2023年平面向量知识点复习练习

平面向量知识点分类复习深圳明德实验学校刘凯1、向量有关概念:(1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表达，注意不能说向量就是有向线段，为什么？(向量可以平移)。配合练习1、已知A(１,２),B（4,2)，则把向量按向量＝（-1,３)平移后得到的向量是_＿_＿_(2)零向量:长度为0的向量叫零向量，记作：,注意零向量的方向是任意的;（３)单位向量：给定一个非零向量，与同向且长度为1的向量叫向量的单位向量.的单位向量是；(4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量,相等向量有传递性;(5)平行向量（也叫共线向量):假如向量的基线互相平行或重合则称这些向量共线或平行，记作：∥,规定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个平行向量的基线平行或重合,但两条直线平行不包含两条直线重合;③平行向量无传递性!(由于有);④三点共线共线;(6)相反向量:长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－。配合练习２、下列命题：(1)若，则。(2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（３)若，则是平行四边形。（4)若是平行四边形，则。（５)若，则。（6)若,则。其中对的的是_______2、向量的表达方法：（１)几何表达法：用带箭头的有向线段表达，如，注意起点在前，终点在后;（２)符号表达法：用一个小写的英文字母来表达，如，，等；（３)坐标表达法:＝叫做向量的坐标表达。假如向量的起点在原点,那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。提醒:向量的起点不在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标就不相同.练习1、（２023上海卷.文6）已知点A(-１,５）和向量，若,则点Ｂ的坐标为.(5,14）3.平面向量的基本定理：假如e１和e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对该平面内的任历来量ａ，有且只有一对实数、，使a=e1＋e２,e1、ｅ2称为一组基底．注：这为我们用向量解决问题提供了一种方向：把参与的向量用一组基底表达出来，使其关系容易沟通．配合练习3、若,则用表达__＿___配合练习4下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是Ａ.B.C.D．配合练习５、已知分别是的边上的中线,且，则可用向量表达为＿___＿配合练习６、已知中，点在边上，且，,则的值是＿＿＿4、实数与向量的积:实数与向量的积是一个向量,记作，它的长度和方向规定如下:当＞0时,的方向与的方向相同,当<０时，的方向与的方向相反，当=０时，,注意:≠0。5、平面向量的数量积:（1)两个向量的夹角：对于非零向量，，作，称为向量，的夹角,当=０时,，同向,当=时，，反向，当=时,,垂直。提醒:（１）向量的夹角规定这两个向量同起点.（２)角的问题（如三角形内角)可转化为向量的夹角来解.(2)平面向量的数量积:假如两个非零向量,,它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积（或内积或点积),记作:,即=。规定：零向量与任历来量的数量积是0,注意数量积是一个实数，不再是一个向量。配合练习7、△AＢC中,，，，则__＿_＿__;配合练习8、已知,与的夹角为，则=配合练习9、已知,则等于____配合练习1０、已知是两个非零向量,且，则的夹角为_＿__（３）在上的投影为,它是一个实数,但不一定大于0。配合练习１1、已知,，且，则向量在向量上的投影为＿＿_＿＿＿(4)的几何意义:数量积等于的模与在上的投影的积。(5)向量数量积的性质：设两个非零向量,，其夹角为，则：①;②当，同向时,=,特别地,;当与反向时,＝－;当为锐角时，>0,且不同向。．非零向量,夹角的计算公式：;④。配合练习12、已知，，假如与的夹角为锐角，则的取值范围是_____＿配合练习1３、已知的面积为，且，若，则夹角的取值范围是___练习1、2（２023全国卷二．理９）已知平面上直线l的方向向量点和在l上的射影分别是O′和A′,则，其中=(Ｄ）.A．ﻩB.ﻩＣ.2 D．－2３设平面上有四个互异的点Ａ、B、C、Ｄ,已知则△AＢC的形状是(Ｂ)A.直角三角形B.等腰三角形Ｃ.等腰直角三角形Ｄ.等边三角形６、向量的运算:（1）几何运算：①向量加法：运用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只合用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可运用“三角形法则”：设，那么向量叫做与的和，即;提醒:平行四边形法则规定参与加法的两个向量的起点相同，三角形法则规定参与加法的两个向量的首尾相接．