现代控制理论课件

偏微分方程控制理论的研究

本节课我们主要讲以下内容偏微分方程基本概念现代控制理论产生与发展现代控制理论的应用偏微分方程基本概念那么，什么是偏微分方程？从小学开始，我们就遇到过代数方程，比如

或者：偏微分方程基本概念

如果一个未知函数以及它导数满足某个等式，这个等式称为微分方程。

如果一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，这个方程叫做常微分方程，也简称微分方程；

如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或者说如果未知函数和几个变量有关，而且方程中出现未知函数对几个变量的导数，那么这种微分方程就是偏微分方程。偏微分方程基本概念

他们是怎么产生的，来自什么样的实际背景，如何建立起来的这些方程，现实中有哪些偏微分模型？人口问题红绿灯下的交通流石油开采模型吸烟过程的数学描述一：人口问题人口问题是当今世界上最令人关注的问题之一。一些发展中国家的人口出生率过高，越来越严重地威胁着人类的正常生活，有些发达国家的自然增长率趋近于零，甚至变负，造成劳动力短缺，也是不容忽视的问题。对于我国来说，在集中精力搞好经济建设，努力提高生产力的同时，能否有效地控制人口的增长，己成为本世纪初直到本世纪中叶使我国按人均国民经济生产总值达到小康水平，进而跻身中等发达国家行列的关键.人口问题由干我国五六十年代人口政策方面的失误，不仅造成人口总数增长过快，而且，年龄结构也不合理，使得对人口增长的严格控制会导致人口老年化间题严重.因此在首先保证人口有限增长的前提下适当控制人口老化，把年龄结构调整到合适的水平，是一项长期而又艰区的任务。建立数学模型对人口发展过程进行描述、分析和预测，并进而研究控制人口增长和老化的生育策略，已引起有关专家、官员和社会各方面的极大关注和兴趣，是数学在社会发展中的重要应用领域.人口问题近年来我国一些从事自然科学，主要是控制论研究的专家，从我国人口的现状出发，结合当前的人口政策，在人口预测和控制方面做了许多工作。过去人们讨论过人口的指数增长模型和限滞增长模型，这些模型只考虑人口总数和总的增民率，不涉及年龄结构，因而建立的是常微分方程。人口问题事实上，在人口预测中人口按年龄分布状况是十分重要的，因为不同年龄人的生育率和死亡率有着很大的差别。两个国家或地区目前人口总数一样，如果一个国家或地区年青人的比例高于另一国家或地区，那么二者人口的发状况将大不一样.我们可以讨论的模型要考虑人口按年龄的分布，即除了时间变量外，年龄是另占个自变量，并可用偏微分方程描述人口发展的规律。二：红灯下的交通流各种类型的汽车一辆接着一辆沿公路飞驶而过,其情景栽像在揣急的江河中奔腾的水流一样，在这种情况下人们不去分析每辆汽车的运动规律，而是把车队看作连续的流体，称为交通流或车流。研究每一时刻通过公路上每一点的交通流的流量、速度和密度等变量间的关系，特别是在出现譬如红绿灯改变，交通事故等干扰的情况下交通流的变化过程。查找资料可知，过去人们建立交通流的基本方程是偏微分方程，并讨论了在红灯和绿灯相继出现时交通流的变化过程。三：石油开采模型地下储油层可以视为石油储藏在多孔介质之中，当我们打井采油时需要研究石油在多孔介质中的流动情况.为了确定石油的储量和地下油藏参数，如多孔介质对石油的渗透率等，我们需要知道地下石油的压力变化情况，知道了地下石油的压力变化，可帮助我们决定采油方案。使采油能够持续高产，但在采油的过程中，我们不可能测量油藏各点的压力。因此，需要建立相应的数学模型，利用数值模拟技术计算出油藏各处压力的变化情况。这个建立起来的也是偏微分方程。四：吸烟过程的数学描述尽管科学家们对于吸烟的危害提出了许多无可辩驳的证据，不少国家的政府和有关部门也一直致力于减少或禁止吸烟。但是仍有不少人不愿抛弃对香烟的嗜好。香烟制造商既要满足瘾君子的需要，又要顺应减少吸烟危害的潮流，还要获取丰厚的利润于是普遍地在香烟安装了过滤嘴，过滤嘴的作用到底有多大，与使用的材料和过滤嘴的长度有什么关系。我们可以从定量的角度回答这些问题，并建立一个描述吸烟过程的数学模型，分析人体吸的毒物数量与哪些因素有关，以及它们之间的数量表达式。这个模型居然也是偏微分方程！

