ch3期望效用理论

第三讲期望效用理论学习要点1.风险资产的选择标准2.VNM期望效用函数的产生及应用3.VNM期望效用函数的问题及推广风险资产选择标准风险资产选择标准奈特(Knight.F)《风险、不确定性和利润》中关于风险和不确定性的解释：不确定性是指发生结果尚未不知的所有情形，也即那些决策的结果明显地依赖于不能由决策者控制的事件，并且仅在做出决策后决策者才知道其决策结果的一类问题。即知道未来世界的可能状态(结果)，但对于每一种状态发生的概率不清楚。风险是指那些涉及已知概率或可能性形式出现的随机问题，但排除了未数量化的不确定性问题。即对于未来可能发生的所有事件，以及每一事件发生的概率有准确的认识。但对于哪一种事件会发生却事先一无所知。风险资产选择标准由于对有些事件的客观概率难以得到，人们在实际中常常根据主观概率或者设定一个概率分布来推测未来的结果发生的可能性，因此学术界常常把具有主观概率或设定概率分布的不同结果的事件和具有客观概率的不同结果的事件同时视为风险。风险与不确定性有区别，但在操作上引入主观概率或设定概率分布的概念后二者的界线就模糊了，几乎成为一个等同概念。风险资产选择标准当一个人面临不确定结果做决策时，可以概念化为一个随机变量。随机变量的均值、标准差等统计概念也会用于决策过程。随机变量是能用数字准确记录下随机事件的不同结果的变量，表示随机变量取不同值时的概率的函数f(x)称为随机变量的概率密度函数。随机变量的期望记为E(x)。若x是有n种结果的离散变量，则E(x)=∑ni=1xif(xi)

；若x是连续变量则E(x)=∫∞-∞xf(x)dx。，若x是有n种结果的离散变量，则var(x)=∑ni=1[xi-E(x)]2

f(xi)

；若x是连续变量，则var(x)=∫∞-∞[xi-E(x)]2f(x)dx。风险资产选择标准概率论知识回顾：若离散型随机变量X的概率分布为P(X

i)=πi，i=1,2,...,n，则随机变量X的期望值为E(X)=π1X1+π2X2+∙∙∙+πnXn随机变量X的方差为σ2(X)=π1[X1−E(X)]2+π2[X2−E(X)]2+∙∙∙+πn[Xn−E(X)]2变量X的标准差为σ(X)=[σ2(X)]1/2风险资产选择标准考虑三种资产，时期0的投资成本均为1000元，时期1的收益取决于状态的好坏，好状态和坏状态出现的概率均为1/2。时期0投资成本时期1投资收益πgoodstate=0.5πbadstate=0.5资产1-100012001050资产2-10001600500资产3-100016001050资产3无论在何种状态下收益都大于等于资产1和资产2，资产3状态占优于(state-by-statedominance)资产1和资产2。理性投资者会选择资产3而不会选择资产1和资产。风险资产选择标准如果不存在资产3，投资者在资产1和资产2间该如何选择？在好状态出现时资产2的收益高于资产1；在坏状态出现时资产2的损失高于资产1。根据投资收益/损失的绝对量大小，投资者无法在资产1和资产2间做出选择。风险资产选择标准计算资产收益率有助于投资决策，三种资产投资收益率比较时期1投资收益率πgoodstate=0.5πbadstate=0.5资产120%5%资产260%-50%资产360%5%风险资产选择标准资产1的期望收益率与标准差E(R1)=(1/2)20+(1/2)5=12.5σ(R1)=[(1/2)(20−12.5)2+(1/2)(5−12.5)2]1/2=7.5资产2的期望收益率与标准差E(R2)=(1/2)60+(1/2)(−50)=5σ(R2)=[(1/2)(60−5)2+(1/2)(−50−5)2]1/2=55资产3的期望收益率与标准差E(R3)=(1/2)60+(1/2)5=32.5σ(R3)=[(1/2)(60−32.5)2+(1/2)(5−32.5)2]1/2=27.5风险资产选择标准三种资产期望收益率与标准差比较时期1投资收益率E(R)σ(R)πgoodstate=0.5πbadstate=0.5资产120%5%12.57.5资产260%-50%555资产360%5%32.527.5与资产2相比，资产1的期望收益率更高而标准差更小，资产1均值-方差占优(mean-variancedominance)于资产2。另外，资产3均值-方差占优于资产2。在资产1与资产3间无法根据期望收益率和标准差做出选择，不过，资产3状态占优于资产1。风险资产选择标准考虑另外两种资产时期1投资收益率E(R)σ(R)πgoodstate=0.5πbadstate=0.5资产45%3%41资产58%2%53资产4和资产5之间不存在均值-方差占优。在这种情形下，WilliamSharpe建议采用夏普比率[Sharperatios=E(R)/σ(R)]比较两种资产的优劣。风险资产选择标准考虑另外两种资产时期1投资收益率E(R)σ(R)E/σπgoodstate=0.5πbadstate=0.5资产45%3%414资产58%2%531.67资产之间不存在均值-方差占优时，夏普比率可用于比较两种资产的优劣。资产4夏普比率高于资产5，资产4优于资产5风险资产选择标准CriteriaforChoiceOverRiskyProspects1.State-by-statedominanceisthemostrobustcriterion,butoftencannotbeapplied.2.Mean-variancedominanceismorewidely-applicable,butcansometimesbemisleadingandcannotalwaysbeapplied.3.TheSharperatiocanalwaysbeapplied,butrequiresaveryspecificassumptionaboutconsumerattitudestowardsrisk.Weneedamorecarefulandcomprehensiveapproachtocomparingrandomcashflows.不确定性下的理性决策原则投资者考虑买进两只当期价格均为100元的股票，如果两只股票的未来价格在各个状态下都相同，投资哪只股票对投资者而言是无差异的。时期0股票价格时期1股票价格pπgoodstate=ππbadstate=1-π股票1-100120100股票2-100120100不确定性下的理性决策原则投资者考虑买进两只当期价格均为100元的股票，如果股票2的未来价格在各个状态下都高于股票1(状态占优)，投资者通常选择的是股票2。时期0股票价格时期1股票价格pπgoodstate=ππbadstate=1-π股票1-100120100股票2-100250105不确定性下的理性决策原则投资者考虑买进两只当期价格均为100元的股票，如果股票2的未来价格在好状态时高于股票1而在坏状态时低于股票1，投资者应该选择哪只股票？时期0股票价格时期1股票价格pπgoodstate=ππbadstate=1-π股票1-100120100股票2-10013090如果好状态出现的概率大，投资者一般选择股票2；如果坏状态出现的概率大，投资者一般选择股票1不确定性下的理性决策原则

