第一章随机事件及其概率

第一章随机事件及其概率概率论的简史概率论是一门研究随机现象规律的数学分支,起源于17世纪中叶；刺激数学家思考概率论问题确是来自赌博问题。

布莱士·帕斯卡（BlaisePascal1623—1662）法国著名的数学家、物理学家、哲学家和散文家。主要贡献是在物理学上，发现了帕斯卡定律，并以其名字命名压强单位。费马(PierredeFermat，1601～1665）法国著名数学家，被誉为“业余数学家之王”。赌徒分赌金问题两赌徒A、B下赌金后约定谁先赢满6局，谁就获得全部赌金，赌了半天，A赢了5局，B赢了2局，时间很晚了，他们都不想赌了。假设每一盘甲获胜的概率为p，乙为1-p。

问：赌金应该怎么分？Pascal和Fermat从不同理由出发，在1654年给出正确的解法。1657年，荷兰数学家惠更斯亦用自己的方法解决这一问题，更写成了《论赌博中的计算》一书，这就是概率论中最早的论著。三人提出的解法中都首先涉及到数学期望这一概念，并由此奠定了古典概率论的基础。江山代有人才出，各领风骚数百年使概率论成为数学分支的另一奠基人是瑞士的数学家雅各布-伯努利（1654-1705）他的主要贡献是建立了概率论中的第一个极限定理。我们称之为“伯努利大数定理”。这一定理在他死后1713年发表在他的遗著《猜度论》中。1750年，法国数学家棣莫弗（1667-1754）出版其著作《分析杂论》，当中包含著名的“棣莫弗-拉普拉斯定理”，这就是概率论中第二个极限定理的原始初形。1812年法国数学家拉普拉斯（1749-1827）出版的《概率分析理论》

中，首先明确地对概率做了古典的定义。另一个在概率论史上的代表人物是法国数学家泊松（1781—1840），他推广了伯努利形式下的大数定律，研究得出一种新的分布，即泊松分布。概率论即他们之后其中心课题则集中在推广和改进伯努利大数定律及中心极限定理。1781年6月21日生于法国卢瓦雷省的皮蒂维耶，1840年4月25日卒于法国索镇。1798年入巴黎综合工科学校深造。1806年任该校教授，1812年当选为巴黎科学院院士。忽如一夜春风来千树万树梨花开最早对概率论来严格化进行尝试的，是俄国数学家伯恩斯坦（1880—1968）和奥地利数学家冯·米西斯（1883—1953）。他们都提出了一些公理来作为概率论的前提，但他们的公理理论都是不完善的。作为测度论的奠基人，博雷尔（Borel）在1905年指出概率论理论如果采用测度论术语来表述将会方便许多，并首先将测度论方法引入概率论重要问题的研究，特别是1909年他提出并在特殊情形下解决了随机变量序列，服从强大数定律的条件问题。博雷尔的工作激起了数学家们沿这一崭新方向的一系列探索，其中尤以原苏联数学家科尔莫戈罗夫（1903—1987）的研究最为卓著．他给出了概率的公理化定义。概率论不仅是“数学之树”的一庞大支条，而且还有若干强壮的根，直接扎在实际应用环境的大地上．“芳草有情皆碍马，好云无处不遮楼”。正如英国的逻辑学家和经济学家杰文斯（1835—1882）所说，概率论是“生活真正的领路人，如果没有对概率的某种估计，我们就寸步难行，无所作为。”现实中有趣的概率的例子以1年365天计（不考虑闰年因素），你如果肯定在某人群中至少要有两人生日相同，那么需要多少人？大家不难得到结果，366人，人数只要超过365人，必然会有人生日相同。但如果一个班有50人，他们中间有人生日相同的概率是多少？据统计，飞机旅行是目前世界上最安全的交通工具，它绝少发生重大事故，造成多人伤亡的事故率约为三百万分之一，假如你每一天坐一次飞机，这样飞上8200年，你才有可能会不幸遇到一次飞行事故，三百万分之一的事故概率，说明飞机这种交通工具是最安全的，它甚至比走路和骑自行车都要安全。走路时被汽车撞死：危险概率是1／40000；骑自行车时死于车祸：危险概率是1／130000；死于车祸：危险概率是1／5000。“36选7”玩法的头奖命中概率为1/8347680，七乐彩中一等奖的概率为203万分之一，双色球全中红球的中奖概率为110万分之一，而双色球中一等奖的概率大概是1800万分之一。有笑话说全世界的数学家都不会去买彩票，因为他们知道，在买彩票的路上被汽车撞死的概率远高于中大奖的概率。科学日益发展，数学于生活中之应用愈来愈广，概率统计在我们的生活中几乎无处不在，学好概率确是较难，可探究过程于我们却是受益匪浅。第一章随机事件及概率