为了引出偏微分方程，让我们首先复习一下高中导数的知识。

导数的定义：设函数f(x)在点的领近有定义，如果存在极限：

那么我们就说函数f(x)在点处可导，并且把上述极限值称为函数f（x）在点的导数。记作：导数的几何意义：曲线，在点处的切线的斜率等于极限

这就是导数的几何意义。导数与此相应的关于函数，，在点的导数，除了采用上面介绍的拉格朗日记号外，还常常采用莱布尼茨记号或者多元函数的偏导数设二元函数在点领近有定义，如果存在极限，

那么我们就说函数，在点关于变量x可导，称为函数多元函数的偏导数在点关于变量x可导，称为函数在点对x的偏导数，并且把上述极值记为多元函数的偏导数也就是说让

固定于，然后求一元函数在点的导数，就得到在点对x的偏导数，

同理，让固定于，然后求一元函数在点的导数，就得到函数在点对的偏导数，记为：二阶导数的定义

设函数在开区间的每一点可导，则以下对应关系定义了一个函数：

这函数称为是函数的导函数，记为

对于导函数

，我们又可以讨论它的可导性和导数。导函数

在点的导数，称为是函数在点的二阶导数，记为：，，二阶偏导数的定义考察二元函数，这里的偏导数

和仍是的函数，我们又可以讨论以下函数是否可以求偏导数的问题二阶偏导数的定义如果函数和分别对变元和可求偏导数，那么我们就把这样的偏导数称为函数的二阶偏导数，他们共有以下几种偏导数：

二阶偏导数的定义偏微分方程描述

所导出的所有方程都包含未知函数

和它的关于自变量的偏导数，所以是偏微分方程。

其中所含有的未知函数最高阶导数称为这个偏微分方程的阶，例如波动方程就是一个二阶偏微分方程。如果方程对未知函数及其各阶导数总体来说是线性的，则称这个方程是线性方程。

偏微分方程描述进一步，如果方程对未知函数的所有最高阶导数总体来说是线性的，则称他是拟线性方程，例如，方程是一阶拟线性方程。偏微分方程描述如果非线性方程对未知函数的最高阶导数不是线性的，则称他为完全非线性方程。例如：方程是一阶完全非线性方程。偏微分方程分类二阶线性偏微分方程还有更系统的分法一：椭圆型偏微分方程

二：抛物型偏微分方程三：双曲型偏微分方程现代控制理论的产生与发展同学们，我们都知道，控制理论作为一门科学技术，已经广泛的适用于我们的现实生活当中。控制理论的产生和发展要分为以下几个阶段

第一阶段：经典控制理论阶段经典控制理论既古典控制理论，也称为自动控制理论，他的发展经历以下几个过程：

第一：萌芽阶段如果要追溯到自动控制技术的发展历史，早在二千年前就有了自动控制的萌芽萌芽阶段第一：两千年前我国发明的指南车就是一种开环自动调节系统萌芽阶段第二公元1086年-1089年我国发明的水运仪象台就是一种闭环自动调节系统。第二：起步阶段