好状态出现概率π的大小影响着股票的期望价格E(p)=πpg+(1−π)pb期望值最大化标准是不确定性下投资决策的一个重要原则。期望值标准最先由法国数学家、物理学家、哲学家布莱士·帕斯卡提出。BlaisePascal(France,1623-1662)不确定性下的理性决策原则数学期望收益最大化准则是指使用不确定性下各种可能行为结果的预期值比较各种行动方案优劣。这一准则有其合理性，它可以对各种行为方案进行准确的优劣比较，同时这一准则还是收益最大准则在不确定情形下的推广。问题：是否数学期望最大化准则是一最优的不确定性下的行为决策准则？不确定性下的理性决策原则考虑一个投币游戏，如果第一次出现正面的结果，可以得到1元；第一次反面，第二次正面得2元；前两次反面，第三次正面得4元；……；如果前n-1次都是反面，第n次出现正面得2n-1元。问：游戏的参加应先付多少钱，才能使这场赌博是“公平”的？不确定性下的理性决策原则该游戏的数学期望值：E(.)=1×1/2+2×1/4+∙∙∙+2n-1×1/2n=∞但实验的结果表明一般理性的投资者参加该游戏愿意支付的成本(门票)仅为2-3元。圣彼德堡悖论(SaintPetersburyParadox)：面对无穷的数学期望收益的赌博，为何人们只愿意支付有限的价格？不确定性下的理性决策原则DanielBernoulli(1700-1782)是出生于瑞士名门的著名数学家，1725-1733年期间一直在圣彼德堡科学院研究投币游戏。其在1738年发表《对机遇性赌博的分析》提出解决“圣彼德堡悖论”的“风险度量新理论”。贝努利指出人们在投资决策时不是用“钱的数学期望”来作为决策准则，而是用“道德期望”来行动的。而道德期望并不与得利多少成正比，而与初始财富有关。穷人与富人对于财富增加的边际效用是不一样的。不确定性下的理性决策原则人们关心的是最终财富的效用而不是财富的价值量，而且财富增加所带来的边际效用(货币的边际效用)是递减的。伯努利选择的道德期望函数为对数函数，即对投币游戏的期望值的计算应为对其对数函数期望值的计算：其中α>0为一个确定值。不确定性下的理性决策原则Crammer(1728)采用幂函数的形式的效用函数对这一问题进行了分析。假定u(x)=x1/2，则不确定性下的理性决策原则因此，期望收益最大化准则在不确定情形下可能导致不可接受的结果。而贝努利提出的用期望效用标准取代期望收益的方案，可能为不确定情形下的投资选择问题提供最终的解决方案。根据期望效用标准，20%的收益不一定和2倍的10%的收益一样好；20%的损失也不一定与2倍的10%损失一样糟。VNM期望效用函数期望效用理论是不确定性选择理论中最为重要的价值判断标准。期望效用函数作为对不确定性条件下经济主体决策者偏好结构的刻画，具有广泛的用途。不确定性下的选择问题是其效用最大化的决定不仅对自己行动的选择，也取决于自然状态本身的选择或随机变化。因此不确定下的选择对象被人们称为彩票(Lottery)。VNM期望效用函数简单彩票(x,y,π)以π的概率提供收益x、以1−π的概率提供收益y。简单博彩的另外一个表示方法L(x,π；y,1-π)。probabilityπprobability1−πxyVNM期望效用函数[x，y

