勾股定理竞赛培优

七年级春季班 自信释放潜能；付出铸就成功!七年级春季班 自信释放潜能；付出铸就成功!七年级春季班 自信释放潜能；付出铸就成功!七年级春季班 自信释放潜能；付出铸就成功!.已知：如图，在^ABS,AB=AC/A=120°,AB的垂直平分线MN^另।J交BGAB于点M,N,求证:CM=2BMD为斜边BC中.如图，在RtZXABC^,/A=90°,点）DEE!DF）求证：ef2=be:+cfD为斜边BC中.在△ABC中,AB=AC(1)如图，若点P是BC边上的中点，连接AP.求证：BP?CP=EP-APZ;(2)如图，若点P是BC边上任意一点，上面(1)的结论还成立吗？若成立，请证明、若不成立，请说明理由；(3)如图，若点P是BC边延长线上一点，线段AB,AP,BP,CP之间有什么样的数量关系？画出图形，写出你的结论．(不必证明)显示解析（1999年全国联赛试期）图I-9—5—11+外+%+…+啊（1999年全国联赛试期）图I-9—5—11+外+%+…+啊00=（1990年全联赛试题）1,△闺圮的周长是24,朋是的中点，MC=MA=5,△ARC的面积是.如图I-9-5-11,公路】同侧有两村庄4.B,A村到公路1的距离AC=4km,8村到公路，的距离M=2km,且C、。两点间的距离为8km.要在公路,上建一车站P,使AP^BP最小，则这个最小值为. （1999年河北省竞赛题）.在△ABC中*AB=4C=2,8C上有100个不同的点不、Pz、P3,…、Pm,记兑用+HP厂2C（£=12….100）,则四.已知A4■是三边长为整数的直角三角形，且2HC=8C+加，则下面各数再能是这个直角三角形的一条边长的是 （ ）A.41 B.51 C.61 D.71 （1997年哈尔滨市竞宴题）.如图I-9一5-12,已知=N8.44i，PP|,身?i均垂直于4月1，A4]=17,FF]=16,58]=20,4]助=12,则AP+PB等于 （ ）“知年全国联赛试题）图1-9-5-13“知年全国联赛试题）图1-9-5-13I-9-5-13,在等腰直角AABC的斜边他上取两点M、N,使/MCN=45°,记AM-m^MN-xtBN-n,则以为边长的三角形的形状是 （ ）A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D,随着叫m,河的变化而变化（1的7年安微省竞赛题）.在中，皮;=17,G4=18,钻=19,尸为AABC内的一点，WLAC于。，阳工匣？于E,PFJ_抑于尸，且BD+CE+4T=27,求BD+6F的长，.AABC中，AZ）是HC边上的中线，点M在AB边上，点N在4c边上,并且NMfW=W\如果BM2+C/V2-DM2+DM.求证：S二十/JU【知识点精讲】1股股定理： 2股股定理的逆定理： 3勾股数:、、、、、、4两种特殊的直角三角形：①30角的直角三角形②45角的直角三角形 5两点之间 最短，但蚂蚁在圆柱体表面爬行时，所走的路线必定是 线。6立体图形转化为 图形，再转化为 问题7勾股定理是求——的长度的主要方法，若缺少直角条件则可以通过作垂线段的方法构造RTA,为勾股定理的应用创造必要的条件。8勾股定理和勾股定理逆定理的综合运用，还经常利用方程求线段的和差等关系。【典型例题与思维拓展】•例1已知如图，在Rt^ABC中，/ACB=90,AC=7,BC=24,CD是斜边AB上的高，求CD的长.拓展与变式练习11.已知如图，在RtAABC^,/ACB=90,BC=40,AB=41,CDt斜边上白^高，求CD的长。拓展变式练习2.如图折叠长方形 ABCD先折出对角线BD,再折叠AD边与BD重合，得到折痕DG.若AB=12,AD=9求AG的长.

.如图将长方形ABCD沿对角线BD折叠，使C点落在F处,BF交AD于点E,AD=10,AB=6,求4BDE的面积是多少？・例3如图，在^ABC中，/BAC=90,AB=AC,D,E在BC上，/DAE=45求证：CD2+BE2=dE?.拓展变式练习3.已知如图，在^ABC中，/A=90°,DE为BC的垂直平分线，求证：BE2=AC2+AE2

.如图在Rt/XABC中，/C=90°,DA=DB,EF分别在AC和BC上，且EDLDF,求证：EF2=AE2+BF2•例4•例4如图在四边形的面积.ABCDt,已知/B=90°,AB=6,BC=8,CD=24,AD=26求四边形ABCDAA拓展变式练习4.如图，在四边形ABCDK已知AB,BC,DA的长分别为2、2、2,且CD2=12,AB!BC,求/DAB的度数.

