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长风破浪会有时,直挂云帆济沧海。住在富人区的她2023年天津城市职业学院高职单招(数学)试题库含答案解析(图片大小可自由调整)全文为Word可编辑,若为PDF皆为盗版,请谨慎购买!第1卷一.综合题(共50题)1.某校有老师300人,男学生1200人,女学生1000人.现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n的样本,已知从女学生中抽取的人数为80,则n=()
A.171
B.184
C.200
D.392答案:C2.如图,椭圆C2x2a2+
y2b2=1的焦点为F1,F2,|A1B1|=7,S□B1A1B2A2=2S□B1F1B2F2.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设n为过原点的直线,l是与n垂直相交与点P,与椭圆相交于A,B两点的直线|op|=1,是否存在上述直线l使OA•OB=0成立?若存在,求出直线l的方程;并说出;若不存在,请说明理由.答案:(Ⅰ)由题意可知a2+b2=7,∵S□B1A1B2A2=2S□B1F1B2F2,∴a=2c.解得a2=4,b2=3,c2=1.∴椭圆C的方程为x24+y33=1.(Ⅱ)设A、B两点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),假设使OA•OB=0成立的直线l存在.(i)当l不垂直于x轴时,设l的方程为y=kx+m,由l与n垂直相交于P点,且|OP|=1得|m|1+
k2=1,即m2=k2+1,由OA•OB=0得x1x2+y1y2=0,将y=kx+m代入椭圆得(3+4k2)x2+8kmx+(4m2-12)=0,x1+x2=-8km3+4k2,①,x1x2=4m2-123+4k2,②0=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=x1x2+k2x1x2+km(x1+x2)+m2把①②代入上式并化简得(1+k2)(4m2-12)-8k2m2+m2(3+4k2)=0,③将m2=1+k2代入③并化简得-5(k2+1)=0矛盾.即此时直线l不存在.(ii)当l垂直于x轴时,满足|OP|=1的直线l的方程为x=1或x=-1,由A、B两点的坐标为(1,32),(1,-32)或(-1,32),(-1,-32).当x=1时,OA•OB=(1,32)•
(1,-32)=-54≠0.当x=-1时,OA•OB=(-1,32)•
(-1,-32)=-54≠0.∴此时直线l也不存在.综上所述,使OA•OB=0成立的直线l不成立.3.已知P(B|A)=,P(A)=,则P(AB)=()
A.
B.
C.
D.答案:D4.有一个质地均匀的正四面体,它的四个面上分别标有1,2,3,4这四个数字.现将它连续抛掷3次,其底面落于桌面,记三次在正四面体底面的数字和为S,则“S恰好为4”的概率为______.答案:由题意知本题是一个古典概型,试验发生包含的事件是抛掷这颗正四面体骰子两次,共有4×4×4=64种结果,满足条件的事件是三次在正四面体底面的数字和为S,S恰好为4,可以列举出这种事件,(1,1,2),(1,2,1),(2,1,1)共有3种结果,根据古典概型概率公式得到P=364,故为:364.5.下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对应数据,根据表中提供的数据,求出y关于x的线性回归方程.y=0.7x+0.35,那么表中m的值为______.
x3456y2.5m44.5答案:∵根据所给的表格可以求出.x=3+4+5+64=4.5,.y=2.5+m+4+4.54=11+m4∵这组数据的样本中心点在线性回归直线上,∴11+m4=0.7×4.5+0.35,∴m=3,故为:36.在三棱锥O-ABC中,M,N分别是OA,BC的中点,点G是MN的中点,则OG可用基底{OA,OB,OC}表示成:OG=______.答案:如图,连接ON,在△OBC中,点N是BC中点,则由平行四边形法则得ON=12(OB+OC)在△OMN中,点G是MN中点,则由平行四边形法则得OG=12(OM+ON)=12OM+12ON=14OA+12•12(OB+OC)14(OA+OB+OC),故为:14(OA+OB+OC).7.直线x3+y4=t被两坐标轴截得的线段长度为1,则t的值是
______.答案:令y=0,得:x=3t;令x=0,得:y=4t,所以被两坐标轴截得的线段长度为(3t)2+(4t)2=|5t|=1所以t=±15故为±158.若集合M={a,b,c}中的元素是△ABC的三边长,则△ABC一定不是()
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形答案:D9.点M的直角坐标为(-3,-1),则点M的极坐标为______.答案:∵M的直角坐标为(-3,-1),设M的极坐标为(ρ,θ),则ρ=(-3)2+(-1)2=2,又tanθ=33,∴θ=7π6,∴M的极坐标为(2,7π6).10.某单位共有老、中、青职工430人,其中青年职工160人,中年职工人数是老年职工人数的2倍.为了解职工身体状况,现采用分层抽样方法进行调查,在抽取的样本中有青年职工32人,则该样本中的老年职工人数为()
A.9
B.18
C.27
D.36答案:B11.已知A、B、C三点共线,A分的比为λ=-,A,B的纵坐标分别为2,5,则点C的纵坐标为()
A.-10
B.6
C.8
D.10答案:D12.设直线过点(0,a),其斜率为1,且与圆x2+y2=2相切,则a的值为()
A.±
B.±2
C.±2
D.±4答案:B13.命题“存在x0∈R,使x02+1<0”的否定是______.答案:∵命题“存在x0∈R,使x02+1<0”是一个特称命题∴命题“存在x0∈R,使x02+1<0”的否定是“对任意x0∈R,使x02+1≥0”故为:对任意x0∈R,使x02+1≥014.(选做题)那霉素发酵液生物测定,一般都规定培养温度为(37±1)°C,培养时间在16小时以上,某制药厂为了缩短时间,决定优选培养温度,试验范围固定在29~50°C,精确度要求±1°C,用分数法安排实验,令第一试点在t1处,第二试点在t2处,则t1+t2=(
).答案:7915.如图的算法的功能是______.输出结果i=______,i+2=______.答案:框图首先输入变量i的值,判断i(i+2)=624,执行输出i,i+2;否则,i=i+2.算法结束.故此算法执行的是求积为624的两个连续偶数,i=24,i+2=26;故为:求积为624的两个连续偶数,24,26.16.已知点(3,1)和(-4,6)在直线3x-2y+a=0的两侧,则实数a的取值范围是(
)
A.a<-7或a>24
B.a=7或a=24
C.-7<a<24
D.-24<a<7答案:C17.当圆x=4cosθy=4sinθ上一点P的旋转角为θ=23π时,点P的坐标为______.答案:根据圆的参数方程的意义,当圆x=4cosθy=4sinθ上一点P的旋转角为θ=23π时,点P的坐标为(4cos2π3,4sin2π3),即(-2,23).故为:(-2,23).18.直线y=33x绕原点逆时针方向旋转30°后,所得直线与圆(x-2)2+y2=3的交点个数是______.答案:∵直线y=33x的斜率为33,∴此直线的倾斜角为30°,∴此直线绕原点逆时针方向旋转30°后倾斜角为60°,∴此直线旋转后的方程为y=3x,由圆(x-2)2+y2=3,得到圆心坐标为(2,0),半径r=3,∵圆心到直线y=3x的距离d=232=3=r,∴该直线与圆相切,则直线与圆(x-2)2+y2=3的交点个数是1.故为:119.已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2,焦点到渐近线的距离为6,则该双曲线的离心率为(
)
A.
