船体振动学 第3章

船体振动学

第3章

梁的横向振动

ShipVibration1

3.1连续系统

3.2梁的横向自由振动

3.3梁的横向强迫振动

3.4转动惯量和剪切变形以及轴向力对梁的横向自由振动的影响

3.5梁的横向自由振动的近似解法第3章梁的横向振动ShipVibration2

3.1连续系统第3章梁的横向振动ShipVibration3各种工程结构和构件，例如杆、梁、板、壳等都是具有分布质量的弹性体。要确定弹性体上各点的位置需要无限多个广义坐标，因此弹性体是具有无限多自由度的系统，也称为连续系统。

ShipVibration

3.1连续系统4对于图示的简支梁，在第2章中提到的处理方法是将梁离散化，即将梁近似的看作是由个集中质量组成的无质量的梁。当梁作横向弯曲振动时，用有限个离散点处的横向位移来代替真实的、连续的动挠度曲线。显然，采用这种方法得到的解只是梁的真实解的一种近似。随着离散点的数目不断增加，所得到的解将逐渐收敛于梁的真实解。

ShipVibration

3.1连续系统5连续系统具有连续分布的质量和弹性，它的振动规律要用时间和空间坐标的连续函数来描述，其运动微分方程是偏微分方程。在数学上，离散系统和连续系统代表两种不同类型的系统。但在本课程里，离散系统和连续系统只不过是描述同一物理系统的两个数学模型而已。尽管离散系统的振动用常微分方程来描述，连续系统的振动用偏微分方程来描述，但是在物理本质上以及振动的基本概念、分析方法上连续系统的振动与离散系统的振动是相似的。

ShipVibration

3.1连续系统6弹性体的振动需要用偏微分方程来描述

，不同弹性体的振动方程是不同的。只有对一些简单的、规则的弹性体才能得到振动方程的精确解，如均匀直杆的纵向振动、均匀圆轴的扭转振动以及均匀直梁的横向振动等等。对于大多数的实际弹性体的振动，仍然要采用各种近似的离散化方法，将连续系统转化为离散系统来处理。但本章讨论的离散化不同于上一章的将分析模型离散化，而是按固有振型离散化。

ShipVibration

3.1连续系统7梁是弹性体中最常见的，也是最基本的构件。对于横截面具有两条对称轴线的梁，存在着四种形式的振动，即垂直平面内的振动、水平面内的振动、纵向振动和扭转振动。本章仅介绍梁在垂直平面内的横向振动。假定梁的材料均质、各向同性，以及服从虎克定律（表示振动时梁内的应力不超过材料的比例极限，使得梁的应力与应变关系是线性的）。其次假定振动是微小的，使得应变与位移的几何关系也是线性的。最后假定梁在平衡状态下的轴线是一直线，发生振动变形前垂直于梁轴线的横截面，在发生振动变形后仍然保持为平面。

ShipVibration

3.1连续系统8

3.2梁的横向自由振动第3章梁的横向振动ShipVibration9梁的横向振动的运动微分方程如图所示，考虑梁在平面内的振动。假定发生振动变形前垂直于梁轴线的横截面是平面，在发生振动变形后该横截面仍然是平面且仍然垂直于变形后的梁轴线，即忽略了横截面的剪切变形和转动惯量的影响，这种梁模型也称为欧拉-伯努利梁。ShipVibration

3.2梁的横向自由振动梁的横向振动的运动微分方程10梁的横向位移是，长度是，横截面面积是，横截面对中性轴的惯性矩是；梁的密度是，材料的弹性模量是；单位长度梁上作用的分布外力是。在梁上处取长为的微段，微段的受力图如图所示。

