概统第92~95节 正态总体的假设检验

§9.2正态总体的参数检验拒绝域的推导设X~N(2)，2已知，需检验：H0:0；H1:0构造统计量

给定显著性水平与样本值(x1,x2,…,xn)一个正态总体（1）关于的检验P(拒绝H0|H0为真)所以本检验的拒绝域为0：U检验法0000

<

0

>

0U检验法

(2已知)原假设

H0备择假设

H1检验统计量及其H0为真时的分布拒绝域0000

<

0

>

0T检验法

(2未知)原假设

H0备择假设

H1检验统计量及其H0为真时的分布拒绝域例1

设某砖厂生产的砖的抗断强度，某天从该厂生产的砖中随机抽取6块，测得抗断强度如下（单位：kg/[cm]）：32.5629.6631.6430.0031.8731.03检验这天该厂生产的砖的平均抗断强度是否仍为32.50(kg/[cm])？（取显著性水平）22

H0:=32.5；

H1:32.5

由已知,故选检验统计量:对查表得,，故拒绝,砖的强度不为32.50（kg/[cm])由样本值算得，，于是解

根据题意检验假设可设为例2

某厂生产小型马达,说明书上写着:这种小型马达在正常负载下平均消耗电流不会超过0.8安培.

现随机抽取16台马达试验,求得平均消耗电流为0.92安培,消耗电流的标准差为0.32安培.

假设马达所消耗的电流服从正态分布,取显著性水平为

=0.05,问根据这个样本,能否否定厂方的断言?解

根据题意待检假设可设为

H0:0.8；

H1:>0.8

未知,故选检验统计量:查表得

t0.05(15)=1.753,故拒绝域为现故接受原假设,即不能否定厂方断言.解二

H0:

0.8；

H1:<0.8

选用统计量:查表得

t0.05(15)=1.753,故拒绝域现故接受原假设,即否定厂方断言.

由例2可见:对问题的提法不同(把哪个假设作为原假设),统计检验的结果也会不同.

上述两种解法的立场不同，因此得到不同的结论.第一种假设是不轻易否定厂方的结论；第二种假设是不轻易相信厂方的结论.

由于假设检验是控制犯第一类错误的概率,

使得拒绝原假设H0

的决策变得比较慎重,也就是

H0得到特别的保护.

因而,通常把有把握的,经验的结论作为原假设,或者尽量使后果严重的错误成为第一类错误.例3

已知某炼铁厂的铁水含碳量服从正态分布，均值.某日随机测得7炉铁水，算得平均含碳量，

,样本标准差.以显著性水平检验这天铁水含碳量的均值是否显著提高？由题意，应取统计量设H0:=4.40；H1:>4.40

对查表得，，,而接受，铁水含碳量有显著提高。解

根据题意检验假设可设为2022>022<022022=02202原假设

H0备择假设

H1检验统计量及其在H0为真时的分布拒绝域

检验法(

已知)（2）关于2的检验2022>022<022022=02202原假设

H0备择假设

H1检验统计量及其在H0为真时的分布拒绝域(

未知)

某汽车配件厂在新工艺下对加工好的25个活塞的直径进行测量,得样本方差S2=0.00066.已知老工艺生产的活塞直径的方差为0.00040.问进一步改革的方向应如何？

例4

解一般进行工艺改革时,若指标的方差显著增大,则改革需朝相反方向进行以减少方差；若方差变化不显著,则需试行别的改革方案.设测量值需考察改革后活塞直径的方差是否不大于改革前的方差？故待检验假设可设为：

H0:2

0.00040;

H1:2

>0.00040.

此时可采用效果相同的单边假设检验

H0:2

=0.00040；H1:2>0.00040.

取统计量拒绝域0：落在0内,故拒绝H0.即改革后的方差显著大于改革前,因此下一步的改革应朝相反方向进行.

在例1中，以显著性水平检验这天该厂生产的砖的抗断强度的标准差是否为？

例5

解

根据题目要求，本题检验假设为由已知，则取统计量为在成立时，所以，拒绝，接受.于是由样本值，得从而这天该厂生产的砖的抗断强度的标准差不能认为是.例

自动车床加工某种零件，其直径（单位：

）服从正态分布，要求.某天开工后，随机抽取30件,算得样本方差为，检验这天加工的零件是否符合要求?(取显著性水平）

解

根拒据题目要求，本题检验假设为

H0:2

=0.09；H1:2>0.09.