B.
C.3
D.2答案:C20.圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=4cosθ,ρ=-4sinθ.
(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)求经过圆O1,圆O2交点的直线的直角坐标方程.答案:以有点为原点,极轴为x轴正半轴,建立平面直角坐标系,两坐标系中取相同的长度单位.(1)x=ρcosθ,y=ρsinθ,由ρ=4cosθ得ρ2=4ρcosθ.所以x2+y2=4x.即x2+y2-4x=0为圆O1的直角坐标方程.….(3分)同理x2+y2+4y=0为圆O2的直角坐标方程.….(6分)(2)由x2+y2-4x=0x2+y2+4y=0解得x1=0y1=0x2=2y2=-2.即圆O1,圆O2交于点(0,0)和(2,-2).过交点的直线的直角坐标方程为y=-x.…(10分)21.已知函数f(x),如果对任意一个三角形,只要它的三边长a,b,c都在f(x)的定义域内,就有f(a),f(b),f(c)也是某个三角形的三边长,则称f(x)为“保三角形函数”.在函数①f1(x)=x,②f2(x)=x,③f3(x)=x2中,其中______是“保三角形函数”.(填上正确的函数序号)答案:f1(x),f2(x)是“保三角形函数”,f3(x)不是“保三角形函数”.任给三角形,设它的三边长分别为a,b,c,则a+b>c,不妨假设a≤c,b≤c,由于a+b>a+b>c>0,所以f1(x),f2(x)是“保三角形函数”.对于f3(x),3,3,5可作为一个三角形的三边长,但32+32<52,所以不存在三角形以32,32,52为三边长,故f3(x)不是“保三角形函数”.故为:①②.22.等于()
A.a16
B.a8
C.a4
D.a2答案:C23.直线ax+by=1与圆x2+y2=1有两不同交点,则点P(a,b)与圆的位置关系为______.答案:圆心到直线ax+by=1的距离,1a2+b2,∵直线ax+by=1与圆x2+y2=1有两不同交点,∴1a2+b2<1即a2+b2>1.故为:点在圆外.24.数据:1,1,3,3的众数和中位数分别是()
A.1或3,2
B.3,2
C.1或3,1或3
D.3,3答案:A25.隋机变量X~B(6,),则P(X=3)=()
A.
B.
C.
D.答案:C26.已知随机变量x服从二项分布x~B(6,),则P(x=2)=()
A.
B.
C.
D.答案:D27.设f(n)=nn+1,g(n)=(n+1)n,n∈N*.
(1)当n=1,2,3,4时,比较f(n)与g(n)的大小.
(2)根据(1)的结果猜测一个一般性结论,并加以证明.答案:(1)当n=1时,nn+1=1,(n+1)n=2,此时,nn+1<(n+1)n,当n=2时,nn+1=8,(n+1)n=9,此时,nn+1<(n+1)n,当n=3时,nn+1=81,(n+1)n=64,此时,nn+1>(n+1)n,当n=4时,nn+1=1024,(n+1)n=625,此时,nn+1>(n+1)n,(2)根据上述结论,我们猜想:当n≥3时,nn+1>(n+1)n(n∈N*)恒成立.①当n=3时,nn+1=34=81>(n+1)n=43=64即nn+1>(n+1)n成立.②假设当n=k时,kk+1>(k+1)k成立,即:kk+1(k+1)k>1则当n=k+1时,(k+1)k+2(k+2)k+1=(k+1)?(k+1k+2)k+1>(k+1)?(kk+1)k+1=kk+1(k+1)k>1即(k+1)k+2>(k+2)k+1成立,即当n=k+1时也成立,∴当n≥3时,nn+1>(n+1)n(n∈N*)恒成立.28.下列函数中,既是偶函数,又在(0,1)上单调递增的函数是()A.y=|log3x|B.y=x3C.y=e|x|D.y=cos|x|答案:对于A选项,函数定义域是(0,+∞),故是非奇非偶函数,不合题意,A选项不正确;对于B选项,函数y=x3是一个奇函数,故不是正确选项;对于C选项,函数的定义域是R,是偶函数,且当x∈(0,+∞)时,函数是增函数,故在(0,1)上单调递增,符合题意,故C选项正确;对于D选项,函数y=cos|x|是偶函数,在(0,1)上单调递减,不合题意综上知,C选项是正确选项故选C29.O是正六边形ABCDE的中心,且OA=a,OB=b,AB=c,在以A,B,C,D,E,O为端点的向量中:
(1)与a相等的向量有
______;
(2)与b相等的向量有
______;
(3)与c相等的向量有
______.答案:如图,在O是正六边形ABCDE的中心,以A,B,C,D,E,O为端点的向量中(1)与a相等的向量有EF,DO,CB;(2)与b相等的向量有DC,EO,FA;(3)与c相等的向量有FO,OC,ED.故三个空依次应填EF,DO,CB;DC,EO,FA;FO,OC,ED.30.一圆形纸片的圆心为点O,点Q是圆内异于O点的一定点,点A是圆周上一点.把纸片折叠使点A与Q重合,然后展平纸片,折痕与OA交于P点.当点A运动时点P的轨迹是()A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线答案:如图所示,由题意可知:折痕l为线段AQ的垂直平分线,∴|AP|=|PQ|,而|OP|+|PA|=|OA|=R,∴|PO|+|PQ|=R定值>|OQ|.∴当点A运动时点P的轨迹是以点O,D为焦点,长轴长为R的椭圆.故选B.31.直线l:y-1=k(x-1)和圆C:x2+y2-2y=0的关系是()
A.相离
B.相切或相交
C.相交
D.相切答案:C32.已知平面向量a,b,c满足a+b+c=0,且a与b的夹角为135°,c与b的夹角为120°,|c|=2,则|a|=______.答案:∵a+b+c=0∴三个向量首尾相接后,构成一个三角形且a与b的夹角为135°,c与b的夹角为120°,|c|=2,故所得三角形如下图示:其中∠C=45°,∠A=60°,AB=2∴|a|=AB?Sin∠Asin∠C=6故为:633.以过椭圆+=1(a>b>0)的右焦点的弦为直径的圆与其右准线的位置关系是()
A.相交
B.相切
C.相离
D.不能确定答案:C34.如图,AB是圆O的直径,CD是圆O的弦,AB与CD交于E点,且AE:EB=3:1、CE:ED=1:1,CD=83,则直径AB的长为______.答案:由CE:ED=1:1,CD=83,∴CE=ED=43由相交弦定理可得AE?EB=CE?ED及AE:EB=3:1∴3EB2=43?43=48解得EB=4,AE=12∴AB=AE+EB=16故为:1635.三行三列的方阵.a11a12
a13a21a22
a23a31a32