随机事件随机事件的概率古典概率模型（等可能概率模型）条件概率随机事件的独立性§1.1随机事件一、随机试验随机现象：在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象，称为随机现象。例：抛一枚硬币，观察出现正面或反面的情况。思考：随机现象是否有规律？（3）试验中一切可能出现的结果可以预先知道。－－必然性（统计规律性）随机试验必需满足：（1）在相同条件下，可以进行大量次重复试验。――可重复性（2）每次试验中可以出现不同的结果，而不能预先知道发生哪种结果。――偶然性随机试验一般用字母E表示。例1E1：掷一枚硬币，观察其正面（H）和反面（T）出现的情况。试验的条件是掷一枚硬币，条件实现（一枚硬币掷出）就完成一次试验。例2E2：将一枚硬币掷2次，观察正、反面出现的情况。试验的条件就是把硬币掷2次，条件实现（硬币掷了2次）就完成一次试验。随机事件：一个随机试验E中可能发生也可能不发生的事件称为该试验的随机事件（简称事件）通常用字母A、B、C等表示。

基本事件：试验E的每一可能的结果叫做样本点，一般用ω表示，{ω}表示基本事件。样本空间：基本事件的全体组成的集合称为该试验的样本空间。

二、随机事件必然事件：每次试验中必然发生的事件称为必然事件，记为Ω。不可能事件：每次试验中不可能发生的事件称为不可能事件，记为Φ。

（1）样本空间的构成是由试验的条件和观察的目的所决定。注意（2）基本事件是事件的一种，一般的事件是由若干个基本事件共同组成的，因而是样本空间的子集，通常又称其为复合事件。（3）随机事件的另一个定义：样本空间Ω的某个子集。事件A发生当且仅当试验中出现A的某个基本事件。三、事件之间的关系和运算

定义：若事件A发生必导致事件B发生，则称事件B包含事件A。记为:B

A或A

B。

（1）事件的包含关系结论：若事件A

B且A

B，则称事件A和事件B相等，记为A＝B。即：事件A、B所包含的基本事件是一样的。

定义：事件A，B至少有一个发生，称为事件A与B的和（或称为并），记为A∪B（2）事件的和定义：2个事件A，B都发生，称为事件A与B的交（或积），记为A∩B（或AB）。

（3）事件的交定义：“事件A发生而事件B不发生”也是一个事件，称为A与B的差。记为A－B。

（4）事件的差

定义：在一次试验中，若事件A、B不能同时发生，即AB＝Ф，则称事件A、B是互不相容的事件。结论：从基本事件说，互不相容事件就是没有公有的基本事件。显然，在一次试验中，两个基本事件不能同时发生，所以任何两个基本事件都是互不相容事件。

（5）事件的互不相容性定义：若A∪B＝Ω，AB＝Ф，则称A、B为相互对立的事件（简称互逆），事件A的逆事件又可记为。结论：A、B互逆A、B互不相容；

A、B互不相容A、B互逆。

（6）逆事件(对立事件)交换律：A∪B＝B∪A，AB＝BA结合律：(A∪B)∪C＝A∪(B∪C)，

(AB)C＝A(BC)分配律：(AB)∪C＝(A∪C)·(B∪C)，

(A∪B)C＝(AC)∪(BC)