可推广到(据此,可根据需要在一个向量的两个端点之间任意插点)②向量的减法:用“三角形法则”：设，由减向量的终点指向被减向量的终点。注意:此处减向量与被减向量的起点相同,指向被减向量(用向量的减法来引进新的起点或者消去不必要的起点)。向量加减运算的运算结果非0，在移项时要注意.容易得出:||-||≤|｜≤||+｜|．配合练习15、化简:①___；②＿___;③＿__＿＿配合练习1６、若正方形的边长为1,，则＝___＿_配合练习17、若O是所在平面内一点,且满足,则的形状为_＿__配合练习１8、若为的边的中点,所在平面内有一点,满足,设,则的值为___配合练习19、若点是的外心,且，则的内角为____练习1、(2０2３全国卷二.文9)已知向量、满足：||=1，||=2，||=2，则||=（).Ａ.1Ｂ．Ｃ．D．2、已知△AＢC的三个顶点A、B、Ｃ及平面内一点P满足,则点Ｐ与△ABＣ的关系为（）A.P在△ABC内部B.P在△ABＣ外部C.P在AB边所在直线上Ｄ.P是AC边的一个三等分点（2）坐标运算：设，则：①向量的加减法运算:,。配合练习20、已知点,，若，则当＝＿___时，点P在第一、三象限的角平分线上配合练习2１、已知，，则配合练习２2、已知作用在点的三个力,则合力的终点坐标是②实数与向量的积：。③若,则，即一个向量的坐标等于表达这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。配合练习23、设，且，，则C、D的坐标分别是__＿_＿＿_＿__④平面向量数量积：。配合练习２4、已知向量=(sｉnx，cosx),=(sinｘ,ｓiｎｘ),=（-1，0）。(1)若x＝,求向量、的夹角;（2)若x∈，函数的最大值为，求的值⑤向量的模:。距离的求法：转化为向量的数量积:︱︱=配合练习25、已知均为单位向量,它们的夹角为，那么＝_____⑥两点间的距离:若，则。配合练习26、在平面斜坐标系中，，平面上任一点P关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的:若,其中分别为与x轴、y轴同方向的单位向量，则P点斜坐标为。若点P的斜坐标为（２，-2),求Ｐ到O的距离|PＯ|;7、向量的运算律：（1)互换律：，,;(２）结合律：，；(3)分派律：,。配合练习27、下列命题中：①；②;③;④若,则或；⑤若则;⑥;⑦;⑧；⑨。其中对的的是____＿_提醒:（１)向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项,两边平方、两边同乘以一个实数,两边同时取模，两边同乘以一个向量,但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，牢记两向量不能相除(相约)；（2）向量的“乘法”不满足结合律，即，为什么？8、向量平行（共线)的充要条件:(1)向量与非零向量共线的充要条件是有且仅有一个实数,使得b=．实数λ是唯一存在的，当与同向时,λ＞０；当与异向时,λ<0。|λ|的大小由及的模拟定。因此，当,拟定期，λ的符号与大小就拟定了。这就是实数乘向量中λ的几何意义。(2)若=(）,b=（），则．(3）∥配合练习2８、若向量，当=_＿___时与共线且方向相同配合练习２9、已知，，,且,则x=__＿___配合练习30、设,则k＝__＿＿_时,A,B，C共线练习（2023上海卷.理6）已知点,若向量与同向,=,则点B的坐标为.证明平行问题通常是取得相应的线段来构造向量,然后证明向量平行9、向量垂直的充要条件：.特别地。配合练习31、已知,若,则配合练习32、以原点Ｏ和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形ＯAB，，则点B的坐标是_____＿__配合练习３３、已知向量，且,则的坐标是_＿_＿____(证明垂直问题通常是取得相应的线段来构造向量，然后证明向量垂直线段的定比分点：配合练习３４、若M(－3,-2),N(6，-１)，且,则点Ｐ的坐标为_＿__＿＿＿配合练习３5、已知，直线与线段交于,且,则等于_＿___１0．向量中一些常用的结论:(1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用;（2），特别地，当同向或有;当反向或有;当不共线（这些和实数比较类似）.（3）在中，①若，则其重心的坐标为。配合练习36、若⊿ABC的三边的中点分别为（2，1)、(-3，４）、（-1,-1），则⊿AＢＣ的重心的坐标为_______①为的重心，特别地为的重心；②为的垂心;③向量所在直线过的内心（是的角平分线所在直线);（3)向量中三终点共线存在实数使得且.配合练习37、平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点,,若点满足，其中且,则点的轨迹是_______巩固:1．已知｜|＝2，||=1,，则与夹角是() (Ａ)30º(Ｂ)４5º（Ｃ）60º（Ｄ)90º2.若向量,且的夹角为30°,则等于()A．