a33.中有9个数aji(i=1,2,3;j=1,2,3),从中任取三个数,则它们不同行且不同列的概率是()A.37B.47C.114D.1314答案:从给出的9个数中任取3个数,共有C39;从三行三列的方阵中任取三个数,使它们不同行且不同列:从第一行中任取一个数有C13种方法,则第二行只能从另外两列中的两个数任取一个有C12种方法,第三行只能从剩下的一列中取即可有1中方法,∴共有C13×C12×C11=6.∴从三行三列的方阵中任取三个数,则它们不同行且同列的概率P=6C39=114.故选C.36.函数f(x)=x2+ax+3,
(1)若f(1-x)=f(1+x),求a的值;
(2)在第(1)的前提下,当x∈[-2,2]时,求f(x)的最值,并说明当f(x)取最值时的x的值;
(3)若f(x)≥a恒成立,求a的取值范围.答案:(1)∵f(1+x)=f(1-x)∴y=f(x)的图象关于直线x=1对称∴-a2=1即a=-2(2)a=-2时,函数f(x)=x2-2x+3在区间[-2,1]上递减,在区间[1,2]上递增,∴当x=-2时,fmax(x)=f(-2)=11当x=1时,fmin(x)=f(1)=2(3)∵x∈R时,有x2+ax+3-a≥0恒成立,须△=a2-4(3-a)≤0,即a2+4a-12≤0,所以-6≤a≤2.37.如图,一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形,俯视图是一个圆,那么这个几何体的侧面积为()A.π4B.5π4C.πD.3π2答案:此几何体是一个底面直径为1,高为1的圆柱底面周长是2π×12=π故侧面积为1×π=π故选C38.已知当抛物线型拱桥的顶点距水面2米时,量得水面宽8米.当水面升高1米后,水面宽度是______米.答案:由题意,建立如图所示的坐标系,抛物线的开口向下,设抛物线的标准方程为x2=-2py(p>0)∵顶点距水面2米时,量得水面宽8米∴点(4,-2)在抛物线上,代入方程得,p=4∴x2=-8y当水面升高1米后,y=-1代入方程得:x=±22∴水面宽度是42米故为:4239.设椭圆C1的离心率为513,焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线C2的标准方程为
______答案:根据题意可知椭圆方程中的a=13,∵ca=513∴c=5根据双曲线的定义可知曲线C2为双曲线,其中半焦距为5,实轴长为8∴虚轴长为225-16=6∴双曲线方程为x216-y29=1故为:x216-y29=140.已知A=(2,-4,-1),B=(-1,5,1),C=(3,-4,1),若=,=,则对应的点为()
A.(5,-9,2)
B.(-5,9,-2)
C.(5,9,-2)
D.(5,-9,-2)答案:B41.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),且椭圆C经过点P(43,13).
(I)求椭圆C的离心率:
(II)设过点A(0,2)的直线l与椭圆C交于M,N两点,点Q是线段MN上的点,且2|AQ|2=1|AM|2+1|AN|2,求点Q的轨迹方程.答案:(I)∵椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),且椭圆C经过点P(43,13).∴c=1,2a=PF1+PF2=(43+1)2+19+(43-1)2+19=22,即a=2∴椭圆的离心率e=ca=12=22…4分(II)由(I)知,椭圆C的方程为x22+y2=1,设点Q的坐标为(x,y)(1)当直线l与x轴垂直时,直线l与椭圆C交于(0,1)、(0,-1)两点,此时点Q的坐标为(0,2-355)(2)当直线l与x轴不垂直时,可设其方程为y=kx+2,因为M,N在直线l上,可设点M,N的坐标分别为(x1,kx1+2),(x2,kx2+2),则|AM|2=(1+k2)x1
2,|AN|2=(1+k2)x2
2,又|AQ|2=(1+k2)x2,2|AQ|2=1|AM|2+1|AN|2∴2(1+k2)x2=1(1+k2)x1
2+1(1+k2)x2
2,即2x2=1x1
2+1x2
2=(x1+x2)2-2x1x2x1
2x2
2…①将y=kx+2代入x22+y2=1中,得(2k2+1)x2+8kx+6=0…②由△=(8k)2-24(2k2+1)>0,得k2>32由②知x1+x2=-8k2k2+1,x1x2=62k2+1,代入①中化简得x2=1810k2-3…③因为点Q在直线y=kx+2上,所以k=y-2x,代入③中并化简得10(y-2)2-3x2=18由③及k2>32可知0<x2<32,即x∈(-62,0)∪(0,62)由题意,Q(x,y)在椭圆C内,所以-1≤y≤1,又由10(y-2)2-3x2=18得(y-2)2∈[95,94)且-1≤y≤1,则y∈(12,2-355)所以,点Q的轨迹方程为10(y-2)2-3x2=18,其中x∈(-62,62),y∈(12,2-355)…13分42.如果命题P:∅∈{∅},命题Q:∅⊂{∅},那么下列结论不正确的是()A.“P或Q”为真B.“P且Q”为假C.“非P”为假D.“非Q”为假答案:命题P:∅∈{∅},命题Q:∅⊂{∅},可直接看出命题Q,命题P都是正确的.故“P或Q”为真.“P且Q”为真.“非P”为假.“非Q”为假.故选B.43.已知a、b、c是实数,且a2+b2+c2=1,求2a+b+2c的最大值.答案:因为已知a、b、c是实数,且a2+b2+c2=1根据柯西不等式(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)≥(ax+by+cz)2故有(a2+b2+c2)(22+1+22)≥(2a+b+2c)2故(2a+b+2c)2≤9,即2a+b+2c≤3即2a+b+2c的最大值为3.44.若方程x2-3x+mx+m=0的两根均在(0,+∞)内,则m的取值范围是(
)
A.m≤1
B.0<m≤1
C.m>1
D.0<m<1答案:B45.下列命题错误的是(
)A.命题“若,则中至少有一个为零”的否定是:“若,则都不为零”。B.对于命题,使得;则是,均有。C.命题“若,则方程有实根”的逆否命题为:“若方程无实根,则”。D.“”是“”的充分不必要条件。答案:A解析:命题的否定是只否定结论,∴选A.46.向量a、b满足|a|=1,|b|=2,且a与b的夹角为π3,则|a+2b|=______.答案:∵|a|=1,|b|=2,且a与b的夹角为π3,∴a?b=|a|?|b|?cosπ3=1因此,(a+2b)2=|a|2+4a?b+4|b|2=12+4×1+4|b|2=21∴|a+2b|=21故为:2147.输入3个数,输出其中最大的公约数,编程序完成上述功能.答案:INPUT
m,n,kr=m
MOD
nWHILE
r<>0m=nn=rr=m
MOD
nWENDr=k
MOD
nWHILE
r<>0k=nn=rr=k
MOD
nWENDPRINT
nEND48.设m、n是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面,则下列命题中正确的是()
A.若m∥n,m∥α,则n∥α
B.若α⊥β,m∥α,则m⊥β
