2023年历年全国自考线性代数试题及答案

全国2023年7月高等教育自学考试试卷说明:在本卷中,AＴ表达矩阵A的转置矩阵；A*表达A的随着矩阵；R(Ａ）表达矩阵A的秩;|A|表达Ａ的行列式；Ｅ表达单位矩阵。１．设３阶方阵A=[α１,α２，α３],其中αｉ（i=1,2,３)为A的列向量,若|B|=｜[α1+2α2，α2，α3]|=6,则|Ａ|=(）A．-12ﻩB.-6C.6 Ｄ.122.计算行列式(）A．-１80 B.－１20Ｃ.１20 D.18０3.设A=,则|2Ａ*|＝（）A.-８ﻩB.－4Ｃ．４ﻩD.８4．设α１，α2，α3，α４都是3维向量，则必有A．α1,α２,α３，α4线性无关 B．α1,α２，α３，α４线性相关Ｃ．α１可由α2,α３，α4线性表达 D.α１不可由α2，α3，α4线性表达5．若A为6阶方阵，齐次线性方程组Ax=0的基础解系中解向量的个数为2,则R（A)=(）Ａ．2 Ｂ３C．4 Ｄ.56．设A、B为同阶矩阵,且Ｒ（A)=R(B),则（)A．Ａ与B相似ﻩB.|A|=|B｜C．A与B等价ﻩD.A与B协议７．设Ａ为３阶方阵，其特性值分别为2,l，０则|A+2E｜＝()A.０ B．2C.3ﻩD.248.若Ａ、Ｂ相似,则下列说法错误的是（）A．A与Ｂ等价ﻩＢ.Ａ与ﻩB协议C．|Ａ|＝|Ｂ｜ﻩD．A与B有相同特性9．若向量α=（1,-２,１)与β=(2，3，t)正交，则t=(）Ａ．-2ﻩB.0C.２ﻩD.4１0.设３阶实对称矩阵A的特性值分别为2，l,0,则（)A.A正定 B．A半正定C.A负定 D.A半负定二、填空题（本大题共1０小题,每小题2分,共２0分)请在每小题的空格中填上对的答案。错填、不填均无分。1l.设A=,B=,则AB=________.1２．设Ａ为3阶方阵,且|A|＝3，则｜３A-l|=____＿___.１3.三元方程x1+x２+x3=0的结构解是_＿___＿＿_.14.设α＝(－1，2,2）,则与α反方向的单位向量是______．1５．设A为5阶方阵,且R(Ａ)=3,则线性空间W={x|Ax=0}的维数是______．１6.设A为3阶方阵，特性值分别为-2，，ｌ,则|5A-1｜=____＿_＿.17．若A、B为同阶方阵，且Bx=0只有零解,若Ｒ(A)=３,则Ｒ(ＡＢ）=___＿____．1８．二次型f（x1,x2，x3)＝-２x1ｘ2＋-x2x3所相应的矩阵是__＿_____.1９.设3元非齐次线性方程组Ａx=b有解α１=，α2=,且R(Ａ)=2,则Ａx=ｂ的通解是＿___＿_＿_.20.设α=，则A＝ααＴ的非零特性值是＿____．三、计算题（本大题共6小题,每小题9分，共５4分)２1.计算5阶行列式D=2２.设矩阵X满足方程X=求X.23.求非齐次线性方程组的结构解.2４．求向量组α1=(１,2，3,4)，α2=(０，-1，2，3)，α3＝（２,3,8，11)，α4＝(2，３，6，8）的秩.25.已知A＝的一个特性向量=(1，1,-１)T,求a，b及所相应的特性值,并写出相应于这个特性值的所有特性向量．26.用正交变换化二次型f(ｘ1,x2,x３)=为标准形,并写出所用的正交变换.四、证明题（本大题共1小题，６分)2７.设α1，α2,α３是齐次线性方程组Ａx=０的一个基础解系．证明α1,α1+α２，α２+α3也是Aｘ=0的基础解系.全国202３年１月说明：本卷中,AT表达矩阵Ａ转置，dｅｔ（A)表达方阵A的行列式，A－1表达方阵Ａ的逆矩阵,（，)表达向量，的内积，E表达单位矩阵.一、单项选择题(本大题共10小题,每小题２分,共２0分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目规定的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无1．设Ａ是4阶方阵，且det(A)=4,则deｔ（4A)＝()Ａ.44ﻩＢ．45C.46ﻩD．472．已知A2＋A+E=０,则矩阵Ａ－1=()A．