等差数列求和与性质

2.3等差数列的

前n项和（一）复习引入1.等差数列定义：

即an－an－1

＝d(n≥2).2.等差数列通项公式：

(1)

an＝a1＋(n－1)d(n≥1).(2)

an＝am＋(n－m)d.(3)

an＝pn＋q(p、q是常数)复习引入3.几种计算公差d的方法:复习引入4.等差中项成等差数列.

m＋n＝p＋qam＋an＝ap＋aq.(m，n，p，q∈N)5.等差数列的性质6．等差数列的性质：对于等差数列，为递增数列，为常数数列；为递减数列，等差数列中无先增后减或先减后增数列,要么单调要么常数数列。7.等差数列中,间隔等距离取出的项组成的‘新数列仍为等差数列，即：组成公差为md的等差数列.8.判断等差数列的方法:1）、(定义法)利用an-an-1是否是一个与n无关的常数2）、(中项公式法)判断an与an+1+an-1的关系3、(通项公式法)判断an=pn+q(p、q为常数)等差数列的求和公式高斯（Gauss,1777—1855），德国著名数学家，他研究的内容涉及数学的各个领域，被称为历史上最伟大的三位数学家之一，他与阿基米德、牛顿齐名，是数学史上一颗光芒四射的巨星，被誉为“数学王子”.

有一次，老师与高斯去买铅笔，在商店发现了一个堆放铅笔的V形架，V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放100支.老师问：高斯，你知道这个V形架上共放着多少支铅笔吗？创设情景问题就是：计算1＋

2＋

3＋…＋

99＋100高斯的算法计算：1＋

2＋

3＋…＋

99＋100

高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组：第一个数与最后一个数一组；第二个数与倒数第二个数一组；第三个数与倒数第三个数一组，……

每组数的和均相等，都等于101，50个101就等于5050了。高斯算法将加法问题转化为乘法运算，迅速准确得到了结果.首尾配对相加法中间的一组数是什么呢？计算：1＋

2＋

3＋…＋

99＋100+101合作探究：若V形架的的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层有很多支铅笔，老师说有n支。问：这个V形架上共放着多少支铅笔？创设情景问题就是：1＋

2＋

3＋…＋

(n-1)＋n若用首尾配对相加法，需要分类讨论.三角形平行四边形n＋

(n-1)＋

(n-2)＋…＋

2＋1倒序相加法

那么，对一般的等差数列，如何求它的前n项和呢？前n项和分析：这其实是求一个具体的等差数列前n项和.①②问题分析已知等差数列｛an

｝的首项为a1，项数是n，第n项为an，求前n项和Sn.如何才能将等式的右边化简？①②求和公式等差数列的前n项和的公式：思考：（1）公式的文字语言；（2）公式的特点；不含d可知三求一等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半。

想一想

在等差数列{an}中，如果已知五个元素a1,an,n,d,Sn中的任意三个,请问:能否求出其余两个量?结论：知三求二公式应用

根据下列各题中的条件，求相应的等差数列｛an｝的Sn

：（1）a1=5，an=95，n=10

（2）a1=100，d=－2，n=50练一练5002550例1、计算（1）5+6+7+…+79+80（2）1+3+5+…+（2n-1）（3）1-2+3-4+5-6+…+（2n-1）-2n-n例题讲解n23230提示：n=76法二：

例2在等差数列{an}中，已知，求S7.例题讲解例题讲解

例3、2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的通知》，某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网。据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元。为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元。那么，从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？分析：①找关键句；②求什么，如何求；解：由题意，该市在“校校通”工程中每年投入的资金构成等差数列{an}，且a1=500,d=50,n=10.故，该市在未来10年内的总投入为：答变式练习

一个屋顶的某一斜面成等腰梯形，最上面一层铺瓦片21块，往下每一层多铺1块，斜面上铺了19层，共铺瓦片多少块？解：由题意，该屋顶斜面每层所铺的瓦片数构成等差数列{an}，且a1=21，d=1，n=19.于是，屋顶斜面共铺瓦片：答：屋顶斜面共铺瓦片570块.课堂练习答案:27练习1、练习2、等差数列－10，－6，－2，2，…的前______项的和为54？答案:n=9，或n=-3（舍去）仍是知三求一练习3已知一个共有n项的等差数列前4项之和为26,末四项之和为110,且所有项的和为187，求n.课堂练习知识打包存放备用an=a1+(n-1)d对于Sn、an、a1、n、d五个量，“知三求二”.方程(组)思想(待