随着科学技术与工业生产的发展，到十八世纪自动控制技术逐渐应用到现代工业中，其中最卓越的代表是瓦特发明的蒸汽机离心调速器，加快了第一次工业革命的步伐。詹姆斯·瓦特詹姆斯·瓦特（JamesWatt，1736年1月19日—1819年8月25日）是英国著名的发明家，是第一次工业革命时的重要人物。1776年制造出第一台有实用价值的蒸汽机。以后又经过一系列重大改进，使之成为“万能的原动机”，在工业上得到广泛应用。他开辟了人类利用能源新时代，使人类进入“蒸汽时代”。后人为了纪念这位伟大的发明家，把功率的单位定为“瓦特”（简称“瓦”，符号W）。詹姆斯·瓦特性格

瓦特心思细腻，做事动作迟缓并且非常容易焦虑。他常常会灰心丧气。他会将工作放到一边，感觉好像要彻底放弃了，但他的想象力丰富，总是能想到新的改进方法，以至于很多时候都来不及一一完成。瓦特的动手能力很强，并可以完成系统的科学的测定，以量化自己的革新效果，帮助自己的理解。人物轶事如同其它著名的科学家发明家一样，关于瓦特也有一些有趣的故事，虽然多为夸张杜撰但也家喻户晓，值得一记。最著名的是《瓦特与茶壶的故事》，据说瓦特小时候有一次看到火炉上烧的水开了，蒸汽把水壶盖顶开，瓦特把壶盖放回去但很快又被顶开了。瓦特就这样不断地把壶盖放来放去想找出为什么，后来瓦特意识到是蒸汽的力量，由此引发了他对蒸汽的兴趣并导致了蒸汽机的发明第三：发展阶段1：1868年，詹姆斯•克拉克•麦克斯韦（JamesClerkMaxwell）解决了蒸汽机调速系统中出现的剧烈震荡的不稳定问题，提出了简单的稳定性代数判据。发展阶段2：1895年劳斯（Routh）与赫尔维斯（Hurwitz）把麦克斯韦的思想扩展到高阶微分方程描述更为复杂的系统中，各自提出了两个著名的稳定性判据，分别是劳斯判据和赫尔维斯判据，基本上解决了二十世纪初期控制工程的需要。发展阶段3：由于第二次世界大战的需要控制系统具有准确跟踪与补偿能力，1932年奈奎斯特（H.Nyquist）提出了频域内研究系统的频率响应法，为具有高质量的动态品质和静态，准确度的军用控制系统提供了所需的分析工具。发展阶段