C.若α⊥β,m⊥β,则m∥α
D.若m⊥n,m⊥α,n⊥β,则α⊥β答案:D49.给定两个长度为1的平面向量OA和OB,它们的夹角为90°.如图所示,点C在以O为圆心的圆弧AB上变动,若OC=xOA+yOB,其中x,y∈R,则xy的范围是______.答案:由OC=xOA+yOB?OC2=x2OA2+y2OB2+2xyOA?OB,又|OC|=|OA|=|OB|=1,OA?OB=0,∴1=x2+y2≥2xy,得xy≤12,而点C在以O为圆心的圆弧AB上变动,得x,y∈[0,1],于是,0≤xy≤12,故为[0,12].50.在半径为R的球内作一内接圆柱,这个圆柱的底面半径和高为何值时,它的侧面积最大?并求此最大值.答案:解
如图,设内接圆柱的高为h,圆柱的底面半径为r,则h2+4r2=4R2因为h2+4r2≥4rh,当且仅当h=2r时取等.所以4R2≥4rh,即rh≤R2所以,S侧=2πrh≤2πR2,当且仅当h=2r时取等.又因为h2+4r2=4R2,所以r=22R,h=2R时取等综上,当内接圆柱的底面半径为22R,高为2R时,它的侧面积最大,为2πR2第2卷一.综合题(共50题)1.△ABC所在平面内点O、P,满足OP=OA+λ(AB+12BC),λ∈[0,+∞),则点P的轨迹一定经过△ABC的()A.重心B.垂心C.内心D.外心答案:设BC的中点为D,则∵OP=OA+λ(AB+12BC),∴OP=OA+λAD∴AP=λAD∴AP∥AD∵AD是△ABC的中线∴点P的轨迹一定经过△ABC的重心故选A.2.设=(-2,2,5),=(6,-4,4)分别是平面α,β的法向量,则平面α,β的位置关系是()
A.平行
B.垂直
C.相交但不垂直
D.不能确定答案:B3.在△ABC中,AB=2,BC=3,∠ABC=60°,AD为BC边上的高,O为AD的中点,若
=λ+μ,则λ+μ=()
A.1
B.
C.
D.答案:D4.若直线l:ax+by=1与圆C:x2+y2=1有两个不同交点,则点P(a,b)与圆C的位置关系是(
)
A.点在圆上
B.点在圆内
C.点在圆外
D.不能确定答案:C5.某一批花生种子,如果每1粒发芽的概率为,那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是(
)
A.
B.
C.
D.答案:B6.点P(2,1)到直线
3x+4y+10=0的距离为()A.1B.2C.3D.4答案:由P(2,1),直线方程为3x+4y+10=0,则P到直线的距离d=|6+4+10|32+42=4.故选D7.正方体的全面积为18cm2,则它的体积是()A.4cm3B.8cm3C.11272cm3D.33cm3答案:设正方体边长是acm,根据题意得6a2=18,解得a=3,∴正方体的体积是33cm3.故选D.8.中,是边上的中线(如图).
求证:.
答案:证明见解析解析:取线段所在的直线为轴,点为原点建立直角坐标系.设点的坐标为,点的坐标为,则点的坐标为.可得,,,.,..9.设a1,a2,…,an为正数,求证:a21a2+a22a3+…+a2n-1an+a2na1≥a1+a2+…+an.答案:证明:不妨设a1>a2>…>an>0,则a12>a22>…>an2,1a1<1a2<…1an由排序原理:乱序和≥反序和,可得:a21a2+a22a3+…+a2n-1an+a2na1≥a12a1+a22a2+…+an2an=a1+a2+…+an.10.将5位志愿者分成4组,其中一组为2人,其余各组各1人,到4个路口协助交警执勤,则不同的分配方案有______种(用数字作答).答案:由题意,先分组,再到4个路口协助交警执勤,则不同的分配方案有C25A44=240种故为:240.11.曲线(θ为参数)上的点到原点的最大距离为()
A.1
B.
C.2
D.答案:C12.直三棱柱ABC-A1B1C1
中,若CA=a,CB=b,CC1=c,则A1B=______.答案:向量加法的三角形法则,得到A1B=A1C+CB=A1C1+C1C+CB=-CA-CC1+CB=-a-c+b.故为:-a-c+b.13.有50件产品编号从1到50,现在从中抽取抽取5件检验,用系统抽样确定所抽取的编号为()
A.5,10,15,20,25
B.5,15,20,35,40
C.5,11,17,23,29
D.10,20,30,40,50答案:D14.圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=4cosθ,ρ=-4sinθ.
(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)求经过圆O1,圆O2交点的直线的直角坐标方程.答案:以有点为原点,极轴为x轴正半轴,建立平面直角坐标系,两坐标系中取相同的长度单位.(1)x=ρcosθ,y=ρsinθ,由ρ=4cosθ得ρ2=4ρcosθ.所以x2+y2=4x.即x2+y2-4x=0为圆O1的直角坐标方程.….(3分)同理x2+y2+4y=0为圆O2的直角坐标方程.….(6分)(2)由x2+y2-4x=0x2+y2+4y=0解得x1=0y1=0x2=2y2=-2.即圆O1,圆O2交于点(0,0)和(2,-2).过交点的直线的直角坐标方程为y=-x.…(10分)15.因为样本是总体的一部分,是由某些个体所组成的,尽管对总体具有一定的代表性,但并不等于总体,为什么不把所有个体考查一遍,使样本就是总体?答案:如果样本就是总体,抽样调查就变成普查了,尽管这样确实反映了实际情况,但不是统计的基本思想,其操作性、可行性、人力、物力等方面,都会有制约因素存在,何况有些调查是破坏性的,如考查一批玻璃的抗碎能力,灯泡的使用寿命等,普查就全破坏了.16.命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是()
A.有两个内角是直角
B.有三个内角是直角
C.至少有两个内角是直角
D.没有一个内角是直角答案:C17.某教师出了一份三道题的测试卷,每道题1分,全班得3分、2分、1分和0分的学生所占比例分别为30%、50%、10%和10%,则全班学生的平均分为______分.答案:∵全班得3分、2分、1分和0分的学生所占比例分别为30%、50%、10%和10%,∴全班的平均分是3×30%+2×50%+1×10%+0×10%=2,故为:218.用反证法证明“3是无理数”时,第一步应假设“______.”答案:反证法肯定题设而否定结论,从而得出矛盾,题设“3是无理数”,那么假设为:3是有理数.故为3是有理数.19.一条直线的倾斜角的余弦值为32,则此直线的斜率为()A.3B.±3C.33D.±33答案:设直线的倾斜角为α,∵α∈[0,π),cosα=32∴α=π6因此,直线的斜率k=tanα=33故选:C20.如图,在直角坐标系中,A,B,C三点在x轴上,原点O和点B分别是线段AB和AC的中点,已知AO=m(m为常数),平面上的点P满足PA+PB=6m.