.如图在△ABC^,BC=6,AC=8,在z\ABE中,DE是AB边上的高，DE=7,z\ABE的面积为35,求/C的度数.•例5若4ABC的三边长a、b、c满足条件：a2+b2+c2=10a+24b+26c-338,试判断△ABC的形状.例6:（最短路径问题）有一个长宽高分为2cmi）1cmn,3cm的长方体）有一只小蚁想从点A爬到点C处，则它爬行的最路程为cm.♦变式拓展训练.【变式11△ABC中，AB=17cmBC=16cmBC边上的中线AD=15cm△ABC是三角形.【变式2](天府前沿)如果△ABC勺三边a、b、c满足(a-b)(a2+b2-c2)=0,那么△ABC一定是( )A.等腰直角三角形 B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰三角形或直角三角形【变式3】如图，AB两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC=1阡米，BD=3阡米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水， L □ L铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流三CD土选择水厂的位置M使铺设水管的费用最节奢二圣ET总费用是多少？【创新探究】1.（教材1+1.思维拓展）如图，在MBC中，

AB=5,AC=13,BCi上的中线AD=6求证：MB防直角三角形。M（2009中考）若MBC的三边a、b、c满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26q则此三角形为三角形PQB0°,P、Q柩.（2008天津）在RtAABCPQB0°,P、Q在AB上，且/PCQ=45,求证：AP2+BQ=PQP★（天津市竞赛汝形）4.如图，在4PABg,AB=ACP为BC上任意一点，请用学过的知识说明：AB—AfP=PB<PC★★5.（天府前沿？2010培优）RtZXABC一直角边的长为11,另两边为自然数，则RtZXABC勺周长为.★★6.（天府前沿?2010培优）如图，在^ABC中，/ACE=90o,AC=BCP是△ABCft的一点，且PB=1,PC=2,PA=3,求/BPC勺度数.★★7.（2009年“希望杯”晋升训练）知△ABC中，AB=AC,/B=2/Ac求证：AB2-BC2=ABXBC（方法:造直角三角形）拓展变式练习5已知a、b、c为AABC勺三边长，且满足条件：a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,试判断△ABC的形状.【思维与能力提升】1.如图在^ABC中,CE平分/ACBCF平分/ACD且EF//BC交AC于点M,若CM=5求CE2+CF2的值2如图，△ABC是直角三角形，/CAB=90,D是斜边BC上的中点，E、F分别是ARAB边上的点，且DE!DF.（1）（如图1）若AB=ACBE=12,CF=5,求△DEF的面积。（2）（如图2）求证：be2+cf2=ef2（3）设AB=6点E,F在AB,AC上移动，且保持/EDF=90°,设AE=k当其从1开始逐渐变为5（每次增加1）时，写出EF的长度，并猜想点E移到何位置时EF最短.【家庭作业】A卷一、选择题TOC\o"1-5"\h\z.直角三角形的两直角边分别为5、12,则斜边上的高为（ ）A.6 B.8C. 80D.6013 13.已知RtzXABC中，/C=90°,若a+b=14cm,c=10cm则Rtz\ABC的面积为（ ）A.24cm2A.24cm2B.36cm22C.48cm2D.60cm.等腰三角形底边上的高为8,周长为32,则三角形的面积为（ ）A.56 B.48 C.40 D.32.如图△ABC中，/B=90°,两直角边AB=7；BC=24三角形内有一点P到各边的距离相等,则这个距离为（ ）A.1 B.3 C.4 D.5

AA.下列几组数：①6,7,8;②8,6,15;③n2-1,2n,n2+1;④m2-n2,2mn,m2+n2.其中以它们为边能组成直角三角形的是（ ）A.①③B.②④C.①②D.③④.在△ABC中，/A,/B,/C的对边分别为a,b,c.下列说法错误的是（ ）A./C-/B=/A,那么/C=90° B.如果/C=90°,则c2-b2=a2C.如果(a+b)(a-b)=c2,那么/C=90D.如果/A=30°,BB=60°那么AB=2BC二、填空题.4ABC中，/C=90°,两直角边之比为3:4,斜边长为10,则这个三角形的面积为一.已知一三角形三边分别为5k,12k,13k,则这个三角形为,理由是.以a,b,c为三边的三角形，其三边满足a2+b2=25,a2-b2=7,且c=5,则这个三角形的最长边位,这条边上的高为..若一个三角形的三边长为m+1,m+2,m+3Hm=时，这个三角形是直角三角形.在4ABC中，AB=AC=17BC=16cm则这个三角形的面积为.12B卷12一.填空题.在RT4ABC中,AC=4BC=3则AB=.如图是一长方体长4、宽3、高的三角形的周长为。.若二次根式3行与辰是同类二次根式，则x的值为 时Q,直角三角形有一条直角边长为13,另外两条边长都是自然数，则周长为。.在△ABC中,AB=2QAC=15BC边上的高为12,则△ABC的周长为(二、解答题1.如图在Rt^ABC中，/C=90°,/DAB=DAC,AB=26AC=10BD:CD=13:5,求点D到AB的距离..在4ABC中，已知/B=22.5°,/C=60°,AB的垂直平分线交BC于点D,EC=1,A已BC,求BD2的值..如图△ABC中，/ACB=90,CD平分/ACBAE!CD于点D,AE交BC于点E,EF，AB于点F,