1948年，伊万斯提出了复数域内研究系统的根轨迹法，建立在奈奎斯特的频率响应法和伊万斯的根轨迹法基础上的理论，称为经典（古典）控制理论。四：标志性阶段

诺伯特·维纳（NorbertWiener）（1894年11月26日—1964年3月18日），美国应用

数学家，控制论的创始人，在电子工程方

面贡献良多。他是随机过程和噪声过程的

先驱，又提出了“控制论”的一词。并与1948年出版了《控制论——关于在动物和

机器中控制与通讯的科学》书中论述了

控制理论的一般方法，推广了反馈的概念，

为控制理论这门科学奠定了基础。诺伯特·维纳（NorbertWiener）20世纪著名数学家诺伯特维纳，从小就智力超常，三岁时就能读写，十四岁时就大学毕业了。几年后，他又通过了博士论文答辩，成为美国哈佛大学的科学博士。在博士学位的授予仪式上，执行主席看到一脸稚气的维纳，颇为惊讶，于是就当面询问他的年龄。维纳不愧为数学神童，他的回答十分巧妙：“我今年岁数的立方是个四位数，岁数的四次方是个六位数，这两个数，刚好把十个数字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9全都用上了，不重不漏。这意味着全体数字都向我俯首称臣，预祝我将来在数学领域里一定能干出一番惊天动地的大事业。”维纳此言一出，四座皆惊，大家都被他的这道妙题深深地吸引住了。整个会场上的人，都在议论他的年龄问题。维纳到底几岁？其实这个问题不难解答，但是需要一点数字“灵感”。不难发现，21的立方是四位数，而22的立方已经是五位数了，所以维纳的年龄最多是21岁；同样道理，18的四次方是六位数，而17的四次方则是五位数了，所以维纳的年龄至少是18岁。这样，维纳的年龄只可能是18、19、20、21这四个数中的一个。剩下的工作就是“一一筛选”了。20的立方是8000，有3个重复数字0，不合题意。同理，19的四次方等于130321，21的四次方等于194481，都不合题意。最后只剩下一个18，是不是正确答案呢？验算一下，18的立方等于5832，四次方等于104976，恰好“不重不漏”地用完了十个阿拉伯数字，多么完美的组合！这个年仅18岁的少年博士，后来果然成就了一番大事业：他成为信息论的前驱和控制论的奠基人。标志性阶段二：钱学森我国著名科学家钱学森将控制理论应用于工程实践，并与1954年出版了《工程控制论》一书。个人简介：钱学森（1911.12.11－2009.10.31），汉族，吴越王钱镠（Liu）（五代十国时期吴越国创建者）第33世孙，生于上海，祖籍浙江省杭州市临安。世界著名科学家，空气动力学家，中国载人航天奠基人，中国科学院及中国工程院院士，中国两弹一星功勋奖章获得者，被誉为“中国航天之父”“中国导弹之父”“中国自动化控制之父”和“火箭之王”，由于钱学森回国效力，中国导弹、原子弹的发射向前推进了至少20年。1934年，毕业于国立交通大学机械与动力工程学院，曾任美国麻省理工学院和加州理工学院教授。1955年，在毛泽东主席和周恩来总理的争取下回到中国。1959年加入中国共产党，先后担任了中国科学技术大学近代力学系主任，中国科学院力学研究所所长、第七机械工业部副部长、国防科工委副主任、中国科技协会名誉主席、中国人民政治协商会议第六、七、八届全国委员会副主席、中国科学院数理化学部委员、中国宇航学会名誉理事长、中国人民解放军总装备部科技委高级顾问等重要职务；他还兼任中国自动化学会第一、二届理事长。1995年，经中宣部批准及钱学森本人同意，母校西安交通大学将图书馆命名为钱学森图书馆，时任中共中央总书记、国家主席、中央军委主席江泽民同志亲笔题写了馆名。2009年10月31日北京时间上午8时6分，钱学森在北京逝世，享年98岁。[1]

为了进一步弘扬钱学森同志爱国，创新、奉献的业绩与精神，经中央研究，决定在上海交通大学徐汇校区建设钱学森图书馆。2011年12月8日，纪念钱学森诞辰100周年座谈会在人民大会堂举行钱学森人物经历出国之前：钱学森于1911年出生于上海，祖籍浙江省杭州市临安市。1923年9月，进入北京师范大学附属中学学习。1929年考入铁道部交通大学上海学校机械工程学院铁道工程系，1934年毕业于国立交通大学（现上海交通大学和西安交通大学），6月考取清华大学第七届庚款（庚款留学生”简单的理解就是美国人用中国的“庚子赔款”以各种方式退还给中国的其中一种方式。）留美学生。钱学森人物经历赴美留学1935年9月进入美国麻省理工学院航空系学习，1936年9月获麻省理工学院航空工程硕士学位，后转入加州理工学院航空系学习，成为世界著名的大科学家冯·卡门（TheodorevonKármán）的学生，并很快成为冯·卡门最重视的学生。[5]

他先后获航空工程硕士学位和航空、数学博士学位。1938年7月至1955年8月，钱学森在美国从事空气动力学、固体力学和火箭、导弹等领域研究，并与导师共同完成高速空气动力学问题研究课题和建立“卡门-钱学森”公式，在二十八岁时就成为世界知名的空气动力学家。[4]