(1)试求点P的轨迹C1的方程;
(2)若点(x,y)在曲线C1上,求证:点(x3,y22)一定在某圆C2上;
(3)过点C作直线l,与圆C2相交于M,N两点,若点N恰好是线段CM的中点,试求直线l的方程.答案:(1)由题意可得点P的轨迹C1是以A,B为焦点的椭圆.…(2分)且半焦距长c=m,长半轴长a=3m,则C1的方程为x29m2+y28m2=1.…(5分)(2)若点(x,y)在曲线C1上,则x29m2+y28m2=1.设x3=x0,y22=y0,则x=3x0,y=22y0.…(7分)代入x29m2+y28m2=1,得x02+y02=m2,所以点(x3,y22)一定在某一圆C2上.…(10分)(3)由题意C(3m,0).…(11分)设M(x1,y1),则x12+y12=m2.…①因为点N恰好是线段CM的中点,所以N(x1+3m2,y12).代入C2的方程得(x1+3m2)2+(y12)2=m2.…②联立①②,解得x1=-m,y1=0.…(15分)故直线l有且只有一条,方程为y=0.…(16分)(若只写出直线方程,不说明理由,给1分)21.在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中,若AC′=xAB+2yBC-3zC′C,则x+y+z等于______.答案:根据向量的加法法则可得,AC′=AC+CC′=AB+BC+CC′∵AC′=xAB+2yBC-3zC′C∴x=1,2y=1,-3z=1∴x=1,y=12,z=-13∴x+y+z=1+12-13=76故为:7622.如图,小圆圈表示网络的结点,结点之间的连线表示它们有网线相联,连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量,现从结点B向结点A传递信息,信息可以分开沿不同的路线同时传递,则单位时间内传递的最大信息量为()
A.26
B.24
C.20
D.19
答案:D23.命题“12既是4的倍数,又是3的倍数”的形式是()A.p∨qB.p∧qC.¬pD.简单命题答案:命题“12既是4的倍数,又是3的倍数”可转化成“12是4的倍数且12是3的倍数”故是p且q的形式;故选B.24.如图所示的圆盘由八个全等的扇形构成,指针绕中心旋转,可能随机停止,则指针停止在阴影部分的概率为()A.12B.14C.16D.18答案:如图:转动转盘被均匀分成8部分,阴影部分占1份,则指针停止在阴影部分的概率是P=18.故选D.25.已知方程x2-6x+a=0的两个不等实根均大于2,则实数a的取值范围为()
A.[4,9)
B.(4,9]
C.(4,9)
D.(8,9)答案:D26.已知集合A={1,2,3},集合B={4,5},映射f:A→B,且满足1对应的元素是4,则这样的映射有()A.2个B.4个C.8个D.9个答案:∵满足1对应的元素是4,集合A中还有两个元素2和3,2可以和4对应,也可以和5对应,3可以和4对应,也可以和5对应,每个元素有两种不同的对应,∴共有2×2=4种结果,故选B.27.定义:若函数f(x)对于其定义域内的某一数x0,有f(x0)=x0,则称x0是f(x)的一个不动点。
已知函数f(x)=ax2+(b+1)x+b-1(a≠0)。
(1)当a=1,b=-2时,求函数f(x)的不动点;
(2)若对任意的实数b,函数f(x)恒有两个不动点,求a的取值范围;
(3)在(2)的条件下,若y=f(x)图象上两个点A、B的横坐标是函数f(x)的不动点,且A、B的中点C在函数g(x)=-x+的图象上,求b的最小值。
(参考公式:A(x1,y1),B(x2,y2)的中点坐标为)
答案:解:(1)f(x)=x2-x-3,由x2-x-3=0,解得x=3或x=-1,所以所求的不动点为-1或3。(2)令ax2+(b+1)x+b+1=x,则ax2+bx+b-1=0,①由题意,方程①恒由两个不等实根,所以△=b2-4a(b-1)>0,即b2-4ab+4a>0对任意的b∈R恒成立,则△′=16a2-16a<0,故0(3)依题意,设,则AB中点C的坐标为,又AB的中点在直线上,∴,∴,又x1,x2是方程①的两个根,∴,∴,,∴,∴当时,bmin=-1。</a<1。28.已知z1=5+3i,z2=5+4i,下列各式中正确的是()A.z1>z2B.z1<z2C.|z1|>|z2|D.|z1|<|z2|答案:∵z1=5+3i,z2=5+4i,∴z1与z2为虚数,故不能比较大小,可排除A,B;又|z1|=34,|z2|=52+42=41,∴|z1|<|z2|,可排除C.故选D.29.正方体AC1中,S,T分别是棱AA1,A1B1上的点,如果∠TSC=90°,那么∠TSB=______.答案:由题意,BC⊥平面A1B,∵S,T分别是棱AA1,A1B1上的点,∴BC⊥ST∵∠TSC=90°,∴ST⊥SC∵BC∩SC=C∴ST⊥平面SBC∴ST⊥SB∴∠TSB=90°,故为:90°30.如图,AB是半圆O的直径,C、D是半圆上的两点,半圆O的切线PC交AB的延长线于点P,∠PCB=25°,则∠ADC为()
A.105°
B.115°
C.120°
D.125°
答案:B31.如图把椭圆x225+y216=1的长轴AB分成8分,过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1,P2,…P7七个点,F是椭圆的一个焦点,则|P1F|+|P2F|+…+|P7F|=______.答案:如图,把椭圆x225+y216=1的长轴AB分成8等份,过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1,P2,P3,P4,P5,P6,P7七个点,F是椭圆的一个焦点,则根据椭圆的对称性知,|P1F1|+|P7F1|=|P1F1|+|P1F2|=2a,同理其余两对的和也是2a,又|P4F1|=a,∴|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|=7a=35,故为35.32.已知点A(1,0,-3)和向量AB=(-1,-2,0),则点B的坐标为______.答案:设B(x,y,z),根据向量的坐标运算,AB=(x,y,z)
-
(1,0,-3)=(x-1,y,z+3)=(-1,-2,0)∴x=0,y=-2,z=-3.故为:(0,-2,-3).33.下列命题中,错误的是()
A.平行于同一条直线的两个平面平行
B.平行于同一个平面的两个平面平行
C.一个平面与两个平行平面相交,交线平行
D.一条直线与两个平行平面中的一个相交,则必与另一个相交答案:A34.已知在△ABC中,A(2,-5,3),AB=(4,1,2),BC=(3,-2,5),则C点坐标为
______.答案:设C(x,y,z),则:
AC=AB+BC即:(x-2,y+5,z-3)=(4,1,2)+(3,-2,5)=(7,-1,7)所以得:x-2=7y+5=-1z-3=7,即x=9y=-6z=10故为:(9,-6,10)35.直线l只经过第一、三、四象限,则直线l的斜率k()
A.大于零
B.小于零
C.大于零或小于零
D.以上结论都有可能答案:A36.如图:在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为A1C1与B1D1的交点.若则下列向量中与相等的向量是()
A.
