体检中的排队论5

摘要排队论是20世纪初由丹麦数学家Erlang应用数学方法在研究电话话务理论过程中而发展起来的一门学科，排队论也称随机服务系统理论，它涉及的是建立一些数学模型，以对随机发生的需求提供服务的系统预测其行为，它已应用于电讯、纺织、矿山、交通、机器维修，可靠性，计算机设计和军事领域，都已取得了显著的成绩。排队论（又称随机服务系统）的理论和方法已经广泛应用于各种服务系统，如通信系统、交通系统、计算机存储系统、生产管理系统等许多方面，体检排队系统作为体检人员接受体检中心服务的第一个环节，是体检人员评价体检中心服务满意度的一个重要方面，故在体检系统中起着常重要的作用。因此，利用排队论的知识对体检系统建立数学模型进行分析优化，从而使系统达到最佳的运营状态，具有十分重要的经济价值和实际意义。排队的内容虽然不同，但有如下共同特征：（1） 有请求服务的人或物，如候诊的病人、请求着陆的飞机等，我们将此称为“顾客”。（2） 有为顾客提供服务的人或物，如医生、飞机跑道等，我们称此为“服务员”。由顾客和服务员就组成服务系统。（3） 顾客随机地一个一个（或者一批一批）来到服务系统，每位顾客需要服务的时间不一定是确定的，服务过程的这种随机性造成某个阶段顾客排长队，而某些时候服务员又空闲无事。关键字：排队论；体检排队系统；M/M/n模型;M/M/1模型二、问题重述某城市的体检中心每天有许多人前去体检，全部体检项目包括：抽血、内科、外科、B超、五官科、胸透、身咼、体重、…等等。每个人的体检项目可能各不相同，假设每个体检项目的服务时间是确定的，并且只有1个医生值班，每次只能为1个客户服务。为提高设备利用率、降低客人的等待时间，中心请你帮助完成如下任务：请你为某个新来的客人安排他的体检顺序，使其完成需要的全部检查的时间尽量少（在各个体检项目处都可能有人排队等待）；设计1组数据来验证上述结论。接待团体客人时，如何安排每个人的体检顺序，使得体检中心能尽快完成任务，设计1组数据来验证该结论。三、条件假设3・1基于排队系统的假设输入过程：某一时段内到达顾客的总体是有限的，且到达的方式是一个一个的，相继到达的间隔时间是随机性的，但是服从一定条件的概率分布；顾客的到达也是相互独立的，就是说，以前的到达情况对以后顾客的到来没有影响；输入过程是平稳的，也可以认为是时间齐次的，是指描述相继到达的时间间隔分布和所含参数（如期望值、方差等）都是与时间无关的。排队规则：根据题目的已知数据进行分析，顾客到达时，如所有的服务台均被占用着，则顾客将会等待,服务机制属于先到先服务；从占有的空间上来看，对于等待队伍的长度没有最大限制；从等待队伍的数量上来看，队伍是单列的。服务机构：带有多个服务台的机构中，它们应该是平行并列的(如第一问)服务的方式为每次一名医生对一个顾客进行体检；跟输入过程一样，服务时间也是随机性的，但是服从一定条件的概率分布，并且服务时间也是时间齐次性的。3.2对于到达时刻的假设对于顾客到达时间：1、 根据排队论和概率论的相关理论，我们易知在不相重叠的时间间隔内顾客到达数是相互独立的，即为无后效性，2、 在充分小的一段时间间隔之内，在区间［t,At］内有一个顾客到达的概率与时间t无关，而约与时间长度成正比，即P(t,t+At)—九At+o(At)其中九〉0是常数，它表示单位时间有一个顾客到达的概率，称为概率强度。3、 另一方面，对于充分小的At，在时间间隔［t,At］内有两个或两个以上顾客到达的概率极小，以至于可以忽略，即£P(t,t+At)—o(At)⑴n2泊松分布的概率如下所示，意为在t的时间间隔中到达n个顾客的概率