（7）事件的运算规律德摩根公式：例1、在一个口袋里装有红、黄、白三种球，每种球都不止一个，一次任取两个球，观察它们的颜色。设A＝{两个同色球}，B＝{至少一个红色球}，问A∪B由哪些基本事件组成？例2、设A、B、C为三个事件，试将下列事件用A、B、C表示出来。（1）三个事件都发生；（2）三个事件都不发生；（3）三个事件至少有一个发生；（4）A发生，B、C不发生；（5）A、B都发生，C不发生；（6）三个事件中至少有两个发生；（7）不多于一个事件发生；（8）不多于两个事件发生。

§1.2随机事件的概率一、事件的频率定义：如果在n次重复随机试验中，事件A发生了nA次，那么就称比值fn(A)为事件A发生的频率，其中，nA称为A在这n次试验中发生的频数。说明由频率的定义可见，如果事件A发生的可能性愈大，频率就愈大；另一方面，频率还有稳定性，即当n很大时，频率稳定在一个固定值附近摆动。二、概率的定义（1）概率的统计定义定义1：在同一组条件下所作的大量重复试验中，如果事件A发生的频率总是在一个确定的常数p

附近摆动，并且逐渐稳定于p，那末数p就表示事件A发生的可能性大小，并称它为事件A的概率，记作。（1）对任意事件A，。（2）。（3）对任意有限多个互不相容的事件A1、A2…Am

有。对任意随机试验E，频率具有性质：（2）概率的公理化定义定义2：设E是随机试验，Ω是E的样本空间，对于E的每一个事件A对应唯一的实数值，记为，称为事件A的概率，如果集合函数

满足下列条件：（1）非负性：（2）规范性：（3）可列可加性：是任意无穷多个互不相容的事件，有

这3条也是概率的三个基本性质，此外概率还有一些其他性质：概率的加法公式可推广到有限个事件的并的情形。如：这个式子称为“多除少补原理”.§1.3等可能概型等可能概型（古典概型）：如果一个随机试验E具有如下的特征，则称为等可能概型。（1）样本空间是由有限个基本事件组成的；（2）每一个基本事件在一次试验中发生的可能性是相同的。定理：在古典概型中，若样本空间包含的基本事件总个数为n，其中事件A包含的基本事件个数为k，则事件A的概率为

古典概型中概率的计算例1、盒中有a个黑球，b个白球，把球随机地一只只取出（不放回），求事件A：“第k（1≤k≤a＋b）次取到黑球”的概率。

分析：考虑随机试验E：‘‘把a+b个球全部取出依次放在排列成一直线的a+b个位置上，观察可能得到的a+b个球的全排列’’，事件A：‘‘第k次取到黑球’’，则排列的第k个位置上必定放的是黑球，这个黑球是a个黑球的任意一个黑球，一旦第k个位置上的黑球放定，而另外的a+b-1个位置应该是剩下的a+b-1个球的全排列，故随机事件A是由a（a+b-1）！个基本事件组成，故P(A)=a(a+b-1)!/(a+b)!=a/a+b发现：第k次取到黑球的概率与k无关。

抽签与顺序无关！例2、一盒中含有N－1个黑球，一个白球，每次从盒中随机地取一只球，并还入一只黑球，这样继续下去，求事件A：“第k次取到黑球”的概率。

解：显然，这是一个古典概型的问题，样本空间的大小为；而要求概率的事件A所包含的基本事件个数就不容易计算了，但可考虑其逆事件，包含的基本事件数为：

§1.4条件概率与乘法公式一、条件概率的定义在实际问题中，除了要知道事件A的概率外，有时还要考虑在“已知事件B发生”的条件下，事件A发生的概率。一般情况下，两者的概率是不相等的，为了区别所见，我们把后者称为条件概率，记为：定义：A，B两个事件，P(B)>0，称为B发生的条件下，事件A发生的条件概率。如：注意：（1）条件概率也是概率，所以，它满足概率的一切性质。（2）一般的，概率与条件概率之间没有大小关系，但是有一种情况例外。（3）在古典概型中，设样本空间是由n个基本事件组成，若事件B包含m个基本事件(m>0)，AB包含k个基本事件，则计算条件概率有两个办法：