B.
C.
D.
答案:A37.下列函数图象中,正确的是()
A.
B.
C.
D.
答案:C38.若关于x的方程3x2-5x+a=0的一个根在(-2,0)内,另一个根在(1,3)内,求a的取值范围。答案:解:设f(x)=3x2-5x+a,则f(x)为开口向上的抛物线,如右图所示,∵f(x)=0的两根分别在区间(-2,0),(1,3)内,∴,即,解得-12<a<0,故所求a的取值范围是{a|-12<a<0}。39.函数y=2x的值域为______.答案:因为:x≥0,所以:y=2x≥20=1.∴函数y=2x的值域为:[1,+∞).故为:[1,+∞).40.某校对文明班的评选设计了a,b,c,d,e五个方面的多元评价指标,并通过经验公式样S=ab+cd+1e来计算各班的综合得分,S的值越高则评价效果越好,若某班在自测过程中各项指标显示出0<c<d<e<b<a,则下阶段要把其中一个指标的值增加1个单位,而使得S的值增加最多,那么该指标应为()A.aB.bC.cD.d答案:因a,b,cde都为正数,故分子越大或分母越小时,S的值越大,而在分子都增加1的前提下,分母越小时,S的值增长越多,由于0<c<d<e<b<a,分母中d最小,所以c增大1个单位会使得S的值增加最多.故选C.41.“a>1”是“1a<1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:由1a<1得:当a>0时,有1<a,即a>1;当a<0时,不等式恒成立.所以1a<1?a>1或a<0从而a>1是1a<1的充分不必要条件.故应选:A42.某学生离家去学校,由于怕迟到,所以一开始就跑步,等跑累了再走余下的路程.
在如图中纵轴表示离学校的距离,横轴表示出发后的时间,则如图中的四个图形中较符合该学生走法的是()A.
B.
C.
D.
答案:由题意可知:由于怕迟到,所以一开始就跑步,所以刚开始离学校的距离随时间的推移应该相对较快.而等跑累了再走余下的路程,则说明离学校的距离随时间的推移在后半段时间应该相对较慢.所以适合的图象为:故选B.43.设圆M的方程为(x-3)2+(y-2)2=2,直线L的方程为x+y-3=0,点P的坐标为(2,1),那么()
A.点P在直线L上,但不在圆M上
B.点P在圆M上,但不在直线L上
C.点P既在圆M上,又在直线L上
D.点P既不在直线L上,也不在圆M上答案:C44.下列各组向量中,可以作为基底的是()A.e1=(0,0),e2=(-2,1)B.e1=(4,6),e2=(6,9)C.e1=(2,-5),e2=(-6,4)D.e1=(2,-3),e2=(12,-34)答案:A、中的2个向量的坐标对应成比例,0-2=01,所以,这2个向量是共线向量,故不能作为基底.B、中的2个向量的坐标对应成比例,46=69,所以,这2个向量是共线向量,故不能作为基底.C中的2个向量的坐标对应不成比例,2-6≠-54,所以,这2个向量不是共线向量,故可以作为基底.D、中的2个向量的坐标对应成比例,212=-3-34,这2个向量是共线向量,故不能作为基底.故选C.45.一个路口的红绿灯,红灯的时间为30秒,黄灯的时间为5秒,绿灯的时间为40秒,一学生到达该路口时,见到红灯的概率是()A.25B.58C.115D.35答案:由题意知本题是一个那可能事件的概率,试验发生包含的事件是总的时间长度为30+5+40=75秒,设红灯为事件A,满足条件的事件是红灯的时间为30秒,根据等可能事件的概率得到出现红灯的概率P(A)=构成事件A的时间长度总的时间长度=3075=25.故选A.46.如图,在△ABC中,设AB=a,AC=b,AP的中点为Q,BQ的中点为R,CR的中点恰为P.
(Ⅰ)若AP=λa+μb,求λ和μ的值;
(Ⅱ)以AB,AC为邻边,AP为对角线,作平行四边形ANPM,求平行四边形ANPM和三角形ABC的面积之比S平行四边形ANPMS△ABC.答案:(Ⅰ)∵在△ABC中,设AB=a,AC=b,AP的中点为Q,BQ的中点为R,CR的中点恰为P.AP=AR+AC2,AR=AQ+AB2,AQ=12AP,消去AR,AQ∵AP=λa+μb,可得AP=12(AQ+AB2)+12AC=14×12AP+14AB+12AC,可得AP=27AB+47AC=λa+μb,∴λ=27μ=47;(Ⅱ)以AB,AC为邻边,AP为对角线,作平行四边形ANPM,∵得AP=27AB+47AC,∴S平行四边形ANPMS平行四边形ABC=|AN|?|AM|?sin∠CAB12|AB|?|AC|?sin∠CAB=2?|AN||AB|?|AM||AC|=2×27×47=1649;47.复数i2000=______.答案:复数i2009=i4×500=i0=1故为:148.已知a=(1,-2,1),a+b=(3,-6,3),则b等于()A.(2,-4,2)B.(-2,4,-2)C.(-2,0,-2)D.(2,1,-3)答案:∵a+b=(3,-6,3),∴b=a+b-a=(3,-6,3)-(1,-2,1)=(2,-4,2).故选A.49.若矩阵满足下列条件:①每行中的四个数所构成的集合均为{1,2,3,4};②四列中有且只有两列的上下两数是相同的.则这样的不同矩阵的个数为()
A.24
B.48
C.144
D.288答案:C50.某学校准备调查高三年级学生完成课后作业所需时间,采取了两种抽样调查的方式:第一种由学生会的同学随机对24名同学进行调查;第二种由教务处对年级的240名学生编号,由001到240,请学号最后一位为3的同学参加调查,则这两种抽样方式依次为()A.分层抽样,简单随机抽样B.简单随机抽样,分层抽样C.分层抽样,系统抽样D.简单随机抽样,系统抽样答案:学生会的同学随机对24名同学进行调查,是简单随机抽样,对年级的240名学生编号,由001到240,请学号最后一位为3的同学参加调查,是系统抽样,故选D第3卷一.综合题(共50题)1.某年级共有210名同学参加数学期中考试,随机抽取10名同学成绩如下:
成绩(分)506173859094人数221212则总体标准差的点估计值为______(结果精确到0.01).答案:由题意知本题需要先做出这组数据的平均数50×2+61×2+73+2×85+90+2×9410=74.9,这组数据的总体方差是(2×24.92+1.92+2×13.92+15.12+2×19.12)÷10=309.76,∴总体标准差是309.76≈17.60,故为:17.60.2.已知集合A={0,1,2},集合B={x|x=2a,a∈A},则A∩B=()A.{0}B.{2}C.{0,2}D.{1,4}答案:B={0,2,4},∴A∩B={0,2},故选C3.点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是______.答案:设圆上任意一点为A(x1,y1),AP中点为(x,y),则x=x1+42y=y1-22,∴x1=2x-4y1=2y+2代入x2+y2=4得(2x-4)2+(2y+2)2=4,化简得(x-2)2+(y+1)2=1.故为:(x-2)2+(y+1)2=14.设空间两个不同的单位向量
a=(x1,y1,0),
b=(x2,y2,0)与向量
c=(1,1,1)的夹角都等于45°.
