2023年数学人教B版选修知识点总结含例题

第二章概率总结知识结构连续性随机变量数学盼望方差二项分布正态分布事件的独立性条件概率离散型随机变量的数字特性随机变量离散型随机变量超几何分布连续性随机变量数学盼望方差二项分布正态分布事件的独立性条件概率离散型随机变量的数字特性随机变量离散型随机变量超几何分布知识点1.随机实验的特点:①实验可以在相同的情形下反复进行;②实验的所有也许结果是明确可知的，并且不止一个③每次实验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次实验之前却不能肯定这次实验会出现哪一个结果.2.分类随机变量(假如随机实验也许出现的结果可以用一个变量Ｘ来表达,并且X是随着实验的结果的不同而变化，那么这样的变量叫做随机变量．随机变量常用大写字母X、Y等或希腊字母ξ、η等表达。）离散型随机变量在上面的射击、产品检查等例子中，对于随机变量X也许取的值，我们可以按一定顺序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量．连续型随机变量对于随机变量也许取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量.连续型随机变量的结果不可以一一列出.3．离散型随机变量的分布列一般的,设离散型随机变量Ｘ也许取的值为x1,x2,,xｉ,，xnX取每一个值xｉ(i=1,2,）的概率P（ξ＝xi）＝Pi，则称表为离散型随机变量X的概率分布，简称分布列性质:①ｐi≥0，i=１，2，…；②p１+p2＋…+pn=１．③一般地,离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和。求离散型随机变量分布列的解题环节例题:篮球运动员在比赛中每次罚球命中得１分，不中得０分，已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求他罚球一次的得分的分布列.解：用随机变量X表达“每次罚球得的分值”设离散型随机变量,依题可知，X也许的取值为:1，0设离散型随机变量且P(X=1)=０．7，P（Ｘ=0)=0.３交代题中所隐含的信息交代题中所隐含的信息因此所求分布列为：答题即写出分布列答题即写出分布列引出二二点分布假如随机变量X的分布列为：其中0<p<1，q=1-p，则称离散型随机变量X服从参数p的二点分布二点分布的应用：如抽取彩票是否中奖问题、新生婴儿的性别问题等.超几何分布一般地，设总数为N件的两类物品，其中一类有Ｍ件，从所有物品中任取ｎ(n≤N)件，这ｎ件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，则它取值为k时的概率为,其中，且则称随机变量X的分布列为超几何分布列,且称随机变量X服从参数N、M、ｎ的超几何分布注意:（1）超几何分布的模型是不放回抽样;（2）超几何分布中的参数是N、M、n,其意义分别是总体中的个体总数、Ｎ中一类的总数、样本容量解题环节：例题、在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏,在一个口袋中装有10个红球和2０个白球，这些球除颜色外完全相同.游戏者一次从中摸出5个球．至少摸到３个红球就中奖，求中奖的概率解:设摸出红球的个数为X，则X服从超几何分布,其中舍随机变量且交代其服从NMn的超几何分布舍随机变量且交代其服从NMn的超几何分布X也许的取值为０,1，2,3，4,5.写出x也许的取值写出x也许的取值由题目可知,至少摸到3个红球的概率为≈0.191运用公式解题运用公式解题答:中奖概率为0.１91.答题答题条件概率定义：对任意事件Ａ和事件Ｂ,在已知事件A发生的条件下事件B发生的概率,叫做条件概率.记作P(B｜A),读作A发生的条件下B的概率事件的交(积）:由事件Ａ和事件B同时发生所构成的事件Ｄ，称为事件A与事件B的交（或积）.记作Ｄ=A∩B或D=AB条件概率计算公式:P(Ｂ｜A)相称于把A看作新的基本领件空间,求Ａ∩Ｂ发生的概率:公式推导过程公式推导过程解题环节：例题、10个产品中有7个正品、３个次品，从中不放回地抽取两个，已知第一个取到次品,求第二个又取到次品的概率．解：设A=｛第一个取到次品},B={第二个取到次品｝,设事件设事件由题意计算出P(AB)由题意计算出P(AB)和P(A)或者P(B|A)和P(A)所以，Ｐ(Ｂ|A)＝P（AB)/P(A）=2/9根据条件概率共识计算根据条件概率共识计算答:第二个又取到次品的概率为２/9.答题答题互相独立事件定义：事件Ａ（或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做互相独立事件说明说明（1）判断两事件A、B是否为互相独立事件，关键是看A（或B）发生与否对B（或A）发生的概率是否影响，若两种状况下概率不变，则为互相独立.（2）互斥事件是指不也许同时发生的两个事件；互相独立事件是指一事件的发生与否对另一事件发生的概率没影响.（3）假如A、B是互相独立事件，则A的补集与B的补集、A与B的补集、A的补集与B也都互相独立.说明（1）使用时，注意使用的前提条件；说明（1）使用时，注意使用的前提条件；（2）此公式可作为判断事件是否互相独立的理论依据，即P(A·B)=P(A)·P(B)是A、B互相独立的充要条件.2.互相独立事件同时发生的概率公式两个互相独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。则有假如事件A1,A2,…An互相独立,那么这n个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。即：Ｐ(A1·A2·…·Ａn)＝P（Ａ1）·Ｐ(A２)·…·P(An)则称A，B互相独立3.两事件是否互为独立事件的判断与证明则称A，B互相独立解题环节例题、一袋中有2个白球,2个黑球,做一次不放回抽样实验,从袋中连取2个球,观测球的颜色情况,记“第一个取出的是白球”为事件A,“第二个取出的是白球”为事件B,试问A与B是不是互相独立事件?答:不是,由于件Ａ发生时(即第一个取到白球),事件B的概率P(B）=1/３,而当事件A不发生时(即第一个取到的是黑球),事件B发生的概率P(Ｂ）=2/3,也就是说,事件A发生与否影响到事件B发生的概率,所以A与B不是互相独立事件。证明:由题可知，P(B｜A)＝1/3,Ｐ(Ｂ|A的补集）=2/3由于Ｐ(B|A)≠P（Ｂ|Ａ的补集）所以A与B不是互相独立事件独立反复实验1．定义：在同等条件下进行的，各次之间互相独立的一种实验２．说明:①这种实验中，每一次实验只有两种结果,即某事件要么发生,要么不发生，并且任何一次实验中发生的概率都是同样的②每次实验是在同样条件下进行;③每次实验间又是互相独立的，互不影响.前提二项分布引入:一般地,假如在1次实验中某事件A发生的概率是Ｐ,那么在n次独立反复实验中这个事件恰好发生ｋ次的概率是P()Pn(k)是[（1-Ｐ）+Ｐ]n的通项公式，所以也把上式叫做二项分布公式.二项分布定义：设在ｎ次独立反复实验中某个事件A发生的次数,Ａ发生次数ξ是一个随机变量.假如在一次实验中某事件发生的概率是p,事件A不发生的概率为q=1－p,那么在n次独立反复实验中（其中k＝0,1,,ｎ，ｑ=1-p)于是可得随机变量ξ的概率分布如下：由于恰好是二项展开式中的第ｋ+1项，所以，称这样的随机变量ξ服从二项分布,记作ξ～Ｂ(n，p），其中ｎ,ｐ为参数,并记：解题环节例题、某厂生产电子元件,其产品的次品率为5％.现从一批产品中任意地连续取出２件,写出其中次品数ξ的概率分布．解:依题意,随机变量ξ～B(2，5%).∴Ｐ(ξ＝0）＝(95%)2=0．90２5，P（ξ=1)＝（5％)（９5%)=0.09５，P（ξ=2)=(５%)2＝0.０025.因此,次品数ξ的概率分布是

