解析：证明

++…+=(x1+x2+…+xn)（

++…+）≥=n2.44.已知直线l：x=2+ty=1-at（t为参数），与椭圆x2+4y2=16交于A、B两点．

（1）若A，B的中点为P（2，1），求|AB|；

（2）若P（2，1）是弦AB的一个三等分点，求直线l的直角坐标方程．答案：（1）直线l：x=2+ty=1-at代入椭圆方程，整理得（4a2+1）t2-4（2a-1）t-8=0设A、B对应的参数分别为t1、t2，则t1+t2=4(2a-1)4a2+1，t1t2=-84a2+1，∵A，B的中点为P（2，1），∴t1+t2=0解之得a=12，∴t1t2=-4，∵|AP|=12+(-12)2|t1|=52|t1|，|BP|=52|t2|，∴|AB|=52（|t1|+|t1|）=52×(t1+t2)2-4t1t2=25，（2）P（2，1）是弦AB的一个三等分点，∴|AP|=12|PB|，∴1+a2|t1|=21+a2|t2|，⇒t1=-2t2，∴t1+t2=-t2=4(2a-1)4a2+1，t1t2=-2t

22=-84a2+1，∴t

22=44a2+1，∴16(2a-1)2(4a2+1)2=44a2+1，解得a=4±76，∴直线l的直角坐标方程y-1=4±76（x-2）．45.下列关于结构图的说法不正确的是（）

A．结构图中各要素之间通常表现为概念上的从属关系和逻辑上的先后关系

B．结构图都是“树形”结构

C．简洁的结构图能更好地反映主体要素之间关系和系统的整体特点

D．复杂的结构图能更详细地反映系统中各细节要素及其关系答案：B46.命题“若a，b都是奇数，则a+b是偶数”的逆否命题是（）A．若a+b不是偶数，则a，b都不是奇数B．若a+b不是偶数，则a，b不都是奇数C．若a+b是偶数，则a，b都是奇数D．若a+b是偶数，则a，b不都是奇数答案：“a，b都是奇数”的否定是“a，b不都是奇数”，“a+b是偶数”的否定是“a+b不是偶数”，故命题“若a，b都是奇数，则a+b是偶数”的逆否命题是“若a+b不是偶数，则a，b不都是奇数”．故选B．47.两条直线l1：x-3y+2=0与l2：x-y+2=0的夹角的大小是______．答案：由于两条直线l1：x-3y+2=0与l2：x-y+2=0的斜率分别为33、1，设两条直线的夹角为θ，则tanθ=|k2-k11+k2•k1|=|1-331+1×33|=3-33+3=2-3，∴tan2θ=2tanθ1-tan2θ=33，∴2θ=π6，θ=π12，故为π12．48.以下坐标给出的点中，在曲线x=sin2θy=sinθ+cosθ上的点是（）A．(12，-2)B．(2，3)C．(-34，12)D．(1，3)答案：把曲线x=sin2θy=sinθ+cosθ消去参数θ，化为普通方程为y2=1+x（-1≤x≤1），结合所给的选项，只有C中的点在曲线上，故选C．49.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（）A．4B．5C．6D．7答案：根据流程图所示的顺序，程序的运行过程中各变量值变化如下表：是否继续循环

S

K循环前/0

0第一圈

是

1

1第二圈

是

3

2第三圈

是

11

3第四圈

是

20594第五圈

否∴最终输出结果k=4故为A50.知x、y、z均为实数，

（1）若x+y+z=1,求证：++≤3；

（2）若x+2y+3z=6，求x2+y2+z2的最小值.答案：（1）证明略（2）x2+y2+z2的最小值为解析：（1）证明

因为（++）2≤(12+12+12)(3x+1+3y+2+3z+3)=27.所以++≤3.

7分(2)解

因为(12+22+32)(x2+y2+z2)≥(x+2y+3z)2=36,即14(x2+y2+z2)≥36,所以x2+y2+z2的最小值为.

14分第3卷一.综合题(共50题)1.若向量a=（-1，2），b=（-4，3），则a在b方向上的投影为（）A．2B．22C．23D．10答案：设a与

b的夹角为θ，则cosθ=a•b|a|•|b|=4+65×5=25，∴则a在b方向上的投影为|a|•cosθ=5×25=2，故选A．2.某次考试，满分100分，按规定x≥80者为良好，60≤x＜80者为及格，小于60者不及格，画出当输入一个同学的成绩x时，输出这个同学属于良好、及格还是不及格的程序框图．答案：第一步：输入一个成绩X（0≤X≤100）第二步：判断X是否大于等于80，若是，则输出良好；否则，判断X是否大于等于60，若是，则输出及格；否则，输出不及格；第三步：算法结束3.在极坐标系中，点（2，)到圆ρ=2cosθ的圆心的距离为（）

A．2

B.

C.