ShipVibration

3.2梁的横向自由振动梁的横向振动的运动微分方程11由牛顿第二定律写出微段沿轴的力平衡方程

ShipVibration

3.2梁的横向自由振动化简为

梁的横向振动的运动微分方程12再写出微段绕轴的力矩平衡方程

，得

ShipVibration

3.2梁的横向自由振动略去的二次项后，得

梁的横向振动的运动微分方程13将代入，得

ShipVibration

3.2梁的横向自由振动由材料力学知，并代入上式，得

上式就是欧拉-伯努利梁横向振动的运动微分方程

。对于等截面梁，则是常数，上式又可写成

梁的横向振动的运动微分方程14固有频率和振型在上式中令得到梁横向自由振动的运动微分方程运动微分方程的解可以用的函数与的简谐函数的乘积表示，即

其中是主振型或振型函数，即梁上各点按振型作同步简谐振动。ShipVibration

3.2梁的横向自由振动固有频率和振型15将上式代入运动微分方程，得ShipVibration

3.2梁的横向自由振动固有频率和振型上式可改写成

式中

16上述方程的通解是

ShipVibration

3.2梁的横向自由振动固有频率和振型也可以表示为根据梁的边界条件可以确定值及振型函数中的待定常数。边界条件要考虑四个量，即挠度、转角、弯矩和剪力，一般情况下梁的每个端点都与其中的两个量有关。

17常见的简单边界条件有如下几种。

ShipVibration

3.2梁的横向自由振动固有频率和振型1.固定端在梁的固定端上挠度和转角等于零，即

2.简支端在梁的简支端上挠度和弯矩等于零，即

18ShipVibration

3.2梁的横向自由振动固有频率和振型3.自由端在梁的自由端上弯矩和剪力等于零，即

下面讨论在两种边界条件下，梁的固有频率和主振型。

19ShipVibration

3.2梁的横向自由振动固有频率和振型1.两端简支这时的边界条件是

将代入4个边界条件，得20ShipVibration

3.2梁的横向自由振动固有频率和振型由于可得，因此应有

这是简支梁的频率方程。由上式得

对应于的固有频率是

21ShipVibration

3.2梁的横向自由振动固有频率和振型可见，各固有频率与梁长的平方成反比。

因此主振型函数是

前三阶主振型如图所示

22ShipVibration

3.2梁的横向自由振动固有频率和振型2.左端固定，右端自由这时的边界条件是

将代入4个边界条件，得23ShipVibration

3.2梁的横向自由振动固有频率和振型因此有

这就是悬臂梁的频率方程。方程的前四个根是

解得

24ShipVibration

3.2梁的横向自由振动固有频率和振型对应于的固有频率是

前三阶主振型如图所示

因此主振型函数是

25ShipVibration

3.2梁的横向自由振动算例例：如图所示，悬臂梁的自由端附加一集中质量，将附加质量看作为质点，求频率方程和主振型函数。26ShipVibration

3.2梁的横向自由振动算例解：其边界条件是

将代入4个边界条件，得27ShipVibration

3.2梁的横向自由振动算例上面两式是关于的线性齐次代数方程组，具有非零解的充分必要条件是其系数行列式必须为零，由此得到

这就是频率方程。因此主振型函数是

28

3.3梁的横向强迫振动第3章梁的横向振动ShipVibration29主振型的正交性梁作横向振动时，振型函数也具有正交性。这里只讨论具有简单边界条件的梁的主振型的正交性。取特征值问题的任意两个解和代入，得到ShipVibration