；1]∼x说明抽奖的概念同样适合于确定性财富。某一确定的拥有x，相当于抽奖的中签率为100%，其价值为x。因此，确定商品空间是未定商品空间的一个子集。[x，y；

π]∼[y，x

；1-π]则表明同样一张抽奖有两种表示形式。消费者不介意奖被描述的次序。VNM期望效用函数设想消费者参加一次抽奖(lottery)，所有可能产生的结果为C，假定C的结果是有限的，用i=1，∙∙∙，N来标示这些结果，每一结果发生的概率为(pi)i∊N。这样，可将该简单抽奖记为：L(C1,∙∙∙,CN;p1,∙∙∙,pN),Ci∊C，pi

≥0，∑pi=1VNM期望效用函数比简单彩票更为复杂的是复合彩票(compoundlottery)，其抽奖结果是众多的简单抽奖。复合抽奖(x,(y,z,τ),π)的结局是以π的概率提供支付x、以1-π的概率提供抽奖(y,z,τ).π1−πxyτ1-τzVNM期望效用函数[

[x，y；p2]，y；p1]∼[x，y；p1p2]是复合抽奖原理的体现，它说明经济主体只关心抽奖结果最终的概率分布，而不在乎抽奖(彩票)的构成形式。p11-p1p21-p2yyx

p1p21-p1p2x

yVNM期望效用函数一个结果多于两种的简单彩票[x

,y,z

;π,(1−π)τ，(1−π)(1-τ)]可以用一个只有两种结果的复合彩票[x

,

[y，z；τ]

；π]表示。π1−πxyτ1-τzπxyz(1−π)τ(1−π)(1-τ)VNM期望效用函数复合博彩可以表示为：L=pL1+(1-p)L2，其中：L1:(a1,p1;a2,p2;a3,p3)，L2:(a1,q1;a2,q2;a3,q3)由全概率公式，可以得到L=(a1,pp1+(1-p)q1;a2,pp2+(1-p)q2;a3,pp3+(1-p)q3)

任何一个复合博彩都可以转换为一个简单博彩。VNM期望效用函数在不确定性经济中，偏好关系建立在不同的概率分布之间。不确定条件下的偏好关系应满足以下三条行为公理：行为公理1：

理性选择满足的选择完备性、反身性和传递性公理。行为公理2：独立性公理行为公理3：阿基米德公理VNM期望效用函数(1)完备性(completeness):∀x、y∊

C，x

≿

y、y≿

x

和x

∼

y

中有一种关系成立。完备性假定保证了消者具备选别判断的能力。(2)自返性(reflexivity):∀x

∊

C则有x

≿

x。自返性保证了消费者对同一商品的选好具有明显的一贯性。(3)传递性(transitivity):∀x、y、z∊

C，x

≿

y、y≿z则有x

≿

z。如果x

≻

y、y≻z则有x

≻

z。传递性保证了消费者在不同商品之间选好的首尾一贯性。VNM期望效用函数(4)独立性(Independence):对于所有的x，y，z∊

C，λ∊

(0，1)，x≿y意味着λx+(1-λ)z≿

λy+(1-λ)z。独立性公理的含义是，在两个随机事件之外，同时引入一个额外的不确定的随机事件或消费计划不会改变经济行为主体原有的偏好。独立性公理是不确定性条件下选择理论的一个核心公理。它导致不确定条件下选择理论同确定条件下偏好选择理论的差别。VNM期望效用函数(4)如果偏好关系满足对任意博彩L1，L2，L3,以及任意的p，0<p<1,如果L1≿L2，那么必定有pL1+(1-p)L3≿pL2+(1-p)L3，则称偏好关系满足独立性公理。利用博彩L1，L2，L3构造新博彩y1=pL1+(1-p)L3，y2=pL2+(1-p)L3。如果L1≿L2，那么y1≿y2在推导不确定条件下的决策理论中，独立性公理起到很大作用。然而，理性决策者的偏好关系是否满足独立性公理，却一直是一个有争议的问题，如阿莱悖论不满足独立性公理。VNM期望效用函数(5)阿基米德公理(theArchimedeanaxiom):对于所有的x，y，z∊