D.答案：D4.下列各图象中，哪一个不可能是函数

y=f（x）的图象（）A．

B．

C．

D．

答案：函数表示每个输入值对应唯一输出值的一种对应关系．选项D，对于x=1时有两个输出值与之对应，故不是函数图象故选D．5.双曲线C的焦点在x轴上，离心率e=2，且经过点P(2，3)，则双曲线C的标准方程是______．答案：设双曲线C的标准方程x2a2-y2b2=1，∵经过点P(2，3)，∴2a2-3b2=1

①，又∵e=2=a2+b2a

②，由①②联立方程组并解得

a2=1，b2=3，双曲线C的标准方程是x2-y23=1，故为：x2-y23=1．6.i是虚数单位，a，b∈R，若ia+bi=1+i，则a+b=______．答案：∵ia+bi=1+i，a，b∈R，∴i(a-bi)(a+bi)(a-bi)=1+i，∴b+aia2+b2=1+i，化为b+ai=（a2+b2）+（a2+b2）i，根据复数相等的定义可得b=a2+b2a=a2+b2，a2+b2≠0解得a=b=12．∴a+b=1．故为1．7.（几何证明选讲选做题）已知PA是⊙O的切线，切点为A，直线PO交⊙O于B、C两点，AC=2，∠PAB=120°，则⊙O的面积为______．答案：∵PA是圆O的切线，∴OA⊥AP又∵∠PAB=120°∴∠BAO=∠ABO=30°又∵在Rt△ABC中，AC=2∴BC=4，即圆O的直径2R=4∴圆O的面积S=πR2=4π故为：4π．8.已知抛物线方程为y2=2px（p＞0），过该抛物线焦点F且不与x轴垂直的直线AB交抛物线于A，B两点，过点A，点B分别作AM，BN垂直于抛物线的准线，分别交准线于M，N两点，那么∠MFN必是（）

A．锐角

B．直角

C．钝角

D．以上皆有可能答案：B9.在边长为1的正方形ABCD中，若AB=a，BC=b，AC=c．则|a+b+2c|的值是______．答案：由题意可得|a|=|b|=1，|c|=2，a+

b=c，∴|a+b+2c|=|3c|=32，故为32．10.若a>0，b>0，则不等式－b＜aA．＜x＜0或0＜x＜

答案：D解析：试题分析：11.某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H0：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算得Χ2≈3.918，经查对临界值表知P（Χ2≥3.841）≈0.05．则下列结论中，正确结论的序号是______

（1）有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”

（2）若某人未使用该血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒

（3）这种血清预防感冒的有效率为95%

（4）这种血清预防感冒的有效率为5%答案：查对临界值表知P（Χ2≥3.841）≈0.05，故有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”950/0仅是指“血清与预防感冒”可信程度，但也有“在100个使用血清的人中一个患感冒的人也没有”的可能．故为：（1）．12.如图程序框图表达式中N=______．答案：该程序按如下步骤运行①N=1×2，此时i变成3，满足i≤5，进入下一步循环；②N=1×2×3，此时i变成4，满足i≤5，进入下一步循环；③N=1×2×3×4，此时i变成5，满足i≤5，进入下一步循环；④N=1×2×3×4×5，此时i变成6，不满足i≤5，结束循环体并输出N的值因此，最终输出的N等于1×2×3×4×5=120故为：12013.设O为坐标原点，F为抛物线的焦点，A是抛物线上一点，若·=，则点A的坐标是

（

）A．B．C．D．答案：B解析：略14.P在⊙O外，PC切⊙O于C，PAB交⊙O于A、B，则（）

A．∠PCB=∠B

B．∠PAC=∠P

C．∠PCA=∠B

D．∠PAC=∠BCA答案：C15.已知复数z=2+i，则z2对应的点在第（）象限．A．ⅠB．ⅡC．ⅢD．Ⅳ答案：由z=2+i，则z2=（2+i）2=22+4i+i2=3+4i．所以，复数z2的实部等于3，虚部等于4．所以z2对应的点在第Ⅰ象限．故选A．16.（1）在数轴上求一点的坐标，使它到点A（9）与到点B（-15）的距离相等；

（2）在数轴上求一点的坐标，使它到点A（3）的距离是它到点B（-9）的距离的2倍．答案：（1）设该点为M（x），根据题意，得A、M两点间的距离为d（A，M）=|x-9|，B、M两点间的距离为d（M，B）=|-15-x|，结合题意，可得|x-9|=|-15-x|，∴x-9=15+x或x-9=-15-x，解之得x=-3，得M的坐标为-3故所求点的坐标为-3．（2）设该点为N（x'），则A、N两点间的距离为d（A，N）=|x'-3|，B、N两点间的距离为d（N，B）=|-9-x'|，根据题意有|x'-3|=2|9+x'|，∴x'-3=18+2x'或x'-3=-18-2x'，解之得x'=-21，或x'=-5．故所求点的坐标是-21或-5．17.|a|=2，|b|=3，|a+b|=4，则a与b的夹角是______．答案：∵|a+b|=4，∴a2+2a?b+b2=16∴a?b=32∴cos＜a，b＞=a?b|.a|×|.b|=322×3=14∵＜a，b＞∈[0°，180°]∴.a与.b的夹角为arccos14故为arccos1418.椭圆x29+y216=1上一动点P到两焦点距离之和为（）A．10B．8C．6D．不确定答案：根据椭圆的定义，可知动点P到两焦点距离之和为2a=8，故选B．19.设a，b，c∈R，则复数（a+bi）（c+di）为实数的充要条件是（）