1、缩小样本空间；2、用公式计算。

例如：考虑两个孩子的家庭

1.事件A=“家中至少有一个女孩”2.事件B=“家中至少有一个男孩”求：用两个办法例1：有10个产品，其中4个是次品，从中不放回的抽取2个，已知取出的一个是次品的条件下另外一个也是次品的概率。解：令A：“第一个的是次品”，B：“第二个是次品”，则所求的是P(B|A)，根据条件概率的求法，二、概率的乘法公式定理：两个事件的交的概率等于其中一个事件的概率与另一事件在前一事件发生下的条件概率的乘积。即：P(AB)=P(B)P(A∣B)＝P(A)P(B∣A)这是两个事件的交，我们可以推广到求有限多个事件的交：例1、n根绳子的2n个端口任意两两连接，求：恰好形成n个圈的概率？令：“第i根绳子结成一个圈”，解例2：袋中有一个白球一个黑球，现每次从中取出一个球，若取出的是白球，则把白球放回且再另放入一个白球，直至取出黑球为止，求取了n次都是白球的概率。令：“第i次取出的是白球”，例3.判断题（1）n张奖券中有k张有奖（k<n）,n个人依次抽奖，先抽的中奖概率大。（2）

若已知第一个人未中奖，则第二个人中奖的概率将增大。错。对。例2：为了防止意外，矿井中装有A，B两种报警设备，已知A单独使用时有效的概率为0.92，设备B单独使用时有效的概率为0.93，在设备A失效的条件下，设备B有效的概率为0.85，求发生意外时至少有一个报警设备有效的概率。解：令A：“A设备有效”，B：“B设备有效”，已知：P(A)=0.92，P(B)=0.93,三、全概率公式和贝叶斯公式

1、划分：设Ω为随机试验E的样本空间，为E的一组事件，若

（1）（2）则称为样本空间的一个有穷划分（或称为完备事件组）。

设Ω为随机试验E的样本空间，为样本空间的一个划分。则：

2、全概率公式与贝叶斯公式例3.某电子设备厂所用的晶体管由甲、乙、丙三家元件制造厂提供。三家制造厂提供的晶体管的数量比是1：2：3，三家制造厂生产的晶体管的次品率分别为4%，3.5%，3%。随机的从设备厂所用的晶体管中抽取一只，求：

1.取出的晶体管是次品的概率。

2.若取出的晶体管是次品，则它是由甲厂生产的概率。例4、产品整箱出售，每箱20个。各箱有0，1，2个次品的概率分别为0.7，0.2，0.1。一位顾客欲购买一箱产品，在购买时，营业员随机地取一箱，而顾客从中任取4只检查，若无次品，则买下该箱产品，否则退货，求（1）顾客买下该箱产品的概率；（2）已知顾客买下一箱产品，则该箱都是正品的概率为多少？例5、一种诊断某癌症的试剂，经临床试验有如下记录：有癌症阳性的概率为95%，无癌症阴性的概率为95%。现用该试剂在某社区进行癌症普查。设该社区癌症发病率为0.5%，问某人反应为阳性时，该人犯癌症的概率。事件A＝“检测结果是阳性”事件B＝“该人犯癌症”一、两个事件的独立性§1.5事件的独立性例1、在20个产品中有2个次品，从中接连抽两个产品，第一个产品抽得后放回，再抽第二个产品，求（1）已知第一次取得次品的情况下，第二次取得次品的概率；（2）第二次取得次品的概率。解：设事件A＝{第一次抽到次品}，事件B＝{第二次抽到次品}，（1）因是有放回的：P(B|A)＝;（2）因是有放回的：P(B)＝P(B|A)＝所以，P(B|A)＝P(B)。定义:设事件A、B是某一随机试验的任意两个事件，若满足，则称事件A、B互相独立，记为i.d.。

思考：独立和互不相容间的关系？定理：若事件A与B相互独立，且独立扩张定理：若事件A与B独立，则、也相互独立。二、多个随机事件的独立性

定义：设事件，若有则称相互独立