C，如果x≻y≻z，那么就会存在λ，μ

∊

(0，1)，使得λx+

(1-λ)z≻y≻μx+(1-μ)z。含义：即使x非常好而z非常坏，总可以寻找他们的适当组合，比任何一个中间状态的y好或者坏。经济中不存在无限好或无限差的消费计划。VNM期望效用函数定理：在集合C中，如果存在一种理性偏好关系满足独立性公理和阿基米德公理，那么就存在一个期望效用函数U(c)表示该偏好。其中期望效用函数U(c)对一件抽奖商品的期望效用表示为对抽奖结果的效用函数的数学期望。如果一个随机变量c取ci时对应的概率为pi，参与者确定得到的效用为u(ci)，那么该随机变量给参与者带来的效用表示为U(c)=E(u(ci))=∑pi∙u(ci)VNM期望效用函数考虑包括现在和未来两期的消费决策。令u0(c0)表示参与者现在这个时期消费的效用函数，由于不存在不确定性，u0(c0)是一个确定性的效用函数。未来的决策是带概率的不确定性决策，未来消费带来的期望效用函数为E(u1(ci))=∑pi∙u1(ci)。假设一个时期得到的效用不依赖于另一个时期的消费，消费者的决策问题为maxU(c)=u0(c0)+E(u1(ci))=u0(c0)+∑pi∙u1(ci)VNM期望效用函数参与者期望效用函数为U(c)=u0(c0)+∑pi∙u1(ci)，考虑两个消费计划消费计划A：现在消费1单位，未来两种状态下都消费1单位；消费计划B：现在消费1单位，未来两种状态是一种状态消费3单位另一种状态消费0单位。1111/21/21301/21/2消费计划A消费计划BVNM期望效用函数将vN-M效用函数U(z)=U(x,y,π)=πu(x)+(1−π)u(y)进行仿射变换得到V(z)=αU(z)+β

v(x)=αu(x)+β和

v(y)=αu(y)+βV(x,y,π)=αU(x,y,π)+β

=α[πu(x)+(1−π)u(y)]+πβ+(1−π)β

=π[αu(x)+β]+(1−π)[αu(y)+β]

=πv(x)+(1−π)v(y).

这表明表示同一偏好关系的vNM效用函数不是唯一的。VNM期望效用函数假设一个时期得到的效用不依赖于另一个时期的消费，消费者的决策问题为maxU(c)=u0(c0)+E(u1(ci))=u0(c0)+∑pi∙u1(ci)假设一个时期得到的效用依赖于另一个时期的消费，现在消费某种商品过多导致未来消费该商品的欲望下降，消费者的决策问题可表示为maxU(c)=u0(c0)+

ρE(u1(ci))=u0(c0)+

ρ∑pi∙u1(ci)其中ρ为时间偏好系数VNM期望效用函数下面哪一个效用函数具有期望效用函数的性质?A.u(c1,c2,π)=a[π∙c1+(1-π)∙c2]+b(a>0)B.u(c1,c2,π)=π∙c1+(1-π)∙c22C.u(c1,c2,π)=π∙ln(c1)+(1-π)∙ln(c2)+25参考答案：如果效用函数u(c1,c2,π)满足u(c1,c2,π)=a[π∙v(c1)+(1-π)∙v(c2)]+b，就可以认为u(c1,c2,π)具有期望效用函数的性质。因此A是标准效用函数的仿射变换、B不具有期望效用函数性质、C是标准的期望效用函数。VNM期望效用函数的应用应用一：最优保险购买水平假设拥有初始财富是m的经济个体是风险厌恶者，即u′(m)>0，u′′(m)<0。经济个体面临着两种自然状态，在状态1(不发生灾害)下的财富为y1=m，在状态2(发生灾害)下的财富为y2=m-L，并且发生灾害的概率为p。保险公司可以为灾害提供保险，保费率为π。如果投保人预先交付保费πq，那么灾害发生时可以获得保险赔款q。因此，如果个体购买保险，其期望收益为E(y)=(1-p)y1+py2=(1-p)(m-πq)

+p(m-L-πq+q)VNM期望效用函数的应用投保人的期望效用函数为E[u(y)]=(1-p)u(y1)+pu(y2)=(1-p)

∙u(m-πq)

+p∙u(m-L-πq+q)投保人的预算约束

不购买保险(m，m-L)

购买保险(m-πq，m-L-πq+q)预算约束线为y2=-(1-π)/π∙(y1-m)+m-Ly2y1mm-Lm-L-πq+qm-πqVNM期望效用函数的应用投保人的最优决策为maxE[u(y)]=(1-p)u(y1)+pu(y2)s.t.(1-π)∙(y1-m)+π∙y2=(1-π)∙m+π∙

(m-L)其中y1=m-πq，y2=m-L-πq+qy2y1mm-Lm-L-πq+qm-πqVNM期望效用函数的应用最优投保水平q*满足一阶条件即由预算线和一阶条件，可以得到最优投保水平q*。VNM期望效用函数的应用思考1：如果经济个体是风险偏好型的(u′′(m)>0)，且保费是公平的，那么他的最优投保决策是什么？思考2：如果是风险中性的(u′′(m)=0)，且保费是公平的，又会出现什么情况？提示：公平保费指使保险公司期望收入为零的保费。VNM期望效用函数的应用风险偏好投保人的最优决策为maxE[u(y)]=(1-p)u(y1)+pu(y2)s.t.(1-π)∙(y1-m)+π∙y2=(1-π)∙m+π∙