3.3梁的横向强迫振动主振型的正交性30以乘以左式，以乘以右式，并且都沿梁的长度对进行积分，得

ShipVibration

3.3梁的横向强迫振动主振型的正交性分别对上面两式左边进行两次分部积分，得

31ShipVibration

3.3梁的横向强迫振动主振型的正交性32ShipVibration

3.3梁的横向强迫振动主振型的正交性对于前面介绍的任何一种简单边界条件，以上二式已积分出来的各项均为零。因此有

上面两式相减，得

如果时，有，则由上式得

33ShipVibration

3.3梁的横向强迫振动主振型的正交性上式就是梁的主振型关于质量的正交性。

将上式代入上面两式就是梁的主振型关于刚度的正交性。

可得34ShipVibration

3.3梁的横向强迫振动主振型的正交性令

常数分别称为第阶主质量及第阶主刚度。它们之间的关系可以由下式得到即35ShipVibration

3.3梁的横向强迫振动主振型的正交性如果主振型中的常数按下述归一化条件来确定，即

由此得到的主振型函数称为正则振型函数，表示为。这时相应的第阶主刚度是

36ShipVibration

3.3梁的横向强迫振动梁横向振动的强迫响应梁横向振动的强迫响应梁的横向强迫振动的运动微分方程是假设运动微分方程的解是其中是正则振型函数，是正则坐标。

将上式代入，得37ShipVibration

3.3梁的横向强迫振动梁横向振动的强迫响应上式两边乘以并沿梁长对积分，有

利用正交性及归一化条件，上式可以简化为

上式即是用第个正则坐标表示的梁的横向强迫振动的运动微分方程。其中，称为第个正则坐标的广义力。38ShipVibration

3.3梁的横向强迫振动梁横向振动的强迫响应假设，则

式中如果作用在梁上的载荷不是分布简谐力，而是集中简谐力，利用狄拉克函数，集中力可以表示为39ShipVibration

3.3梁的横向强迫振动假设梁的初始条件是

将代入上式，有

将以上两式两边分别乘以并沿梁长对积分，利用正交条件可以得到用正则坐标表示的梁的初始条件是

梁横向振动的强迫响应40ShipVibration

3.3梁的横向强迫振动用第个正则坐标表示的梁的横向强迫振动的运动微分方程是上述运动微分方程的全解是

梁横向振动的强迫响应41ShipVibration

3.3梁的横向强迫振动由此即可得到梁在初始条件下对简谐激励的响应梁横向振动的强迫响应42ShipVibration

3.3梁的横向强迫振动算例例：如图所示，一简支梁在其中点受到常力作用而产生变形，求当力突然移去时梁的响应。

解：前面已求出两端简支梁的固有频率及主振型函数是

43ShipVibration

3.3梁的横向强迫振动算例将主振型代入归一化条件

从而得到正则振型函数是44ShipVibration

3.3梁的横向强迫振动算例由结构力学得知初始条件是

其中是梁中点的静挠度。

45ShipVibration

3.3梁的横向强迫振动算例用正则坐标表示的初始条件是

因为没有激励力，正则广义力等于零。所以用正则坐标表示的梁的自由振动响应是

46ShipVibration

3.3梁的横向强迫振动算例因此，梁的自由振动响应是由上式可见，梁在中点受常力作用产生的静变形只激发对称振型的振动。

47ShipVibration

3.3梁的横向强迫振动算例例：如图所示，均匀简支梁在处作用有一正弦激励，求梁的强迫振动响应，梁的初始条件为零。

48ShipVibration

3.3梁的横向强迫振动算例解：由上例的结果可知正则振型函数用狄拉克函数把集中力表示成分布力的形式

正则广义力是49ShipVibration

3.3梁的横向强迫振动算例由于初始条件为零，所以用正则坐标表示的梁的强迫振动响应是

因此，梁的强迫振动响应是

50ShipVibration

3.3梁的横向强迫振动算例例：如图所示，简支梁左端承受正弦支撑运动，，求梁的稳态强迫振动响应。

51ShipVibration

3.3梁的横向强迫振动算例解：令

利用材料力学的等截面假设，弯矩与挠度之间的关系是

因此，梁振动的运动微分方程是

52ShipVibration

3.3梁的横向强迫振动算例令，即代入运动微分方程

即

53ShipVibration

3.3梁的横向强迫振动算例运动微分方程的解为

：式中是正则振型函数，代入运动微分方程，得：

54ShipVibration

3.3梁的横向强迫振动算例将上式两边分别乘以并沿梁长对积分，得

利用正交性及归一化条件，上式可以简化为由此可以求得用正则坐标表示的梁的稳态强迫振动响应是55ShipVibration

3.3梁的横向强迫振动算例简支梁的固有频率是

代入，得

56

3.4转动惯量和剪切变形以及轴向力对梁的横向自由振动的影响第3章梁的横向振动ShipVibration57当梁的横截面尺寸与长度相比并不是很小或者在分析高阶振动时，就需要考虑转动惯量和剪切变形对梁的横向振动的影响，这时的梁称为铁木辛柯梁。ShipVibration

3.4转动惯量和剪切变形以及轴向力对梁的横向自由振动的影响转动惯量和剪切变形对梁的横向自由振动的影响58取一微段，画出由剪力及弯矩引起的变形。当剪力为零时，微段的中心线垂直于横截面，令是由弯矩引起的截面转角，是由剪力引起的剪切角，由弯矩和剪力共同作用引起的梁轴线的实际转角是，于是剪切角ShipVibration

3.4转动惯量和剪切变形以及轴向力对梁的横向自由振动的影响转动惯量和剪切变形对梁的横向自由振动的影响59利用材料力学的基本公式

ShipVibration式中是截面的剪切修正系数（圆形截面；矩形截面），是剪切弹性模量，是横截面面积。

3.4转动惯量和剪切变形以及轴向力对梁的横向自由振动的影响转动惯量和剪切变形对梁的横向自由振动的影响60由牛顿第二定律写出微段沿轴的力平衡方程考虑转动惯量的影响后，写出微段绕轴的力矩平衡方程