A+E B.A-EC.-A－E D．-Ａ+E3．设矩阵A，B，C,Ｘ为同阶方阵,且A,B可逆，ＡＸB＝Ｃ,则矩阵X＝()Ａ．A-1ＣB-B.CＡ－1B-１Ｃ.B－1A-１C Ｄ.CB-１A－14．设Ａ是ｓ×n矩阵(ｓ≠n），则以下关于矩阵A的叙述对的的是(）A.ＡTＡ是s×ｓ对称矩B.ATA=AATC.（ＡTA)T=AAＴﻩD.ＡAT是ｓ×ｓ对称矩阵5．设1,2,3,4，5是四维向量,则()A．l，2，3，4，５一定线性无关B.l,2，３，4,5一定线性相关C.5一定可以由1，2,３,4线性表出D．1一定可以由2，3，4，5线性表出６．设Ａ是n阶方阵,若对任意的ｎ维向量X均满足AX＝0,则(）A.A=0ﻩB．A=EC.秩(A)=n D．0<秩（A)<ｎ７.设矩阵A与B相似，则以下结论不对的的是（)A．秩（Ａ）=秩(B）B．A与B等价C.A与B有相同的特性值 D.Ａ与B的特性向量一定相同8．设，，为矩阵A=的三个特性值,则=()A．10 B．２0Ｃ．2４ﻩD．30９．二次型f(ｘ１,x2，x3)＝的秩为()Ａ．１ﻩB.2Ｃ.3ﻩD．410.设Ａ,B是正定矩阵,则(）A．AＢ一定是正定矩阵B.Ａ＋Ｂ一定是正定矩阵C.（ＡB)Ｔ一定是正定矩阵ﻩＤ.A-Ｂ一定是负定矩阵二、填空题(本大题共10小题,每小题２分，共2０分）11．设A=，ｋ为正整数,则Ak=.1２．设２阶可逆矩阵A的逆矩阵A-1=,则矩阵Ａ=__＿＿______.13．设同阶方阵Ａ，B的行列式分别为-3,5,则deｔ（AB)=_______＿_.14.设向量=(６,-2,０,4),=（-3,1,5，7)，向量满足2+=3，则=___＿＿____＿＿_.15.实数向量空间Ｖ=｛(x1,x2,…,ｘn)|３x1＋x2+…＋xn＝0}的维数是__＿____．16．矩阵A=的秩=_________＿_．1７．设是齐次线性方程组Aｘ=0的两个解,则A(3)=_＿_＿__＿_＿．１８．设方阵A有一个特性值为0,则det(Ａ3）=_＿＿____＿＿_.19．设P为正交矩阵,若（Px,Py）=8,则（x,y)=_＿___＿___.20.设f（x１,x２,x3)=是正定二次型,则t满足____＿.三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共5４分）２1.计算行列式22.判断矩阵Ａ=是否可逆,若可逆,求其逆矩阵．23．求向量组=(1，２，-1，-2),=(2,5,-6，-５），=(3，1，１,1),＝(－1，２,-7,-3)的一个最大线性无关组,并将其余向量通过该最大线性无关组表达出来．2４.求齐次线性方程组的一个基础解系及其结构解．２5.求矩阵Ａ=的特性值和特性向量．26．写出下列二次型的矩阵，并判断其是否是正定二次型．f（x1,x２,ｘ3）=四、证明题(本大题共１小题,6分)2７.设方阵A满足（Ａ+E)２=E,且Ｂ与A相似,证明:Ｂ２+2Ｂ＝0.全国20２3年4月高等教育自学考试说明：ＡT表达矩阵A的转置矩阵,A*表达矩阵A的随着矩阵，E是单位矩阵，｜A|表达方阵A的行列式。1.下列等式中，对的的是()A.B.C. D.２．设矩阵A=，那么矩阵A的列向量组的秩为（）A.3ﻩB．2Ｃ.1ﻩD.０3.设向量=(-１,4），=(1，－2）,=（3,-8),若有常数ａ,b使a-b-=0,则(）A.a=－1,b=-2B.a=－1，b=2C．a=1,b=-2 D.a=１,b＝2４.向量组＝(1，2,0），=(2，4，0),＝（３，6,0），=（4,９,0)的极大线性无关组为(）A.,B.,Ｃ．,ﻩD.，5.下列矩阵中，是初等矩阵的为（）A.B.C.ﻩＤ．6.设Ａ、B均为n阶可逆矩阵，且C=，则C-１是(）A．B．C. D.7．设Ａ为3阶矩阵，Ａ的秩r(A)=3，则矩阵A*的秩r(Ａ*)＝(）A.0B.1C.2 D．３8.设=３是可逆矩阵A的一个特性值,则矩阵有一个特性值等于()A． B．C．