P(tP(t)=n满足以上三个条件的分布被称作泊松流，我们得知该题目的工具到达时间服从泊松分布。3.3排队规则排队规则指顾客按怎样的规定的次序接受服务。常见的有等待制，损失制，混合制，闭合制。当一个顾客到达时所有服务台都不空闲，则此顾客排队等待直到得到服务后离开，称为等待制。在等待制中，可以采用先到先服务，如排队买票；也有后到先服务，如天气预报；也有随机服务，如电话服务；也有有优先权的服务，如危重病人可优先看病。当一个顾客到来时，所有服务台都不空闲，则该顾客立即离开不等待，称为损失制。顾客排队等候的人数是有限长的，称为混合制度。当顾客对象和服务对象相同且固定时是闭合制。如几名维修工人固定维修某个工厂的机器就属于闭合制。3.4排队系统的数量指标的假设（1） 队长与等待队长队长（通常记为L）是指系统中的平均顾客数（包括正在接受服s务的顾客）。等待队长（通常记为L）指系统中处于等待的顾客的数q量。显然，队长等于等待队长加上正在服务的顾客数。（2） 等待时间等待时间包括顾客的平均逗留时间（通常记为W）和平均等待时s间（通常记为W）。顾客的平均逗留时间是指顾客进入系统到离开系q统这段时间，包括等待时间和接受服务的时间。顾客的平均等待时间是指顾客进入系统到接受服务这段时间。⑶忙期从顾客到达空闲的系统，服务立即开始，直到再次变为空闲的时间，这段时间是系统连续繁忙的时期，称之为系统的忙期。它反映了系统中服务机构工作强度，是衡量服务系统利用效率的指标，即服务强度=忙期/服务总时间=1—闲期/服务总时间，闲期与忙期对应的系统的空闲时间，也就是系统连续保持空闲的时间长度。四、符号约定Ls队长，指在系统中的顾客数Lq指在系统中排队等待服务的顾客数Ws指个顾客在系统中的停留时间，期望值Wq一个顾客在系统中排队等待的时间，期望值平均到达率五、问题分析与模型建立排队论中的记号是20世纪50年代初由D.GKendall引入的，通常由3〜5个字母组成，形式为：A/B/C/n其中A表示输入过程，B代表服务时间，C代表服务台数量，n表示系统空间数。如：(1)M/M/S/g表示输入过程是Poisson流，服务时间服从负指数分布，系统有S个服务台平行服务，系统容量为无穷大的等待制排队

系统。(2)M/G/S/g表示输入过程是Poisson流，服务时间服从一般概率分布，系统有S个服务台平行服务，系统容量为无穷大的等待制排队系统。(3)D/M/S/K表示顾客相继到达时间间隔独立、服从定长分布,服务时间服从负指数分布，系统有S个服务台平行服务，系统容量为K个的混合制系统。M/M/S/S表示输入过程是Poisson流，服务时间服从负指数分布，系统有S个服务台平行服务，顾客到达后不等待的损失制系统。M/M/S/K/K表示输入过程是Poisson流，服务时间服从负指数分布，系统有S个服务台平行服务，系统容量和顾客容量都为K个的闭合制系统以单个体检项目为例，可以将此系统当做M/M/S进行分析，其中体检人员到达规律服从参数为九的Poisson分布，在［0,t］时间内到达的人数X(t)服从的的分布为：(1)P{X(t)=k}=呼(1)其单位时间到达的平均人数为九，［0,t］时间内到达的平均人数为体检者接受服务的时间服从负指数分布，单位时间服务的平均人数为卩，服务时间的分布为:f(tf(t)二卩e-pt0(2)每个人接受服务的平均时间为丄。可以计算出稳定状态下系统有n个人的概率:p=(1—P)Pn n=0,1,2,3n其中称为系统的服务强度。则系统全部空闲的概率为：Po每个人接受服务的平均时间为丄。可以计算出稳定状态下系统有n个人的概率:p=(1—P)Pn n=0,1,2,3n其中称为系统的服务强度。则系统全部空闲的概率为：Po=1—p=系统的平均队长为:艺n.pnn=0n.pnn=0九

卩一九系统的平均等待队长为:(n—1).p=(1—p正(n-1)pn=1n=1九2卩(卩一九)系统的平均逗留时间为:系统的平均等待时间为:从(4)〜(6)式可以看出:L=XWL=XWs sq q(4)(5)(6)(7)(8)LW=一qX该公式称为Little公式，在其它排队论模型中依然适用。Little公式的直观意义:L二九W表明排队系统的队长等于一个顾客平均逗留时间内到达s s的顾客数。L二九W表明排队系统的等待队长等于一个顾客平均等待时间内q q到达的顾客数。根据以上建立的模型，我们可以使用Lingo软件计算出系统的平均等待时间，平均逗留时间，平均队列长度，等系统指标，从而可以对问题进行系统分析。