(m-L)其中y1=m-πq，y2=m-L-πq+qy2y1mm-Lm-L-πq+qm-πqVNM期望效用函数的应用max(1-p)u(m-πq)+pu(m-L-πq+q)一阶导数-(1-p)πu′(m-πq)+p(1-π)u′(m-L-πq+q)二阶导数-(1-p)π2u′′(m-πq)+p(1-π)2u′′(m-L-πq+q)>0二阶导数恒大于零就意味者一阶导数是单增的。对于公平保费，恒成立π=p

，把此式代入一阶导数的表达式，得到：(1-p)p[-u′(m-πq)+u′(m-L-πq+q)]特别的，取q=0时，上式小于零，这就意味着消费者增加投保只会降低其效用，所以消费者的最优选择是不投保，即q*=0，VNM期望效用函数的应用对于风险中性者，其效用函数为u(m)=m，所以他购买保险的期望效用为：E[u(y)]=(1-p)u(y1)+pu(y2)=(1-p)∙(m-πq)+p∙(m-L-πq+q)对于公平保费，π=p恒成立，把此式代入上式中，得：E[u(y)]=m-pL从而投保人的效用为常数，这就说明，无论投保人是否购买保险，以及购买多少，对他而言，是没有区别的。VNM期望效用函数的应用应用二：最优风险投资规模假设某风险规避的投资者拥有w万元的财富，

即其效用函数满足u′(w)>0，u′′(w)<0。他打算在一种风险资产上投资x万元。这种资产在“好”的结果下的回报率是rgood，在“坏”的结果下的回报率是rbad，其中rgood>0，rbad<0。因此，投资者的财富在好和坏的结果中分别是：wgood=(w-x)+x(1+rgood)=w+xrgood

wbad=(w-x)+x(1+rbad)=w+xrbad假设好的结果发生的概率是π，坏的结果发生的概率是(1-

π)。那么投资者的最优投资决策是什么？VNM期望效用函数的应用投资x万元风险资产的期望效用为U(x)=πu(w+xrg)+(1-π)u(w+xrb)投资者要选择使这个表达式最大化的x

，对x求导得：U′(x)=πu′(w+xrg)rg+(1-π)u′(w+xrb)rb对于x的二阶导数是：

U′′(x)=πu′′(w+xrg)r2g+(1-π)u′′(w+xrb)r2b如果投资者是风险规避者，那他的效用函数就是凹的，这意味着U′′(x)<

0。因此预期效用的二阶导数一定为负，从而预期效用也是x的凹函数。特别的，取

x=0时，有：U′(x)=πu′(w)rg+(1-π)u′(w)rb=u′(w)

[πrg+(1-π)rb]VNM期望效用函数的应用x=0时，U′(x)=

u′(w)

[πrg+(1-π)rb]当πrg+(1-π)rb>0时，U′(0)>0。当投资者在风险资产进行一些投资时，会提高他的效用，所以他的最优投资决策必然包含风险投资，在这种情况下，令U′(x)=πu′(w+xrg)rg+(1-π)u′(w+xrb)rb=0即可解得最优风险投资数量x*。当πrg+(1-π)rb<0时，U′(0)<0。当投资者在风险资产进行一些投资时，会降低他的效用，所以他的最优投资决策必然不包含风险投资。VNM期望效用函数的应用思考：如果对投资者的风险投资按照税率t征税，那么该投资者的最优投资决策又是什么？VNM期望效用函数的应用如果对投资者的风险投资按照税率t征税，那么他的税后报酬就是(1-t)rg和(1-t)rb

，因此，决定他最佳风险投资x的一阶条件将是：U′(x)=π∙

u′(w+x(1-t)rg)∙(1-t)rg+(1-π)∙u′(w+x(1-t)rb)∙

(1-t)rb=0化简得π∙u′(w+x(1-t)rg)rg+(1-π)∙u′(w+x(1-t)rb)rb=0用

x*表示没有税收，即当t=0时的最大化问题的解，用x表示有税收时的最大化问题的解，令x=x*/(1-t)

π∙u′(w+[x*/(1-t)]

(1-t)rg)∙rg+(1-π)∙u′(w+[x*/(1-t)]

(1-t)rb)∙rb=π∙u′(w+x*rg)∙rg+(1-π)∙u′(w+x*rb)∙rb=0x*是不征税时的最优解。征税后，投资者在风险资产上的投资会增加为征税前的1/(1-t)