ShipVibration

3.4转动惯量和剪切变形以及轴向力对梁的横向自由振动的影响转动惯量和剪切变形对梁的横向自由振动的影响61ShipVibration将代入上述两式，得假设梁是等截面的，并由上述两式中消去，得到铁木辛柯梁横向自由振动的运动微分方程

3.4转动惯量和剪切变形以及轴向力对梁的横向自由振动的影响转动惯量和剪切变形对梁的横向自由振动的影响62ShipVibration式中第三项和第四项表示剪切变形和转动惯量的影响，上述方程仍可用分离变量法求解。现以简支梁为例。假设运动微分方程的解是将上式代入运动微分方程，得

3.4转动惯量和剪切变形以及轴向力对梁的横向自由振动的影响转动惯量和剪切变形对梁的横向自由振动的影响63由于最后一项与相比是微小量，在研究剪切变形的影响时可以略去，从而可以得到式中是不计剪切变形和转动惯量时简支梁的固有频率。ShipVibration

3.4转动惯量和剪切变形以及轴向力对梁的横向自由振动的影响转动惯量和剪切变形对梁的横向自由振动的影响64由上式可以看出，考虑了剪切变形和转动惯量以后，系统的固有频率减小了。这是因为系统的固有频率取决于它的质量和刚度，考虑剪切变形和转动惯量以后，系统的有效质量增加，有效刚度减小，因而导致系统的固有频率减小。剪切变形和转动惯量对高阶频率的影响更加显著。

ShipVibration

3.4转动惯量和剪切变形以及轴向力对梁的横向自由振动的影响转动惯量和剪切变形对梁的横向自由振动的影响65如果仅考虑转动惯量的影响，则如果仅考虑剪切变形的影响时，则

比较以上二式可以看到，剪切变形的影响要比转动惯量的影响大。假设，且梁的横截面是长方形的，，则即剪切变形的影响是转动惯量的影响的3.2倍。

ShipVibration

3.4转动惯量和剪切变形以及轴向力对梁的横向自由振动的影响转动惯量和剪切变形对梁的横向自由振动的影响66ShipVibration轴向力对梁的横向自由振动的影响轴向力对梁的横向自由振动的影响假设梁的两端受到轴向拉力的作用，且梁在振动过程中梁截面上的轴向力保持不变，如图所示。由牛顿第二定律写出微段沿轴的力平衡方程

3.4转动惯量和剪切变形以及轴向力对梁的横向自由振动的影响67再写出微段绕轴的力矩平衡方程

，得

略去的二次项后，得

ShipVibration

3.2梁的横向自由振动梁的横向振动的运动微分方程68将代入，得

由材料力学知，并代入上式，得到轴向受载的均匀欧拉-伯努利梁横向自由振动的运动微分方程

ShipVibration

3.2梁的横向自由振动梁的横向振动的运动微分方程69ShipVibration假设运动微分方程的解是

代入运动微分方程，得

令，代入上式，得

3.4转动惯量和剪切变形以及轴向力对梁的横向自由振动的影响轴向力对梁的横向自由振动的影响70ShipVibration假设上述方程的解是

式中

以简支梁为例，其边界条件是

3.4转动惯量和剪切变形以及轴向力对梁的横向自由振动的影响轴向力对梁的横向自由振动的影响71ShipVibration将代入4个边界条件，得利用和的系数的行列式为零的条件，得到频率方程由于及不为零，因此

3.4转动惯量和剪切变形以及轴向力对梁的横向自由振动的影响轴向力对梁的横向自由振动的影响72ShipVibration解出

当时，上式即为无轴向力时简支梁的固有频率。如果梁的两端受到轴向拉力的作用，梁的刚度增加，因此梁的固有频率增加

；如果将拉力改为压力，即用代替，则固有频率减小。当时梁将失稳而破坏，临界压力

3.4转动惯量和剪切变形以及轴向力对梁的横向自由振动的影响轴向力对梁的横向自由振动的影响73

3.5梁的横向自由振动的近似解法第3章梁的横向振动ShipVibration74瑞利法如果不考虑阻尼的影响，根据能量守恒定律，则系统的最大动能应该等于系统的最大势能。瑞利法正是从这一定律出发，估算梁的第一阶固有频率（基频）