A．ad-bc=0

B．ac-bd=0

C．ac+bd=0

D．ad+bc=0答案：D20.已知随机变量X满足D（X）=2，则D（3X+2）=（）

A．2

B．8

C．18

D．20答案：C21.若点（a，9）在函数y=3x的图象上，则tanaπ6=______．答案：将（a，9）代入到y=3x中，得3a=9，解得a=2．∴tanaπ6=tanπ3=3故为：322.证明不等式的最适合的方法是（）

A．综合法

B．分析法

C．间接证法

D．合情推理法答案：B23.下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程.y=0.7x+0.35，那么表中m的值为______．

x3456y2.5m44.5答案：∵根据所给的表格可以求出.x=3+4+5+64=4.5，.y=2.5+m+4+4.54=11+m4∵这组数据的样本中心点在线性回归直线上，∴11+m4=0.7×4.5+0.35，∴m=3，故为：324.把函数y=ex的图像按向量=（2,3）平移，得到y=f(x)的图像，则f(x)=（

）

A．ex+2+3

B．ex+2-3

C．ex-2+3

D．ex-2-3答案：C25.函数y=ax+b和y=bax（a≠0，b＞0，且b≠1）的图象只可能是（）A．

B．

C．

D．

答案：对于A：函数y=ax+b递增可得a＞0，0＜b＜1；函数y=bax（a≠0，b＞0，且b≠1）递减可得0＜b＜1且a＞0故A正确对于B：函数y=ax+b递增可得a＞0，b＞1；函数y=bax（a≠0，b＞0，且b≠1）递减可得0＜b＜1且a＞0，矛盾，故B不正确对于C：函数y=ax+b递减可得a＜0，0＜b＜1；函数y=bax（a≠0，b＞0，且b≠1）递减可得0＜b＜1且a＞0，矛盾，故C不正确对于D：函数y=ax+b递减可得a＜0，b＞1；函数y=bax（a≠0，b＞0，且b≠1）递增可得b＞1且a＞0，矛盾，故D不正确故选A26.如图所示，I为△ABC的内心，求证：△BIC的外心O与A、B、C四点共圆．答案：证明：连接OB、BI、OC，由O是外心知∠IOC=2∠IBC．由I是内心知∠ABC=2∠IBC．从而∠IOC=∠ABC．同理∠IOB=∠ACB．而∠A+∠ABC+∠ACB=180°，故∠BOC+∠A=180°，于是O、B、A、C四点共圆．27.若直线x-y-1=0与直线x-ay=0的夹角为，则实数a等于（）

A.

B．0

C.

D．0或答案：D28.点B是点A（1，2，3）在坐标平面yOz内的正投影，则|OB|等于（）

A．

B．

C．

D．答案：B29.下表表示y是x的函数，则函数的值域是

______．

答案：有图表可知，所有的函数值构成的集合为{2，3，4，5}，故函数的值域为{2，3，4，5}．30.已知|a|=1，|b|=2，向量a与b的夹角为60°，则|a+b|=______．答案：∵已知|a|=1，|b|=2，向量a与b的夹角为60°，∴a2=1，b2=4，a?b=1×2×cos60°=1，．∴|.a+b|2=a2+b2+2a?b=1+4+2=7，∴|.a+b|

=7，故为7．31.已知直线l：（t为参数）的倾斜角是（）

A.

B.

C.

D.答案：D32.已知0＜a＜2，复数z的实部为a，虚部为1，则|z|的取值范围是（）A．（1，5）B．（1，3）C．(1，5)D．(1，3)答案：|z|=a2+1，而0＜a＜2，∴1＜|z|＜5，故选C．33.如图，在半径为7的⊙O中，弦AB，CD相交于点P，PA=PB=2，PD=1，则圆心O到弦CD的距离为______．答案：由相交弦定理得，AP×PB=CP×PD，∴2×2=CP•1，解得：CP=4，又PD=1，∴CD=5，又⊙O的半径为7，则圆心O到弦CD的距离为d=r2-(CD2)2=7-(52)2=32．故为：32．34.在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若AC=λAE+μAF，其中λ、μ∈R，则λ+μ=______．答案：解析：设AB=a，AD=b，那么AE=12a+b，AF=a+12b，又∵AC=a+b，∴AC=23（AE+AF），即λ=μ=23，∴λ+μ=43．故为：43．35.向量化简后等于（）

A.

B.

C.

D.答案：C36.直线3x+4y-7=0与直线6x+8y+3=0之间的距离是（）

A．

B．2

C．

D．答案：C37.已知直线ax+by+c=0（abc≠0）与圆x2+y2=1相离，则以三条边长分别为|a|，|b|，|c|所构成的三角形的形状是______．答案：直线ax+by+c=0（abc≠0）与圆x2+y2=1相离，即|c|a2+b2＞

1即|c|2＞a2+b2三角形是钝角三角形．故为：钝角三角形．38.如图，在四棱台ABCD