倍。VNM期望效用函数的应用进一步思考：如果对投资者的风险投资在取得收益率rgood时按照税率t征税，在取得收益率rbad时按照补贴率率s财政补贴，那么该投资者的最优投资决策又是什么？VNM期望效用函数的应用为加快上海具有全球影响力的科技创新中心建设，促进“大众创业、万众创新”，引导社会资本加大对种子期、初创期科技型企业投入力度，上海市科学技术委员会会同财政局、发改委2015年12月制定了《上海市天使投资风险补偿管理暂行办法》。风险补偿，是指对投资机构投资种子期、初创期科技型企业，最终回收的转让收入与退出前累计投入该企业的投资额之间的差额部分，给予以一定比例的财务补偿。上海市风险补偿的标准为对投资机构投资种子期科技型企业项目所发生的投资损失，可按不超过实际投资损失的60%给予补偿。对投资机构投资初创期科技型企业项目所发生的投资损失，可按不超过实际投资损失的30%给予补偿。每个投资项目的投资损失补偿金额不超过300万，单个投资机构每年度获得的投资损失补偿金额不超过600万元。VNM期望效用函数的应用补偿金套取漏洞方案?先成立风投公司A，再找人成立个两创业公司B、C，A给B投资1000万，除正常开支100万之外，B用剩下的900万买下C，实际钱回到自己手里，三个月后B经营不善倒闭，再找政府补贴60%，600万到手，净利润50%。元芳，此事你怎么看?VNM期望效用函数的应用如果对投资者的风险投资在取得收益率rg时按照税率t征税，在取得收益率rb时按照补贴率率s取得财政补贴，那他的税后报酬就是(1-t)rg和(1-s)rb

，因此，决定他最佳风险投资x的一阶条件将是：U′(x)=π∙u′(w+x(1-t)rg)∙(1-t)rg+(1-π)∙u′(w+x(1-s)rb)∙

(1-s)rb=0VNM期望效用函数的应用对于消费计划的两期模型来说，效用函数u(c)=u(c0,c1)可简化为u(c)=u(c0,c1)=u(c0)+βu(c1),其中β是时间偏好参数。如果消费计划是不确定，即带有风险，记为c和c′。则偏好函数取效用函数的数学期望值，即预期效用函数E[u(c)]和E[u(c′)]，进行比较，即有c≿c′⇔E[u(c)]≥

E[u(c′)]这里，E(·)是取概率平均值的简写。~~~~~~~~~VNM期望效用函数的应用对于不确定的消费计划，有c=(c0,c1)，因为c0发生在0时期是确定的，风险只发生在1时期。因此，对于消费计划的两期模型来说，预期效用函数为：E[u(c)]=u(c0)+βu(c1),在t=1时期，可能会出现不同的状态，所以对于一个消费计划来说，届时能够消费的量对应于不同的状态是不一样的。所以，一个消费计划是指在不同状态下指定的消费商品的单位数。~~~~VNM期望效用函数的应用记c1(ω)为t=1时期状态ω下的消费单位数。假设只有5种可能的状态，标记为ω1,

ω2,ω3,

ω4,

ω

5，下表列出了消费计划：到t=1时期，在状态ω1下消费2个单位，在状态ω2下消费3个单位，等。所以，消费计划是一个向量，列示出在不同状态下的消费的单位数。因为t=1时期所实现的消费是不确定的，所以，t=1时期的消费c1是一个随机变量。但对应于各个不同的状态，消费的单位数是预先计划好的，所以称之为“消费计划”。ω1ω2ω3ω4ω5c1（ω

）23180VNM期望效用函数的应用假如到t=1时期可能出现两种情况：经济繁荣或者经济衰退，两种情况出现的概率都是50%。对于李四来说，未来的不确定的资源是这样的：如果经济繁荣，则w1up=100元，如果经济衰退，w1down=25元。我们分别用c1up和c1down来标记在经济繁荣和经济衰退时该消费者的消费量。如果李四没有任何金融手段来优化他的消费计划，就只能是c1up=w1up=100元和c1down=w1down=25元。但这样的消费计划不见得是效用最大的最优计划。如果市场有金融工具，李四就可以利用来优化自己的消费。VNM期望效用函数的应用假如现在金融市场提供两种基本证券：繁荣证券和衰退证券。进一步假设，到t=1时期，如果经济繁荣，则繁荣证券的价值为1元而衰退证券的价值为0；如果经济衰退，则繁荣证券的价值为0而衰退证券的价值为1元。现在，即t=0时期，每份繁荣证券的价格为φup，而每份衰退证券的价格为φdown。到t=1时期，该个体可以获得的资源禀赋相当于现在t=0时期拥有一个投资组合，这个投资组合由100份繁荣证券和25份衰退证券组成。因为到t=1时期，如果经济繁荣，这个投资组合价值为100；如果衰退，组合的价值为25元。正好提供给李四t=1时期的资源禀赋。这个投资组合现在的市场价值为100φup+25φdownVNM期望效用函数的应用如果李四想在t=1时期自由地配置在不同状态下的消费来优化自己的效用，可以把所持有的这个投资组合在市场上卖掉，利用得到的货币资金重新构筑一个新的投资组合，这个新的投资组合由c1up份繁荣证券和c1down份衰退证券组成。这样，到t=1时期，如果经济繁荣，这个投资组合的价值为c1up