ﻩD.9.设矩阵A=，则A的相应于特性值=0的特性向量为()A.（０，0,０）ＴB.(0,2,-1）TC.（1，0,－１）TﻩＤ.(0，１,１）T10.下列矩阵中是正定矩阵的为()A.B.C. Ｄ.二、填空题（本大题共10小题,每题2分,共２0分）1１.行列式=___＿_＿_＿___．１２.设矩阵A=,B=（1,2，3）,则ＢA＝__＿＿__＿__＿_.13.行列式中第4行各元素的代数余子式之和为__＿________.1４．设A,B为ｎ阶方阵,且ＡB=E,A－1B＝B－1Ａ＝E,则Ａ2+B2＝＿_＿___＿___＿1５.设向量=（1,２，３，4）,则的单位化向量为_____＿＿____.16.设3阶方阵Ａ的行列式|A｜＝，则|Ａ3|＝__＿_____＿_＿.17.已知3维向量=(1,－3,3），=(１，0,-１)则+3=__＿___＿_＿__.１8．设n阶矩阵A的各行元素之和均为0,且A的秩为n-1，则齐次线性方程组Ax=0的通解为＿＿______＿＿_．19.设１,２,…，n是n阶矩阵A的n个特性值,则矩阵A的行列式|A|=＿＿_＿_______．20.二次型f（x1,x2,x３)=ｘ1x2+x1x3+x2x3的秩为__＿＿_＿_＿_＿_．三、计算题(本大题共6小题，每小题9分，共5４分）2１.已知矩阵A＝，B=，求：(1)AＴB;（2）|ATB|.２2.设Ａ=,B＝,C=，且满足AXB=C，求矩阵Ｘ.２3.求向量组=（1,２，1，０）T,＝（1,1,１,2)T，=（３,4,3，4)T,=（4,5，6，４）T的秩与一个极大线性无关组.24．判断线性方程组是否有解，有解时求出它的解.２5.设向量＝(１，１，0）T，=（－1,0,1）T,（1）用施密特正交化方法将，化为正交的,；(2)求,使,，两两正交．26.已知二次型ｆ＝,经正交变换ｘ=Py化成了标准形f＝，求所用的正交矩阵P.四、证明题（本大题共6分)27．设A为5阶反对称矩阵,证明|A|=0．全国2023年７月高等教育自学考试1.设,则=（）A．-49 B．-7C.7ﻩD.492．设Ａ为3阶方阵,且,则()A．-32 Ｂ．-8C．8ﻩD.323.设A，B为n阶方阵,且ＡT=-A,ＢＴ＝B,则下列命题对的的是（）A.(Ａ+B)T=Ａ+ＢＢ．（AB)Ｔ=-ＡBＣ.A2是对称矩阵 D.Ｂ２+A是对称阵４．设A,B，X，Ｙ都是n阶方阵，则下面等式对的的是（)A．若A2＝0，则A=0B．(AB)2＝A2Ｂ2C．若AX=AY,则Ｘ=Y Ｄ．若A+Ｘ=Ｂ,则X=Ｂ-A5．设矩阵A=,则秩（A)＝(）A.１ﻩＢ.２C．3 D.４6.若方程组仅有零解，则k=（)A．-2ﻩB．-1C.0 D．2７．实数向量空间Ｖ={（x1,x2,x３)|x1+x3=0｝的维数是(）Ａ．0ﻩB.１Ｃ.2 D．38.若方程组有无穷多解,则=()Ａ.1ﻩB．2C.3 D.49.设A=,则下列矩阵中与Ａ相似的是(）Ａ．Ｂ．C.ﻩD．10.设实二次型，则ｆ()A.正定B．不定Ｃ.负定 D.半正定11．设A=(-1,1,２）T,Ｂ=(0,2，3)Ｔ,则｜ABＴ｜=＿_____.12．设三阶矩阵，其中为A的列向量，且|A|＝2，则_＿＿_＿＿.1３.设，且秩(Ａ）=3，则a，b,c应满足__＿_＿＿.14.矩阵的逆矩阵是＿＿____．15．三元方程x１＋x3=1的通解是_＿____．１6.已知Ａ相似于，则|A-E|=__＿＿＿＿.17.矩阵的特性值是__＿＿__.18.与矩阵相似的对角矩阵是____＿_.19.设A相似于,则Ａ４______.２0．二次型ｆ(ｘ1，x2,x3）＝x１x２-x１x3+x2x3的矩阵是＿__＿＿_．三、计算题(本大题共6小题，每小题9分，共54分21．计算４阶行列式Ｄ=.22.设Ａ=,而X满足AX+E=A２+X,求X.２３．求向量组：的秩，并给出该向量组的一个极大无关组,同时将其余的向量表达成该极大无关组的线性组合.24．当为什么值时,齐次方程组有非零解？并求其所有非零解.25．