。假设梁在处的位移是ShipVibration

3.5梁的横向自由振动的近似解法瑞利法梁的动能是

75梁的势能等于应变能

ShipVibration瑞利法令，可以求得

利用上式求固有频率的方法称为瑞利法。称为瑞利商。

3.5梁的横向自由振动的近似解法76瑞利商有几个重要特性：（1）如果假设的振型函数与某一阶的主振型相同，则瑞利商就是相应阶主振动的特征值；（2）瑞利商在固有振型附近具有平稳值，即如果假设的振型与固有振型相差一个一阶微量，则瑞利商与特征值相差一个二阶微量；（3）此平稳值是一个极小值，即瑞利商的极小值就是相应阶主振动的特征值。ShipVibration瑞利法

3.5梁的横向自由振动的近似解法77一般在选择振型函数时，最好是既满足几何边界条件，又满足力边界条件，这样可以得到比较好的近似结果。但至少要满足几何边界条件，不然会使计算结果误差过大，以致毫无意义。由于高阶振型函数较难选取，因此瑞利法一般仅用于求解第一阶固有频率。对于梁，通常将振型函数取为静挠度曲线就可以得到精度较好的基频。当假定的振型函数偏离真实振型时，相当于给系统施加了约束，也就相当于给系统增加了刚度，所以计算得到的固有频率偏高。因此，选用不同的振型函数而得到不同的计算结果时，应该取最小的值。ShipVibration瑞利法

3.5梁的横向自由振动的近似解法78如果在梁上有附加质量或弹性支承，则只要在计算梁的动能和势能时计入附加质量的动能和弹性支承的势能就可以了。例如在梁上处有集中质量，则梁的最大动能是

在梁上处有拉压弹簧常数为和扭转弹簧常数为的弹性支承时，则梁的最大势能是ShipVibration瑞利法

3.5梁的横向自由振动的近似解法79例：用瑞利法求如图所示的单位等宽度变截面梁的第一阶固有频率。截面的变化规律是，是梁根部的截面积。

ShipVibration算例

3.5梁的横向自由振动的近似解法80解：

ShipVibration算例式中是梁根部截面的惯性矩。

假设振型函数是，则

3.5梁的横向自由振动的近似解法81满足边界条件

ShipVibration算例

3.5梁的横向自由振动的近似解法82与精确解相比，误差为3%。

ShipVibration算例因此

3.5梁的横向自由振动的近似解法83李兹法李兹法是在瑞利法的基础上作了改进，它除了能更精确的计算基频外，还能求得较高阶的固有频率。其基本思想是把连续系统离散为有限自由度系统，然后根据能量守恒定律计算系统的固有频率。因此，在李兹法中描述振型的位移函数不是预先选取一个假设的振型，而是用包含多个未知数的基函数的级数和来表示，即

ShipVibration李兹法式中是待定常数，也称为广义坐标，是空间坐标的已知函数，也称为基函数。

3.5梁的横向自由振动的近似解法84基函数必须满足几何边界条件，而且是相互独立的；此外，基函数应该是连续可导的，可导的阶数应该至少等于势能中出现的对坐标的导数的阶数。然后利用驻值条件，即

ShipVibration李兹法得到个关于待定常数的齐次方程，令它们的系数行列式等于零，即可得到频率方程。

3.5梁的横向自由振动的近似解法85考虑到的分子为零，得

ShipVibration李兹法上式可以改写为

3.5梁的横向自由振动的近似解法86即ShipVibration李兹法式中式中表示对的二阶导数。

3.5梁的横向自由振动的近似解法87由此得到个方程：令上述方程可以写成矩阵形式

ShipVibration李兹法

3.5梁的横向自由振动的近似解法88或简写为即无限多个自由度系统变成了有限多个自由度系统，求解上述方程，就可以得到个固有频率和个振型函数。这种方法称为李兹法。李兹法忽略了高阶项的影响，相当于给系统施加了约束，因为约束会增加系统的刚度，因为一般情况下施加约束会增加系统的刚度，所以求得的固有频率大于系统的真实固有频率。

ShipVibration李兹法

3.5梁的横向自由振动的近似解法89例：用李兹法求如图所示的单位等宽度变截面梁的第一阶固有频率。截面的变化规律是