1939年，获美国加州理工学院航空、数学博士学位。1943年，任加州理工学院助理教授。1945年，任加州理工学院副教授。1947年，任麻省理工学院教授。1947年，在上海与蒋英结婚。1949年，任加州理工学院喷气推进中心主任、教授。1953年，钱学森正式提出物理力学概念，主张从物质的微观规律确定其宏观力学特性，开拓了高温高压的新领域。1954年，《工程控制论》英文版出版，该书俄文版、德文版、中文版分别于1956年、1957年、1958年出版。1958年任中国科学技术大学近代力学系主任.钱学森人物经历遭到拘留1949年中年时期的钱学森当中华人民共和国宣告诞生的消息传到美国后，钱学森和夫人蒋英便商量着早日赶回祖国，为自己的国家效力。此时的美国，以麦卡锡为首对共产党人实行全面追查，并在全美国掀起了一股驱使雇员效忠美国政府的狂热。钱学森因被怀疑为共产党人和拒绝揭发朋友，被美国军事部门突然吊销了参加机密研究的证书。钱学森非常气愤，以此作为要求回国的理由。[7]

1950年，钱学森上港口准备回国时，被美国官员拦住，并将其关进监狱，而当时美国海军次长丹尼·金布尔（DanA.Kimball）声称：钱学森无论走到哪里，都抵得上5个师的兵力。[7]

从此，钱学森在受到了美国政府迫害，同时也失去了宝贵的自由，他一个月内瘦了三十斤左右。移民局抄了他的家，在特米那岛上将他拘留14天，直到收到加州理工学院送去的1.5万美金巨额保释金后才释放了他。后来，海关又没收了他的行李，包括800公斤书籍和笔记本。美国检察官再次审查了他的所有材料后，才证明了他是无辜的钱学森人物经历艰难归国钱学森在美国受迫害的消息很快传到中国，中国科技界的朋友通过各种途径声援钱学森。党中央对钱学森在美国的处境极为关心，中国政府公开发表声明，谴责美国政府在违背本人意愿的情况下监禁了钱学森。[7]

1954年，一个偶然的机会，他在报纸上看到陈叔通站在天安门城楼上，身份是全国人大常委会副委员长，他决定给这位父亲的好朋友写信求救。正当周恩来总理为此非常着急的时候，时任全国人大常委会副委员长的陈叔通收到了一封从大洋彼岸辗转寄来的信。他拆开一看，署名“钱学森”，原来是请求祖国政府帮助他回国。[7]

1954年4月，美英中苏法五国在日内瓦召开讨论和解决朝鲜问题和恢复印度支那和平问题的国际会议。出席会议的中国代表团团长周恩来联想到中国有一批留学生和科学家被扣留在美国，于是就指示说，美国人既然请英国外交官与我们疏通关系，我们就应该抓住这个机会，开辟新的接触渠道钱学森人物经历中国代表团秘书长王炳南1954年6月5日开始与美国代表、副国务卿约翰逊就两国侨民问题进行初步商谈。美方向中方提交了一份美国在华侨民和被中国拘禁的一些美国军事人员名单，要求中国给他们以回国的机会。为了表示中国的诚意，周恩来指示王炳南在1954年6月15日举行的中美第三次会谈中，大度地作出让步，同时也要求美国停止扣留钱学森等中国留美人员。[10]

然而，中方的正当要求被美方无理拒绝。1954年7月21日，日内瓦会议闭幕。为不使沟通渠道中断，周恩来指示王炳南与美方商定自1954年7月22日起，在日内瓦进行领事级会谈。为了进一步表示中国对中美会谈的诚意，中国释放了4个扣押的美国飞行员。[11]