(1)求x1+y1和x1y1的值;
(2)求<
a,
b>的大小.答案:(1)∵单位向量a=(x1,y1,0)与向量c=(1,1,1)的夹角等于45°∴|a|=x21+y21=1,cos45°=a?
c|a|?
|c|=13(x1+y1)=22∴x1+y1=62,x1?y1=-14(2)同理可知x2+y2=22,x2?y2=-14∴x1?x2=-14,y1?y2=-14cos<a,b>=a?b|a|?|b|=x1?x2+y1?y2=-12∴<a,b>=120°5.若2x1+3y1=4,2x2+3y2=4,则过点A(x1,y1),B(x2,y2)的直线方程是______.答案:∵2x1+3y1=4,2x2+3y2=4,∴点A(x1,y1),B(x2,y2)在直线2x+3y=4上,又因为过两点确定一条直线,故所求直线方程为2x+3y=4故为:2x+3y=46.如果如图所示的程序中运行后输出的结果为132,那么在程序While后面的“条件”应为______.答案:第一次循环之后s=12,i=11;第二次循环之后结果是s=132,i=10,已满足题意跳出循环.由于此循环体是当型循环i=12、11都满足条件,i=10不满足条件.故为:i≥117.O、B、C为空间四个点,又、、为空间的一个基底,则()
A.O、A、B、C四点不共线
B.O、A、B、C四点共面,但不共线
C.O、A、B、C四点中任意三点不共线
D.O、A、B、C四点不共面答案:D8.一名同学先后投掷一枚骰子两次,第一次向上的点数记为x,第二次向上的点数记为y,在直角坐标系xOy中,以(x,y)为坐标的点落在直线2x+y=8上的概率为()A.16B.112C.536D.19答案:由题意知本题是一个古典概型,∵试验发生包含的事件是先后掷两次骰子,共有6×6=36种结果,满足条件的事件是(x,y)为坐标的点落在直线2x+y=8上,当x=1,y=6;x=2,y=4;x=3,y=2,共有3种结果,∴根据古典概型的概率公式得到P=336=112,故选B.9.某工厂生产产品,用传送带将产品送到下一道工序,质检人员每隔十分钟在传送带的某一个位置取一件检验,则这种抽样方法是()A.简单随机抽样B.系统抽样C.分层抽样D.非上述答案答案:本题符合系统抽样的特征:总体中各单位按一定顺序排列,根据样本容量要求确定抽选间隔,然后随机确定起点,每隔一定的间隔抽取一个单位的一种抽样方式.故选B.10.己知△ABC的外心、重心、垂心分别为O,G,H,若,则λ=()
A.3
B.2
C.
D.答案:A11.已知线段AB的两端点坐标为A(9,-3,4),B(9,2,1),则线段AB与坐标平面()A.xOy平行B.xOz平行C.yOz平行D.yOz相交答案:∵A(9,-3,4),B(9,2,1),∴AB=(9,2,1)-(9,-3,4)=(0,5,-3),∵yOz平面内的向量的一般形式为a=(0,y,z)∴向量AB∥a,可得AB∥平面yOz.故选:C12.命题“p:任意x∈R,都有x≥2”的否定是______.答案:命题“任意x∈R,都有x≥2”是全称命题,否定时将量词对任意的x∈R变为存在实数x,再将不等号≥变为<即可.故为:存在实数x,使得x<2.13.不等式的解集是
(
)A.B.C.D.答案:B解析:当时,不等式成立;当时,不等式可化为,解得综上,原不等式解集为故选B14.设a,b,c都是正数,求证:
(1)(a+b+c)≥9;
(2)(a+b+c)≥.答案:证明略解析:证明
(1)∵a,b,c都是正数,∴a+b+c≥3,++≥3.∴(a+b+c)≥9,当且仅当a=b=c时,等号成立.(2)∵(a+b)+(b+c)+(c+a)≥3,又≥,∴(a+b+c)≥,当且仅当a=b=c时,等号成立.15.设A(3,3,1),B(1,0,5),C(0,1,0),则AB的中点M到点C的距离为
______.答案:M为AB的中点设为(x,y,z),∴x=3+12=2,y=32,z=1+52=3,∴M(2,32,3),∵C(0,1,0),∴MC=22+(32-1)
2
+33=532,故为:532.16.______称为向量的长度(或称为模),记作
______,______称为零向量,记作
______,______称为单位向量.答案:向量AB所在线段AB的长度,即向量AB的大小,称为向量AB的长度(或成为模),记作|AB|;长度为零的向量称为零向量,记作0;长度等于1个单位的向量称为单位向量.故为:向量AB所在线段AB的长度,即向量AB的大小,|AB|;长度为零的向量,0;长度等于1个单位的向量.17.(选做题)圆内非直径的两条弦AB、CD相交于圆内一点P,已知PA=PB=4,PC=14PD,则CD=______.答案:连接AC、BD.∵∠A=∠D,∠C=∠B,∴△ACP∽△DBP,∴PAPD=PCPB,∴4PD=14PD4,∴PD2=64∴PD=8∴CD=PD+PC=8+2=10,故为:1018.已知A(3,4,5),B(0,2,1),O(0,0,0),若,则C的坐标是()
A.(-,-,-)
B.(,-,-)
C.(-,-,)
D.(,,)答案:A19.为了检测某种产品的直径(单位mm),抽取了一个容量为100的样本,其频率分布表(不完整)如下:
分组频数累计频数频率[10.75,10.85)660.06[10.85,10.95)1590.09[10.95,11.05)30150.15[11.05,11.15)48180.18[11.15,11.25)
(Ⅰ)完成频率分布表;
(Ⅱ)画出频率分布直方图;
(Ⅲ)据上述图表,估计产品直径落在[10.95,11.35)范围内的可能性是百分之几?答案:解(Ⅰ)分组频数累计频数频率[10.75,10.85)660.06[10.85,10.95)1590.09[10.95,11.05)30150.15[11.05,11.15)48180.18[11.15,11.25)72240.24[11.25,11.35)84120.12[11.35,11.45)9280.08[11.45,11.55)9860.06[11.55,11.65)10020.02(Ⅲ)0.15+0.18+0.24+0.12=0.69=69%,所以产品直径落在[10.95,11.35)范围内的可能性为69%.20.如图P为空间中任意一点,动点Q在△ABC所在平面内运动,且,则实数m=()
A.0
B.2
C.-2
D.1
答案:C21.当a>0时,不等式组的解集为(
)。答案:当a>时为;当a=时为{};当0<a<时为[a,1-a]22.某公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x吨,运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x=______吨.答案:某公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x吨,则需要购买400x次,运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x万元,一年的总运费与总存储费用之和为400x?4+4x万元,400x?4+4x≥2(400x×4)×4x=160,当且仅当1600x=4x即x=20吨时,等号成立即每次购买20吨时,一年的总运费与总存储费用之和最小.故为:20.23.某电厂冷却塔的外形是如图所示双曲线的一部分绕其中轴(即双曲线的虚轴)旋转所成的曲面,其中A、A′是双曲线的顶点,C、C′是冷却塔上口直径的两个端点,B、B′是下底直径的两个端点,已知AA′=14m,CC′=18m,BB′=22m,塔高20m.