LINGO中的相关函数及相关参数计算公式顾客等待概率的公式：P=@peb(load,S) (10)wait其中S是服务台或服务员的个数,load是系统到达负荷，即load=入/p=R*T,式中R表示入，T表示1/p,R表示入，在下面的程序中，因此，R或入是顾客的平均到达率，p是顾客的平均被服务数，T就是平均服务时间.顾客的平均等待时间公式：W=P—T— (11)qwaitS一load其中T/(S-load)是一个重要指标，可以看成一个“合理的长度间隔”。注意，当load-S时，此值趋于无穷。也就是说，系统负荷接近服从器的个数时，顾客平均等待时间将趋于无穷.当load>S时，上式Wq无意义。其直观的解释是：当系统负荷超过服从器的个数时,排队系统达不到稳定的状态，其队将越排越长.TOC\o"1-5"\h\z系统中顾客的平均逗留时间W=W+丄 （12）sq卩系统中顾客的的平均队长L―W （13）s s系统中顾客的的平均等待队长tn假设每个项目单位时间内接受体检的人数相同，即参数九就有相同的值，而每个体检项目由于其执行的复杂程度的不同，例如，胸透,核磁共振等项目所耗费的时间要多于测体重，视力所耗费的时间，因此，参数u的取值不相同。要为单名体检者安排最优方案，我们就只需要考虑到其所需要体检的具体项目，其他项目不再考虑反之内。对于这个M/M/S系统，我们可以将其看成n个并立案的M/M/1系统。由于体检人员的到达率符合Possion分布，根据已知的九和u的值，我们可以用Lingo软件计算出W和L的值。例如当每小时到达人数qq为8人，每小时可以体检的人数为9人时，w=53.33min，l=7.11q q人。体检项目1234N服务时间u1u2u3u4un到达时间九九九九九平均等待时间Wq1Wq2Wq3Wq4Wqn平均队列长Lq1Lq2Lq3Lq4Lqn度设检查完n个项目所耗费的时间为t，要得到最优检查路线就是n要求出t的最小值，因此我们需要研究t与平均队列长度，平均等待n n时间，以及服务时间之间的关系。（1） t表示检查完第一个项目所花费的是时间，在第一个项目的1检查中，等待时间的期望，即为W，检查的时间为u，t=u+W。q1 1 1 1 q1（2） t表示检查完第二个项目所花费的是时间，在第一个项目2的检查中，花费的时间为t，在此期间内，项目二的队列又有所增加，1由于体检者的到达人数服从possion分布，在t时间内到达的人数为1九t，加上最初队列的长队，即L，队列的总长度为九t+L，项目二1 q2 1q2的检查时间为u，因此完成前两个检查项目所花费的时间为u+u222（九t+L）=t。1q2 2（3） t表示检查完第n个项目所花费的是时间，在前n个项目n的检查中，花费的时间为t，在此期间内，项目n的队列又有所增n-1加，由于体检者的到达人数服从possion分布，在t时间内到达的人1数为九t，加上最初队列的长队，即L，队列的总长度为九t+L，n-1 qn n-1qn项目n的检查时间为u，因此完成前两个检查项目所花费的时间为nu+u（九t+L）=t。nn n-1qn n根据实际情况的九与u的值，编写程序，计算以不同的排队顺序所要花费的时间长短，从中找到最短时间。以以下数据为例：体检项目体重胸透视力

体检速度201015到达人数888根据上面的数据可以计算出每个项目的WQ及LQ如下:体检项目体重胸透视力W_Q0.3333333E-010.40000000.7619048E-01L_Q0.26666673.2000000.6095238则由上式计算出六种不同排队方式所耗费的时间如下:体检顺序t1t2t313.7828.1521.0423.788.3716.13319.211.2712.26419.216.3810.1756.430.1915.5566.47.3030.89时间总和最小的即为最优排队顺序5.2团体体检最优模型当体检中心进行单位体检时，可简单描述为：在某一时间段内顾客到达规律相同，且数量相同；需要提供服务的科室为固定的，且每个科室服务的顾客数是相同的。则对于需要提供服务的各个科室来说，排队系统的组成简单比较如下：体检人员到来时间比较集中，一般是在同一天同一时间段内到达。