中国作出的让步，最终是为了争取钱学森等留美科学家尽快回国，可是在这个关键问题上，美国代表约翰逊还是以中国拿不出钱学森要回国的真实理由，一点不松口。1955年，经过周恩来总理在与美国外交谈判上的不断努力——甚至包括了不惜释放11名在朝鲜战争中俘获的美军飞行员作为交换，1955年8月4日，钱学森收到了美国移民局允许他回国的通知。1955年9月17日，钱学森回国愿望终于得以实现了，这一天钱学森携带妻子蒋英和一双幼小的儿女，登上了“克利夫兰总统号”轮船，踏上返回祖国的旅途。1955年10月1日清晨，钱学森一家终于回到了自己魂牵梦绕的祖国，回到自己的故乡钱学森人物经历两弹一星1956年初，钱学森向中共中央、国务院提出《建立我国国防航空工业的意见书》。同时，钱学森组建中国第一个火箭、导弹研究所——国防部第五研究院并担任首任院长。他主持完成了“喷气和火箭技术的建立”规划，参与了近程导弹、中近程导弹和中国第一颗人造地球卫星的研制，直接领导了用中近程导弹运载原子弹“两弹结合”试验，参与制定了中国近程导弹运载原子弹“两弹结合”试验，参与制定了中国第一个星际航空的发展规划，发展建立了工程控制论和系统学等。在钱学森的努力带领下，1964年10月16日中国第一颗原子弹爆炸成功，1967年6月17日中国第一颗氢弹空爆试验成功，1970年4月24日中国第一颗人造卫星发射成功电影第二阶段现代控制理论科学技术的发展不仅需要迅速的发展控制理论，而且也给现代控制理论的发展准备了两个重要的条件——现代数学和数字计算机。

现代数学：泛函分析，现代代数等为现代控制理论提供了多种多样的分析工具，而数字计算机为现代控制理论发展提供了应用的平台。

在二十世纪五十年代，随着计算机的飞速发展，从而对出现多输入多输出系统，非线性系统，时滞系统。现代控制理论1：五十年代后期，贝尔曼等人提出了状态分析法，在1957年提出了动态规划。2:1959年卡尔曼（Kalman）和布西创建了卡尔曼滤波理论，1960年在控制系统中成功的应用了状态空间法，并提出了可控性和可观性的概念。卡尔曼鲁道夫·卡尔曼（RudolfEmilKalman），匈牙利裔美国数学家，1930年出生于匈牙利首都布达佩斯。1953年于麻省理工学院获得电机工程学士，翌年硕士学位。1957年于哥伦比亚大学获得博士学位。1964年至1971年任职斯坦福大学。1971年至1992年任佛罗里达大学数学系统理论中心（CenterforMathematicalSystemTheory）主任。1972起任瑞士苏黎世联邦理工学院数学系统理论中心主任直至退休。先后居住于苏黎世和佛罗里达。2009年获美国国家科学奖章。庞特里亚金俄罗斯数学家。1908年9月3日生于莫斯科。13岁时因爆炸事故双目失明，母亲帮助他自学数学。1925年进入莫斯科大学数学力学系。1929年毕业后成为拓扑学家P.S.亚历山德罗夫的研究生。两年后在该校任教。他的研究领域涉及拓扑学、代数、控制论等。50年代开始研究振动理论和最优控制理论，以庞特里亚金的极值原理著称于世。进一步的发展

罗森布洛克（H.H.Rosenbrock）,欧文斯（D.H.Ovens）和麦克法轮（GJ.MacFarlane）研究了使用计算机辅助控制系统设计的现代频域法理论，讲经典的控制理论传递函数的概念推广到多变量系统，并探讨了传递函数矩阵与状态方程之间的等价转化关系，为进一步建立统一的线性系统理论奠定了基础。进一步的发展20世纪70年代，奥斯特隆姆（瑞典）和朗道（法国）在自适应控制理论和应用方面做出了贡献。

与此同时，关于系统辨识，最优控制，离散时间系统，和自适应控制的发展大大丰富了现代控制理论的内容。第三阶段：鲁棒控制理论阶段一：由于现代数学的发展，结