，如果经济衰退，这个投资组合的价值为c1down

，正好可以分别提供c1up和c1down的消费量。但是请注意，现在这个新的投资组合的市场价值应该和原来那个投资组合的市场价值相等，即有：c1upφup+c1downφdown=100φup+25φdowVNM期望效用函数的应用针对这个问题，消费计划的优化模型应是：max½[u(c1up)

+u(c1down

)]s.t.c1upφup+c1downφdown=100φup+25φdown可以推出优化关系u’(

c1up)

=u’(c1down)

φup/φdown如果φup

=φdown，可以推出c1up

=c1down=62.5。如果φup

>φdown

，可以推出c1up<c1down

。意思是，要在经济繁荣是获得与经济衰退时同样的消费量，现在投资于繁荣证券的数额要比较大，这意味着经济繁荣时消费比较昂贵。如果φup

<φdown

，可以推出c1up>c1down

。这意味着经济繁荣时消费比较便宜。阿莱(Allais)悖论独立性公理在实际心理学测试中经常失效，最有名的例子就是阿莱(Allais)悖论。假设有以下两组事件，需要做出判断：A1：肯定得到100万元A2：以10%的概率得到500万元，89%的概率得到100万元，1%的概率得不到A3：以10%的概率得到500万元，90%的概率得不到A4：以11%的概率得到100万元，以89%的概率得不到。阿莱(Allais)悖论对上面的例子，大多数人在A1和A2中会选择A1，在A3和A4中会选择A3。但这样就违反了独立性公理。A1~0.11×100+0.89×100A2~0.11×(1/11×0+10/11×500)+0.89×100A1≻A2意味着0.11×100+0.89×100≻0.11×(1/11×0+10/11×500)+0.89×100阿莱(Allais)悖论如认为A1≻A2，则必然有1≻(1/11×0+10/11×500)那么根据独立性公理：0.11×100+0.89×0≻0.11×(1/11×0+10/11×500)+0.89×0而这等价于A4≻A3，这与实际情况相矛盾了。任意博彩L1，L2，L,以及任意的P，0<P<1,如果L1≿L2，那么必定有PL1+(1-P)L≿PL2+(1-P)L，则称偏好关系满足独立性公理。阿莱(Allais)悖论法国经济学家莫里斯·菲力·夏尔·阿莱(1911.5－2010.10)主要研究领域为巿场理论与资源的效率分配，是1988年诺贝尔经济学奖的得主。阿莱“因为市场理论和最大效率理论方面”对经济学所作出的贡献，获得1988年诺贝尔经济学奖。他提出了许多市场经济模型，重新系统地阐述了一般均衡理论和最大效益理论。阿莱(Allais)悖论阿莱认为，从瓦尔拉的一般均衡模型到德布鲁的一般均衡模型均假定一个所有物品都集中在一起进行交换的市场，而且市场价格对所有市场参加者都是共同的、给定的，然后通过唯一的一轮交易作一次性移动，经济从不均衡状态过渡到均衡状态。这些假定都是不现实的，他称之为“单市场经济模型”。针对这些缺陷，他提出“多市场经济模型”，它假定导向均衡的交换以不同的价格连续发生，并且在任何给定时点上，不同经营者作用的价格不必是同一的，在“可分配剩余”的驱动下，每一次交易都趋近均衡。阿莱的“多市场经济模型”较之于“单市场经济模型”更接近现实，更一般化，即涵蕴了存在竞争和不存在竞争的所有可能的市场形态，而且能如同描述西方国家经济那样，描述东方国家经济和发展中国家的经济，而且其描述是动态的。由于阿莱把私人分散的、自由寻求和实现剩余看作是实现最大效率状态的基本的途径，因此在政策主张上极力反对凯恩斯主义的政府干预。阿莱(Allais)悖论概率匹配悖论把20个红球和10个黑球一起放入一个袋子，随机地从袋子中取出一个球再放回去，猜测所取出的球是红色的，还是黑色的，猜中的话可以得到10元奖励。在重复猜奖中，实验发现绝大多数个体趋向于2/3的时间选择猜红球，1/3的时间猜黑球。很显然这不是最优的，最优选择应该是总是猜红球。阿莱(Allais)悖论偏好反转悖论考虑两个选择问题：（1）设想你可以得到2万人民币的财富和一个选择权，你可以选择:(a)额外再得到5千人民币，(b)25%的概率额外再得到2万人民币，75%的概率没有额外收入。（2）设想你可以得到4万人民币的财富和一个选择权，你可以选择:(a)放弃1万5千人民币，(b)75%的概率放弃2万人民币，25%的概率没有额外损失。在试验中发现，大多数个体在面对问题（1）时会选择(a)；在面对问题（2）时会选择(b)。但事实上这两个选择问题所产生的回报是相同的，是100%的概率得到2万5千人民币，还是25%的概率得到4万人民币，75%的概率得到2万人民币。阿莱(Allais)悖论Ellsberg悖论在密闭的缸I中有50个红球R和50个黑球B，在缸II中有100个不知道比例的红球与黑球。考虑两个摸球游戏：(1)个体从缸中摸到两个红球时可以赢得100元，个体可以选择从缸I中摸RI或从缸II中摸RII；(2)个体从缸中摸到两个黑球时可以赢得100元，个体可以选择从缸I中摸BI或从缸II中摸BII。实验发现，绝大多数个体会选择RI和BI，但这与偏好的理性选择行为是不一致的。从逻辑上讲，个体在RI和RII中更偏爱RI，等价于在BI和BII中更偏爱BII，因此如果绝大多数个体选择RI的话，应该只有很少的个体会选择BI才对，这说明真实经济中个体决策中存在非理性的成分。预期效用理论的修正由阿莱悖论等各种试验引发的新的期望效用理论，如前景理论、遗憾理论、加权的期望效用理论、非线性的期望效用理论等等行为金融学和非线性经济学对期望效用的新的解释。对预期效用理论模型进行修正或改进。这方面的工作大致分为两个方面：一是对原有理论的修正，二是对原有理论的替代。修正模型—扩展性效用模型(generalizedutilitymodel)、预期比率模型(expectationquotientmodel)、非传递性效用模型(non-transitivityutilitymodel)、非可加性效用模型(non-additivityutilitymodel)。替代模型—前景理论。前景理论的形成，是人们在不断改良人们的收益和风险偏好关系的基础上，不断演变而成。它经过了弗里德曼和萨维奇、马柯维茨等学者对效用函数的扩展，最终由卡纳曼和特维斯基在总结马柯维茨和阿莱的工作基础上，构造了前景理论。预期效用理论的修正期望效用函数假定投资者仅关注实际收益以及达到这些收益的累积概率，而对不确定性何时明确化漠不关心。AgeneralizationofexpectedutilitythatmakesthisdistinctionisproposedbyDavidKrepsandEvanPorteus,“TemporalResolutionofUncertaintyandDynamicChoiceTheory,”EconometricaVol.46(January1978):pp.185-200.预期效用理论的修正Tomodelpreferencesforthetemporalresolutionofuncertainty,considertwoassets.Bothassetspayoff$100nextyearforsure.Andbothassetspayoff$225withprobability½and$25withprobability½twoyearsfromnow.Butforasset1,thepayofftwoyearsfromnowisrevealedoneyearfromnow,whereasforasset2,thepayofftwoyearsfromnowdoesnotgetrevealeduntilthebeginningofthesecondyear.预期效用理论的修正Asset1Asset2½½10010025225t=1t=0t=2Asset1