ξ

0

ξ

0

1

2

P

0.9025

0.095

0.0025几何分布定义:在独立反复实验中,某事件A第一次发生时所作的实验次数ξ也是一个取值为正整数的随机变量。“ξ=k”表达在第k次独立反复实验时事件A第一次发生。假如把第ｋ次实验时事件Ａ发生记为Ak,p(Ak)=p,事件A不发生记为,P()=q(q＝1-p)，那么（k=0,1,2…,q=1-p.)于是得到随机变量ξ的概率分布如下:ξ1ξ123…k…

Pppqpq2…pqk-1…称ξ服从几何分布，并记ｇ(k,p）=p·qk-1离散型随机变量的盼望和方差一般地,若离散型随机变量ξ的概率分布为则称Eξ=ｘ１ｐ1+x2p2+…＋ｘnｐｎ＋…为ξ的数学盼望或平均数、均值,数学盼望又简称为盼望．是离散型随机变量说明：(1)数学盼望的一个特性数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平(２）一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令ｐ1=p2=…=pn,则有p1=ｐ2=…=pｎ=，Eξ=（x1＋x2+…+xn)，所以ξ的数学盼望又称为平均数、均值=E(ξ-E=E(ξ-Eξ)2=Eξ2—（Eξ）2Dξ=（x1-Eξ)2·P1+（x2-Eξ)2·P2+…+（xn-Eξ)２·Pn+…叫随机变量ξ的均方差，简称方差。说明:①、Dξ的算术平方根√Dξ——随机变量ξ的标准差,记作σξ；②、标准差与随机变量的单位相同；③、随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动，集中与分散的限度。集中分布的盼望与方差一览盼望方差两点分布Ｅξ＝pDξ=pq，q=１-ｐ超几何分布D(X）=np（１-ｐ)＊(N-n)/（Ｎ－1）不规定二项分布ξ～B（ｎ,p)Ｅξ=npDξ=qEξ=npq,q=1－p几何分布p(ξ=k)=g(ｋ，p)1/ｐ正态分布连续型随机变量若数据无限增多且组距无限缩小，那么频率分布直方图的顶边缩小乃至形成一条光滑的曲线,我们称此曲线为概率密度曲线．频率

组距概率密度曲线频率

组距概率密度曲线总体在区间内取值的概率总体在区间内取值的概率产品尺寸（mm）概率密度曲线的形状特性ab:中间高,两头低产品尺寸（mm）ab正态分布若概率密度曲线就是或近似地是函数的图像,其中解析式中的实数、是参数，分别表达总体的平均数与标准差.则其分布叫正态分布,记作f（x)的图象称为正态曲线基本性质：①曲线在x轴的上方,与x轴不相交．②曲线关于直线x=对称，且在x＝时位于最