已知1,１,-１是三阶实对称矩阵A的三个特性值,向量、是Ａ的相应于的特性向量，求A的属于的特性向量.26．求正交变换Y=PＸ，化二次型f(x1，x2,x３)=2x1ｘ2+2ｘ1x3-2ｘ2ｘ3为标准形.四、证明题(本大题６分)27．设线性无关,证明也线性无关.接下来是答案全国2023年７月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题课程代码:0４184试卷说明:在本卷中，ＡT表达矩阵A的转置矩阵(行列对换）；A*表达A的随着矩阵;A－1＝(重要)求Ａ-１和A*时，可用这个公式，A*太复杂了自己看看r(A)表达矩阵A的秩;|A|表达A的行列式；E表达单位矩阵。,每一项都乘2一、单项选择题[]表达矩阵，矩阵乘矩阵还是矩阵;||表达行列式，计算后为一个数值,行列式相乘为数值运算在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目规定的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1.设3阶方阵A=（α1,α2，α3）,其中αｉ(i＝1,２,3）为A的列向量,若|B|=|(α1+2α2，α２,α3)|=6,则|A|＝（C)A.-1２ﻩB.－6αi(ｉ＝1,２,３）为Ａ的列向量，３行1列C．6 Ｄ．122.计算行列式=(A)=3*－2*10*3＝-1８0A.－180 B.－120C.1２0 D．180３．若A为3阶方阵且|A-1|=2,则｜2A|＝(C)=23|A|=8＊１/2=4Ａ． Ｂ.2C.4ﻩD．８4.设α1，α2,α３，α4都是３维向量,则必有(B)n＋1个n维向量线性相关Ａ.α１，α2，α３,α4线性无关ﻩB.α1，α２，α3,α4线性相关C.α1可由α2，α3，α4线性表达ﻩD．α１不可由α2，α3,α4线性表达５.若A为6阶方阵，齐次线性方程组Ax=0的基础解系中解向量的个数为2,则r（Ａ）=(C）A．2 B.3ｎ-r(A)=解向量的个数=2,n=6C．4ﻩＤ.56.设A、B为同阶方阵，且r(A）=r（B)，则（C)A与B协议r（A)=r（Ｂ)PTAＰ＝Ｂ,P可逆A.A与Ｂ相似 B.|Ａ|=|B|C.A与B等价 Ｄ．A与B协议7.设A为3阶方阵,其特性值分别为２,1,0则|Ａ+2E|=(Ｄ)，|Ａ|=所有特性值的积=０A．0 Ｂ.2A+2E的特性值为2+2,1+2,0+2,即4,3，2，｜A+2E｜=４＊３*2C.3 D.248.若A、Ｂ相似，则下列说法错误的是(B)Ａ.A与B等价ﻩＢ．A与B协议C．|A｜＝|Ｂ| D.A与B有相同特性值A、Ｂ相似Ａ、Ｂ特性值相同|A|=｜B|r(A）=r（Ｂ);若Ａ~Ｂ,B～C，则A~C(~代表等价)９.若向量α=(1，-2,1)与β=(2，3,t)正交，则t=(D),即1*2－2*3+1*t=0，t=４A.-2ﻩB．0C.２ Ｄ.410．设3阶实对称矩阵A的特性值分别为2,1，０，则（B），所有特性值都大于０，正定;A.A正定B.A半正定所有特性值都小于0,负定；C.A负定Ｄ．A半负定所有特性值都大于等于0，半正定；同理半负定;其他情况不定二、填空题（本大题共１0小题，每小题2分,共2０分）请在每小题的空格中填上对的答案。错填、不填均无分。1１.设A=,B=，则AB=（A的每一行与B的每一列相应相乘相加）==下标依次为行列，如表达第二行第一列的元素。A为三行两列的矩阵即3×2的矩阵,B为2×3的矩阵,则ＡＢ为3×3的矩阵,相应相乘放在相应位置1２.设A为3阶方阵,且｜Ａ|＝3，则|3A－１|＝３3|A-1|=２７*＝９1３．三元方程x1+x2＋ｘ3＝1的通解是____＿_＿＿_＿_____.扩充为,再看答案14.设α=（-1,2，2),则与α反方向的单位向量是＿__＿_跟高中单位向量相同_＿__＿_______.15.设A为５阶方阵，且r（A）=3，则线性空间W={x｜Ax=０｝的维数是