由未知，则取统计量为

例6

拒绝域为由样本值算得所以，拒绝，接受.即认为零件直径的方差大于0.09，不符合要求。

设X~N(1

1

2),Y~

N(2

2

2)两样本X,Y相互独立,样本(X1,X2,…,Xn),(Y1,Y2,…,Ym)

样本值

(x1,x2,…,xn),(y1,y2,…,ym)显著性水平两个正态总体1–2

=(12，22

已知)(1)关于均值差1–

2

的检验1–2

1–2

1–2

<

1–2>

1–2

原假设

H0备择假设

H1检验统计量及其在H0为真时的分布拒绝域1–2

=1–2

1–2

1–2

<

1–2>

1–2

其中12,

22未知12=

22原假设

H0备择假设

H1检验统计量及其在H0为真时的分布拒绝域

12=

22

12

22

12

22

12>

22

12

22

12<

22(2)关于方差比

12

/

22的检验1,

2

均未知原假设

H0备择假设

H1检验统计量及其在H0为真时的分布拒绝域例7两种工艺下纺的细纱的强力与都服从正态分布，且，.各抽取容量为50的样本,算得，.问两种工艺下纺的细纱的强力有无明显差异？（取显著性水平）解由题意，检验假设为由，已知,取统计量所以,拒绝,接受,即两种工艺下纺的细纱的强力有明显差异。在成立时，.对显著性水平,查表得由样本值得于是0H)1,0(~NU05.0=a96.12/=au07.25015501428628022-»+-=U.96.107.22/auU=>»1H0H例8

某灯泡厂在采用一项新工艺的前后，分别抽取10个灯泡进行寿命试验。计算得到：采用新工艺前灯泡寿命的样本均值为2460(h)，样本标准差为56(h);采用新工艺后灯泡寿命的样本均值为2550(h)，样本标准差为48(h)。设灯泡的寿命服从正态分布，问由此是否可以认为采用新工艺后灯泡的平均寿命有显著提高？（取显著性水平,假定采用新工艺前、后灯泡寿命的方差不变，这将在后面进行检验）01.0=a解检验假设为

设采用新工艺前、后的灯泡寿命分别用,表示.由及未知，但已知取统计量其中),(~2xxNXsm),(~2yyNYsmyxyxHmmmm<=；：02xs2ys22yxss=yxnnSYXT11+-=w2)1()1(22-+-+-=yxyyxxnnSnSnSw

在时，对显著性水平,查表得由样本值得于是，所以，拒绝，接受，即采用新工艺后灯泡的平均寿命有显著提高。0H)18()2(~tnntTyx=-+01.0=a55.2)18(=at.86.3101101184895692550246022-»+´+´-=T).18(55.286.3atT=-<-=1H0H例9

杜鹃总是把蛋生在别的鸟巢中,现从两种鸟巢中得到杜鹃蛋24个.其中9个来自一种鸟巢,15个来自另一种鸟巢,测得杜鹃蛋的长度(mm)如下:m=1519.820.020.320.820.920.921.021.021.021.221.522.022.022.122.3n=921.221.621.922.022.022.222.822.923.2

试判别两个样本均值的差异是仅由随机因素造成的还是与来自不同的鸟巢有关().解

H0:1=

2

；

H1:1

2

取统计量拒绝域0：统计量值.落在0内,拒绝H0即蛋的长度与不同鸟巢有关.例10

假设机器A和B

都生产钢管,要检验

A和B生产的钢管内径的稳定程度.设它们生产的钢管内径分别为X和Y,且都服从正态分布

X~N(1,

12),Y~N(2,

22)

现从机器A和B生产的钢管中各抽出18

根和13

根,

测得

s12=0.34,s22=0.29,

设两样本相互独立.问是否能认为两台机器生产的钢管内径的稳定程度相同?(取

=0.1)解设H0:

12=

22；H1:

12

22

查表得F0.05(17,12)=2.59,F0.95(17,12)=拒绝域为:或由给定值算得:落在拒绝域外,故接受原假设,即认为内径的稳定程度相同.接受域置信区间假设检验区间估计统计量

枢轴量对偶关系同一函数假设检验与区间估计的联系

假设检验与置信区间对照接受域置信区间检验统计量及其在H0为真时的分布枢轴量及其分布

00（2

已知)（2

已知)原假设

H0备择假设

H1待估参数接受域置信区间检验统计量及其在H0为真时的分布枢轴量及其分布原假设

H0备择假设

H1待估参数

0

0（

2未知）（

2未知）接受域置信区间检验统计量及其在H0为真时的分布枢轴量及其分布原假设

H0备择假设

H1待估参数2022=022(未知)(未知)例11

新设计的某种化学天平，其测量误差服从正态分布,现要求99.7%的测量误差不超过0.1mg,即要求30.1.现拿它与标准天平相比，得10个误差数据，其样本方差s2=0.0009.解一H0:1/30；H1:1/30

试问在=0.05的水平上能否认为满足设计要求？拒绝域：未知,故选检验统计量现故接受原假设,即认为满足设计要求.解二2的单侧置信区间为H0中的满足设计要求.则H0

成立,从而接受原假设,即认为样本容量的选取

虽然当样本容量n固定时,我们不能同时控制犯两类错误的概率,但可以适当选取n的值,使犯取伪错误的概率控制在预先给定的限度内.样本容量