(Ⅰ)建立坐标系并写出该双曲线方程;
(Ⅱ)求冷却塔的容积(精确到10m3,塔壁厚度不计,π取3.14).答案:(I)如图建立直角坐标系xOy,AA′在x轴上,AA′的中点为坐标原点O,CC′与BB′平行于x轴.设双曲线方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),则a=12AA′=7.又设B(11,y1),C(9,y2),因为点B、C在双曲线上,所以有11272-y21b2=1,①9272-y22b2=1,②由题意知y2-y1=20.③由①、②、③得y1=-12,y2=8,b=72.故双曲线方程为x249-y298=1;(II)由双曲线方程得x2=12y2+49.设冷却塔的容积为V(m3),则V=π∫y2y1x2dy=π∫8-12(12y2+49)dy=π(16y3+49y)|8-12,∴V≈4.25×103(m3).答:冷却塔的容积为4.25×103(m3).24.从一批产品中取出三件,设A=“三件产品全不是次品”,B=“三件产品全是次品”,C=“三件产品不全是次品”,则下列结论正确的是()
A.A与C互斥
B.B与C互斥
C.任两个均互斥
D.任两个均不互斥答案:B25.如图,PA、PB、DE分别与⊙O相切,若∠P=40°,则∠DOE等于()度.
A.40
B.50
C.70
D.80
答案:C26.曲线x2+ay+2y+2=0经过点(2,-1),则a=______.答案:由题意,∵曲线x2+ay+2y+2=0经过点(2,-1),∴22-a-2+2=0∴a=4故为427.中,是边上的中线(如图).
求证:.
答案:证明见解析解析:取线段所在的直线为轴,点为原点建立直角坐标系.设点的坐标为,点的坐标为,则点的坐标为.可得,,,.,..28.下列语句是命题的是______.
①求证3是无理数;
②x2+4x+4≥0;
③你是高一的学生吗?
④一个正数不是素数就是合数;
⑤若x∈R,则x2+4x+7>0.答案:①是祈使句,所以①不是命题.②是命题,能够判断真假,因为x2+4x+4=(x+2)2≥0,所以②是命题.③是疑问句,所以③不是命题.④能够判断真假,所以④是命题.⑤能够判断真假,因为x2+4x+7=(x+2)2+3>0,所以⑤是命题.故为:②④⑤.29.已知|a=2,|b|=1,a与b的夹角为60°,求向量.a+2b与2a+b的夹角.答案:由题意得,a?b=2×1×12=1,∴(a+2b)?(2a+b)=2a2+5a?b+2b2=15,|a+2b|=a2+4a?b+4b2=23,|2a+b|=4a2+4a?b+b2=21,设a+2b与2a+b夹角为θ,则cosθ=(a+2b)?(2a+b)|a+2b||2a+b|=1523×21=5714,则θ=arccos571430.对于直线l的倾斜角α与斜率k,下列说法错误的是()
A.α的取值范围是[0°,180°)
B.k的取值范围是R
C.k=tanα
D.当α∈(90°,180°)时,α越大k越大答案:C31.已知某人在某种条件下射击命中的概率是,他连续射击两次,其中恰有一次射中的概率是()
A.
B.
C.
D.答案:C32.已知x,y的取值如下表所示:
x3711y102024从散点图分析,y与x线性相关,且y=74x+a,则a=______.答案:∵线性回归方程为y=74x+a,,又∵线性回归方程过样本中心点,.x=3+7+113=7,.y=10+20+243=18,∴回归方程过点(7,18)∴18=74×7+a,∴a=234.故为:234.33.若圆x2+y2=9上每个点的横坐标不变,纵坐标缩短为原来的,则所得到的曲线的方程是()
A.
B.
C.
D.答案:C34.在班级随机地抽取8名学生,得到一组数学成绩与物理成绩的数据:
数学成绩6090115809513580145物理成绩4060754070856090(1)计算出数学成绩与物理成绩的平均分及方差;
(2)求相关系数r的值,并判断相关性的强弱;(r≥0.75为强)
(3)求出数学成绩x与物理成绩y的线性回归直线方程,并预测数学成绩为110的同学的物理成绩.答案:(1)计算出数学成绩与物理成绩的平均分及方差;.x=100,.y=65,数学成绩方差为750,物理成绩方差为306.25;(4分)(2)求相关系数r的值,并判断相关性的强弱;r=6675≈0.94>0.75,相关性较强;(8分)(3)求出数学成绩x与物理成绩y的线性回归直线方程,并预测数学成绩为110的同学的物理成绩.y=0.6x+5,预测数学成绩为110的同学的物理成绩为71.(12分)35.如图,AD是圆内接三角形ABC的高,AE是圆的直径,AB=6,AC=3,则AE×AD等于
______.答案:∵AE是直径∴∠ABE=∠ADC=90°∵∠E=∠C∴△ABE∽△ADC∴ABAD=AEAC∴AE×A
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