此外，体检中心在进行单位体检预登记时，为避免体检人数太多而导致体检资源紧张，造成体检人员排队时间过长，一般会与该单位在时间上进行协商，尽量避免不与其它单位体检时间冲突。故相对来说，同一天同一个时间段内服务的顾客大部分是同一单位的人员。人数较多，一般从几十到几百不等。3•体检项目基本相同。在体检中心进行单位体检时，因各科室排队系统中，服务的人数和顾客到达分布相同，排队规则一致，服务窗口都是并联的，故比较而言，此时各科室的最优服务台数仅由服务时间决定。在排队模型其它因素一致的情况下，最优服务台数与平均服务时间近似于正比例关系，服务时间越长，最优服务台数越多。故如果在对排队系统性能要求不高，且排队系统的其它组成因素完全相同的情况下，可根据已知科室的最优服务台数和两科室的平均服务时间的比值来确定相应科室所设最优服务台数的范围。5.2.1预计所需医生的数量体检中心接待团体顾客大部分是通过单位组织的，一般提前一周或几天进行体检预登记来保证体检中心能够提供有效的服务。此外，体检中心的有相当一部分医生是外聘的，坐诊时间有限，很多是以小时计的。故可以通过排队模型来对未来的一个工作日所需要医生数量的进行估计，保证医生资源的充分利用，降低体检中心的成本。我们可以根据预登记的体检人数和平日顾客到来的分布规律，通过对各个科室的服务台数的预设置，来预计相应工作日所需医生的数量。5.2.2排队模型的比较在前面的研究中，我们是假定各服务台前的顾客可以相互转移，即将顾客的排队视为“单队〃立了M/M/n排队模型；如果考虑各服务台的顾客不能转移，则每个服务台视为一个独立的排队系统，从而化为n个M/M/1排队模型。下面我们对两种排队方式进行比较（其中的数据为一家体检中心上午8：00至12：00这段时间内前来检查的人数）。在前面的研究中，我们是假定各服务台前的顾客可以相互转移，即将顾客的排队视为“单队〃立了M/M/n排队模型；如果考虑各服务台的顾客不能转移，则每个服务台视为一个独立的排队系统，从而化为n个M/M/1排队模型。频\人下510101515202025253030353540404545501.8:00-9:00•52241053123109:00-10:00284512613221210:00-11:00174220852023111:00X2:00623151100000

时间段A（人/时）|n8:00-9:0037.529:0040:0085.8210:00-11:00117.2211:0042:003242下面我们对两种排队方式进行比较。以10：00.11：00这个时间段进行研究，考虑服务台数为5时的情况。如果假定系统中5个队列之间没有顾客转移，则每个队列的平均到达率为117.2二117.2二22.34平均服务率保持不变，从而系统成为数个M/M/1系统。利用M/M/1系统目标参量的计算方式可得到系统在多队列时的运行指标,将它们与M/M/n模型指标进行比较，结果见表A£G I%M/M/n0.0074494.32538.64332.2376M/M/10.1364575.464831.1915&2331从表中可以看出，单队时等待队长等待时间明显要低于多队时，而且服务台的利用率较高。相比较之下，单队多服务台系统的效率是比较好的，这和理论上的结论也是一致的。而且在多队排队系统中，服务台的空闲率达到13.65%，这也造成资源的浪费。所以，体检中心应该采用严格的单队列多服务台系统，也说是每个科室前不管有几个就诊医生，所有在此等待的体检人员只排成一队，就可以避免队列间的拥挤碰撞，有助于改善体检中心的服务状况。六、模型总结与期望本文体检管理中心的体检管理系统为研究背景，利用排队论的知识对体检排队系统建立相应的数学模型，并对模型相关参数进行计算和分析，为体检中心的管理和优化提供了理论依据。本文所做的工作和取得的成果主要有以下两个方面：本文在对体检中心的排队系统进行特征研究之后，收集和整理了体检中心的某一科室在上午各个时间段的顾客到达情况、服务时间等数据，通过对其进行的分析，建立数学模型，并对该数学模型进行了各项指标进行计算