hasearlyresolutionofuncertainty.½½10022525t=0t=1t=2Asset2haslateresolutionofuncertainty.预期效用理论的修正KrepsandPorteusallowtheinvestor’sutilityfunctiontotaketheform

E0[u(p1)]+E0{[E1(u(p2))]γ},

wherep1andp2arethepayoffsoneandtwoyearsfromnow,

E0andE1areexpectedvaluesbasedoninformationpossessedtodayandoneyearfromnow,andtheparameterγissuchthat:

ifγ=1theinvestorhasexpectedutility

ifγ>1theinvestorprefersearlyresolution(asset1)

ifγ<1theinvestorpreferslateresolution(asset2)预期效用理论的修正Letu(p)=p1/2andcallthestatethatleadstothe225payofftwoyearsfromnowthe“goodstate”andthestatethatleadstothe25payofftwoyearsfromnowthe“badstate.”½½10010025225t=1t=0t=2E1(u(p2))dependsonthestate:

EG1(u(p2))=(225)1/2=15andEB1(u(p2))=(25)1/2=5

E0{[E1(u(p2))]γ}=(½)15γ+(½)5γE0(u(p1))=(½)1001/2

+(½)1001/2预期效用理论的修正Letu(p)=p1/2andcallthestatethatleadstothe225payofftwoyearsfromnowthe“goodstate”andthestatethatleadstothe25payofftwoyearsfromnowthe“badstate.”

½½22525100t=0t=1t=2E1(u(p2))=(1/2)(225)1/2+(1/2)(25)1/2=10

E0{[E1(u(p2))]γ}=10γ

E0(u(p1))=100预期效用理论的修正forasset1,utilitytodayisU1=10+½15γ

+½5γ,

forasset2,utilitytodayisU2=10+10γ.

γU1U2110.0010.00expectedutility1.544.6441.62prefersearlyresolution0.511.7311.78preferslateresolution预期效用理论的修正预期效用理论的修正前景理论认为投资者偏好不是定义在实际收益而是定义在相对某种基准的损益上，使得损失被赋予了更大的效用权重.

DanielKahneman(NobelPrize2002)andAmosTversky,“ProspectTheory